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专题02：一元二次方程根与系数的关系--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升
一、单选题
1．已知是方程的两根，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的方程的一个根为1，则它的另一个根为（ ）
A．25 B． C． D．
4．已知，是方程的两个实数根，则式子的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若方程 的两根为 和 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 是 的算术平方根 B． 是 的平方根
C． 是 的平方根 D． 是的算术平方根
6．是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．1
7．关于x的一元二次方程的两实根，满足，则的值为（ ）
A．1或5 B．1或 C． D．5
8．已知实数，满足，，则以为根的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知、是一元二次方程的两实数根，则代数式 ．
10．若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是 ．
11．已知一元二次方程的两实数根为、，则的值为 ．
12．已知、是方程的两个实数根，则 ．
13．已知实数，是方程的两根，则 ．
14．若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是 ．
15．已知3是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是菱形的两条对角线的长，则菱形的面积为 ．
16．关于x的一元二次方程的两个实数根是a和b，若有，则k的值为 ．
三、解答题
17．已知关于x的一元二次方程．
(1)当是方程的一个根时，求方程的另一个根；
(2)若，是方程的两个不相等的实根，且，满足，求m的值．
18．已知，是关于的一元二次方程的两实根，
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
19．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
20．已知关于x的一元二次方程．
(1)证明：无论k取任何实数，方程总有实数根．
(2)若，求k的值．
(3)若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C D D C C A
1．C
【分析】直接利用根与系数的关系作答．
此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：
【详解】解：是方程的两根，
，
故选：C．
2．D
【分析】设菱形的两条对角线长分别为、，由菱形的面积为得，根据根和系数的关系得，利用勾股定理和完全平方公式的变形运算即可求解．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为、，则，
，
菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，
，
菱形的边长为，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根和系数的关系，勾股定理，完全平方公式的变形运算，解题的关键是掌握相关知识．
3．C
【分析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，得到，进行求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为，由题意，得：，
∴；
故选C．
4．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系．首先根据，是方程的两个实数根，可得，根据是一元二次方程的根可知，然后整体代入代数式求值即可．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，
把代入方程可得：，
，
．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了平方根和算术平方根，因为和是方程的两根，所以、，又因为且，所以是的算术平方根．
【详解】解：和是方程的两根，
、，
，
，
，
，
，
，
是的算术平方根．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意，由一元二次方程根与系数的关系得到，代入求值即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
【详解】解：是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据根与系数的关系得到，，整理代入，可求得的值，再代入方程检验即可求解．
【详解】解：∵，是方程的两实根，
∴，，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
当时，方程为，
而，符合题意；
当时，方程为，
而，
∴不合题意，舍去，
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可．
【详解】解：∵实数满足，
∴当以为根的一元二次方程的二次项系数为1时，此时一次项系数为，常数项是，即符合题意的方程为，
故选：A．
9．
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．根据方程的解及根与系数的关系可得，，，再进一步即可求出答案．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两实数根，
∴，，，
∴，
∴
；
故答案为：．
10．7
【分析】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，，
原式．
故答案为：7．
11．
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，，再代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两实数根为、，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．/
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
先根据根与系数的关系求得，再根据异分母分式的加法法则进行变形处理，然后整理整体代入计算即可．
【详解】解：∵是方程的两个根，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案．
【详解】解：∵实数，是方程的两根，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，，设，则利用换元法，得到的两个根为，再进行求解即可．
【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：，，
∴关于y的方程的两根为，，
∴；
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了菱形的性质以及一元二次方程的解和根与系数的关系，正确得出方程的两根之积是解题关键．
首先利用一元二次方程的解得出m的值，再利用根与系数的关系得出方程的两根之积，再结合菱形面积公式求出答案．
【详解】解：∵3是关于x的方程的一个根，
∴，
解得：，
∴原方程为：，
∴方程的两根之积为：，
∴菱形的面积为：．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，代入已知条件中，求得k的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根是a和b，
∴，，
∴由得，，
即，
∴，即，
解得，，，
当时，原方程为，
∴，没有实数根，
∴舍去，
当时，原方程为，
∴，
∴符合题意，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解的定义，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
（1）直接根据根与系数的关系求出另一个根即可；
（2）根据根与系数的关系得到，再利用判别式求出，结合已知条件推出，即， 解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设另一个根为，则，
解得
∴另一个根为；
（2）解：由题意得：，
同时满足即，
∴，
∵，．
∴
∴，
解得，
∴的值为．
18．(1)
(2)2
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，掌握根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据根的判别式进行计算即可求解；
（2）根据题意可得，将原式变形得，由此解一元二次方程，最后根据（1）中的取值方法确定值即可．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两实根，
∴，
解得：；
（2）解：根据题意可得：，
∴，
即，
解得：．
∵，
∴舍去，
∴的值为．
19．(1)
(2)5或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解．
（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的意义得到，解关于的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系，，代入代数式求出的值即可．
【详解】（1）关于的一元二次方程的两个实数根为，且．
，
，
解得．
所以的取值范围为；
（2）由题意可得：，，
又，
，
，
解得，，
又，
的值为5或．
20．(1)见解析
(2)
(3)这个等腰三角形的周长为18，21
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．也考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，三角形的三边关系．
（1）根据根的判别式即可得到结论；
（2）先计算，整理得到，根据非负数的性质得到，然后根据△的意义即可得到结论；
（3）先解出原方程的解为，，然后分类讨论：腰长为5时，则；当底边为5时，则得到，然后分别计算三角形的周长．
【详解】（1）证明：
，
，
，
无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：，，，
，
，
解得：；
（3）解：解方程得，，
①当腰长为5时，则，
，
周长；
②当底边为5时，
，
，
周长．
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