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18.2.2 菱 形
第1课时 菱形的性质
第十八章 平行四边形
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决计算或证明问题.（难点）
下面的图形中有你熟悉的吗？
导入新知
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.
有一个角是直角
探究新知
知识点 1
菱形的定义
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？``x``xk
探究新知
菱形
邻边相等
定义：有一组邻边相等的平行四边形.
有一组 的
邻边相等
平行四边形叫做
A
D
C
B
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
菱形.
探究新知
菱形的定义：
几何语言：
可以这样做：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
做一做
探究新知
知识点 2
菱形边的性质
画出菱形的两条折痕,并通过折叠手中的图形思考以下问题：
探究新知
问题：1.菱形是轴对称图形吗 如果是,指出它的对
称轴.
2.菱形的四条边在数量上有什么关系
3.菱形的两对角线有什么关系
猜想：1.菱形的四条边都相等.
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每
一条对角线平分一组对角.
猜一猜
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
证一证
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
探究新知
菱形的性质：
1.菱形的四条边都相等.
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对
角线平分一组对角.
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD;
A
B
C
O
D
AC平分∠BAD和∠BCD ；
BD平分∠ABC和∠ADC.
AC⊥BD ;
猜想证明　形成性质　　
　我们得到了菱形的性质．如果把矩形和菱形的性质进行比较，发现它们很相似．你能写出矩形、菱形的定义及它们的特殊性质并进行比较吗？
矩形和菱形特殊性质比较
平行四边形
矩形
菱形
一个角是直角
一组邻角相等
一组邻边相等
四个角是直
角（相等）
对角线
相等
四条边
相等
对角线互
相垂直
轴对称性
对边相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
四边相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
平行四边形的性质
矩形的性质
菱形的性质
对边相等
对角相等
对角线互相平分
比一比，猜一猜，填写下表：
探究新知
　 菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积呢
菱形
A
B
C
D
O
E
【思考】计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能计算菱形的面积吗
探究新知
知识点 3
菱形的面积
S菱形=BC× AE.
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
探究新知
例 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.
A　
B　
C　
D　
O　
解：∵花坛ABCD是菱形，
应用新知
例 1
利用菱形的面积公式解答问题
在Rt△OAB中，
∴ .
∴ .
1.已知菱形的周长是36cm，那么它的边长是______.
巩固练习
9cm
2.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC , BD的长.
O
C
B
D
A
5
4
3
3.菱形ABCD的两条对角线BD，AC长分别是6cm和8cm，求菱形周长和面积.
菱形的性质及有关计算
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍;
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
课堂小结
1.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　）
A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm
B
课堂检测
基础巩固题
2.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是 (　　)
A.10 B.12 C.15 D.20
A
B
C
D
3.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC , BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.
O
A
B
C
D
E
4.如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．
O
A
B
C
D

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