资源简介

第4部分第2节《同角三角函数基本关系式及诱导公式》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．若sin α＋cos α＝，则sin αcos α等于(　　)
A．－ B．－ C. D．2
2．若cos α＝，α∈()，则tan α等于(　　)
A．－ B. C．－2 D．2
3．化简的结果为 ．
【知识归纳】
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： .
(2)商数关系： .
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α
余弦 cos α
正切 tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
常用结论：
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
【题型展示】
题型一　同角三角函数基本关系
例1　(1)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　)
A．θ∈() B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
(2)已知tan α＝2，则＝ ；sin2α＋cos2α＝ .
(3)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ .
跟踪训练1　(1)若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝，则sin α－cos α的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
(2)已知＝5，则cos2α＋sin 2α等于(　　)
A. B．－ C．－3 D．3
题型二　诱导公式
例2　(1)已知sin()＝，且0(2)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　)
A．sin(3π－x)＝－sin x
B．sin ＝－cos
C．cos()＝sin 3x
D．cos()＝－sin 2x
跟踪训练2　(1)已知cos()＝，则sin()的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
(2)若＝，则tan α等于(　　)
A. B．－ C．－ D.
题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3　(1)已知－π(2)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos()＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)
A. B. C. D.
跟踪训练3　(1)已知sin()＝，其中α∈()，则cos()＝ ，sin()＝ .
(2)已知sin()＋cos(π－α)＝sin α，则2sin2α－sin αcos α等于(　　)
A. B. C. D．2
基础夯实
1.sin 1 050°等于(　　)
A. B.－ C. D.－
2.已知sin()＝，则cos()的值是(　　)
A.－ B. C. D.－
3．已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线2x＋y＋3＝0平行，则的值为(　　)
A．－2 B．－ C．2 D．3
4．若sin(π＋α)－cos(π－α)＝，则sin()cos()等于(　　)
A. B．－ C. D．－
5．sin 1 620°等于(　　)
A．0 B.
C．1 D．－1
6．已知角α∈()，且tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，则sin(α＋2 023π)等于(　　)
A. B. C．－ D．－
7.已知sin α＋cos α＝－，则tan α＋等于(　　)
A.2 B. C.－2 D.－
8.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)
A. B. C. D.1
9．已知α∈()，cos()＝，则tan α等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
10.若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin()的值等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
11．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin ＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C(C)
D．cos(A＋B)＝cos C
12.(多选)若cos(π－α)＝－，则(　　)
A.sin(－α)＝ B.sin()＝－
C.cos(π＋α)＝－ D.cos(α－π)＝－
13.(多选)已知sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ∈()，则θ可能等于(　　)
A.－ B.－ C. D.
14.(多选)在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A.sin(A＋B)＝sin C
B.sin ＝cos
C.tan(A＋B)＝－tan C(C)
D.cos(A＋B)＝cos C
15.若＝，则tan θ＝________.
16.若tan α＝－2，则cos2α＋2sin 2α＝________.
17.已知－＜α＜0，sin α＋cos α＝， 则的值为________.
18.已知θ是第四象限角，且sin()＝，则tan()＝________.
19．已知sin θ＝，则＝ .
20．已知cos()＝，则cos()－sin()的值为 ．
21．(1)若α是第二象限角，且cos()＝－，求tan α的值；
(2)已知f(α)＝，化简f(α)，在(1)的条件下，求f(α)的值．
22．已知角θ 的终边与单位圆x2＋y2＝1在第四象限交于点P，且点P的坐标为.
(1)求tan θ的值；
(2)求的值．
优化提升
23.若sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则的值为(　　)
A.－3 B.－ C. D.3
24．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则sin等于(　　)
A. B．－ C. D．－
25.(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)
A.sin β＝ B.cos(π＋β)＝
C.tan β＝ D.tan β＝
26．(多选)已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式＋(k∈Z)的取值为(　　)
A．－2 B．－1 C．2 D．1
27．(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则称θ与φ广义互余．若sin(π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α广义互余的有(　　)
A．sin β＝ B．cos(π＋β)＝
C．tan β＝ D．tan β＝
28.已知α为第二象限角，则cos α＋sin α＝________.
29.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值是________.
30．sin ·cos ·tan()的值是 ．
31．已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝ .
32．在角θ1，θ2，θ3，…，θ29的终边上分别有一点P1，P2，P3，…，P29，如果点Pk的坐标为(sin(15°－k°)，sin(75°＋k°))，1≤k≤29，k∈N，则cos θ1＋cos θ2＋cos θ3＋…＋cos θ29＝________.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．B　2.C　3.sin α
【知识归纳】
1．(1)sin2α＋cos2α＝1
(2)＝tan α
2．－sin α　－sin α　sin α　cos α
cos α　－cos α　cos α　－cos α
sin α　－sin α　tan α　－tan α
【题型展示】
例1 (1)AD
(2)　
(3)0
跟踪训练1 (1)C　(2)A
例2 (1)
(2)D
跟踪训练2 (1)C　(2)D
例3 (1)－
(2)C
跟踪训练3 (1)－　－
(2)D
基础夯实
1.B
2.A
3.D　
4.A　
5．A　
6.A
7.A
8.B
9.A　
10.A
11.ABC　
12.CD
13.AD
14.ABC
15.－3
16.－
17.
18.－
19.
20．0
21．解　(1)∵cos＝－sin α
＝－，
∴sin α＝，又α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－，
则tan α＝＝－.
(2)f(α)＝
＝＝cos α，
由(1)知，cos α＝－，
则f(α)＝cos α＝－.
22．解　(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P，得2＋y2＝1，y<0，
解得y＝－，
所以tan θ＝＝－.
(2)因为tan θ＝－，
所以＝＝＝＝2－.
优化提升
23.A
24．D
25.AC
26．AC
27．AC
28.0
29.－
30．－
31．18
32．0第4部分第3节《两角和与差的三角函数公式》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
2．已知α∈()，且sin α＝，则tan()的值为 ．
3．若将sin x－cos x写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝ .
【知识归纳】
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝ ；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ ；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝ ，其中sin φ＝，cos φ＝.
知识拓展：
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
【题型展示】
题型一　两角和与差的三角函数公式
例1　(1)已知tan α＝1＋m，tan β＝m，且α＋β＝，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．1 C．0或－3 D．0或1
(2)计算：等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
跟踪训练1　(1)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos()sin β，则(　　)
A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1
(2)已知0<α<，sin()＝，则的值为(　　)
A. B. C. D.
题型二　两角和与差的公式逆用与辅助角公式
例2　(1)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝ ，cos 2β＝ .
(2)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　)
A. B. C. D.
跟踪训练2　(1)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________．
(2)已知sin()＝，则sin x＋sin()等于(　　)
A．1 B．－1 C. D.
题型三　角的变换问题
例3　(1)已知α，β为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－.则sin(2α＋β)的值为 ．
(2)已知sin θ＋sin()＝1，则sin()等于(　　)
A. B. C. D.
跟踪训练3　(1)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .
(2)已知α，β∈()，sin(α＋β)＝－，sin()＝，则cos()＝________.
基础夯实
1．cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°等于(　　)
A．cos 12° B．－cos 12° C．－ D.
2．已知sin α＋cos α＝，则sin()等于(　　)
A．± B. C．－ D．－
3.若α∈()，tan 2α＝，则tan α＝(　　)
A. B. C. D.
4.若sin()＝，则sin()＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
5.若α∈()，且3cos 2α＝sin()，则sin 2α的值为(　　)
A.－ B. C.－ D.
6．已知α∈()，若tan()＝－2，则cos()等于(　　)
A. B. C．－ D．－
7.sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　)
A.1 B. C. D.－
8．若2cos 80°＝cos 20°＋λsin 20°，则λ等于(　　)
A．－ B．－1 C．1 D.
9．已知2cos()＝sin α，则sin αcos α等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
10．已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为(　　)
A. B. C. D.
11.若tan θ＝－2，则＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
12.(多选)下列各式中，值为的是(　　)
A. 　　 B.tan 15°cos215°
C.cos2－sin2 　　 D.
13．cos 15°sin 10°cos 20°＋cos 10°cos 70°－2cos 45°sin 15°sin 10°sin 70°的值为______．
14．已知α，β∈()，且tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α＋β＝ .
15.sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.
16.已知sin()＝，α∈()，则cos()的值为________.
17.tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.
18.已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan β的值.
19.已知cos()＝－，sin()＝，且＜α＜π，0＜β＜，求cos(α＋β).
20．已知α，β∈()，且
(1)求α＋β的值；
(2)证明：0<α－β<，并求sin(α－β)的值．
21．在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sin()＝cos(－α)；③3sin()＝cos()中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．
已知0<β<α<， ，cos(α＋β)＝－.
(1)求sin()；
(2)求β.
优化提升
22．已知3sin x－4cos x＝5sin(x＋φ)，则φ所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
23．设sin()＝2cos αsin ，则的值为(　　)
A. B. C．2 D．4
24．(多选)已知α，β，γ∈()，sin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，则下列说法正确的是(　　)
A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝
C．β－α＝ D．β－α＝－
25．(多选)下列结论正确的是(　　)
A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ)
B．3sin x＋3cos x＝3sin()
C．f(x)＝sin ＋cos 的最大值为
D．sin 50°(1＋tan 10°)＝1
26.(多选)下列四个选项中，化简正确的是(　　)
A.cos(－15°)＝
B.cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝0
C.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝
D.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
27.已知sin 10°＋mcos 10°＝2cos 140°，则m＝________.
28．若＝－3，则＝________.
29．在平面直角坐标系Oxy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角θ，再将旋转后的线段OP的长度变为原来的ρ(ρ>0)倍得到OP1，我们把这个过程称为对点P进行一次T(θ，ρ)变换得到点P1，例如对点(1,0)进行一次T()变换得到点(0,3)．若对点A(1,0)进行一次T()变换得到点A1，则A1的坐标为 ；若对点B()进行一次T(θ，ρ)变换得到点B1(－3，－4)，对点B1再进行一次T(θ，ρ)变换得到点B2，则B2的坐标为 ．
30.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)求2α－β的值.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．D　2.－ 3.　
【知识归纳】
1．(1)cos αcos β＋sin αsin β
(2)cos αcos β－sin αsin β
(3)sin αcos β－cos αsin β
(4)sin αcos β＋cos αsin β
(5)　(6)
2.sin(α＋φ)
【题型展示】
例1 (1)C　(2)B
跟踪训练1 (1)C　(2)C
例2 (1)　
(2)B
跟踪训练2 (1)(答案不唯一)
(2)A
例3 (1)－
(2)B
跟踪训练3 (1)－1　
(2)－
基础夯实
1．D　
2.C　
3.A
4.D
5.C
6．C
7.B
8.A　
9.D　
10.B
11.C
12.ACD
13.　
14.－
15.sin(α＋γ)
16.－
17.－1
18.解　(1)因为α为锐角，所以cos α≠0，
因为tan α＝，所以cos 2α＝cos2α－sin2α
＝＝＝＝.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，
因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝
＝＝，
所以tan(α＋β)＝－3，
所以tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝＝＝3.
19.解　由已知，得＜α－＜π，0＜－β＜，
∴sin＝，cos＝，
∴cos ＝cos
＝coscos
＋sinsin
＝×＋×＝.
则cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.
20．解　(1)因为α，β∈，
所以cos α>0，cos β>0，
由
解得cos α＝，cos β＝，
所以sin α＝＝，
sin β＝＝，
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
(2)因为α＋β＝，
sin ＝
>sin α＝>sin β＝，
且函数y＝sin x在上单调递增，
所以0<β<α<，所以0<α－β<，
所以sin (α－β)
＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×
＝.
21．解　(1)若选①，
tan(π＋α)＝tan α＝＝3，
又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，
所以sin α＝，cos α＝，
所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.
若选②，因为
sin(π－α)－2sin
＝cos(－α)，
化简得sin α＝3cos α，
又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sin α＝，cos α＝，
所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.
若选③，因为3sin＝cos，化简得3cos α＝sin α，
又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sin α＝，cos α＝，
所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×
＝.
(2)因为0<β<α<，且cos(α＋β)＝－，所以<α＋β<π，
所以sin(α＋β)＝
＝，
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝，
又因为0<β<，所以β＝.
优化提升
22．D
23．B
24．BD
25．CD
26.BCD
27.－
28．2
29．(－1，)　
30.解　(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，
因为S△OAM＝|OA|·|OM|sin α＝，
所以sin α＝，又α为锐角，
所以cos α＝.
因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是，
所以sin β＝，cos β＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
(2)因为sin α＝，cos α＝，cos(α－β)＝－，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，
所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－，
因为α为锐角，sin α＝＞，
所以α∈，所以2α∈，
又β∈，所以2α－β∈，
所以2α－β＝－.第4部分第4节《简单的三角恒等变换》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．若α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
2．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
3．cos2－cos2等于(　　)
A. B. C. D.
【知识归纳】
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝ .
(2)公式C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ .
(3)公式T2α：tan 2α＝ .
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝ ，1＋cos α＝ .(升幂公式)
(2)1±sin α＝ .(升幂公式)
(3)sin2α＝ ，cos2α＝ ，tan2α＝ .(降幂公式)
【题型展示】
题型一　三角函数式的化简
例1　(1)已知sin α＋cos α＝，则sin2()＝________.
(2)若α∈()，tan 2α＝，则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
跟踪训练1　(1)化简：＝________.
(2)若f(α)＝2tan α－，则f()的值是________．
题型二　三角函数式的求值
命题点1　给角求值
例2　计算：(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°；
(2)－；
(3).
命题点2　给值求值
例3　已知sin()＋cos α＝，则sin()等于(　　)
A. B. C．－ D．－
命题点3　给值求角
例4　已知 sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝ .
跟踪训练2　(1)已知sin()＝tan 210°，则sin(60°＋α)的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
(2)已知α∈(0，π)，sin 2α＋cos 2α＝cos α－1，则sin 2α等于(　　)
A. B．－
C．－ 或0 D.
题型三　三角恒等变换的综合应用
例5　已知f(x)＝sin()＋2sin()·cos().
(1)求f()的值；
(2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值．
跟踪训练3　已知3sin α＝2sin2－1.
(1)求sin 2α＋cos 2α的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈()，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值．
基础夯实
1．已知x∈()，cos(π－x)＝－，则tan 2x等于(　　)
A. B．－ C. D．－
2.已知α，β为锐角，tan α＝，则cos 2α等于(　　)
A. B.－ C. D.－
3.计算：等于(　　)
A. B. C. D.－
4.已知0<α<，－<β<0，cos(α－β)＝－，sin α＝，则sin β＝(　　)
A. B.－ C. D.－
5.设α＝，若β∈()，且tan α＝，则β＝(　　)
A. B. C. D.
6.黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金△ABC中，＝，根据这些信息，可得sin 54°等于(　　)
A. B. C. D.
7.已知角α的终边与单位圆的交点为P()，且sin α·cos α>0，则＋的值等于(　　)
A. B. C. D.3
8．已知sin()＝，则sin 2θ的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
9．已知sin()＝，则cos()等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
10．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若4m2＋n＝16，则的值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
11.(多选)函数f(x)＝sin xcos x的单调递减区间可以是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
12．(多选)下列计算结果正确的是(　　)
A．cos(－15°)＝
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－
D．2sin 18°cos 36°＝
13．＝ .
14．已知tan 2θ＝－2，<θ<，则＝________.
15.已知sin()＝，则cos()＝________.
16.已知α∈()，若sin()＝，则tan α的值为________.
17.化简：(180°＜α＜360°)＝________.
18.已知0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos(β＋α)＝.
(1)求sin β的值；
(2)求的值.
19.已知0<α<<β<π，cos()＝，sin＝.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cos()的值.
20．化简并求值．
(1)；
(2)()·.
21．(1)已知tan(α＋β)＝，tan()＝，求tan()；
(2)已知cos 2θ＝－，<θ<，求sin 4θ，cos 4θ.
(3)已知sin(α－2β)＝，cos(2α－β)＝－，且0<β<<α<，求α＋β的值．
优化提升
22.设θ∈R，则“0＜θ＜”是“sin θ＋cos 2θ＞1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
23.若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈()，β∈()，则α＋β的值是(　　)
A. B.
C.或 D.或
24．已知α∈()，β∈()，tan α＝，则(　　)
A．α＋β＝ B．α－β＝
C．α＋β＝ D．α＋2β＝
25. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则的值为(　　)
A．－ B．－8 C．8 D.
26．f(x)满足： x1，x2∈(0,1)且x1≠x2，都有<0.a＝sin 7°sin 83°，b＝，c＝cos2－，则，，的大小顺序为(　　)
A.<< B.<<
C.<< D.<<
27．(多选)若sin ＝，α∈(0，π)，则(　　)
A．cos α＝
B．sin α＝
C．sin()＝
D．sin()＝
28．已知α，β均为锐角，sin()＝－，sin()＝，则sin(α＋β)＝ ，cos(2α－β)＝ .
29.已知由sin 2x＝2sin xcos x，cos 2x＝2cos2x－1，cos 3x＝cos(2x＋x)可推得三倍角余弦公式cos 3x＝4cos3x－3cos x，已知cos 54°＝sin 36°，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin 18°＝________；如图，已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形GHIJK和五个全等的等腰三角形组成的，则·＝________.
30.已知函数f(x)＝sin()＋2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[]时，求f(x)的值域.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．A　2.D　3.D
【知识归纳】
1．(1)2sin αcos α　(2)cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α　(3)
2．(1)2sin2　2cos2
(2)2
(3)　　
【题型展示】
例1 (1)
(2)A
跟踪训练1 (1)
(2)6－
例2 解　(1)原式＝cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝2.
(3)原式＝
＝
＝
＝
＝＝－2.
例3 D
例4
跟踪训练2 (1)A　(2)C
例5 解　(1)由题意得
f(x)＝sin＋2sin·cos
＝sin－2sin·cos
＝sin－2sin·cos
＝sin－sin
＝sin 2xcos －cos 2xsin ＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
故f ＝sin＝0.
(2)∵α∈，
∴2α＋∈，
又∵f(α)＝，
∴f(α)＝sin＝，
又∵sin＝<，
∴2α＋∈，
∴cos＝－
＝－，
∴sin 2α＝sin
＝sincos －cossin
＝×＋×＝.
跟踪训练3 解　(1)因为3sin α＝2sin2－1，
所以3sin α＝－cos α，
所以tan α＝－，
又因为sin 2α＋cos 2α
＝
＝，
所以sin 2α＋cos 2α
＝＝.
(2)因为β∈，所以tan β<0，
因为2tan2β－tan β－1
＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0，
所以tan β＝－，
又因为α∈(0，π)，tan α＝－，
所以<α<π.
所以tan(α＋β)＝
＝＝－1，
由得π<α＋β<2π，
所以α＋β＝.
基础夯实
1．D　
2.B
3.A
4.D
5.A
6.B　
7.A
8.B　
9.A　
10.C　
11.AB
12.BD　
13.　
14.－3＋2
15.－
16.
17.cos α
18.解　(1)由0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，
cos(β＋α)＝，得sin α＝，sin(β＋α)＝.
所以sin β＝sin[(β＋α)－α]
＝sin(β＋α)cos α－cos(β＋α)sin α
＝×－×＝.
(2)因为cos α＝，sin α＝，
所以＝
＝＝12.
19.解　(1)法一　因为cos
＝coscos β＋sinsin β＝cos β＋sin β＝，
所以cos β＋sin β＝，
所以1＋sin 2β＝，所以sin 2β＝－.
法二　sin 2β＝cos
＝2cos2－1＝－.
(2)因为0<α<<β<π，
所以<β－<π，<α＋β<.
所以sin>0，cos(α＋β)<0，
所以sin＝，cos(α＋β)＝－.
所以cos＝cos
＝cos(α＋β)cos
＋sin(α＋β)sin
＝－×＋×＝.
20．解　(1)原式＝
＝
＝
＝＝
＝＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝＝32.
21．解　(1)因为tan(α＋β)＝，
tan＝，
所以tan
＝tan
＝
＝＝.
(2)由<θ<，得<2θ<π，
∴sin 2θ＝＝，
sin 4θ＝2sin 2θcos 2θ
＝2××＝－，
cos 4θ＝2cos22θ－1
＝2×2－1＝－1＝.
(3)由0<β<<α<，
得0<2β<，－<－2β<0，
则－<α－2β<.
因为sin(α－2β)＝>0，
所以cos(α－2β)＝
＝＝.
由0<β<<α<，
得<2α<π，－<－β<0，
则<2α－β<π，
因为cos(2α－β)＝－，
所以sin(2α－β)＝.
因为<α＋β<，
又cos(α＋β)
＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝，
所以α＋β＝.
优化提升
22.A
23.A
24．B
25．A
26．C
27．AC
28.　
29.　5＋
30.解　(1)f(x)＝sin 2xcos －cos 2xsin ＋1－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin＋1，
∴T＝＝π，即f(x)的最小正周期为π.
(2)∵x∈，∴2x－∈，
∴－≤sin≤1，
∴－≤sin＋1≤＋1，
∴f(x)的值域为.第4部分第5节《三角函数的图像与性质》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
2．函数y＝－tan()的单调递减区间为________．
3．函数y＝3－2cos()的最大值为________，此时x＝________.
【知识归纳】
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，()， ， ，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，()， ， ，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域
周期性
奇偶性 奇函数
单调递增区间
单调递减区间
对称中心
对称轴方程
常用结论：
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
【题型展示】
题型一　三角函数的定义域和值域
例1　(1)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
(2)函数f(x)＝sin()－3cos x的最小值为________．
(3)函数y＝的定义域为(　　)
A.[] B.[](k∈Z)
C.[](k∈Z) D．R
跟踪训练1　(1)函数y＝lg sin x＋的定义域为________________．
(2)函数f(x)＝cos x－cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　)
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为
题型二(1)函数f(x)＝3sin()＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．
　三角函数的周期性与对称性
例2　(2)已知函数f(x)＝3sin()，则下列说法正确的是(　　)
A．图象关于点()对称
B．图象关于点()对称
C．图象关于直线x＝对称
D．图象关于直线x＝对称
跟踪训练2　(1)(多选)已知函数f(x)＝sin()，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的最大值为
B．f(x)的最小正周期为π
C．f()为奇函数
D．f(x)的图象关于直线x＝对称
(2)记函数f(x)＝sin()＋b(ω>0)的最小正周期为T.若A．1 B. C. D．3
题型三　三角函数的单调性
命题点1　求三角函数的单调区间
例3　函数f(x)＝sin()的单调递减区间为________．
命题点2　根据单调性求参数
例4　(1)若函数f(x)＝cos()在区间[－a，a]上单调递增，则实数a的最大值为(　　)
A. B. C. D. π
(2)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，且在()上单调递增，则满足条件的ω的最大值为________．
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝sin()(ω>0)，则“函数f(x)在[]上单调递增”是“0<ω<2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　)
A．f(x)在()上单调递减
B．f(x)在()上单调递增
C．f(x)在()上单调递减
D．f(x)在()上单调递增
基础夯实
1.下列函数中，是周期函数的为(　　)
A.f(x)＝sin |x| B.f(x)＝tan |x|
C.f(x)＝|tan x| D.f(x)＝(x－1)0
2.下列函数中，是奇函数的是(　　)
A.y＝|cos x＋1| B.y＝1－sin x
C.y＝－3sin(2x＋π) D.y＝1－tan x
3．若函数y＝cos()(ω>0)两对称中心间的最小距离为，则ω等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如果函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于点()对称，则|φ|的最小值是(　　)
A. B. C. D.
5．函数f(x)＝－2tan()的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
6．已知f(x)＝sin2()－，则f(x)是(　　)
A．奇函数且最小正周期为π
B．偶函数且最小正周期为π
C．奇函数且最小正周期为2π
D．偶函数且最小正周期为2π
7.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点()对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
8.若f(x)＝sin()，则(　　)
A.f(1)＞f(2)＞f(3)
B.f(3)＞f(2)＞f(1)
C.f(2)＞f(1)＞f(3)
D.f(1)＞f(3)＞f(2)
9．(多选)已知函数f(x)＝sin x－cos x，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)的最大值为
B．f(x)在区间[]上单调递增
C．f(x)的图象关于点()对称
D．f(x)的最小正周期为π
10．(多选)对于函数f(x)＝|sin x|＋cos 2x，下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的值域为[]
B．f(x)在[]上单调递增
C．f(x)的图象不关于直线x＝对称
D．π是f(x)的一个周期
11.(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)的图象关于y轴对称
D.f(x)在区间[]上单调递增
12.(多选)已知函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间[]单调递增
C.f(x)在[－π，π]有4个零点
D.f(x)的最大值为2
13．请写出一个最小正周期为π，且在(0,1)上单调递增的函数f(x)＝________.
14．已知函数f(x)＝sin()(0≤φ≤π)在()上单调递减，则φ的取值范围是________．
15.函数y＝的定义域为________.
16.已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是________(填序号).
①f(x)的周期是；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是，k∈Z.
17.已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在[]上单调递增，那么常数ω的一个取值为________.
18.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)当f(x)为偶函数时，求φ的值；
(2)若f(x)的图象过()，求f(x)的单调递增区间.
19.已知函数f(x)＝sin(2π－x)sin()－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈[]时，求f(x)的最小值和最大值.
20．已知函数f(x)＝cos xsin x＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间[]上的最大值和最小值．
21．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f(x)的解析式唯一确定．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋f()，求g(x)在区间[]上的最大值．
条件①：f(x)的最小正周期为π；
条件②：f(x)为奇函数；
条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝.
优化提升
22.若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)在区间()上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为(　　)
A.(5，8) B.(5，8]
C.(5，11] D.[5，11)
23．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，在区间(0,1)上不可能(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．有最大值 D．有最小值
24．已知函数f(x)＝＋3sin πx，则函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为(　　)
A．2 B．4 C．2π D．4π
25．(多选)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点()中心对称，则(　　)
A．f(x)在区间()上单调递减
B．f(x)在区间()上有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴
D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线
26.(多选)已知函数f(x)＝2sin xcos x－(sin2x－cos2x)，判断下列给出的四个命题，其中正确的为(　　)
A.对任意的x∈R，都有f()＝－f(x)
B.将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到偶函数g(x)
C.函数y＝f(x)在区间()上是减函数
D.“函数y＝f(x)取得最大值”的一个充分条件是“x＝”
27．已知三角函数f(x)满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数f(x)在()上单调递减．写出一个同时具有上述性质①②③的函数f(x)＝________________.
28．已知sin x＋cos y＝，则sin x－sin2y的最大值为________．
29．已知函数f(x)＝sin x＋|cos x|，写出函数f(x)的一个单调递增区间________；当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，则a的取值范围是________．
30.已知函数f(x)＝2sin()＋a＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[]时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1，且x∈[－π，π]的x的取值集合.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．A
2.(k∈Z)
3．5　＋2kπ(k∈Z)
【知识归纳】
1．(1)(π，0)　
(2)(π，－1)　
2．{x|x≠kπ＋}　[－1,1]　[－1,1]
R　2π　2π　π　奇函数　偶函数
　[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]　(kπ，0)
　x＝kπ＋　x＝kπ
【题型展示】
例1 (1)
(2)－4
(3)C
跟踪训练1 (1)
(2)D
例2 (1)　，k∈Z
(2)C
跟踪训练2 (1)ABD
(2)A
例3 ，k∈Z
例4 (1)A
跟踪训练3 (1)A　(2)C
基础夯实
1.C
2.C
3.A　
4.B
5．D　
6.A　
7.A
8.A
9．AB
10．ACD
11.ACD
12.AD
13．tan x(答案不唯一)
14.≤φ≤π
15.(k∈Z)
16.④
17.(答案不唯一)
18.解　因为f(x)的最小正周期为π，
所以T＝＝π，即ω＝2.
所以f(x)＝sin(2x＋φ).
(1)当f(x)为偶函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)，
因为0＜φ＜，所以φ＝.
(2)当f(x)的图象过点时，
sin＝，
即sin＝.
又因为0＜φ＜，所以＜＋φ＜π.
所以＋φ＝，即φ＝.
所以f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
19.解　(1)由题意，
得f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2 x＋
＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π；
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
故所求图象的对称轴方程为
x＝＋(k∈Z).
(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，
由函数图象(图略)可知，
－≤sin≤1.
即0≤sin＋≤.
故f(x)的最小值为0，最大值为.
20．解　(1)f(x)＝cos xsin x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
∴函数f(x)的最小正周期为＝π，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)∵x∈，
∴2x－∈，
则sin∈[－1,1]，
∴f(x)∈，
∴函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
21．解　(1)选择条件①②：
由条件①及已知得T＝＝π，所以ω＝2.
由条件②f(0)＝0，即sin φ＝0，解得φ＝kπ(k∈Z)．
因为|φ|<，所以φ＝0，所以f(x)＝sin 2x.经检验φ＝0符合题意．
选择条件①③：
由条件①及已知得T＝＝π，
所以ω＝2.
由条件③得2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ(k∈Z)．
因为|φ|<，所以φ＝0.所以f(x)＝sin 2x.
(2)由题意得g(x)＝sin 2x＋sin，
化简得g(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以当2x＋＝，即x＝时，
g(x)取最大值.
优化提升
22.B
23．B
24．B
25．AD
26.ACD
27．2sin(答案不唯一)
28.
29.　
30.解　(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
(2)因为当x＝时，f(x)取得最大值，
即f＝2sin ＋a＋1＝a＋3＝4.
解得a＝1.
(3)由f(x)＝2sin＋2＝1，
可得sin＝－，
则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
可解得x＝－，－，，，
所以x的取值集合为.第4部分第6节《函数y＝Asin(ωx＋φ)》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin()图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．函数y＝2sin()的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，， B．2，，
C．2，， D．2，，－
3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin()，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.
【知识归纳】
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝_____ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
常用结论：
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
【题型展示】
题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1　(1)将函数f(x)＝sin()(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　)
A. B. C. D.
(2)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin()的图象，则f(x)等于(　　)
A．sin() B．sin()
C．sin() D．sin()
跟踪训练1
(1)将函数y＝tan()(ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为(　　)
A. B．2 C．3 D．6
　(2)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin()，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是(　　)
A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度
题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2　(1)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f()＝______.
(2)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋b的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
跟踪训练2　(1)已知函数g(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数g(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数f(x)的图象，则f()＝________.
(2)设函数f(x)＝cos()在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝cos() B．f(x)＝cos()
C．f(x)＝cos() D．f(x)＝cos()
题型三　三角函数图象、性质的综合应用
命题点1　图象与性质的综合应用
例3　已知函数f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx(ω>0)的零点构成一个公差为的等差数列，把f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．g(x)在[]上单调递减
B．点()是g(x)的一个对称中心
C．g(x)是奇函数
D．g(x)在区间[]上的值域为[0,2]
命题点2　函数零点(方程根)问题
例4　已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在()上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．
命题点3　三角函数模型
例5　(多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是(　　)
A．点P再次进入水中时用时30秒
B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D．点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒
跟踪训练3　(1)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，其开放与闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20 ℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28 ℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位： ℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sin()，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(　　)
A．1.4 h B．2.4 h C．3.2 h D．5.6 h
(2)已知函数f(x)＝sin πωx－cos πωx(ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
(3)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．g()为偶函数
B．g(x)的最小正周期是π
C．g(x)的图象关于直线x＝对称
D．g(x)在区间()上单调递减
基础夯实
1.将函数y＝sin()的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，所得到的图象的解析式是（　　）
A.y＝sin x B.y＝cos x
C.y＝sin 4x D.y＝cos 4x
2.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则φ的值为（　　）
A.－ B.
C.－ D.
3.人的心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p（t）＝101＋25sin（160πt），其中p（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则下列说法正确的是（　　）
A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C.收缩压高于标准值，舒张压低于标准值
D.收缩压低于标准值，舒张压高于标准值
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为(　　)
A．y＝－cos 2x B．y＝cos 2x
C．y＝sin() D．y＝sin()
5．已知函数f(x)＝cos()，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．g(x)的最小正周期是2π
B．g(x)的最小值为－2
C．g(x)在(0，π)上单调递增
D．g(x)的图象关于点()对称
6．已知函数f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得图象关于直线x＝对称，则实数a的最小值为(　　)
A．π B. C. D.
7．为了得到y＝sin()的图象，只需将y＝sin x图象上每一点的纵坐标不变(　　)
A．每一点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度
B．每一点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的4倍
D．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的
8．函数f(x)＝sin()的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ个单位长度得到的，若g()＝－f()，则φ的值为(　　)
A. B. C. D.
9.已知直线y＝－2与函数f（x）＝2sin()（其中ω＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f（x）的单调递增区间为（　　）
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
10.（多选）将函数y＝sin()·cos()的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值可能是（　　）
A.－ B.－ C. D.
11.（多选）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（x）＝（　　）
A.2sin() B.2sin()
C.2cos() D.2cos()
12．(多选)血压(BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t＝0 h)，他的血压p(t)(mmHg)与经过的时间t(h)满足关系式p(t)＝115＋20sin()，则下列选项中正确的是(　　)
A．当天早晨6～7点，陈华的血压逐渐上升
B．当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg
C．当天陈华没有高血压
D．当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg
13．已知函数f(x)＝2sin()，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在[0,2π]上的单调递减区间为________．
14．函数y＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则φ＝________.
15.将函数y＝3sin()的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　　　　.
16.已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin()，则为了得到曲线C1，首先要把C2上各点的横坐标变为原来的　　　　倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移　　　　个单位长度.（本题所填数字要求为正数）
17.已知函数f（x）＝cos()，其中x∈，若f（x）的值域是，则m的取值范围是　　　　.
18.已知函数f（x）＝－cos()＋1－2sin2x.
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f（x）在[0，π]上的图象；
（2）先将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）图象的对称中心.
19.已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）＋1，函数f（x）的图象上两相邻对称轴之间的距离为，　　　　.
（1）在①函数f（x）的图象的一条对称轴为直线x＝－，②函数f（x）的图象的一个对称中心为点，③函数f（x）的图象经过点这三个条件中任选一个补充至横线上，然后确定函数的解析式；
（2）若动直线x＝t，t∈[0，π]与函数f（x）和函数g（x）＝2sin xcos x的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值及此时t的值.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
20．求范围和图象：
(1)y＝sin x的函数图象先向左平移个单位长度，然后横坐标变为原来的，得到f(x)的图象，求f(x)在上的取值范围；
(2)如图所示， 请用“五点法”列表，并画出函数y＝2sin在一个周期内的图象．
2x＋
x
y
21．已知函数f(x)＝sin ωx＋2cos2＋m的最小值为－2.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝g(x)的图象，且函数y＝g(x)在上单调递增，求ω的最大值．
优化提升
22.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)的值分别为(　　)
A．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 023
B．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 023
C．f(x)＝sin x＋1，S＝2 024
D．f(x)＝sin x＋1，S＝2 024
23．已知函数f(x)＝2sin()sin()＋sin x，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ的值为(　　)
A. B．－ C. D.
24.设函数f（x）＝sin()（ω＞0）的部分图象如图所示，且满足f（2）＝0.则f（x）的最小正周期为（　　）
A. B.16
C. D.
25．信息传递多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号(如y＝Asin(ωx＋φ) ，某种“信号净化器”可产生形如y＝A0sin(ω0x＋φ0)的波，只需要调整参数(A0，ω0，φ0)，就可以产生特定的波(与干扰波波峰相同，方向相反的波)来“对抗”干扰．现有波形信号的部分图象，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波(标准正弦函数图象)，应将波形净化器的参数分别调整为(　　)
A．A0＝，ω0＝4，φ0＝
B．A0＝－，ω0＝4，φ0＝
C．A0＝1，ω0＝1，φ0＝0
D．A0＝－1，ω0＝1，φ0＝0
26．若函数f(x)＝cos 2x＋sin()在(0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
27.已知函数f（x）＝2cos （ωx＋φ）的部分图象如图所示，则满足条件＞0的最小正整数x为　　　　.
28．如图为函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分图象，对于任意的x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，都有f(x1＋x2)＝，则φ＝________.
29．风车发电是指把风的动能转化为电能．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°.现有一座风车，塔高60米，叶片长度为30米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开始旋转时，某叶片的一个端点P在风车的最低点(P离地面30米)，设点P离地面的距离为S(米)，转动时间为t(秒)，则S与t之间的函数解析式为________，一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为________秒．
30.已知函数f（x）＝sin()＋＋b.
（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在（1）的条件下，当x∈时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．D　2.A　3.1
【知识归纳】
1.
2.　　
　
3．|φ|　　　　A　A
【题型展示】
例1 (1)C
(2)B
跟踪训练1 (1)A
(2)C
例2 (1)－
(2)C
跟踪训练2 (1)1
(2)B
例3 B
例4 (－2，－1)
例5 BCD
跟踪训练3 (1)B
(2)A
(3)B
基础夯实
1.A
2.B
3.C
4．C
5．C
6．B
7．C　
8.A　
9.B
10.ACD
11.BC
12.ABD
13.　
14.－
15.x＝－
16.2　
17.
18.解　（1）f（x）＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
列表如下：
x 0 π
f（x） 1 2 0 －2 0 1
描点、连线，函数f（x）在区间[0，π]上的图象如图.
（2）将函数f（x）＝2sin的图象向右平移个单位后得到y＝2sin＝2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g（x）＝2sin的图象.
由－＝kπ（k∈Z）得x＝2kπ＋（k∈Z），故g（x）图象的对称中心为
（k∈Z）.
19.解　（1）函数f（x）的图象上两相邻对称轴之间的距离为，得该函数的最小正周期
T＝2×＝π，
∴ω＝＝＝2，
此时f（x）＝2sin（2x＋φ）＋1.
若选①函数f（x）的图象的一条对称轴为直线x＝－，则－＋φ＝＋kπ（k∈Z），得φ＝＋kπ（k∈Z）.
∵|φ|<，∴当k＝－1时，φ＝，
此时f（x）＝2sin＋1.
若选②函数f（x）的图象的一个对称中心为点，则＋φ＝kπ（k∈Z），
得φ＝kπ－（k∈Z）.
∵|φ|<，∴当k＝1时，φ＝，
此时f（x）＝2sin＋1.
若选③函数f（x）的图象经过点，
则f＝2sin＋1＝0，
得sin＝－.
∵|φ|<，∴<＋φ<，
∴＋φ＝，解得φ＝，
此时f（x）＝2sin＋1.
（2）由（1）可知，函数f（x）的解析式为
f（x）＝2sin＋1.
令h（x）＝f（x）－g（x）
＝2sin＋1－2sin xcos x
＝2＋1－sin 2x
＝cos 2x＋1≥0，
∴|PQ|＝h（t）＝cos 2t＋1.
∵t∈[0，π]，∴2t∈[0，2π]，
当2t＝0或2t＝2π，即当t＝0或t＝π时，线段PQ的长取到最大值2.
20．解　(1)由题设，可得f(x)＝sin，当x∈时，
2x＋∈，
所以f(x)∈.
(2)
2x＋ 0 π 2π
x －
y 0 2 0 －2 0
所以y＝2sin的图象如图．
21．解　(1)f(x)＝sin ωx＋2cos2＋m＝sin ωx＋cos ωx＋1＋m＝2sin＋1＋m，
∵函数f(x)的最小值为－2，
∴－2＋1＋m＝－2，解得m＝－1，
则f(x)＝2sin，
∴函数f(x)的最大值为2.
(2)由(1)可知，把函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度，
可得函数y＝g(x)＝2sin ωx的图象．
∵y＝g(x)在上单调递增，
∴函数g(x)的周期T＝≥，
∴ω≤4，即ω的最大值为4.
优化提升
22．D
23．A
24.A
25．B
26．B
27.2
28.
29．S＝60－30cos t(t>0)　4
30.解　（1）∵函数f（x）＝sin＋＋b，
且函数f（x）的图象关于直线x＝对称，
∴2ω·＋＝kπ＋（k∈Z），且ω∈[0，3]，∴ω＝1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），
解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为
（k∈Z）.
（2）由（1）知f（x）＝sin＋＋b.
∵x∈，∴2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，函数f（x）单调递增；当2x＋∈，
即x∈时，函数f（x）单调递减.
又f（0）＝f，∴当f>0≥f或f＝0时，函数f（x）有且只有一个零点，
即sin≤－b－∴b∈∪.
故实数b的取值范围为
∪.第4部分第7节《正余弦定理》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　)
A. B. C. D.
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于(　　)
A．8 B．4
C． D．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝ .
【知识归纳】
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝ ＝ ＝2R a2＝ ；b2＝ ；c2＝
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝ ，c＝ ；(2)sin A＝，sin B＝ ，sin C＝ ；(3)a∶b∶c＝____________ cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝
2．三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝ ＝ ＝ ；
(3)S＝ (r为三角形的内切圆半径)．
常用结论：
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b A>B sin A>sin B，cos A(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
(6)三角形中的面积S＝.
【题型展示】
题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1　(12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；[切入点：二倍角公式化简]
(2)求的最小值．[关键点：找到角B与角C，A的关系]
跟踪训练1　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长．
题型二　正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1　三角形的形状判断
例2　(1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，＝sin2，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
命题点2　三角形的面积
例3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
已知4a＝c，cos C＝.
(1)求sin A的值；
(2)若b＝11，求△ABC的面积．
命题点3　与平面几何有关的问题
例4　如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b(1＋cos C)＝csin∠ABC且△ABC的外接圆面积为.
(1)求边c的长；
(2)若a＝5，延长CB至M，使得cos∠AMC＝，求BM.
跟踪训练2　(1)在①b2＋ac＝a2＋c2；②cos B＝bcos A；③sin B＋cos B＝这三个条件中任选一个填在下面的横线中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，A＝，b＝，求△ABC的面积．
(2)(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　)
A．若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
B．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
C．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形
(3)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在①c(sin A－sin C)＝(a－b)(sin A＋sin B)；②2bcos A＋a＝2c；③acsin B＝a2＋c2－b2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
①若 ，求角B的大小；
②求sin A＋sin C的取值范围；
③如图所示，当sin A＋sin C取得最大值时，若在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧)，使得线段DC＝2，DA＝1，求△BCD面积的最大值．
基础夯实
1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于(　　)
A. B. C．6 D．5
2.在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　)
A.1 B. C. D.3
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝(　　)
A. B. C. D.
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acos C－3bcos C＝3ccos B，则角C的大小为(　　)
A. B. C. D.
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B＋sin C)2＝sin2A＋(2－)sin Bsin C，sin A－2sin B＝0，则sin C等于 (　　)
A. B.
C. D.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos B(acos C＋ccos A)＝b，lg sin C＝lg 3－lg 2，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C，a＝7，则△ABC外接圆的直径为(　　)
A．14 B．7 C. D.
8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若asin B＝bcos A，且b＝2，c＝2，则a的值为(　　)
A．2 B．2
C．2－2 D．1
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则等于(　　)
A. B. C. D．2
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知acos B＋bcos A＝3ccos C，asin A－csin C＋bsin A＝0，则＝(　　)
A. B. C. D.
11.已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　)
A.2 B.1 C. D.
12.(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　)
A.若tan A＋tan B＋tan C＞0，则△ABC是锐角三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D.若＝＝，则△ABC是等边三角形
13．已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝ .
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
15.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，A＝2B，则a＝________.
16.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里，14里，15里，求三角形沙田的面积.则该沙田的面积为________平方里.
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin Csin(A＋C)＝2csin Asin2 ，则角B的大小为________；若a＋c＝6，△ABC的面积为2，则b的值为________.
18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋sin C＝，求C.
19.在①cos C(acos B＋bcos A)＝csin C，②asin＝csin A，③(sin B－sin A)2＝sin2C－sin Bsin A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，当________时，求sin A·sin B的最大值.
20．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C＝(2a－c)cos B.
(1)求B；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求△ABC的面积．
21．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知bsin()＝asin B.
(1)求角A的大小；
(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．
优化提升
22．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin Asin Bsin C＝，△ABC的面积为2，则下列选项错误的是(　　)
A．abc＝16
B．若a＝，则A＝
C．△ABC外接圆的半径R＝2
D．≥32sin C
23.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是(　　)
A.或 B.
C. D.
24．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是(　　)
A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若A>B，则sin A>sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B25．(多选)已知△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，且△ABC的面积S△ABC＝，则下列命题正确的是(　　)
A．△ABC的周长为5＋
B．△ABC的三个内角A，B，C满足关系A＋B＝2C
C．△ABC的外接圆半径为
D．△ABC的中线CD的长为
26.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________.
27．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin A＝acos C，c＝2，ab＝8，则a＋b的值是 ．
28．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，那么BC＝ .
29.如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a2＋c2＝b2＋ac，则B＝ .若线段AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，且BC＝4，DE＝.则△BCE的面积为 ．
30.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．C　2.A　3.45°或135°
【知识归纳】
1.　　b2＋c2－2bccos A　c2＋a2－2cacos B　a2＋b2－2abcos C
(1)2Rsin B　2Rsin C　(2)　
(3)sin A∶sin B∶sin C
　　
3．(2)absin C　acsin B
bcsin A　(3)r(a＋b＋c)
【题型展示】
跟踪训练1 (1)证明　方法一　
由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B
＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A，
结合正弦定理＝＝，
可得accos B－bccos A
＝bccos A－abcos C，
即accos B＋abcos C
＝2bccos A(*)．
由余弦定理可得
accos B＝，
abcos C＝，
2bccos A＝b2＋c2－a2，
将上述三式代入(*)式整理，
得2a2＝b2＋c2.
方法二　因为A＋B＋C＝π，
所以sin Csin(A－B)
＝sin(A＋B)·sin(A－B)
＝sin2Acos2B－cos2Asin2B
＝sin2A(1－sin2B)－
(1－sin2A)·sin2B
＝sin2A－sin2B，
同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)·sin(C－A)＝sin2C－sin2A.
又sin Csin(A－B)
＝sin Bsin(C－A)，
所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，
即2sin2A＝sin2B＋sin2C，
故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
(2)解　由(1)及a2＝b2＋c2－2bccos A得，a2＝2bccos A，所以2bc＝31.
因为b2＋c2＝2a2＝50，
所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，
得b＋c＝9，
所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.
例2 (1)A
(2)D
例3 解　(1)由正弦定理
＝，
得sin A＝.
因为cos C＝，所以sin C＝，
又＝，
所以sin A＝＝.
(2)由(1)知sin A＝，
因为a＝所以cos A＝，
所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Ccos A＝×＋×
＝.
因为＝，即＝，
所以c＝4，
所以S△ABC＝bcsin A
＝×11×4×＝22.
例4 解　(1)设△ABC的外接圆半径为R，由题意πR2＝，
解得R＝.
由题意及正弦定理可得
sin∠ABC(1＋cos C)
＝sin Csin∠ABC，
因为sin∠ABC≠0，
所以1＋cos C＝sin C，
即2sin＝1，
因为0所以C－∈，
故C－＝，
即C＝.
故c＝2Rsin C＝2××＝7.
(2)因为a＝5，c＝7，C＝，
故cos C＝＝，
得b2－5b－24＝0，
解得b＝8(b＝－3舍去)．
在△ABC中，由余弦定理可得
cos∠ABC＝＝，
所以sin∠ABC＝.
由cos∠AMC＝得
sin∠AMC＝.
故sin∠BAM
＝sin(∠ABC－∠AMC)
＝sin∠ABCcos∠AMC－cos∠ABCsin∠AMC＝，
在△ABM中，由正弦定理可得
＝，
则BM＝×＝5.
跟踪训练2 (1)解　若选①，
则由b2＋ac＝a2＋c2，
得ac＝a2＋c2－b2.
由余弦定理得
cos B＝＝＝.
因为B∈(0，π)，
所以B＝.
由正弦定理得＝，
即＝，解得a＝.
因为C＝π－A－B
＝π－－＝，
所以sin C＝sin ＝sin
＝sin cos ＋cos sin
＝，
所以S△ABC＝absin C＝×××＝.
若选②，因为cos B＝bcos A，
A＝，b＝，
所以cos B＝bcos A＝cos ＝.
因为B∈(0，π)，
所以B＝.
由正弦定理得＝，
即＝，解得a＝.
因为C＝π－A－B
＝π－－＝，
所以sin C＝sin ＝sin
＝sin cos ＋cos sin
＝，
所以S△ABC＝absin C
＝×××＝.
若选③，则由sin B＋cos B＝，
得sin＝，
所以sin＝1.
因为B∈(0，π)，
所以B＋∈，
所以B＋＝，所以B＝.
由正弦定理得＝，
即＝，解得a＝.
因为C＝π－A－B
＝π－－＝，
所以sin C＝sin ＝sin
＝sin cos ＋cos sin
＝，
所以S△ABC＝absin C
＝×××＝.
(2)BC
(3)解　①若选①，
因为c(sin A－sin C)
＝(a－b)(sin A＋sin B)，
由正弦定理得
c(a－c)＝(a－b)(a＋b)，
整理得a2＋c2－b2＝ac，
所以cos B＝＝＝，
又0若选②，
因为2bcos A＋a＝2c，
由余弦定理得
2b·＋a＝2c，
化简得，a2＋c2－b2＝ac，
所以cos B＝＝＝，
又0若选③，
因为acsin B＝a2＋c2－b2，
由余弦定理得
acsin B＝2accos B，
化简得tan B＝，
又0②由①得，A＋C＝，
则0sin A＋sin C＝sin A＋sin
＝sin A＋cos A
＝sin，
又所以则sin A＋sin C的取值范围是.
③当sin A＋sin C取得最大值时，
A＋＝，
解得A＝，
又B＝，
所以△ABC为等边三角形，
令∠ACD＝θ，∠ADC＝α，AB＝AC＝BC＝a，
则由正弦定理可得＝，
所以sin α＝asin θ.
又由余弦定理得，a2＝22＋12－2×2×1×cos α，
所以a2cos2θ＝a2－a2sin2θ＝cos2α－4cos α＋4，
所以acos θ＝2－cos α.
S△BCD＝×a×2sin
＝acos θ＋asin θ
＝(2－cos α)＋sin α
＝＋sin≤＋1，
当且仅当α＝∠ADC＝时等号成立，
所以△BCD面积的最大值为＋1.
基础夯实
1．B　
2.D
3.B
4.A
5.C
6．C
7.D　
8.B　
9.A　
10.A
11.D
12.ACD
13.－1
14.
15.
16.84
17.　2
18.解　(1)由题设及余弦定理得
28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°，
解得c＝－2(舍去)或c＝2，从而a＝2.
因此△ABC的面积为
×2×2×sin 150°＝.
(2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C
＝sin(30°＋C)，
故sin(30°＋C)＝.
而0°所以30°＋C＝45°，故C＝15°.
19.解　若选①，由正弦定理得
cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)
＝sin Csin C，
即cos Csin(A＋B)＝sin Csin C，
∵sin C≠0，∴tan C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
∴A＋B＝，
∴sin A·sin B＝sin A·sin
＝sin A·
＝sin A·cos A＋sin2A
＝sin 2A＋(1－cos 2A)
＝sin＋，
∵A∈，∴2A－∈，
∴当A＝时，sin A·sin B取得最大值为.
若选②，由正弦定理得
sin Asin ＝sin Csin A，
∵sin A≠0，∴cos ＝sin C＝2sin cos ，
∵cos ≠0，∴sin ＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
余下同①.
若选③，由正弦定理得(b－a)2＝c2－ba，
即a2＋b2－c2＝ba，∴cos C＝＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
余下同①.
20．解　(1)由正弦定理，得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C
＝2sin Acos B，
∴sin(B＋C)＝2sin Acos B，
∴sin A＝2sin Acos B，
又∵sin A≠0，∴cos B＝，
∵B为三角形内角，∴B＝.
(2)∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a，
∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9，
∴a＝，c＝2，
∴△ABC的面积为S＝acsin B＝××2×＝.
21．解　(1)∵bsin＝asin B，由诱导公式得bcos A＝asin B，
由正弦定理得
sin Bcos A＝sin Asin B，
∵sin B≠0，∴cos A＝sin A，
即tan A＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝＝＝，
即b2＋c2－bc＝bc，
∴(b－c)2＝0，∴b＝c，
又由(1)知A＝，
∴△ABC为等边三角形．
优化提升
22．B
23.A
24．ABD
25．ABD
26.9
27．6
28．9
29.　2
30.解　(1)因为2sin C＝3sin A，所以2c＝3a，又因为c＝a＋2，所以2(a＋2)＝3a，则a＝4，b＝a＋1＝5，c＝a＋2＝6，
所以cos C＝＝，所以C为锐角，则sin C＝＝，
因此S△ABC＝absin C＝×4×5×＝.
(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
故由余弦定理可得cos C＝
＝＝
<0，又a>0，
故解得0又由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，故1又a为正整数，故a＝2.第4部分第8节《解三角形及其应用》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1.如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　)
A．(30＋30)m B．(15＋30)m
C．(30＋15)m D．(15＋15)m
2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
3．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为________海里．
【知识归纳】
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：
坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
【题型展示】
题型一　解三角形的应用举例
命题点1　测量距离问题
例1　(1)为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10 km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则基站A，B的距离为(　　)
A．10 km B．30(－1)km
C．30(－1)km D．10 km
(2)一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2 km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则A地到D地的直线距离是(　　)
A．8 km B．3 km C．3 km D．5 km
命题点2　测量高度问题
例2　(1)大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的欲望．吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度(即图中线段AB的长度)．他在该雕塑塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进7米后到达D处(A，C，D三点在同一个水平面内)，测得图中线段AB在东北方向，且测得点B的仰角为71.565°，则该雕塑的高度大约是(参考数据：tan 71.565°≈3)(　　)
A．19米 B．20米 C．21米 D．22米
(2)如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物CD，测得CD的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物CD之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°(其中B，E，D三点共线)．该学习小组利用这些数据估算得AB约为60米，则CD的高h约为(　　)
(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)
A．11米 B．20.8米 C．25.4米 D．31.8米
命题点3　测量角度问题
例3　(1)《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________km.
(2)图1是南北方向水平放置的圭表(一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成)的示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面．已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻(太阳直射点的纬度为南纬23°26′)，在某地利用一表高为2 dm的圭表按图1方式放置后，测得日影长为2.98 dm，则该地的纬度约为北纬(参考数据：tan 34°≈0.67，tan 56°≈1.48)(　　)
A．23°26′ B．32°34′ C．34° D．56°
跟踪训练1　(1)(多选)某货轮在A处测得灯塔B在北偏东75°，距离为12 n mile，测得灯塔C在北偏西30°，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，测得灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是(　　)
A．A处与D处之间的距离是24 n mile
B．灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C．灯塔C在D处的西偏南60°
D．D在灯塔B的北偏西30°
(2)如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝________.
(3)落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝________米．
题型二　解三角形中的最值和范围问题
例4　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a2＋c2－b2)＝－2absin C.
(1)求角B；
(2)若D为AC的中点，且BD＝2，求△ABC面积的最大值．
跟踪训练2　在①bcos()＝ccos B；②2S△ABC＝·，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．
(1)求角B；
(2)在△ABC中，b＝2，求△ABC周长的最大值．
基础夯实
1．一艘游船从海岛A出发，沿南偏东20°的方向航行8海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东40°的方向航行16海里后到达海岛C，若游船从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的路程为(　　)
A．12海里 B．8海里
C．8海里 D．8海里
2.如图，在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为(　　)
A. m 　　 B. m
C. m 　　 D. m
3.如图，设A，B两点在河的两岸，在A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50 m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，则可以计算A，B两点间的距离是(　　)
A.25 m B.50 m
C.25 m D.50 m
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
5．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且b＝2asin B, 则cos B＋sin C的取值范围为(　　)
A．(0，] B．(1，]
C.() D.()
6.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)
A. km B. km C. km D.2 km
7．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(≈1.4，≈1.7)(　　)
A．7 350 m B．2 650 m
C．3 650 m D．4 650 m
8．我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为∠BPC，且tan∠BPC＝.已知地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1 km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PD的长度是(　　)
A. km B．2 km
C. km D．4 km
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B＋sin C＝2sin A，则A的最大值为(　　)
A. B. C. D.
10.圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15－15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为(　　)
A.20 m B.30 m
C.20 m D.30 m
11.(多选)如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥BA，cos 2∠ABC＝－，c＝2，b＝，则下列结论正确的有(　　)
A.sin A＝
B.BD＝2
C.5＝3
D.△CBD的面积为
12．(多选)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(acos C＋ccos A)＝2bsin B，且∠CAB＝，若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列结论正确的是(　　)
A．△ABC的内角B＝
B．△ABC的内角C＝
C．△ACD的面积为
D．四边形ABCD面积的最大值为＋3
13．2022年4月16日，搭载着3名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十三号返回任务取得圆满成功．假设返回舱D垂直下落于点C，某时刻地面上点A，B观测点观测到点D的仰角分别为45°，75°，若A，B间距离为10千米(其中向量与同向)，试估算该时刻返回舱距离地面的距离CD约为________千米(结果保留整数，参考数据：≈1.732)．
14．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，ccos B＋(2a＋b)cos C＝0，若△ABC的外接圆面积为π，则△ABC周长的最大值是________．
15.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若a＝2，tan A＝，则的取值范围是________.
16.在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2， 则AC＝________；cos ∠MAC＝________.
17.如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区边界轮廓是半径为200米，圆心角为120°的扇形AOB.O为南门位置，C为东门位置，小区里有一条平行于AO的小路CD，若OD＝米，则圆弧AC的长为________米.
18.在①∠ADC＝，②S△ABC＝2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BAC＝∠DAC，________，CD＝2AB＝4，求AC.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.已知函数f(x)＝2cos2－cos()－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)＝2，b＝2，△ABC的面积为3，求△ABC外接圆的面积.
20．在①＋＋1＝；②(a＋2b)cos C＋ccos A＝0；③asin ＝csin A，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下列问题．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝4，求AB的中线CD长度的最小值．
21．已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若sin Asin Bsin C＝(sin2A＋sin2B－sin2C)．
(1)求sin C；
(2)若c＝，求△ABC周长的取值范围．
优化提升
22．数学必修第二册介绍了海伦－秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若＝，b＝2，则△ABC面积S的最大值为(　　)
A. B. C．2 D.
23．在平面内，四边形ABCD的∠ABC与∠ADC互补，DC＝1，BC＝，∠DAC＝30°，则四边形ABCD面积的最大值等于(　　)
A. B.＋1 C.＋1 D．2
24.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(　　)
A.＋表高 B.－表高
C.＋表距 D.－表距
25．(多选)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向，距离12 海里，灯塔C在A的北偏西30°方向，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，下面结论正确的有(　　)
A．AD＝24
B．CD＝12
C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120°
D．∠CDA＝60°
26．我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图，AB是窗户的高度，BC是遮阳篷的安装高度，CD是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为α，夏至正午时太阳光线与地面的夹角为β，窗户高度AB＝h.为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度BC＝________.
27．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin ＝asin B，a＝，则△ABC周长的最大值为________．
28.拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其中心依次为D，E，F，若DF＝2，则＝________，AB＋AC的最大值为________．
29.如图，某湖有一半径为100 m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB＝θ.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________m2.
30.如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝，半径为4，若点C是上的一动点(不与点A，B重合).
(1)若弦BC＝4(－1)，求的长；
(2)求四边形OACB面积的最大值.
基础摸查
【习题导入】
1．A　2.B　3.6
【题型展示】
例1 (1)D
(2)B
例2 (1)C
(2)C
例3 (1)100(＋1)　
(2)B
跟踪训练1 (1)AC
(2)－
(3)15
例4 解　(1)∵(a2＋c2－b2)
＝－2absin C，
∴(a2＋c2－b2)＝－2acsin B，
即＝－sin B，
由余弦定理，得cos B＝－sin B，
∵cos B≠0，∴tan B＝－，
∵0(2)方法一　∵＝(＋)，
∴2＝2＋·＋2，
∴c2＋accos ＋a2＝4，
即a2＋c2－ac＝16，
∵a2＋c2≥2ac，
∴ac≤16，
∴S△ABC＝acsin ≤×16sin ＝4，当且仅当a＝4，c＝4时取等号，
故△ABC面积的最大值为4.
方法二　在△ABD中，由余弦定理得c2＝22＋2－2×2×bcos∠ADB，
即c2＝4＋b2－2bcos∠ADB，①
在△CBD中，由余弦定理得
a2＝22＋2－2×2×bcos∠CDB，
即a2＝4＋b2－2bcos∠CDB，
∵cos∠CDB＝cos(π－∠ADB)
＝－cos∠ADB，
∴a2＝4＋b2＋2bcos∠ADB，②
由①＋②得a2＋c2＝8＋b2，③
在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos ，即b2＝a2＋c2＋ac，
代入③中，整理得a2＋c2－ac＝16，
∵a2＋c2≥2ac，
∴ac≤16，
∴S△ABC＝acsin ≤×16sin ＝4，
当且仅当a＝4，c＝4时取等号，
故△ABC面积的最大值为4.
方法三　如图，
过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，
∵CE∥AB，D为AC的中点，
∴DE＝BD＝2，CE＝AB＝c，
∠BCE＝，BE＝4，
在△BCE中，由余弦定理得
BE2＝BC2＋EC2－2BC·ECcos∠BCE，
即42＝a2＋c2－2accos ，
整理得a2＋c2－ac＝16，
∵a2＋c2≥2ac，
∴ac≤16，
∴S△ABC＝acsin
≤×16sin ＝4，
当且仅当a＝4，c＝4时取等号，
故△ABC面积的最大值为4.
跟踪训练2 解　(1)选择条件①：
即bsin C＝ccos B，
由正弦定理可得
sin Bsin C＝sin Ccos B，
在△ABC中，B，C∈(0，π)，
所以sin B≠0，sin C≠0，
所以sin B＝cos B，且cos B≠0，
即tan B＝，所以B＝.
选择条件②：
即2×acsin B＝cacos B，
即sin B＝cos B，
在△ABC中，B∈(0，π)，
所以sin B≠0，则cos B≠0，
所以tan B＝，
所以B＝.
(2)由(1)知，B＝，b＝2，
由余弦定理知
b2＝a2＋c2－2accos ，
所以12＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac得(a＋c)2－12＝3ac≤32，
所以a＋c≤4，当且仅当a＝c时，等号成立，
所以△ABC周长的最大值为6.
基础夯实
1．D　
2.A
3.A
4.B
5．C　
6.A
7.B
8．B　
9．D
10.D
11.AC
12．ABD
13．14
14．2＋
15.(2，4)
16.2　
17.50π
18.解　若选择①，设∠BAC＝∠CAD＝θ，
则0＜θ＜，∠BCA＝－θ，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，所以AC＝，
在△ACD中，＝，
即＝，所以AC＝，
所以＝，解得2sin θ＝cos θ，
又0＜θ＜，所以sin θ＝，
所以AC＝＝2.
若选择②，S△ABC＝·AB·BC·
sin∠ABC＝·2·BC·sin ＝2，
所以BC＝2，
由余弦定理可得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·
cos∠ABC＝4＋8－2×2×2×＝20，
所以AC＝＝2.
19.解　(1)f(x)＝2cos2 －cos－1＝cos x＋sin x＝2sin，
因为ω＝1，T＝，所以T＝2π.
(2)∵f(A)＝2sin＝2，0＜A＜π，
∴A＝，
∵b＝2，∴△ABC的面积S＝bcsin A＝×2c×＝3，∴c＝6.
由余弦定理得cos A＝，又a＞0，∴a＝2.
设△ABC的外接圆半径为R，
则由正弦定理得2R＝＝＝，
故R＝，从而S＝πR2＝.
20．解　(1)选择条件①：由＋＋1＝及正弦定理，
得＋＋1＝，
即a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得cos C＝＝＝－，
因为0选择条件②：由(a＋2b)cos C＋ccos A＝0及正弦定理，
得(sin A＋2sin B)cos C＋sin Ccos A＝0，
即sin Acos C＋cos Asin C
＝－2sin Bcos C.
即sin(A＋C)＝－2sin Bcos C.
在△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，
即sin B＝－2cos Csin B，
因为0所以cos C＝－，
因为0选择条件③：由asin ＝csin A及正弦定理，
得sin Asin ＝sin Csin A，
因为0所以sin ＝sin C.
在△ABC中，A＋B＋C＝π，
则sin ＝cos ，
故cos ＝2sin cos .
因为0则sin ＝，故C＝.
(2)因为∠ADC＋∠BDC＝π，
所以＋＝0，
整理得2CD2＝a2＋b2－8，
在△ABC中，由余弦定理得42＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2＋ab.
因为ab≤，当且仅当a＝b时取等号，
所以16＝a2＋b2＋ab≤a2＋b2＋
(a2＋b2)＝(a2＋b2)，
即a2＋b2≥，
所以2CD2＝a2＋b2－8≥－8＝，即CD≥，
即CD长度的最小值为.
21．解　(1)由sin Asin Bsin C＝(sin2A＋sin2B－sin2C)及正弦定理，
得absin C＝(a2＋b2－c2)，
又由余弦定理得
absin C＝abcos C.
所以tan C＝，C为锐角，
则C＝，
所以sin C＝.
(2)由2R＝＝得R＝1.
所以△ABC的周长为
a＋b＋c＝2R(sin A＋sin B)＋
＝2(sin A＋sin B)＋
＝2sin A＋2sin B＋
＝2sin A＋2sin＋
＝3sin A＋cos A＋
＝2sin＋，
因为A∈，－A∈，
所以A∈，
A＋∈，
所以2sin＋∈(3＋，3]，
即a＋b＋c∈(3＋，3]．
所以△ABC周长的取值范围为(3＋，3]．
优化提升
22．A
23．B
24.A
25．ABD
26.
27．3
28.　4
29.10 000＋25 000
30.解　(1)在△OBC中，BC＝4(－1)，
OB＝OC＝4，
所以由余弦定理得
cos∠BOC＝＝，
所以∠BOC＝，
于是的长为×4＝.
(2)设∠AOC＝θ，θ∈，
则∠BOC＝－θ，
S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC
＝×4×4sin θ＋×4×4·sin
＝24sin θ＋8cos θ＝16sin.
由于θ∈，所以θ＋∈，
当θ＝时，四边形OACB的面积取得最大值16.4部分第1节《任意角、弧度制及三角函数的概念》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1. －660°等于(　　)
A．－π rad B．－π rad
C．－π rad D．－π rad
2．已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，tan α＝________.
3．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度．
【知识归纳】
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为 .
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_________
____________．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝________
弧长公式 弧长l＝_______
扇形面积公式 S＝________＝_______
3．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
常用结论：
1．象限角
2．轴线角
【题型展示】
题型一　角及其表示
例1　(1)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
(2)若α是第二象限角，则(　　)
A．－α是第一象限角
B.是第三象限角
C.＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上
跟踪训练1　(1)若点P(cos θ，sin θ)与点Q(,)关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.
(2)“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型二　弧度制及其应用
例2　某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0(1)求θ关于x的函数表达式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．
跟踪训练2　已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.
(1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长；
(2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
题型三　三角函数的概念
例3　(1)若sin αtan α<0，且>0，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos θ＝，则实数a的值是(　　)
A．－2 B.
C．－2或 D．1
(3)(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列选项正确的是(　　)
A．sin θ＝－
B．α为钝角
C．cos α＝－
D．点(tan θ，sin α)在第一象限
跟踪训练3　(1)sin 2cos 3tan 4的值(　　)
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
(2)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sin α－cos α的值是(　　)
A．－ B.
C．－ D.或－
(3)若A(1，a)是角θ终边上的一点，且sin θ＝，则实数a的值为________．
基础夯实
1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A.2kπ＋45°(k∈Z)
B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋(k∈Z)
2.给出下列四个命题：
①－是第二象限角；
②是第三象限角；
③－400°是第四象限角；
④－315°是第一象限角.
其中正确命题的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知点P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为(　　)
A.－ B. C.－ D.－
4．如果点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月球表面400 千米，已知月球半径约为1 738 千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)(　　)
A．1 069千米 B．1 119千米
C．2 138千米 D．2 238千米
6.屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6 m，内环弧长为1.2 m，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2 m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为(　　)
A．2.58 m2 B．2.68 m2
C．2.78 m2 D．2.88 m2
7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？
翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少？
[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少？
则下列说法正确的是(　　)
A.问题[三三]中扇形的面积为240平方步
B.问题[三四]中扇形的面积为平方步
C.问题[三三]中扇形的面积为60平方步
D.问题[三四]中扇形的面积为平方步
8.在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan αA. B. C. D.
9．与－2 023°终边相同的最小正角是(　　)
A．137° B．133° C．57° D．43°
10．在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点P()，则cos θ等于(　　)
A. B．－ C. D．－
11．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π)．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为(　　)
A. B. C. D.
12.若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　)
A.
B.
C.
D.
13.(多选)下列结论中正确的是(　　)
A.若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sin α＝
B.若α是第一象限角，则为第一或第三象限角
C.若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度
D.若0＜α＜，则sin α＜tan α
14.(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)
A. B.cos α－sin α
C.sin αcos α D.sin α＋cos α
15.若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.
16.－2 022°角是第________象限角，与－2 022°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________.
17.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点(2，－1)在终边上，则cos 2α＝________.
18.在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为________.
19．已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为________．
20.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________．
21．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M()，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
22．如图，在平面直角坐标系Oxy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1,0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求sin α的值和与角α终边相同的角β的集合；
(2)若α∈(0,]，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)
优化提升
23．已知△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P(sin A－cos B，cos A－sin C)，则＋＋的值为(　　)
A．1 B．－1 C．3 D．－3
24．在北京冬奥会短道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌．如图，短道速滑的比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5 m，直道长为28.85 m，点O为半圆的圆心，点N为弯道与直道的连接点，运动员沿滑道逆时针滑行，在某次短道速滑比赛最后一圈的冲刺中，运动员小夏在弯道上的P点处成功超过所有对手，并领先到达终点Q(终点Q为直道的中点)．若从P点滑行到Q点的距离为31.425 m，则∠PON等于(　　)
A. B. C．2 D.
25.赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为α，则sin αcos α的值为(　　)
A. B. C. D.
26．在平面直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为(　　)
A．β＝α＋90°
B．β＝α±90°
C．β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z)
D．β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)
27在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，顶点为坐标原点O，已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，将l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B(x，y)，若tan α＝－，则x＝(　　)
A.0.6 B.0.8 C.－0.6 D.－0.8
28．(多选)已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是(　　)
A. B.
C. D.
29.(多选)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　)
A.经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B.经过 s后，扇形AOB的弧长为
C.经过 s后，扇形AOB的面积为
D.经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
30.一扇形的圆心角为，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.
31.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为________.
32．如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD(顶点A与P重合)沿圆周逆时针滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为________．
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．C　
2．－　－
3.－4π
【知识归纳】
1．(1)端点　(2)正角　负角　零角
象限角　(3)－α
(4){β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
2．(1)半径长　(2)°　|α|r
lr　|α|r2
【题型展示】
例1 (1)－675°和－315°
(2)D
跟踪训练1 (1)
(2)A
例2解　(1)根据题意，可算得＝θx，＝10θ.
因为AB＋CD＋＋＝30，所以2(10－x)＋θx＋10θ＝30，
所以θ＝(0(2)根据题意，可知y＝S扇形AOD－S扇形BOC＝θ·(102－x2)＝×＝(x＋5)(10－x)＝－x2＋5x＋50＝－2＋，
当x＝时，ymax＝.
综上所述，当x＝时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为.
跟踪训练2 解　(1)α＝35°＝35× rad
＝π rad，
扇形的弧长l＝αr＝π×8
＝π(cm)．
(2)方法一　由题意知2r＋l＝16，
∴l＝16－2r(0则S＝lr＝(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16，
当r＝4(cm)时，Smax＝16(cm2)，
l＝16－2×4＝8(cm)，α＝＝2，
∴S的最大值是16 cm2，此时扇形的半径是4 cm，圆心角α＝2 rad.
方法二　S＝lr＝l·2r≤·2＝16，
当且仅当l＝2r，即r＝4(cm)时，S的最大值是16 cm2.
此时扇形的圆心角α＝2 rad.
例3 (1)B　(2)B　(3)ACD
跟踪训练3 (1)A　(2)D
(3)
基础夯实
1.C
2.C
3.D
4.B　
5.D　
6.D
7.B
8.C
9．A　
10.D　
11.C　
12.D
13.BCD
14.AB
15.120°或－240°
16.二　138°　－222°
17.
18.(－1，)
19.
20．2π－2
21．解　(1)由＝－，
得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，
所以2＋m2＝1，解得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，
从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
22．解　(1)由题意知，若点B的横坐标为－，可得B的坐标为，∴sin α＝，
于是α＝＋2kπ，k∈Z，
与角α终边相同的角β的集合为.
(2)△AOB的高为1×cos ，
AB＝2sin ，
故S△AOB＝×2sin ×cos
＝sin α，
故弓形AB的面积S＝·α·12－sin α＝(α－sin α)，α∈.
优化提升
23．B
24．C
25．B
26．D
27.B
28．AD
29.ABD
30.
31.(2－sin 2，1－cos 2)
32．3　(＋2)π

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