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高中物理必修二素养提升学案
第六章　圆周运动
专题强化二 竖直面内圆周运动的临界问题
【专题解读】
两种模型对比
物理情景 轻绳模型 轻杆模型
实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示 最高点无支撑 INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\2024\\2025版 创新设计 高考总复习 物理（配粤教版）新教材（粤）\\教师word文档\\W497.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\2024\\2025版 创新设计 高考总复习 物理（配粤教版）新教材（粤）\\新建文件夹\\W497.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\2024\\2025版 创新设计 高考总复习 物理（配粤教版）新教材（粤）\\教师word文档\\W497.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Lenovo\\Desktop\\教师word文档\\第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行\\W497.TIF" \* MERGEFORMATINET 最高点有支撑 INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\2024\\2025版 创新设计 高考总复习 物理（配粤教版）新教材（粤）\\教师word文档\\W498.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\2024\\2025版 创新设计 高考总复习 物理（配粤教版）新教材（粤）\\新建文件夹\\W498.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\2024\\2025版 创新设计 高考总复习 物理（配粤教版）新教材（粤）\\教师word文档\\W498.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Lenovo\\Desktop\\教师word文档\\第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行\\W498.TIF" \* MERGEFORMATINET
受力特征 在最高点除重力外，物体受到的弹力方向向下或等于零 在最高点除重力外，物体受到的弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图 INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\2024\\2025版 创新设计 高考总复习 物理（配粤教版）新教材（粤）\\教师word文档\\W499.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\2024\\2025版 创新设计 高考总复习 物理（配粤教版）新教材（粤）\\新建文件夹\\W499.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\2024\\2025版 创新设计 高考总复习 物理（配粤教版）新教材（粤）\\教师word文档\\W499.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Lenovo\\Desktop\\教师word文档\\第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行\\W499.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\2024\\2025版 创新设计 高考总复习 物理（配粤教版）新教材（粤）\\教师word文档\\W500.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\2024\\2025版 创新设计 高考总复习 物理（配粤教版）新教材（粤）\\新建文件夹\\W500.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\2024\\2025版 创新设计 高考总复习 物理（配粤教版）新教材（粤）\\教师word文档\\W500.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Lenovo\\Desktop\\教师word文档\\第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行\\W500.TIF" \* MERGEFORMATINET
力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m
临界特征 FT＝0mg＝meq \f(v,r)即vmin＝ v＝0即F向＝0FN＝mg
过最高点的条件 在最高点的速度v≥ v≥0
【典例剖析】
【典例】如图所示是某游乐场中水上过山车的原理示意图.半径为R＝8m的圆轨道竖直固定在离水面高h＝3.2m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆轨道的最低点和最高点.过山车（实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点）高速行驶，先后会通过多个圆轨道，然后从A点离开圆轨道进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱.已知水面宽度为s＝12m，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2.（结果可保留根号）
（1）若过山车恰好能通过圆轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？
（2）为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？
（3）某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍，随后进入水平轨道AC并落入水中，求过山车落入水中时的速度大小.
答案　（1）4m/s　（2）15m/s　（3）4m/s
解析　（1）过山车恰好能过最高点时，只受重力作用，有mg＝m
则vB＝＝4m/s
（2）过山车离开C点后做平抛运动，有h＝gt2
解得运动时间为t＝＝0.8s
故最大速度为vmax＝＝15m/s
（3）在圆轨道最低点有FN－m'g＝m'
由牛顿第三定律得FN＝3m'g
解得vA＝＝4m/s
落入水中时竖直速度为vy＝gt＝8m/s
则落入水中时的速度为v＝＝4m/s.
【针对性训练】
1 . (2024年5月广东部分重点高中联考)如图所示，半径为R的球形大铁环竖直固定在铁板上，杂技演员骑摩托车在铁环内进行刺激而惊险的表演。摩托车以一定速度经过最低点时关闭引擎，在竖直平面内做圆周运动，铁板始终静止在地面上。假设铁环、铁板、杂技演员（包括摩托车）的质量均为m，杂技演员和摩托车整体可看作质点，重力加速度为g，则下列说法正确的是
A.杂技演员经过最高点时的速度不能小于
B.地面和铁板之间始终没有摩擦力
C.当杂技演员经过最高点时的速度为时，铁板对地面的压力为零
D.杂技演员经过最高点时，铁板对地面的压力不小于2mg
【参考答案】.AC
【名师解析】杂技演员恰能经过最高点时，大铁环对杂技演员和摩托车整体的弹力为零，由重力提供向心力，则有，解得，即为杂技演员能经过最高点的最小速度，故A项正确；当杂技演员运动到与圆心等高点时，由弹力提供向心力，则杂技演员对铁环有水平向左或向右的作用力，因铁板始终静止在地面，故地面对铁板有水平向右或水平向左的静摩擦力，故B项错误；当杂技演员能经过最高点时，若铁板受到地面的支持力刚好为零，则杂技演员对圆环的最大压力等于铁环、铁板的重力之和，即，对杂技演员，有，解得，故C项正确；当杂技演员经过最高点时，支持力最小为零，仅由重力提供向心力，由以上分析和牛顿第三定律，可知杂技演员经过最高点时，铁板对地面的压力小于或等于，故D项错误。
2. 如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球（可看成质点），让小球在竖直平面内做圆周运动.改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F－v2图像如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点的坐标为（0，－b）.不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　B　）
A.该小球的质量为bg
B.小球运动的轨迹半径为
C.图线与横轴的交点处小球所受的合力为零
D.当v2＝a时，小球的向心加速度为g
【参考答案】B
解析　小球在最高点时受到轻绳的拉力为F，则有F＋mg＝m，解得F＝m－mg，结合图乙可知mg＝b，即m＝，斜率为＝，解得R＝，故A错误，B正确；图线与横轴的交点表示小球所受的拉力为零，即合力等于重力时的情况，故C错误；根据向心加速度公式可知an＝＝2g，故D错误.
3 如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球（可看成质点），让小球在竖直平面内做圆周运动.改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F－v2图像如图乙所示，已知杆长为R，不计空气阻力，则（　D　）
A.当地的重力加速度大小为
B.小球的质量为
C.当v2＝c时，杆对小球的弹力方向向上
D.当v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
【参考答案】D
解析　由图乙可知，当v2＝b时，杆对小球的弹力为0，有 mg＝m，则重力加速度g＝＝，故A错误；当小球速度v＜时，弹力为支持力，方向向上，由牛顿第二定律得 mg－F＝m，因此有F＝mg－m，此时图线的斜率为 －＝－，则m＝，故B错误；当v2＝c＞b时，杆对小球的弹力为拉力，方向向下，故C错误；当v2＝2b时，弹力方向向下，因此有mg＋F＝m，与v2＝b时相比较，得杆对小球弹力的大小为mg，故D正确.
4.如图所示，竖直面内有一个半径为R的光滑圆管道，现给小球一个初速度，使小球在管道内做圆周运动，管道很细，则关于小球在最高点时的速度v，下列叙述正确的是（　CD　）
A.v的最小值为
B.当v由零逐渐增大时，在最高点管道对小球的弹力也逐渐增大
C.当v由逐渐增大时，在最高点管道对小球的弹力也逐渐增大
D.当v由逐渐减小时，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大
【参考答案】CD
解析　小球在最高点时，管道对小球的作用力可以向上，也可以向下，所以v的最小值为零，故A错误.在最高点，当v＝时，根据牛顿第二定律得mg－FN＝，可得管道对小球的作用力FN＝0；当v＜时，管道对小球的作用力方向向上，根据牛顿第二定律得mg－FN＝m，当v由逐渐减小时，管道对小球的弹力逐渐增大；当v＞时，管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律得mg＋FN＝m，当v由逐渐增大时，管道对小球的弹力也逐渐增大，故B错误，C、D正确.
5．（11分）（2024年7月四川宜宾期末）如图所示，质量分别为m和的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为，杆上距球P为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，杆和球可在竖直面内转动，当球P运动到最低点时速度大小为（忽略空气阻力，重力加速度为g），求此时：
（1）杆对球P的作用力的大小；
（2）固定轴O受到杆作用力的大小和方向。
解析．（11分）
（1）当P球运动至最低点时，由牛顿第二定律可得： （2分）
解得： （1分）
（2）P、Q同轴转动，相同可得： （2分）
设此时杆对O的作用力为F。以竖直向下为正方向，对Q由牛顿第二定律可得：
（2分）
解得： （1分）
所以轻杆对球Q的作用力大小为，方向竖直向上 （1分）
固定轴O受到杆的作用力大小为：，方向竖直向上。 （2分）
6. (2024山西吕梁和孝义期末)一长为2L的轻杆的一端固定在水平光滑转轴O上，杆的中点与另一端各固定质量为m的小球A、B，系统可在竖直面内绕转轴O做圆周运动，运动到最高点时速度恰好为零，已知重力加速度为g，则（ ）
A. 小球A经过最低点时的动能为
B. 该系统经过最低点时A、B两球的动能之比为
C. 小球B经过最低点时杆对B的弹力太小为
D. 小球A经过最低点时OA杆对A的弹力大小为
【答案】AC
【解析】
对AB组成的整体，在转动过程中，角速度相同，根据
可知
只有重力对系统做功，从最高点到最低点系统机械能守恒，由机械能守恒定律有
其中
，
联立解得
，
即
故A正确，B错误；
C．小球B经过最低点时，杆的弹力F和小球B重力的合力提供向心力，即
解得
故C正确；
D．小球A经过最低点时，OA杆对A的弹力、A的重力和AB杆对A的弹力的合力提供向心力，其中AB杆对A的弹力与AB杆对B的弹力F大小相等，可得
解得
故D错误。
7. （2024山东济南期末）如图所示，轻杆OA、轻杆AB与小球、小环通过铰链连接，O端用铰链固定在竖直转轴上，小环套在转轴上。开始时小环静止在转轴底部，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。已知小球和小环的质量均为m，轻杆长度均为L，转轴上O端与水平面之间的距离为，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A. 开始时小环对水平面的压力大小为
B. 开始时小环对水平面的压力大小为
C. 小环上升到与O端之间的距离为L时，小球的动能为
D. 小环上升到与O端之间的距离为L时，小球的动能为
【答案】AD
【解析】
小球的受力分析如图所示，则
小环的受力分析如图
根据牛顿第三定律，与为一对相互作用力，等大反向，则小环所受支持力为，即小环对地面的压力为，故A正确，B错误；
CD．对小环进行受力分析，如图
解得
对小球进行受力分析，如图，与为相互作用力，竖直方向受力平衡
水平方向
合外力提供向心力
小球做圆周运动的半径为
小球的动能为
联立解得
故C错误，D正确。
8. （2024北京东城期末）如图所示，一长为的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为的小球。使轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A. 小球运动到最高点时，杆对球的作用力一定向上
B. 小球运动到水平位置A时，杆对球的作用力指向O点
C. 若，小球通过最高点时，杆对球的作用力为零
D. 小球通过最低点时，杆对球的作用力可能向下
【答案】C
【解析】
根据题意可知，小球做匀速圆周运动，小球运动到最高点时，若杆对球的作用力为零，则有
解得
可知，若小球运动的角速度
杆对球的作用力向下，若小球运动的角速度
杆对球的作用力向上，故A错误，C正确；
B．根据题意可知，小球做匀速圆周运动，则小球运动到水平位置A时，合力指向圆心，对小球受力分析可知，小球受重力和杆作用力，由平行四边形法则可知，杆对球的作用力不可能指向O点，故B错误；
D．根据题意可知，小球做匀速圆周运动，小球通过最低点时，合力竖直向上，则杆对球的作用力一定向上，故D错误。
9. （2024海南海口市质检）如图所示，一圆轨道固定在竖直平面内，轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点，C为轨道上与圆心O等高的点。 质量为m的小球沿轨道外侧做完整的圆周运动，球除了受重力和圆轨道可能对其有弹力外，还始终受大小恒为F、方向始终指向圆心O 的外力作用，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。 则（　　）
A. 球在A 点的最小速度为
B. 球从A运动到B过程中，受到的弹力逐渐增大
C. 球运动到C 点时受到轨道的弹力大小为F
D. F的最小值为5mg
【答案】D
【解析】
．小球沿轨道外侧运动，则过最高点A点时，最小速度可为零，此时支持力等于重力与引力之和，故A错误；
B．球从A运动到B过程中，速度逐渐增大，所需向心力逐渐增大，弹力沿圆心与球的连线向外，则可知弹力逐渐减小，故B错误；
C．当球过A点速度为零时，由A到C有
解得，故C错误；
D．当球过A点速度为零时，做完整圆周运动F最小，则由A到B有
解得
Fmin=5mg
故D正确。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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