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第5部分第1节《平面向量的概念及线性运算》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．下列各式化简结果正确的是(　　)
A.＋＝
B.＋＋＋＝
C.＋－＝0
D.－－＝
2．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
【知识归纳】
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小称为向量的 ．
(2)零向量：长度为 的向量，记作 ．
(3)单位向量：长度等于 长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量 ．
(5)相等向量：长度相等且方向 的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向 的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律：a＋b＝ ；结合律：(a＋b)＋c＝________
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λa|＝ ，当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝ λ(μa)＝ ；(λ＋μ)a＝ ；λ(a＋b)＝
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
常用结论：
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0 P为△ABC的重心，＝(＋)．
4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【题型展示】
题型一　平面向量的基本概念
例1　(1)如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和相等的是(　　)
A. B. C. D.
(2)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关
D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b|
跟踪训练1　(1)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为(　　)
A. B. C. D.
(2)(多选)下列命题中正确的是(　　)
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
D．两个终点相同的向量，一定是共线向量
题型二　平面向量的线性运算
命题点1　向量加、减法的几何意义
例2　已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是________．
命题点2　向量的线性运算
例3　在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则等于(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
命题点3　根据向量线性运算求参数
例4　在△ABC中，＝2，＝2，P为线段DE上的动点，若＝λ＋μ，λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)
A．1 B. C. D．2
跟踪训练2　(1)P是△ABC所在平面上一点，满足＋＋＝2，△ABC的面积是S1，△PAB的面积是S2，则(　　)
A．S1＝4S2 B．S1＝3S2
C．S1＝2S2 D．S1＝S2
(2)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗．如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是(　　)
A.＋＝0 B.∥
C.＋＝2 D.＝＋
(3)在△ABC中，P是BC上一点，若＝2，＝λ＋μ，则2λ＋μ＝________.
题型三　共线定理及其应用
例5　已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
跟踪训练3　(1)如图，△ABC中，点M是BC的中点，点N满足＝，AM与CN交于点D，＝λ，则λ等于(　　)
A. B. C. D.
(2)若a，b是两个不共线的向量，已知＝a－2b，＝2a＋kb，＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k等于(　　)
A．－1 B．1 C. D．2
基础夯实
1．化简2(a－3b)－3(a＋b)的结果为(　　)
A．a＋4b B．－a－9b
C．2a＋b D．a－3b
2.已知＝a＋5b，＝－3a＋6b，＝4a－b，则(　　)
A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线
C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线
3.如图所示，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　)
A.0 　　　 B.
C. 　　　 D.
4.矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝(　　)
A. B. C.1 D.
5.在△ABC中，点M为AC上的点，且＝，若＝λ＋μ，则λ－μ的值是(　　)
A.1 B. C. D.
6．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，且＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
7．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ等于(　　)
A．2 B．－2 C．－ D.
8．已知△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB＝，若OC与线段AB交于点P，且满足＝λ＋μ，||＝，则λ＋μ的最大值为(　　)
A. B．1 C. D．2
9.已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　)
A.a＋b＝0
B.a＝b
C.a与b共线反向
D.存在正实数λ，使a＝λb
10．设a，b是平面内两个向量，“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．已知向量a和b不共线，向量＝a＋mb，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，若A，B，D三点共线，则m等于(　　)
A．3 B．2 C．1 D．－2
12．在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
13．(多选)下列命题中，正确的是(　　)
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．在△ABC中，＋＋＝0
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反
D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同
14.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A.若＝＋，则点M是边BC的中点
B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C.若＝－－，则点M是△ABC的重心
D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
15．设向量a，b不平行，向量ta＋b与a＋3b平行，则实数t的值为________．
16．已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若＝λ，＝μ，则＋＝________.
17.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
18.在锐角△ABC中，＝3，＝x＋y(x，y∈R)，则＝________.
19.已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确命题有________.
20.已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由.
21.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，；
(2)证明：B，E，F三点共线.
优化提升
22．已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(　　)
A．||＝||＝||
B.＋＋＝0
C.＝＋
D．S△MBC＝S△ABC
23．设P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为(　　)
A. B. C. D.
24．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－4＋3＝0，则等于(　　)
A. B. C. D.
25．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝，则＝＋
B．若＝2－3，则点M，B，C三点共线
C．若点M是△ABC的重心，则＋＋＝0
D．若＝x＋y且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
26.(多选)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正确的是(　　)
A.＝2
B.＋＋＝0
C.设BC边的中点为D，则有＝3
D.＝＝
27．在△ABC中，点D在线段AC上，且满足||＝||，点Q为线段BD上任意一点，若实数x，y满足＝x＋y，则＋的最小值为________．
28．如图，已知正六边形ABCDEF，M，N分别是对角线AC，CE上的点，使得＝＝r，当r＝________时，B，M，N三点共线．
29.如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为________.
30.经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R＋.
(1)证明：＋为定值；
(2)求m＋n的最小值.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．B　2.BCD　3.－
【知识归纳】
1．(1)方向　长度(或模)　(2)0　0　(3)1个单位　(4)相反　平行
(5)相同　(6)相反
2．b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同　相反　0　(λμ)a　λa＋μa　λa＋λb
3．b＝λa
【题型展示】
例1 (1)C
(2)DD
跟踪训练1 (1)D　(2)AC
例2 2 023　0
例3 B
例4 B
跟踪训练2 (1)B　(2)D　(3)
例5 证明　(1)若m＋n＝1，
则＝m＋(1－m)，
＝[m＋(1－m)]，
故m＋(1－m)
＝m＋(1－m)，
即m(－)＝(1－m)(－)，
m＝(1－m)，即，共线，
又，有公共点P，
则A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得＝λ，
变形得－＝λ(－)，
即(1＋λ)＝λ＋，
＝＝＋，
又＝m＋n，
＋＝1，
故m＋n＝1.
跟踪训练3 (1)C　(2)B
基础夯实
1．B　
2.A
3.D
4.A
5.C
6.D　
7.C
8．D
9.D
10.B　
11.A　
12.B　
13.BC　
14.ACD
15.　
16.3
17.
18.3
19.②③④
20.解　由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，
C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，
所以有解得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上.
21.(1)解　在△ABC中，因为＝a，＝b，
所以＝－＝b－a，
＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝＋＝－＋＝－a＋b.
(2)证明　因为＝－a＋b，
＝＋＝－＋
＝－a＋＝－a＋b
＝，
所以＝，与共线，
且有公共点B，
所以B，E，F三点共线.
优化提升
22．D
23．D
24．B
25．ACD
26.AB
27．4＋2
28.
29.
30.(1)证明　设＝a，＝b.
由题意知＝×(＋)
＝(a＋b)，
＝－＝nb－ma，
＝－＝a＋b，
由P，G，Q三点共线得，
存在实数λ，使得＝λ，
即nb－ma＝λa＋λb，
从而
消去λ得＋＝3.
(2)解　由(1)知，＋＝3，
于是m＋n＝(m＋n)
＝≥(2＋2)＝.
当且仅当m＝n＝时，m＋n取得最小值，最小值为.第5部分第2节《平面向量基本定理及坐标表示》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列结论成立的是(　　)
A．a－c与b共线 B．b＋c与a共线
C．a与b－c共线 D．a＋b与c共线
2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　)
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
3．下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(2，－3)，e2＝()
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
【知识归纳】
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，
一对实数λ1，λ2，使a＝ .
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 ．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，
λa＝ ，|a|＝ .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则 坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ ，||＝ .
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b .
常用结论：
已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
【题型展示】
题型一　平面向量基本定理的应用
例1　(1)已知在△ABC中，＝a，＝b，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，若＝xa＋yb，则x＋y＝________.
(2)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则等于(　　)
A.－ B.＋
C.－ D.＋
跟踪训练1　(1)如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
(2)(多选)下列命题中正确的是(　　)
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B．若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋yb
C．若＝x＋y，则P，M，A，B共面
D．若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得＝x＋y
题型二　平面向量的坐标运算
例2　(1)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)
A. B.
C．2 D.
(2)已知＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，则点D的坐标为(　　)
A．(－2,3) B．(2，－3)
C．(－2,1) D．(2，－1)
跟踪训练2　(1)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示c，则(　　)
A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b
C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b
(2)已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为(　　)
A．(2,4) B．(－14,16)
C．(6,1) D．(22，－11)
题型三　向量共线的坐标表示
命题点1　利用向量共线求参数
例3　已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
命题点2　利用向量共线求向量或点的坐标
例4　设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为(　　)
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)
跟踪训练3　(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝，若m＝(c－，a－b)，n＝(a－b，c＋)，且m∥n，则△ABC的面积为(　　)
A．3 B. C. D．3
(2)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为(　　)
A. B. C. D.
基础夯实
1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是(　　)
A.(2，2)
B.(－2，－2)
C.(1，1)
D.(－1，－1)
2.在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是(　　)
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
3.如图，已知＝a，＝b，＝4，＝3，则＝(　　)
A.b－a 　　 B.a－b
C.a－b 　　 D.b－a
4．(2023·南京模拟)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　)
A. B. C. D.
5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　)
A.a－b B．a－b
C．－a＋b D．－a＋b
7.如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，＝x＋y，则x等于(　　)
A. B.
C. D.
8．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m不可能是(　　)
A．－2 B. C．1 D．－1
9.已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且＋＋2＝0，则△AOB的面积是(　　)
A.4 B.
C. D.2
10.在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2||＋||＝1，设＝x＋y，则2x＋3y的最小值为(　　)
A.48 B.49 C.50 D.51
11．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是(　　)
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1－2e2与－e1＋2e2
12．已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
13．已知点P是△ABC所在平面内一点，且＋＋＝0，则(　　)
A.＝－＋
B.＝＋
C.＝－－
D.＝－
14.(多选)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是(　　)
A.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc
C.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc
D.给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc
15．(多选)若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断不正确的是(　　)
A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直 D．a与b中至少有一个为0
16．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2,0)，若向量ma＋b与2a－nb共线，则mn＝________.
17．若在△ABC中，AB＝，∠ABC＝，BC＝3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ－2μ＝________.
18.已知O为坐标原点，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则||＝________.
19.已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，则＝________.
20.已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________.
21.已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线，
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
22.如图，在△ABC中，＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值.
优化提升
23．在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
24．在△ABC中，D是直线AB上的点．若2＝＋λ，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则等于(　　)
A. B. C. D.
25.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A.3 B.2 C. D.2
26.(多选)在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ(λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是(　　)
A.λμ的最小值为16
B.λμ的最大值为
C.＋的最大值为16
D.＋的最小值为4
27．(多选)已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意a，b∈E，t∈(0,1)，均有ta＋(1－t)b∈E，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有(　　)
A．{(x，y)|y≥ex} B．{(x，y)|y≥ln x}
C．{(x，y)|x＋2y－1≥0} D．{(x，y)|x2＋y2≤1}
28．已知0<θ<π，向量a＝，b＝(1，sin θ)，且a∥b，则θ＝________.
29．如图，扇形的半径为1，且⊥，点C在弧AB上运动，若＝x＋y，则2x＋y的最小值是________．
30.如图，矩形LMNK，LM＝6，sin∠MLN＝，⊙E的半径为1，且E为NK的中点，P为圆E上的动点，设＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值是________．
31.如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．C　2.A　3.D
【知识归纳】
1．不共线　有且只有　λ1e1＋λ2e2
基底
2．互相垂直
3．(1)(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)　(λx1，λy1)
　(2)①终点
②(x2－x1，y2－y1)
4．x1y2－x2y1＝0
【题型展示】
例1 (1)－
(2)C
跟踪训练1 (1)6
(2)AC
例2 (1)B
(2)D
跟踪训练2 (1)D　(2)A
例3 B
例4 C
跟踪训练3 (1)C　(2)B
基础夯实
1.D
2.B
3.D
4.A　
5.C
7．C
8．C
9.D
10.B
11．D　
12.D　
13.D　
14.AB
15．ACD　
16．－2　
17.0
18.
19.－
20.
21.解　(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)法一　∵A，B，C三点共线，
∴＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
法二　＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，
∴m＝.
22.解　(1)在△ABC中，
由＝＋，
得4－3－＝0，
即3(－)＝－，即3＝，
即点M是线段BC上的靠近B的四等分点，
∴△ABM与△ABC的面积之比为.
(2)∵＝＋，
＝x＋y(x，y∈R)，
∥，＝，
∴设＝λ＝＋
＝＋.
∵N，P，C三点共线，∴＋＝1，
解得λ＝，x＝＝，y＝λ＝，
故x＋y＝.
优化提升
23．B
24．D
25.A
26.BD
27．ACD
28.
29．1
30.
31.解　以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
由tan α＝7知α为锐角，
则sin α＝，cos α＝，
故cos(α＋45°)＝－，sin(α＋45°)＝.
∴点B，C的坐标分别为
，，
∴＝，＝.
又＝m＋n，
∴＝m(1，0)＋n，
∴解得
∴m＋n＝＋＝.第5部分第3节《平面向量的数量积及应用》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于(　　)
A．1 B. C．3 D．3
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
3．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于________；a与b夹角的余弦值等于________．
【知识归纳】
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积，记作 .
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b ，叫做向量a在向量b上的 ．记为 .
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝ .
(2)(λa)·b＝ ＝ ．
(3)(a＋b)·c＝ .
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝__________
模 |a|＝_______ |a|＝_________
夹角 cos θ＝_____ cos θ＝___________
a⊥b的充要条件 a·b＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
常用结论：
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
【题型展示】
题型一　平面向量数量积的基本运算
例1　(1)在等边△ABC中，AB＝6，＝3，＝2，则·＝________.
(2)在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cos θ＝，则·等于(　　)
A．8 B．－8 C．2 D．－2
跟踪训练1　(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
(2)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线BD上，则·的值为(　　)
A．－2 B．2 C．1 D．4
题型二　平面向量数量积的应用
命题点1　向量的模
例2　已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋2b|等于(　　)
A．1＋2 B.
C. D．3
命题点2　向量的夹角
例3　若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
命题点3　向量的垂直
例4　已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________.
跟踪训练2　(1)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于(　　)
A．－6 B．－5 C．5 D．6
(2)(多选)已知e1，e2是单位向量，且e1·e2＝，若向量a满足e1·a＝2，则下列选项正确的是(　　)
A．|e1－e2|＝1 B．e1在e2上的投影向量的模为
C．e1与e1－e2的夹角为 D．a在e1上的投影向量为2e1
题型三　平面向量的实际应用
例5　在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是(　　)
A．|G|＝|F1|＋|F2|
B．当θ＝时，|F1|＝|G|
C．当θ角越大时，用力越省
D．当|F1|＝|G|时，θ＝
跟踪训练3　长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
题型四　平面向量在几何中的应用
例6　(1)在△ABC中，＝a，＝b，D是AC的中点，＝2，试用a，b表示为________，若⊥，则∠ACB的最大值为________．
(2)如图，在△ABC中，cos∠BAC＝，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝，则△ABC的面积的最大值为________．
跟踪训练4　(1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　)
A．3 B．3 C．3 D．6
(2)在△ABC中，已知·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
题型五　和向量有关的最值(范围)问题
命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例7　如图，在△ABC中，点P满足2＝，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝x，＝y(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为(　　)
A．3 B．3 C．1 D.
命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题
例8　已知在边长为2的正△ABC中，M，N分别为边BC，AC上的动点，且CN＝BM，则·的最大值为________．
命题点3　与模有关的最值(范围)问题
例9　已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　)
A．[－1，＋1] B．[－1，]
C．[，＋1] D．[2－，2＋]
跟踪训练5　(1)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　)
A．[－5,3] B．[－3,5]
C．[－6,4] D．[－4,6]
(2)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|－－|＝1，则||的最小值为(　　)
A.－1 B．2－1 C．2－1 D.－1
(3)已知平行四边形ABCD的面积为9，∠BAD＝，E为线段BC的中点．若F为线段DE上的一点，且＝λ＋，则||的最小值为(　　)
A. B．3 C. D.
基础夯实
1.已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)
A.－ B.0 C.3 D.
2.已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a·c＝b·c＝2，则c的模为(　　)
A.1 B. C.2 D.2
3．已知a，b为非零向量，且|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
4．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　)
A．3 B. C．2 D.
5．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P是BC的中点，则·等于(　　)
A．0 B. C．3 D.
6．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则·等于(　　)
A．8 B. C．8 D．18
7.在以OA为边，以OB为对角线的菱形OABC中，＝(4,0)，＝(6，a)，则∠AOC等于(　　)
A. B. C. D.
8．已知P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：＋＋＝0；
乙：·(－)＝·(－)；
丙：||＝||＝||；
丁：·＝·＝·.
如果只有一个等式不成立，则该等式为(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9.若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　)
A. B. C. D.
10.在平行四边形ABCD中，已知＝，＝，||＝，||＝，则·＝(　　)
A.－9 B.－ C.－7 D.－
11．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于(　　)
A．12 B．12 C．－12 D．－12
12．已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于(　　)
A．5 B．6 C. D．4
13.(多选)如图，点A，B在圆C上，则·的值(　　)
A.与圆C的半径有关
B.与圆C的半径无关
C.与弦AB的长度有关
D.与点A，B的位置有关
14.(多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是(　　)
A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
B.(a·b)·c＝a·(b·c)
C.a·b≤|a|·|b|
D.|a－b|≤|a|＋|b|
15．已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为________．
16．设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________.
17.若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.
18.已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为________.
20.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值.
优化提升
22．四边形ABCD中，＝，(＋)·(－)＝0，则这个四边形是(　　)
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．等腰梯形
23.如图，在△ABC中，＝，E为线段AD上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．9 C．12 D．16
24．在△ABC中，A＝，G为△ABC的重心，若·＝·＝6，则△ABC外接圆的半径为(　　)
A. B. C．2 D．2
25．在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AB⊥AD，点P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则(＋)·的最小值是(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
26．设向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c·(a＋b－c)＝0，则|c|的最大值等于(　　)
A．1 B．2 C．1＋ D.
27．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则·的取值范围是(　　)
A．[1,2] B．[2,3]
C.[] D.[]
28．已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是(　　)
A．(－6，＋∞)
B.()
C.()∪()
D.()∪()
29．(多选)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　)
A．若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心
B．若·＝·＝0，则点O为△ABC的垂心
C．若(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的外心
D．若·＝·＝·，则点O为△ABC的内心
30．(多选)如图，点A，B在圆C上，则·的值(　　)
A．与圆C的半径有关
B．与圆C的半径无关
C．与弦AB的长度有关
D．与点A，B的位置有关
31．(多选)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则(　　)
A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5 N
B．当F2与F1方向相反，且|F2|＝5 N时，物体所受合力大小为0
C．当物体所受合力为F1时，|F2|＝4 N
D．当|F2|＝2 N时，3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N
32．(多选)已知O为坐标原点，点A(1,0)，P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β)，P3(cos(α－β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是(　　)
A．||＝||
B．||＝||
C.·＝·
D.·＝·
33.(多选)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则(　　)
A.||＝||
B.||＝||
C.·＝·
D.·＝·
34．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|2＋3|的最小值为________．
35．已知P是边长为4的正△ABC所在平面内一点，且＝λ＋(2－2λ)(λ∈R)，则·的最小值为________．
36．在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．
37．设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则＋＋…＋的取值范围是______________．
38．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是BC的中点，F是AB上一点，且·＝0，则·＝________.
39.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝(||2－||2)，我们称为极化恒等式．在△ABC中，M是BC中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
40．在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中·的值为________．
41.已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，M是AB边上的动点，则|＋|的最小值为________.
42.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cosθ，sin θ－2cosθ)，求m·n的最小值及对应的θ值.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．C　2.2　3.5　
【知识归纳】
1．∠AOB
2．|a||b|cos θ　a·b
3．投影　投影向量　|a|cos θ e
4．(1)b·a　(2)λ(a·b)　a·(λb)　(3)a·c＋b·c
5．x1x2＋y1y2　　　　
x1x2＋y1y2＝0
【题型展示】
例1 (1)22
(2)D
跟踪训练1 (1)12
(2)B
例3 C
例4 －
跟踪训练2 (1)C　(2)ABD
例5 B
跟踪训练3 B
例6 (1)b－a　
(2)
跟踪训练4 (1)A
(2)A
例7 A
例8 －
例9 A
跟踪训练5 (1)D
(2)C
(3)D
基础夯实
1.C
2.D
3.B　
4.B　
5.C　
6.A
7．B　
8．B
9.D
10.B
11．C　
12.A　
13.BC
14.ACD
15.　
16.11
17.3
18.－
19.－
20.解　(1)因为a＝(cos x，sin x)，
b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，
故cos x≠0，于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.
21.解　(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，
所以sin A＞0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝，
根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋).
故△ABC的面积S＝acsin B≤，
因此△ABC的面积的最大值为.
优化提升
22．A　
23.D　
24.C　
25.A
26．D
27．B
28．C
29．AC
30.BC　
31．ACD
32．ABD
33.AC
34．7
35．5
36.
37．[12＋2，16]
38．－
39．－16
40．6
41.3
42.解　(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝＋，
所以t＝时，|＋|最小，
最小值为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，
m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ
＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，
即θ＝时，sin取得最大值1，
即m·n取得最小值1－.
所以m·n的最小值为1－，此时θ＝.第5部分第4节《复数》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．已知复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，则在复平面内z对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为________．
3．已知复数z满足(3＋4i)·z＝5(1－i)，则z的虚部是________．
【知识归纳】
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 是复数z的实部， 是复数z的虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di (a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数 (a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)→复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)→平面向量.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
④除法：＝＝＝ (c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝ ，＝ .
常用结论：
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
【题型展示】
题型一　复数的概念
例1　(1)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|等于(　　)
A．1 B．5 C．7 D．25
(2)(多选)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是(　　)
A．复数z的虚部为
B．＝－i
C．z2＝z＋1
D．复数z的共轭复数为－＋i
(3)已知复数z满足＝i，则＝________.
跟踪训练1　(1)若复数z＝的实部与虚部相等，则实数a的值为(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)若i(1－z)＝1，则z＋等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
(3)若z＝1＋i，则|iz＋3|等于(　　)
A．4 B．4 C．2 D．2
题型二　复数的四则运算
例2　(1)若z＝－1＋i，则等于(　　)
A．－1＋i B．－1－i
C．－＋i D．－－i
(2)(多选)设复数z1，z2，z3满足z3≠0，且|z1|＝|z2|，则下列结论错误的是(　　)
A．z1＝±z2 B．z＝z
C．z1·z3＝z2·z3 D．|z1·z3|＝|z2·z3|
跟踪训练2　(1)(2＋2i)(1－2i)等于(　　)
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
(2)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则的虚部为(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
题型三　复数的几何意义
例3　(1)在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为(　　)
A. B. C. D.
(2)棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(3)设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是(　　)
A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
B．若|z＋1|＝1，则点Z的集合为以(1,0)为圆心，1为半径的圆
C．若1≤|z|≤，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
D．若|z－1|＝|z＋i|，则点Z的集合中有且只有两个元素
跟踪训练3　(1)已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为(　　)
A．1 B．2 C. D.
(2)设复数z满足|z－1|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4
C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4
(3)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
基础夯实
1．已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(　　)
A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3
2.已知＝1＋i(其中i为虚数单位)，则复数|z|＝(　　)
A.i B.－i C.1 D.2
3.在复平面内，复数＝(i为虚数单位)，则z对应的点的坐标为(　　)
A.(3，4) B.(－4，3)
C.() D.()
4.复平面内表示复数z＝i(a－i)(a＜0)的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5．已知复数z满足(1－i)2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数的虚部为(　　)
A．1 B．－1 C．i D．－i
6．已知复数z＝，i为虚数单位，则|z|等于(　　)
A．2 B．2 C．2 D．2
7．非零复数z满足＝－zi，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A．实轴 B．虚轴
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
8．已知复数z＝(a∈R，i是虚数单位)的虚部是－3，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9.设复数z满足|z－i|＝|z＋i|，i为虚数单位，且z在复平面内对应的点为Z(x，y)，则下列结论一定正确的是(　　)
A.x＝1 B.y＝1 C.x＝0 D.y＝0
10.如果关于x的方程2x2＋3ax＋a2－a＝0至少有一个模等于1的根，那么实数a的值(　　)
A.不存在 B.有一个
C.有三个 D.有四个
11.已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝(　　)
A.－1 B.1 C.－3 D.3
12．复数z＝(i为虚数单位)的虚部是(　　)
A．－1 B．1 C．－i D．i
13．若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则等于(　　)
A．－2＋i B．－2－i
C．2＋i D．2－i
14．复数z＝－i5在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
15.已知i为虚数单位，若复数z＝＋i，则复数的虚部为(　　)
A.－ B. C.－i D.i
16.(多选)已知i为虚数单位，复数z＝，则以下说法正确的是(　　)
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.z的虚部是－
C.|z|＝3
D.若复数z1满足|z1－z|＝1，则|z1|的最大值为1＋
17.若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.
18.若复数z＝i＋i2 022，则＋的模等于________.
19.设O是坐标原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i.那么向量对应的复数是________.
20.若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是________，a＝________.
21．i是虚数单位，设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝________，|x＋yi|＝________.
22．若复数z满足z·i＝2－i，则|z|＝________.
优化提升
23．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ(其中e＝2.718…，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，下列结论中正确的是(　　)
A．eiπ的实部为0
B．e2i在复平面内对应的点在第一象限
C．|eiθ|＝1
D．eiπ的共轭复数为1
24．若复数(x－3)＋yi(x，y∈R)的模为2，则的最大值为(　　)
A. B. C. D.
25．方程z2－4|z|＋3＝0在复数集内解的个数为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．8
26．(多选)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则下列说法正确的是(　　)
A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限
B.＝－－i
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4
D．|z2－z1|的最大值为3＋2
27.(多选)设z为复数，则下列命题中正确的是(　　)
A.|z|2＝z·
B.z2＝|z|2
C.若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2
D.若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2
28.(多选)欧拉公式exi＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是(　　)
A.复数e2i对应的点位于第三象限
B.为纯虚数
C.复数的模长等于
D.的共轭复数为－i
29.已知复数z满足是纯虚数，则|z2＋z＋3|的最小值为________.
30.已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z－2|＝1，则的取值范围是________.
31．在数学中，记表达式ad－bc为由所确定的二阶行列式．若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝，z3＝2，则当＝－i时，z4的虚部为________．
32．投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数为虚数的概率为________．
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．A　2.－3　3.－
【知识归纳】
1．(1)a　b　(2)＝　≠　＝
(3)a＝c且b＝d　(4)a＝c，b＝－d
(5)|a＋bi|　|z|　
3．(1)①(a＋c)＋(b＋d)i　②(a－c)＋(b－d)i　③(ac－bd)＋(ad＋bc)i　④＋i
(2)＋
－
【题型展示】
例1 (1)B
(2)AB
(3)＋i
跟踪训练1 (1)A　(2)D　(3)D
例2 (1)C
(2)ABC
跟踪训练2 (1)D　(2)B
例3 (1)C
(2)C
(3)C
跟踪训练3 (1)B　(2)A　(3)B
基础夯实
1．B　
2.C
3.D
4.D
5.B　
6.C
7．C　
8.D　
9.D
10.C
11.C
12.A　
13.C　
14.C　
15.A
16.AD
17.－2
18.6
19.5－5i
20.2＋3i　13
21.1　　
22.
优化提升
23．C
24．A
25．C　
26．ABD
27.ACD
28.BC
29.
30.
31．－2
32.

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