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10.2.2　复数的乘法与除法
课标要求　1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
【引入】 复数的代数形式的加法、减法可参照多项式的相关运算法则进行，那么复数的乘除法可以看作多项式乘除吗？这正是这一节我们要研究的问题.
一、复数乘法的运算法则和运算律
探究1 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？
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探究2 (链接教材P37)我们知道两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有c(a＋b)＝ac＋bc，而且实数的正整数次幂满足aman ＝am＋n，(am)n ＝amn，(ab)n ＝anbn，其中m，n均为正整数，那么，你认为复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？请证明你的猜想.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【知识梳理】
1.复数的乘法法则
一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝________________.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝________________
结合律 (z1z2)z3＝____________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝____________
温馨提示　1.对复数乘法的两点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1).
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用.
2.常用公式及结论
①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i；
④z＝|z|2.
例1 (链接教材P38例2)(1)(2＋2i)(1－2i)＝(　　)
A.－2＋4i B.－2－4i
C.6＋2i D.6－2i
(2)计算下列各题：
①(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
②(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；
③(1－2i)(3＋4i)(－2＋i).
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思维升华　复数乘法运算的注意事项
(1)复数的乘法运算与二项式乘二项式类似，展开后化简即可，注意i2＝－1的应用.
(2)多个复数的乘法运算，可以利用乘法交换律和结合律进行简便运算，注意两个共轭复数的积是实数.
提醒：灵活运用“平方差公式”“完全平方公式”进行复数乘法计算.
训练1 (1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于(　　)
A.2i－13 B.13＋2i
C.13－2i D.－13－2i
(2)已知虚数z＝1＋bi(b∈R)满足(z－)i＝1－z，则b＝(　　)
A.－1 B.1
C.2 D.－2
二、复数除法的运算法则
探究3 复数的除法运算与乘法运算有什么联系？怎样由复数的乘法运算进行复数的除法运算？
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【知识梳理】
1.如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数.
2.一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数.
3.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
则＝＝＝＋i.
温馨提示　对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式的分母“有理化”很类似.
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.
特别提醒：①复数的除法类似于根式的分母有理化；②复数倒数运算：设z＝a＋bi，则＝，且＝.
例2 (链接教材P39例3)计算：
(1)；
(2).
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思维升华　复数除法运算的注意事项
(1)将复数的除法运算转化为“分式”的形式，再分子分母同乘以分母的“共轭复数”计算.
(2)多个复数的除法运算，有括号先算括号内的，没有括号按照从左向右的顺序进行计算.
提醒：复数的除法运算不满足交换律和结合律.
训练2 (1)(多选)下面关于复数z＝，正确的是(　　)
A.|z|2＝2
B.z2＝－2i
C.z的虚部为－i
D.z的共轭复数为1＋i
(2)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于(　　)
A. B.
C.1 D.2
三、实系数一元二次方程在复数范围内的解
探究4 (链接教材P39)我们已经知道虚数i是方程x2＝－1的一个解，还有其他复数是这个方程的解吗？如果实数a>0，那么方程x2＝－a在复数范围内的解集是什么？
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【知识梳理】
1.实系数一元二次方程根的判定
当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的.
(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的________；
(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程有两个互为________的虚数根.
2.实系数一元二次方程根与系数的关系
实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是实数，且a≠0)的两根为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.
例3 (链接教材P39例4)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根.
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根.
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思维升华　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝；
②当Δ<0时，x＝.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解.
训练3 (1)(多选)方程x2＋6x＋13＝0的一个根是(　　)
A.－3＋2i B.－3－2i
C.－2＋3i D.2＋3i
(2)已知＋i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a＝________，b＝________.
【课堂达标】
1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(多选)设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于(　　)
A.i B.－i
C.1 D.－1
3.方程x2＋3＝0在复数范围内的解集为_________________.
4.计算：(1)＋(1＋2i)2＝________；
(2)＋＋＋＝________.
10.2.2　复数的乘法与除法
探究1　提示　复数的乘法法则如下：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)·(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
探究2　提示　猜想：
对于任意z1，z2，z3∈C，有
(1)交换律：z1·z2＝z2·z1；
(2)结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；
(3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
证明：
设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i.
(1)∵z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)
＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i，
z2z1＝(a2＋b2i)(a1＋b1i)
＝(a2a1－b2b1)＋(b2a1＋a2b1)i，
又a1a2－b1b2＝a2a1－b2b1，
b1a2＋a1b2＝b2a1＋a2b1，
∴z1z2＝z2z1.
(2)(3)略.
知识梳理
1.(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2.z2z1　z1(z2z3)　z1z2＋z1z3
例1　(1)D　[(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i.]
(2)解　①(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)
＝1－i2－1＋i＝1＋i.
②(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
③(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)
＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.
训练1　(1)D　(2)C　[(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
(2)因为z＝1＋bi，所以(z－)i＝[(1＋bi)－(1－bi)]i＝2bi2＝－2b，
1－z＝1－(1＋bi)(1－bi)＝－b2，
又(z－)i＝1－z，
所以－2b＝－b2，解得b＝0或b＝2，
因为z＝1＋bi为虚数，
所以b≠0，故b＝2，故选C.]
探究3　提示　复数的除法运算与乘法运算互为逆运算，可以由复数的乘法运算得到除法运算法则，即x＋yi＝＝z z1＝zz2.
设复数a＋bi除以非零复数c＋di的商为x＋yi，
即x＋yi＝等价于(x＋yi)(c＋di)＝a＋bi，通过相等复数解方程可得，(xc－yd)＋(xd＋yc)i＝a＋bi，
所以消去y，
解得x＝.
同理消去x，解得y＝.
所以＝＋i (c＋di≠0).
例2　解　(1)＝
＝＝＝＋i.
(2)
＝＝
＝＝
＝＝1－i.
训练2　(1)ABD　(2)A　[(1)因为z＝＝＝1－i，
所以|z|＝，|z|2＝2，故A正确；
z2＝(1－i)2＝－2i，故B正确；
z的虚部为－1，故C错误；
z的共轭复数为1＋i，故D正确，故选ABD.
(2)法一　因为z＝＝
＝＝＝
＝－＋，
所以＝－－，
所以z·＝.
法二　因为z＝，
所以|z|＝
＝＝＝，
所以z·＝.]
探究4　提示　－i是x2＝－1的解.可以看出，当实数a>0时，方程x2＝－a在复数范围内的解集为{i，－i}.
知识梳理
1.(1)实数根　(3)共轭
例3　解　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即b＋c＋(b＋2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程式成立.
∴1－i是方程的根.
训练3　(1)AB　(2)1　－　[(1)∵方程x2＋6x＋13＝0中Δ＝62－13×4＝－16＜0，
∴x＝＝－3±2i.
(2)由题意知－i也是方程ax2＋bx＋1＝0的根，
∴
∴]
课堂达标
1.D　[＝＝＋i，其共轭复数为－i，对应的点为在第四象限，故选D.]
2.AB　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi，
由z＋＝4，z·＝8，
得
所以
所以z＝2＋2i，＝2－2i或z＝2－2i，＝2＋2i，＝＝＝＝±i.]
3.{i，－i}　[由题意，得x2＝－3＝(±i)2，
所以方程在复数范围内的解集为{i，－i}.]
4.(1)－2＋4i　(2)0　[(1)原式＝＋(－3＋4i)＝－3＋4i
＝(－i)8－3＋4i＝－2＋4i.
(2)∵＝－i，＝i，＝－i，＝i，
∴原式＝－i＋i－i＋i＝0.](共57张PPT)
10.2.2　复数的乘法与除法
第十章 10.2　复数的运算
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
课标要求
复数的代数形式的加法、减法可参照多项式的相关运算法则进行，那么复数的乘除法可以看作多项式乘除吗？这正是这一节我们要研究的问题.
引入
课时精练
一、复数乘法的运算法则和运算律
二、复数除法的运算法则
三、实系数一元二次方程在复数范围内的解
课堂达标
内容索引
复数乘法的运算法则和运算律
一
探究1 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？
提示　复数的乘法法则如下：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)·(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
探究2 (链接教材P37)我们知道两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有c(a＋b)＝ac＋bc，而且实数的正整数次幂满足aman ＝am＋n，(am)n ＝amn，(ab)n ＝anbn，其中m，n均为正整数，那么，你认为复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？请证明你的猜想.
提示　猜想：
对于任意z1，z2，z3∈C，有
(1)交换律：z1·z2＝z2·z1；
(2)结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；
(3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
证明：
设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i.
(1)∵z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i，
z2z1＝(a2＋b2i)(a1＋b1i)＝(a2a1－b2b1)＋(b2a1＋a2b1)i，
又a1a2－b1b2＝a2a1－b2b1，
b1a2＋a1b2＝b2a1＋a2b1，
∴z1z2＝z2z1.
(2)(3)略.
1.复数的乘法法则
一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝__________________________________.
知识梳理
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝__________
结合律 (z1z2)z3＝__________________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝____________________
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
温馨提示
(链接教材P38例2)(1)(2＋2i)(1－2i)＝
A.－2＋4i B.－2－4i C.6＋2i D.6－2i
例1
√
(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i.
(2)计算下列各题：
①(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；②(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；③(1－2i)(3＋4i)(－2＋i).
①(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
②(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
③(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.
复数乘法运算的注意事项
(1)复数的乘法运算与二项式乘二项式类似，展开后化简即可，注意i2＝－1的应用.
(2)多个复数的乘法运算，可以利用乘法交换律和结合律进行简便运算，注意两个共轭复数的积是实数.
提醒：灵活运用“平方差公式”“完全平方公式”进行复数乘法计算.
思维升华
(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于
A.2i－13 B.13＋2i C.13－2i D.－13－2i
训练1
√
(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
√
复数除法的运算法则
二
探究3 复数的除法运算与乘法运算有什么联系？怎样由复数的乘法运算进行复数的除法运算？
知识梳理
温馨提示
例2
思维升华
复数除法运算的注意事项
(1)将复数的除法运算转化为“分式”的形式，再分子分母同乘以分母的“共轭复数”计算.
(2)多个复数的除法运算，有括号先算括号内的，没有括号按照从左向右的顺序进行计算.
提醒：复数的除法运算不满足交换律和结合律.
√
训练2
√
√
√
实系数一元二次方程在复数范围内的解
三
探究4 (链接教材P39)我们已经知道虚数i是方程x2＝－1的一个解，还有其他复数是这个方程的解吗？如果实数a>0，那么方程x2＝－a在复数范围内的解集是什么？
1.实系数一元二次方程根的判定
当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的.
(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的________；
(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程有两个互为______的虚数根.
知识梳理
实数根
共轭
(链接教材P39例4)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根.
(1)求b，c的值；
例3
∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即b＋c＋(b＋2)i＝0，
(2)试判断1－i是不是方程的根.
由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，
即方程式成立.
∴1－i是方程的根.
思维升华
(1)(多选)方程x2＋6x＋13＝0的一个根是
A.－3＋2i B.－3－2i C.－2＋3i D.2＋3i
训练3
√
√
∵方程x2＋6x＋13＝0中Δ＝62－13×4＝－16＜0，
1
【课堂达标】
√
√
√
3.方程x2＋3＝0在复数范围内的解集为_____________________.
－2＋4i
0
【课时精练】
√
√
√
√
∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
√
√
－2
7.若－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为______________.
－3－2i
实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数，∴－3＋2i的共轭复数－3－2i也是方程的根.
1
√
√
由已知得z＝－1－2i，
因为复数(1＋ai)z是纯虚数，
则(1＋ai)(－1－2i)＝－1＋2a＋(－a－2)i，
所以－1＋2a＝0，且－a－2≠0，
13.已知i是虚数单位，且复数z满足(z－3)(2－i)＝5.
(1)求z及|z－2＋3i|；
∵(z－3)(2－i)＝5，
(2)若z·(a＋i)是纯虚数，求实数a的值.
由(1)可知，z＝5＋i，
∴z·(a＋i)＝(5＋i)(a＋i)＝(5a－1)＋(a＋5)i.
又z·(a＋i)是纯虚数，
14.设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则|z|＝________，复数z对应的点位于复平面的____________象限.
第一或第三
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i.课时精练10　复数的乘法与除法
(分值：100分)
单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共12分.
一、基础巩固
1.＝(　　)
－－i －＋i
－－i －＋i
2.在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)
第一象限 第二象限
第三象限 第四象限
3.设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数.若z＝1＋i，则＋i·＝(　　)
－2 －2i
2 2i
4.若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)
－4 －
4
5.(多选)下列命题中是真命题的为(　　)
若复数z满足∈R，则z∈R
若复数z满足z2∈R，则z∈R
若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2
若复数z∈R，则∈R
6.已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________.
7.若－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为________.
8.设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数＋的虚部为________.
9.(13分)计算：(1)＋；
(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i).
10.(15分)已知复数z＝.
(1)求z的实部与虚部；
(2)若z2＋m＋n＝1－i(m，n∈R，是z的共轭复数)，求m和n的值.
二、综合运用
11.(多选)复数z＝，则下列说法中正确的是(　　)
的虚部为1 z·＝3
|z|＝ z＋＝4
12.已知复数z满足(1＋i)z＝1－3i，若复数(1＋ai)z是纯虚数，则实数a的值为________；若复数z的共轭复数为，则复数＝________.
13.(15分)已知i是虚数单位，且复数z满足(z－3)·(2－i)＝5.
(1)求z及|z－2＋3i|；
(2)若z·(a＋i)是纯虚数，求实数a的值.
三、创新拓展
14.设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则|z|＝________，复数z对应的点位于复平面的________象限.
复数的乘法与除法
1.D　[＝＝－＋i，
故选D.]
2.B　[＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)＝－＋i，
对应点在第二象限.]
3.C　[∵z＝1＋i，∴＝1－i，
则＋i＝＋i·(1－i)＝1－i＋i＋1＝2.]
4.D　[∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴z＝＝＝＝＋i，则z的虚部是.]
5.AD　[A中，＝∈R，
∴∈R，从而z∈R，正确；
B中，取z＝i，不成立；
C中，取z1＝i，z2＝2i，不成立；
D中，实数的共轭复数是它本身，正确.]
6.－2　[＝＝
＝－i为实数，
则－＝0，a＝－2.]
7.－3－2i　[实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数，∴－3＋2i的共轭复数－3－2i也是方程的根.]
8.1　[∵＋＝＋＝＋＋i＝－＋ i＋＋ i＝i，
∴虚部为1.]
9.解　(1)＋＝＋
＝i(1＋i)＋＝－1＋i＋(－i)1 005
＝－1＋i－i＝－1.
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i＋25－25i＝47－39i.
10.解　(1)z＝＝＝2＋i，
所以z的实部为2，虚部为1.
(2)把z＝2＋i代入z2＋m＋n＝1－i，
得(2＋i)2＋m(2－i)＋n＝1－i，
所以
解得
11.AC　[z＝＝＝－2－i，
所以＝－2＋i，
对于A，的虚部为1，故A正确；
对于B，z·＝(－2)2－i2＝5，故B不正确；
对于C，|z|＝＝，故C正确；
对于D，z＋＝－4，故D不正确，故选AC.]
12.　－1－i　[由已知得z＝－1－2i，
因为复数(1＋ai)z是纯虚数，
则(1＋ai)(－1－2i)＝－1＋2a＋(－a－2)i，
所以－1＋2a＝0，且－a－2≠0，
所以实数a的值为.
因为z的共轭复数为＝－1＋2i，
所以复数＝－1－i.]
13.解　(1)∵(z－3)(2－i)＝5，
∴z＝＋3＝＋3
＝(2＋i)＋3＝5＋i.
∴|z－2＋3i|＝|3＋4i|＝＝5.
(2)由(1)可知，z＝5＋i，
∴z·(a＋i)＝(5＋i)(a＋i)＝(5a－1)＋(a＋5)i.
又z·(a＋i)是纯虚数，
∴5a－1＝0且a＋5≠0，解得a＝.
14.　第一或第三　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i.
∴∴或
∴z＝2＋i或－2－i，
对应的点在第一或第三象限，|z|＝.]

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