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高中物理必修二素养提升学案
第六章 圆周运动
6.3 向心加速度
【课标解读】
1．知道向心加速度大小的表达式，理解向心加速度与半径的关系，并能用来进行简单的计算。
2．了解用极限思想分析匀速圆周运动的速度变化量。
3．能根据问题情境选择合适的向心加速度公式。
【核心素养】
一．知识与技能
1. 理解向心加速度的大小和方向，并能用其处理简单的物理问题；
2. 会用矢量图表示速度变化量与速度之间的关系，理解加速度与速度、速度变化量的区别；
二．过程与方法
1.通过体验向心加速度导出过程，提高学生的分析和概括能力；
2.经历科学探究的过程，体验科学探究的思维方法，培养学生观察、分析的能力。
情感态度与价值观
1.通过计算向心加速度的大小，培养他们谦虚好学的思想和实事求是的态度。
2.培养学生应用数学方法解决物理问题的科学思维方法，培养学生的创造性思维过程以及初步的观察、分析和概括能力。
【思维脉络】
【课前预习】
知识点 1　匀速圆周运动的加速度方向
1．定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向__圆心__，这个加速度叫作向心加速度。
2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向__垂直__，故向心加速度只改变速度的__方向__，不改变速度的__大小__。
3．物体做匀速圆周运动时，向心加速度始终指向__圆心__，方向在时刻__变化__，所以匀速圆周运动是__变加速__曲线运动。
知识点 2　匀速圆周运动的加速度大小
1．向心加速度公式
an＝或an＝__ω2r__。
2．向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动。
【思考辨析】
1.判断下列说法是否正确。
(1)匀速圆周运动是匀变速运动。(×)
(2)做匀速圆周运动的物体的加速度一定不为0。(√)
(3)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心，大小不变。(√)
(4)做匀速圆周运动的物体加速度始终不变。(×)
(5)根据an＝ω2r知向心加速度an与半径r成正比。(×)
(6)根据an＝知向心加速度an与半径r成反比。(×)
2. 如图所示，A、B为小区门口自动升降杆上的两点，A在杆的顶端，B在杆的中点处。杆从水平位置匀速转至竖直位置的过程，下列判断正确的是(　B　)
A．A、B 两点线速度大小之比 1︰2
B．A、B 两点角速度大小之比 1︰1
C．A、B 两点向心加速度大小之比 1︰2
D．A、B 两点向心加速度的方向不同
解析：A、B 两点同轴转动，则角速度相等，即角速度大小之比 1︰1；根据v＝ωr可知，因为rA＝2rB，则A、B 两点线速度大小之比 2︰1，A错误，B正确；根据a＝ω2r可知，因为rA＝2rB，A、B 两点向心加速度大小之比 2︰1，且A、B 两点向心加速度的方向相同，均指向转轴，CD错误。
3. 汽车以一定的速度在草原上沿直线匀速行驶，突然发现正前方有一河沟，为了尽可能地避免掉进河沟，通常有急转弯或急刹车两种方式。假设汽车急转弯做匀速圆周运动，急刹车做匀减速直线运动，且转弯时的向心加速度大小等于刹车时的加速度，请问司机是紧急刹车好，还是马上急转弯好？
答案：刹车好
解析：设汽车匀速行驶时的速度大小为v，避免掉进河沟采取措施后的加速度大小为a，若汽车急转弯，则有a＝，转弯半径最小为R＝；若汽车急刹车，则有v2＝2ax，汽车前进的最小距离x＝，因为R>x，所以司机应紧急刹车才是明智之举。
【互动探究】
一、探究向心加速度
【探究导入】：
天宫二号空间实验室在轨飞行时，可认为它绕地球做匀速圆周运动。尽管线速度大小不变，但方向却时刻变化，因此，它运动的加速度一定不为0。那么，该如何确定它在轨飞行时加速度的方向和大小呢？
【提出问题】对于上述的运动应该怎样分析它的加速度呢？
【情境导入】如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
提示：(1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。
(2)由于加速度的方向指向圆心，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
【要点提炼】
1．向心加速度的物理意义
描述线速度改变的快慢，只改变线速度方向，不改变其大小。
2．向心加速度的方向
总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。不论加速度an的大小是否变化，an的方向总是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。
3．变速圆周运动的加速度
对于变速圆周运动，如图所示，物体加速度的方向不再指向圆心，但其中一个分加速度的方向指向圆心，为向心加速度，仍满足公式an＝＝ω2r，其作用仍然是改变速度的方向。
【特别提醒】
无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动都有向心加速度，向心加速度方向都指向圆心。
【典例剖析】
【典例1】 (多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是(　ABD　)
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
思路引导：解该类问题的关键是分清两种圆周运动加速度的特点。匀速圆周运动的加速度就是向心加速度；变速圆周运动的加速度不是指向圆心的。
解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方向，选项A、B正确；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，选项D正确；物体做变速圆周运动时，物体的加速度的方向不指向圆心，选项C错误。
【对点训练】
1．(2021·武冈市第二中学高一开学考试)关于向心加速度，下列说法正确的是(　C　)
A．它是描述角速度变化快慢的物理量
B．它是描述线速度大小变化快慢的物理量
C．它是描述线速度方向变化快慢的物理量
D．它是描述角速度方向变化快慢的物理量
解析：圆周运动的向心加速度只改变速度的方向，不改变速度大小，即向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量。故选C。
二、向心加速度公式的理解和应用
【情境导入】
自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它的边缘有三个点A、B、C，如图所示。在自行车正常骑行时
(1)A、B两点的向心加速度谁的较大？这两点的向心加速度与它们的半径成正比还是反比？
(2)B、C两点的向心加速度谁的较大？这两点的向心加速度与它们的半径成正比还是反比？
提示：(1)B点的向心加速度大；反比。
(2)C点的向心加速度大；正比。
【要点提炼】
1．向心加速度公式：
(1)基本式：①an＝；②an＝ω2r。
(2)拓展式：①an＝；②an＝ωv。
2．加速度与半径的关系
加速度与半径的关系与物体的运动特点有关。若线速度一定，an与r成反比；若角速度(或周期、转速)一定，an与r成正比。如图所示。
特别提醒
(1)以上公式也适用于变速圆周运动中向心加速度的计算，但计算得到的只是沿径向的加速度，不包括沿切向的加速度。
(2)不同的表达式中，an与同一物理量间有不同的关系，所以在讨论an与其中一个量的关系时，要根据不变量选择合适的公式讨论。
【典例剖析】
典题2 如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转轴的距离是半径的。当大轮边缘上P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多大？
思路引导：先根据皮带传动或同轴转动分析出研究点的线速度关系或角速度关系，然后再利用向心加速度公式分析。
解析：同一轮子上的S点和P点角速度相同：ωS＝ωP
由向心加速度公式a＝rω2可得：＝
所以aS＝aP·＝12× m/s2＝4 m/s2
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘各点线速度大小相等：vP＝vQ
由向心加速度公式a＝可得：＝
所以aQ＝aP·＝12× m/s2＝24 m/s2。
答案：aS＝4 m/s2　aQ＝24 m/s2
【对点训练】
2．一质点以匀速率做曲线运动，从如图所示的轨迹可知，质点加速度最大的点是(　A　)
A．A点　 B．B点
C．C点　 D．D点
解析：因为质点以匀速率做曲线运动，由向心力公式a＝可知，曲率半径越小加速度越大，由图像可知在A点半径最小，所以加速度最大。故A正确，B、C、D正确。
【核心素养提升】
构建模型处理实际问题
【典例】 图甲为游乐场的悬空旋转椅，可抽象为如图乙所示模型，已知绳长L＝5 m，水平横梁L′＝3 m，小孩质量m＝40 kg，整个装置可绕竖直轴转动，绳与竖直方向夹角θ＝37°，小孩可视为质点，g取10 m/s2，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)绳子的拉力为多少？
(2)该装置转动的角速度多大？
(3)增大转速后，绳子与竖直方向的夹角变为53°，求此时装置转动的角速度。
模型分析：圆锥摆模型
1．运动分析：小球在水平面内做匀速圆周运动。
2．受力分析：只受两个力作用，即竖直向下的重力以及沿摆线方向的拉力。
3．力与运动关系分析
(1)水平面(轨道平面)方向
F合＝ma向，即mgtan θ＝m
(2)竖直面(垂直于轨道平面)方向
Fcos θ＝mg。
【建模思路】：
1.将实际运动情境转化为平面示意图。
2．通过运动分析和受力分析看是否符合圆锥摆特点。
3．利用分解思想：(1)在匀速圆周运动轨道平面方向列牛顿第二定律方程。
(2)在垂直匀速圆周运动轨道平面方向列平衡方程。
【规范解析】：
(1)小孩受力情况如图所示
由于竖直方向受力平衡，有Fcos θ＝ mg
代入数据得F＝500 N。
(2)小孩做圆周运动的半径
r＝L′＋Lsin 37°＝6 m
由Fsin θ＝mrω2，代入数据解得ω＝ rad/s。
(3)此时半径为r′＝L′＋Lsin 53°＝7 m
由mgtan 53°＝mr′ω′2
解得ω′＝ rad/s。
答案：(1)500 N　(2) rad/s　(3) rad/s
【模型应用】：
【课堂达标检测】
1．(2021·四川南充市阆中市川绵外国语学校高一月考)关于向心加速度和向心力，下列说法正确的是(　C　)
A．圆周运动物体的合力就是向心力
B．圆周运动物体的加速度就是向心加速度
C．匀速圆周运动的合力等于向心力
D．圆周运动的加速度只改变速度的方向
解析：匀速圆周运动的合力等于向心力，匀速圆周运动的加速度等于向心加速度，A、B错误，C正确；只有匀速圆周运动的加速度只改变速度方向，其他非匀速圆周运动的加速度不仅改变加速度的方向，还改变加速度的大小，D错误。
2．(2021·安徽省定远县第三中学高一月考)如下图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω旋转，A、B为球体上两点，下列说法正确的是(　B　)
A．A、B具有大小相等的线速度
B．由a＝ω2r知，A的向心加速度大于B的向心加速度
C．由a＝ω2r知，A、B两点具有大小相等的向心加速度
D．A、B两点的向心加速度方向都指向球心
解析：A、B两点共轴转动，角速度相等，A的转动半径大于B点的转动半径，根据v＝rω知，A的线速度大于B的线速度大小，A错误；A、B两点共轴转动，角速度相等，A的转动半径大于B点的转动半径，根据a＝ω2r知，A的线速度大于B的线速度大小，C错误B正确；A、B两点的向心加速度方向垂直指向轴，D错误。
3．(多选)(2021·河南高一月考)甲、乙两球做匀速圆周运动，向心加速度a随半径r的变化关系如图所示，由图像可知(　AC　)
A．甲球运动时，角速度大小恒为2 rad/s
B．甲球运动时，线速度大小恒为16 m/s
C．乙球运动时，角速度大小恒为2 rad/s
D．乙球运动时，线速度大小恒为16 m/s
解析：甲图线反映角速度不变，由a＝ω2r可知，甲球运动时，角速度大小恒为ω＝＝ rad/s＝2 rad/s，线速度大小v＝ωr＝2×2 m/s＝4 m/s，故A正确，B错误；乙图线反映线速度不变，由a＝可知，乙球运动时，线速度大小v＝＝ m/s＝4 m/s，角速度大小恒为ω＝＝rad/s＝2 rad/s，故C正确，D错误。
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