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专题 09：二次函数有关的新定义问题--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练
一、单选题
1．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若二次函数（为常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫作“鹊桥”函数．某同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），则下列结论错误的是（ ）
A．图象与坐标轴的交点为和
B．图象的对称轴是直线
C．当和时，函数值y随x的增大而增大
D．函数的最小值是0，最大值是4
3．新定义：与被称为“同族二次函数”，若和是同族二次函数，则二次函数的开口方向和最值为（ ）
A．开口向上，最小值为2018 B．开口向下，最大值为2018
C．开口向上，最小值为2019 D．开口向下，最大值为2019
4．新定义：若两个函数图像有公共点，则称这两个函数图像为牵手函数．已知抛物线与线段是牵手函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
5．对于代数式M、N定义一种新运算：．
①若，则；
②若是一元二次方程的两个根，则；
③的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则b的值为或．
以上结论正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
8．若定义一种新运算：，例如：，．下列说法：
①；
②若，则或2；
③若，则或；
④与直线（m为常数）有1个交点，则．
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
9．新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 ．
10．新定义：对于三个数a、b、c，我们用表示这三个数中最大的数，如：．若直线与函数的图象有且只有2个交点，则b的取值范围为 ．
11．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如1．若y关于x的函数的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
12．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是 ．
13．新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 ．
14．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是 ．
15．新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，则点的限变点是 ．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是 ．
16．新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足m≥0时，n′＝n 4；m＜0时，n′＝ n，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点P2（ 2，3）的限变点是（ 2， 3）．若点P（m，n）在二次函数y＝ x2＋4x＋2的图象上，则当 1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是 ．
三、解答题
17．新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”．
(1)试判断二次函数的图象是否为“定点抛物线”；
(2)若定点抛物线与直线只有一个公共点，求m的值；
(3)若一次函数的图象与定点抛物线的交点的横坐标分别为和，且，求n的取值范围．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别为，，．
(1)求过点A，B，C的抛物线及其对称轴；
(2)新定义：如果点的坐标满足，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到x轴的距离与C点到x轴的距离相同，求P点的坐标；
(3)我们称横坐标和纵坐标为整数的点为格点，求的面积，并直接写出该值与其内部格点数量a和边上格点数量b的等式．
19．新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点”
(1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由；
(2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围；
(3)求直线的最值点．
20．新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”．
(1)试判断二次函数的图象是否为“定点抛物线”；
(2)若定点抛物线与直线只有一个公共点，求的值；
(3)若一次函数的图象与定点抛物线的交点的横坐标分别为和，且，求的取值范围．
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C B C B D A
1．A
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由点的纵坐标是横坐标2倍可得二倍点在直线 上， 由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为
将代入得
将代入得
设如图：
联立方程
当时，抛物线与直线有两个交点，
即
解得
此时，直线和直线与抛物线交点在点上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入得：
把代入得：
解得
满足题意，
故选： A．
2．D
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．求得函数与坐标轴的交点坐标，可判断选项A；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，可判断选项B；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，可判断选项C；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，最小值为，不存在最大值；据此可得出答案．
【详解】解：当时，；
当时，，解得或；
∴图象与坐标轴的交点为和，
∴选项A是正确的，不符合题意；
从图象可知图象具有对称性，对称轴是直线，
∴选项B是正确的，不符合题意；
根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，
∴选项C是正确的，不符合题意；
根据函数的图象发现，函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，最小值为，
不存在最大值，
∴选项D是错误的，符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据“同族二次函数”的定义可求出a，b的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵和是同族二次函数，
∴，
解得：，
∴二次函数，
∴二次函数的开口方向向上，有最小值2019．
故选：C
4．B
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的性质，熟练掌握函数的递变规律是解本题的关键．依据两个函数有公共点，则联立的二次方程有实数根，判别式大于或等于，可初步确定的取值范围，然后再依据自变量的取值范围进一步确定的取值范围，即可求解．
【详解】解：抛物线与线段是牵手函数，
抛物线与平行于轴的线段相切或者相交，
代入中，
即关于的二次方程有两个相等或者不等的实数根，
整理上述关于的二次方程得①，
对于①式，
解得：，

将①式整理成关于的二次方程：，
则关于的判别式：，
解得：，
结合的已知取值范围得出：线段与抛物线有公共点的取值范围为：．
观察图1～图4中抛物线与线段的相对位置关系递变规律发现：当时， 正好是线段与抛物线有公共点时的抛物线最高与最低的位置，其递变规律是，
把代入方程①式：，
可求得，
即抛物线与线段有公共点时的最高与最低位置，
因此，的取值范围是．
故选：B．
5．C
【分析】根据新定义的概念，利用一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，逐一对选项进行判断即可解答．
【详解】解：当时，，故①正确；
由题意可得，
根据，可得，，
原式，故②错误；
，
当时，解得，
存在两种情况，使得直线与有三个交点，
①当经过点时，直线与有三个交点，
把代入，可得，
解得；
②当与只有一个交点时，直线与有三个交点，
可得，
经整理可得，
，
解得，
综上所述，的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则b的值为或，故③正确，
故正确的有2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义的概念，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到正确的函数，且能准确理解题意是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题．由一个点的横纵坐标之和为6可得“和谐点”在直线上，由可得“和谐点”所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．
【详解】解：由题意可得“和谐点”所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，

联立与，得方程，
即，
抛物线与直线有两个交点，
△，
解得，
当直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入，得，
把代入得，
，
解得，
．
故选：B．
7．D
【分析】符号的含义是取较大的值．则本题实为函数比较大小的问题，联立方程，画出函数图象，根据求得交点坐标，进而即可求解．
【详解】解：令，
如图所示，则的值为函数较大的值，
∴比较两个函数的交点，较大的y值即为最大值．
联立方程
解得
令，
解得，，
令，解得：，
∴当时，或
故选：D
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的图像和性质，正确画出函数图象是解答本题的关键．
8．A
【分析】根据新运算可判断①正确；根据新运算分两种情况结合一元二次方程可判断②正确；根据新运算分两种情况结合一元一次不等式可判断③正确；根据新运算分两种情况结合抛物线的性质可判断④正确，即可．
【详解】解：①，故①正确；
②若，则，
解得：或2，
当时，，
当时，；
若，则，
解得：或，
当时，，不符合题意，舍去，
当时，，不符合题意，舍去；
∴若，则或2，故②正确；
③若，即，
此时，
解得：，
∴，
若，即，
此时，
解得：，
∴，
∴若，则或，故③正确；
④若，即或，
此时，
如图，
此时与直线（m为常数）不可能有1个交点；
若，即，
此时，
如图，
当时，，
当时，，
∴若抛物线与直线（m为常数）有1个交点，则，故④正确．
∴正确的个数是4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式，二次函数的图象和性质，理解新运算，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
9．或
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，根据新定义得出二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得出，计算即可得解．
【详解】解：由题意得：二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象与轴只有一个交点，
∴，
整理得：，
解得：，，
故答案为：或．
10．
【分析】本题主要考查在新定义下直线与抛物线相交的问题，根据题意得知是直线与抛物线相交是解决本题的前提，分类讨论思想的运用是解题的关键．求得、点的坐标，根据题意，分三种情况说明从而求解．
【详解】解：如图，

①直线经过得，则，
②解得或，
，
代入得，，
解得，
③直线与抛物线相切时，则，即，
则
，
解得：．
故答案为：或．
11．
【分析】由定义的新运算求得y关于x的函数为：，再由y关于x函数的图象与x轴仅有一个公共点得到，求解即可．
【详解】解：∵，
∴
即，
∵的图象与x轴仅有一个公共点，令，得，
∴，
∴，
解得：（舍去）或．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与二次函数图像和x轴交点坐标的关系，解题关键是熟记：一元二次方程有两个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有两个交点；一元二次方程有一个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有一个交点；一元二次方程（在实数范围）无解，说明二次函数图像和x轴的横坐标没有交点．
12．
【分析】由题意得二倍点所在直线为，则联立直线解析式与抛物线解析式可得方程有两个不相等的实数根；根据图示可得和时，抛物线上的点与直线的位置关系，即可建立不等式求解．
【详解】解：由题意得：二倍点所在直线为
令，则；令，则
设，如图所示：

联立和
则有：
∵二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，
∴
解得：
由图可得：
解得：
综上所述：
故答案为：
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合题．得出二倍点所在直线为，掌握数形结合的数学思想是解题关键．
13．或2/2或
【分析】根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到，从而解的方程即可．
【详解】解：由题意得：二次函数的解析式为，
，
解得：，，
故答案为：或2．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
14．
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，
联立方程，
当 时，抛物线与直线有两个交点，
即，
解得，
此时，直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入得，
把代入得，
，
解得，
满足题意．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
15．
【分析】根据新定义可求得点的限变点，根据新定义得到当时，，在时，得到；当时，，在时，得到，即可得到限变点的纵坐标n'的取值范围是．
【详解】解：∵， ，
∴，
∴点的限变点是，
∵点在二次函数的图象上，
∴
当时，，
∴，
当时，，
∴当时，，
综上，当时，其限变点的纵坐标n'的取值范围是，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
16． 2≤n′≤3
【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′＝ m2＋4m＋2 4＝ （m 2）2＋2，在0≤m≤3时，得到 2≤n′≤2；当m＜0时，n′＝m2 4m 2＝（m 2）2 6，在 1≤m＜0时，得到 2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是 2≤n′≤3．
【详解】解：由题意可知，
当m≥0时，n′＝ m2＋4m＋2 4＝ （m 2）2＋2，
∴当0≤m≤3时， 2≤n′≤2，
当m＜0时，n′＝m2 4m 2＝（m 2）2 6，
∴当 1≤m＜0时， 2＜n′≤3，
综上，当 1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是 2≤n′≤3，
故答案为： 2≤n′≤3
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
17．(1)是
(2)
(3)
【分析】（1）把代入求解即可判断；
（2）把代入可得与的关系，根据抛物线与只有一个交点可得，进而求解即可．
（3）先证明一次函数过，计算当时，，当一次函数的图象过时，可得得：，可得一次函数为：，结合当时，满足条件；从而可得答案．
【详解】（1）解：把代入得：
，
二次函数的图象经过点，是“定点抛物线”．
（2）解：∵抛物线为定点抛物线，
∴，
整理得：，
∴抛物线为，
∵抛物线为与直线只有一个公共点，
∴方程有两个相等实根，
∴方程有两个相等实根，
∴，
解得：；
（3）解：∵定点抛物线过，
当时，，
∴一次函数过，
如图，
当时，，
当一次函数的图象过时，
∴，
解得：，
∴一次函数为：，
∴当时，即时，满足条件；
【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合题，新定义的含义，二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意是解本题的关键．
18．(1)，对称轴为
(2)或
(3)
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，新定义的计算，整点的计算和利用割补法求三角形的面积，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）运用待定系数法求二次函数解析式，并根据公式计算对称轴即可；
（2）先求出点到轴的距离，然后得到点的纵坐标，代入新定义的式子计算即可；
（3）先根据割补法求出三角形的面积，然后利用待定系数法求出直线的解析式，求出整点的个数a和b，然后得到公式即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把，，代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为：，
即抛物线的对称轴为：；
（2）解：∵C点到x轴的距离为，
∴点的纵坐标，
当时，则，解得，
当时，则，解得，
∴点的坐标为或；
（3）解：，
设直线的解析式为，把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式为，的解析式为，
当时，，所以边上的格点为；
当时，，，所以三角形内部格点为；
当时，，，所以三角形内部格点为，；
当时，，，所以三角形内部格点为，，，边上的格点为；
当时，，，所以三角形内部格点为，；
当时，，所以三角形边上的格点为；
∴，，
即．
19．(1)不存在，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）采用待定系数法求出抛物线M的解析式为，根据二次函数的性质得到当时，y随x的增大而增大，由可得当时，随x的增大而增大，即不存在最大值，即可解答；
（2）结合图象即可求解；
（3）对于直线，有，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线M的解析式为，
∵抛物线M经过和点和，
∴，解得
∴抛物线M的解析式为，
∴抛物线M的开口向上，对称轴为，
当时，y随x的增大而增大，
∵，
由抛物线M的增减性可得，当时，随x的增大而增大，
∴随x的增大而增大，即不存在最大值，
∴抛物线M上不存在最值点．
（2）解：∵直线交抛物线M于，两点，
∴由图象可得，直线不低于抛物线时，x的取值范围为．
（3）解：对于直线，有
，
∴当时，有最大值，
此时，
∴直线的最值点为．
【点睛】本题考查新定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点问题等，正确理解函数的“最值点”是解题的关键．
20．(1)是“定点抛物线”
(2)
(3)
【分析】（1）把点代入计算，再根据“定点抛物线”的定义判定即可求解；
（2）根据“定点抛物线”的定义可得当时，，再根据抛物线与直线交点的计算，联立方程，由根与系数的关系得到，得到，由此即可求解；
（3）一次函数的图象与定点抛物线有交点，联立方程可得∴，即，根据横坐标的特点得到或，根据，得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴二次函数的图象经过点，
∴是“定点抛物线”；
（2）解：∵抛物线是定点抛物线，
∴当时，，
∴，
∵定点抛物线与直线只有一个公共点，
∴，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
解得，；
（3）解：根据题意，，
整理得，，
∴，即，
∴或，
∴交点的横坐标为或，
∵，
∴，
解得，，
∴的取值范围为：．
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