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课时精练27　空间角的求法
(分值：100分)
单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共12分.
一、基础巩固
1.在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为(　　)
30° 45°
60° 90°
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－B1D1－A1的正切值为(　　)
－
－
3.如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AA1＝A1B1＝B1C1＝1，AB＝2，则AC与平面BCC1B1所成的角为(　　)
30° 45°
60° 90°
4.已知三棱锥P－ABC中，AC＝2，BC＝1，∠ACB＝120°，PC⊥平面ABC，PC＝，直线BC与平面PAB所成角的正弦值为(　　)
5.(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝4，AA1＝5，则下列结论正确的有(　　)
AC⊥BD1
异面直线AD1与B1C所成的角为90°
二面角D1－AC－D的余弦值为
四面体ACB1D1的体积为
6.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝，则异面直线BD与AC所成的角的余弦值为________.
7.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，则AB1与BC1所成角大小为________.
8.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中， ∠BCA＝90°，D，F分别是A1B1，A1C1的中点， BC＝CA＝CC1，则BD与AF所成角的余弦值是________.
9.(10分)如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，BC上的点，＝＝.
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AB＝CD＝3，EF＝，求AB与CD所成角的大小.
10.(10分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1.
(1)求证：B1C⊥BD1；
(2)求直线AB1与平面ABC1D1所成角的正弦值.
二、综合运用
11.(多选)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，PB＝，侧面PAD为正三角形，则下列说法正确的是(　　)
平面PAD⊥平面ABCD
异面直线AD与PB所成的角为60°
二面角P－BC－A的大小为45°
三棱锥P－ABD外接球的表面积为π
12.已知直角△ABC的斜边AB在平面α内，AC，BC与α所成角分别为30°，45°，CD是斜边AB上的高，则CD与平面α所成角的正弦值为________.
13.(13分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DCB＝60°，AB⊥PB.
(1)证明：△PDC为等腰三角形.
(2)若平面PDC⊥平面ABCD，AB＝PC＝2，求直线PA与平面ABCD所成角的正切值.
三、创新拓展
14.(15分)如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.
(1)证明：平面SBC⊥平面SAB；
(2)求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.
空间角的求法
1.C　[连接A1D，DB，如图，
因为正方体中A1D∥B1C，
所以∠BA1D就是A1B与B1C所成的角，
在△BA1D中，A1D＝A1B＝BD.
∴∠BA1D＝60°.故选C.]
2.D　[设A1C1和B1D1相交于点O.连接AO.
因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，
所以A1C1⊥B1D1，AB1＝AD1.
因为O为B1D1的中点，
所以AO⊥B1D1.
则∠AOA1为二面角A－B1D1－A1的平面角.
设正方体ABCD－A1B1C1D1的边长为a，
则AA1＝a，OA1＝a，
所以tan∠AOA1＝＝＝.故选D.]
3.A　[将棱台补全为如下棱锥D－ABC，
由∠ABC＝90°，
AA1＝A1B1＝B1C1＝1，AB＝2，
易知DA＝BC＝2，AC＝2，
INCLUDEPICTURE"D300.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D300.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D300.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D300.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D300.tif" \* MERGEFORMATINET
由AA1⊥平面ABC，AB，AC 平面ABC，
则AA1⊥AB，AA1⊥AC，
所以BD＝2，
CD＝2，
故BC2＋BD2＝CD2，
所以S△BCD＝×2×2＝2，
若A到面BCC1B1的距离为h，
又VD－ABC＝VA－BCD，
则×2××2×2＝h·2，可得h＝，
综上，AC与平面BCC1B1所成角θ∈，
则sin θ＝＝，即θ＝.故选A.]
4.A　[如图所示，设直线BC与平面PAB所成角为α，
则C点到平面PAB的距离为BC·sin α，
由VC－PAB＝VP－ABC，
由S△PAB·BC·sin α＝S△ABC·PC，①
在Rt△APC与Rt△BPC中，
由勾股定理可得AP＝，BP＝2.
又在△ABC中，由余弦定理可得
AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C＝7，
所以AB＝，所以△ABP为等腰三角形，
其中底边上的高为，
所以面积为S△PAB＝×2×＝，
所以由①式可得×·sin α＝××2×sin 120°×，
解得sin α＝.故选A.]
5.ACD　[因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝5，
所以四边形ABCD为正方形，BB1⊥平面ABCD，
因为AC 平面ABCD，
所以BB1⊥AC，AC⊥BD，
因为BB1∩BD＝B，BB1，BD 平面BDD1B1，
所以AC⊥平面BDD1B1，
因为BD1 平面BDD1B1，
所以AC⊥BD1，故A正确；
由长方体的性质易知A1D∥B1C，
因为AD≠AA1，所以AD1与A1D不垂直，
故AD1与B1C不垂直，所以B不正确；
设AC与BD交于O，连接D1O，
由长方体性质知AD1＝D1C，
故△AD1C为等腰三角形，
所以D1O⊥AC，由于AC⊥BD，
所以∠DOD1为二面角D1－AC－D的平面角，
在Rt△D1OD中，DO＝2，DD1＝5，
所以D1O＝，
所以cos ∠DOD1＝＝，故C正确：
四面体ACB1D1的体积为V＝4×4×5－4×××4×4×5＝，所以D正确.
故选ACD.]
6.　[如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，
则AC∥A1C1∥DE，
所以∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角，
由题可知BD＝EB＝＝，
DE＝AC＝，
所以cos ∠BDE＝＝.]
7.60°　[设BC1∩B1C＝D，
设E是AC的中点，连接BE，DE，
则DE∥AB1，
所以AB1与BC1所成角是∠BDE或其补角.
根据直棱柱的性质以及∠ABC＝90°可知AB1＝BC1＝AC＝，
所以DE＝BD＝BE＝，
所以三角形BDE是等边三角形，
所以∠BDE＝60°，
所以AB1与BC1所成角大小为60°.]
8.　[∵D，F分别是A1B1，A1C1的中点，
取BC的中点O，连接AO，FO，FD，
则BC∥FD且FD＝BC＝BO，
所以BDFO为平行四边形，BD∥FO，
那么AF和FO所成角即为BD与AF所成角.
∵设BC＝CA＝CC1＝2，∠BCA＝90°，ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴AO＝，AF＝，FO＝BD＝，
cos ∠AFO＝＝.]
9.(1)证明　若G为DC上靠近D的三等分点，
则＝＝，
故FG∥BD，所以F，G，B，D四点共面，显然F，B，D不共线，
故平面FDB与平面FGDB为同一个平面，
而E 平面FDB，F∈平面FDB，
即EF∩平面FDB＝F，BD 平面FDB，F BD，
所以直线EF与BD是异面直线.
(2)解　若H，I分别为AC，BD靠近A，B的三等分点，
则＝＝＝＝，
所以EI∥AB∥FH，FI∥DC∥HE，
故IFHE为平行四边形，且AB，CD所成角为∠IFH或其补角，
又HE＝CD＝1，FH＝AB＝2，
则cos ∠IFH＝cos(π－∠EHF)
＝－cos ∠EHF＝－＝，
由∠IFH∈(0，180°)，故∠IFH＝60°，
则AB，CD所成角为60°.
10.(1)证明　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
∵D1C1⊥C1C，D1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，CC1，B1C1 平面BCC1B1，
∴D1C1⊥平面BCC1B1，
∵B1C 平面BCC1B1，
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∴B1C⊥D1C1，
又AD＝AA1＝1，可得B1C⊥BC1，BC1∩C1D1＝C1，BC1，C1D1 平面ABC1D1，
∴B1C⊥平面ABC1D1.
∵BD1 平面ABC1D1，
∴B1C⊥BD1.
(2)解　记B1C交BC1于点O，连接AO，
由(1)得B1C⊥平面ABC1D1，
所以AO为斜线AB1在平面ABC1D1上的射影，
∠B1AO为AB1与平面ABC1D1所成的角.
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，
在Rt△B1AO中，AB1＝，
B1O＝B1C＝，
sin ∠B1AO＝＝.
∴直线AB1与平面ABC1D1所成角的正弦值为.
11.ACD　[取AD中点E，连接PE，BE，△PAD和△BAD都是等边三角形，
则PE⊥AD，BE⊥AD，
∠PEB是二面角P－AD－B的平面角，PE＝BE＝，
又PB＝，
所以PE2＋BE2＝PB2，即PE⊥BE，
所以二面角P－AD－B是直二面角，
所以平面PAD⊥平面ABCD，A正确；
AD∥BC，所以∠PBC是异面直线AD与PB所成的角或其补角，由此可得PE⊥平面ABCD，
而CE 平面ABCD，所以PE⊥EC，
EC＝＝，
所以PC＝＝，PB2＋BC2＝PC2，PB⊥BC，∠PBC＝90°，B错误；
由BE⊥AD知BC⊥BE，
所以∠PBE是二面角P－BC－A的平面角，
在△PEB中，可得∠PBE＝45°，C正确；
以上证明有PE⊥平面ABD，
同理BE⊥平面PAD，
设M，N分别是△ABD和△PAD的中心，
如图，作NO∥EB，MO∥PE，
NO与MO交于点O，则NO⊥平面PAD，MO⊥平面ABD，
所以O是三棱锥P－ABD外接球的外心，
由于NE＝ME＝BE＝，ONEM是正方形，OM＝，而BM＝，
所以OB＝＝＝
即为外接球半径，
三棱锥P－ABD外接球的表面积为S＝4π×＝.D正确.故选ACD.]
12.　[如图所示，过C作CH⊥α于H，连接AH，BH，DH，
则∠CDH为CD与平面α所成角，
由题意可得∠CAH＝30°，∠CBH＝45°，∠ACB＝90°，
设CH＝m，则有CA＝2m，CB＝m，
所以AB＝＝m，
又因为CD是斜边AB上的高，
可得CD＝＝，
在Rt△CDH中，
sin ∠CDH＝＝＝.]
13.(1)证明　如图，取DC的中点E，连接PE，BE，BD.
因为四边形ABCD为菱形，∠DCB＝60°，
所以△BCD为等边三角形，则BE⊥DC.
因为AB∥CD，AB⊥PB，所以CD⊥PB.
因为PB∩BE＝B，且PB，PE 平面PEB，
所以DC⊥平面PEB，
又PE PEB，∴DC⊥PE，
所以△PDC为等腰三角形.
(2)解　连接AE, 由平面PDC⊥平面ABCD，DC⊥PE，PE 平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，所以PE⊥平面ABCD.所以直线PA与平面ABCD所成的角为∠PAE，
在直角三角形PAE中，正切值为tan ∠PAE＝＝＝.所以直线PA与平面ABCD所成角的正切值为.
14.(1)证明　∵∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，
∴SA⊥AB，SA⊥AC，AB⊥BC，
又AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，
∴SA⊥平面ABC，又BC 平面ABC，
∴SA⊥BC，又AB⊥BC，SA∩AB＝A，
SA，AB 平面SAB，
∴BC⊥平面SAB，又BC 平面SBC，
∴平面SBC⊥平面SAB.
(2)解　取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB.
由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，
AD 平面SAB，
∴AD⊥平面SBC.
∴AD⊥DE，AD⊥SC，
作AE⊥SC，垂足为E，连接DE，DE⊥SC，
则∠AED为二面角A－SC－B的平面角.
设SA＝AB＝2，则SB＝BC＝2，
AD＝，AC＝2，SC＝4.
由题意得AE＝，
Rt△ADE中，sin∠AED＝＝＝，
∴二面角A－SC－B的平面角的正弦值为.习题课　空间角的求法
课标要求　1.理解异面直线所成角的概念，能求异面直线所成角. 2.掌握线面角的求解方法，能求线面角. 3.理解二面角的概念，能求二面角.
【引入】 空间角能比较集中地反映空间想象能力，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考.空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的总称.
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解(在选修课本).
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算.
一、异面直线所成角的求法
例1 正三棱锥S－ABC的侧棱长与底面边长都为a，E，F分别是SC，AB的中点，求直线EF和SA所成的角.
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思维升华　求异面直线所成角的方法
第一步：将所求直线中的一条进行平移然后与另一条直线衔接出现三角形；
第二步：将三角形画到草稿纸上并利用空间图求出各边的长；
第三步：利用余弦定理求出待求角；
第四步：检查若求出的角为锐角或直角，则即为所求；若求出的角为钝角，则补角即为所求.
训练1 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CC1的中点，则AE，BF所成的角的余弦值是________.
二、直线与平面所成角的求法
例2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
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思维升华　求直线与平面所成的角的方法
(1)射影法：首先找出平面的一条垂线，若斜线与垂线相交，则可找到斜线在平面上的射影，求出斜线与其射影的夹角，当斜线与垂线不相交时，则需要平移斜线或垂线；
(2)体积法：棱锥中利用等体积法找出面上的高，则高与斜线的比值为斜线与平面所成的角的正弦值.
训练2 如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为直角梯形，∠CDE＝90°，平面ABC⊥平面BCDE，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝. 求AE与平面ACD所成的角的正切值.
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三、二面角的求法
例3 四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
求：(1)二面角A－PD－C的平面角的度数；
(2)二面角B－PA－D的平面角的度数；
(3)二面角B－PA－C的平面角的度数.
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迁移 在本例中，二面角P－BC－D的平面角的度数是多少？
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思维升华　1.确定二面角的平面角的方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.
(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面相交产生两条射线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角.
(3)垂线法：如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用直线与平面垂直的判定定理可证明连线与棱垂直，找到二面角的平面角.
2.求二面角大小的步骤
(1)找出这个平面角.
(2)证明这个角是二面角的平面角.
(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小.
训练3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.
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【课堂达标】
1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°， AA1＝，AC＝BC＝1 ，则异面直线A1B与AC所成角的大小是(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为16，点P在正方形A1B1C1D1上，且A1，C到P的距离分别为2，2，则直线CP 与平面BDD1B1所成角的正切值为(　　)
A. B.
C. D.
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角等于________.
　　
第3题图　　　　　　　第4题图
4.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，则二面角P－BC－D的大小为________.
习题课　空间角的求法
例1　解　如图，取SB的中点G，连接EG，GF，SF，CF.
在△SAB中，F，G分别是AB，SB的中点，
∴FG∥SA，
且FG＝SA.
于是异面直线SA与EF所成的角就是直线EF与FG所成的角.
在△SAB中，SA＝SB＝a，AF＝FB＝a，
∴SF⊥AB，且SF＝a.
同理可得CF⊥AB，且CF＝a.
在△SFC中，SF＝CF＝a，SE＝EC，
∴FE⊥SC且FE＝＝a.
在△SAB中，FG是中位线，
∴FG＝SA＝.
在△SBC中，GE是中位线，
∴GE＝BC＝.
在△EGF中，FG2＋GE2＝＝FE2，
∴△EGF是以∠FGE为直角的等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°.
∴异面直线SA与EF所成的角为45°.
训练1　　[取DD1的中点G，由GA∥BF且GA＝BF，
可得∠GAE为AE，BF所成的角，
设正方体棱长为1，可得
AE＝AG＝＝，
又EG＝，
由余弦定理可得
2＝＋－2××cos ∠EAG，
∴cos ∠EAG＝.]
例2　解　(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，
设A1A＝1，则AC＝，
∴tan ∠A1CA＝.
(2)在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BDD1B1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，
∴∠A1BO＝30°，
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
训练2　解　连接BD，如图所示.
在直角梯形BCDE中，
由DE＝BE＝1，CD＝2得，BD＝BC＝，
由AC＝，AB＝2，
得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，
从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，
又DE⊥DC，DC∩AC＝C，DC，AC 平面ACD，
从而DE⊥平面ACD，
所以∠EAD为AE与平面ACD成的角.
在Rt△ADE中，DE＝1，AD＝＝，
tan ∠EAD＝＝＝，
故AE与平面ACD所成的角的正切值为.
例3　解　(1)∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形，
∴CD⊥AD，
∵PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴AB⊥PA，AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角.
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，
∴二面角B－PA－D的平面角的度数为90°.
(3)∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.
迁移　解　∵PA⊥平面ABCD，BC，AB 平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥AB.
又BC⊥AB，且AB∩AP＝A，AB，AP 平面PAB，∴BC⊥平面PAB，
又PB 平面PAB，∴BC⊥PB.
又AB⊥BC，
∴∠PBA为二面角P－BC－D的平面角.
在Rt△PAB中，AP＝AB，
∴∠PBA＝45°.
∴二面角P－BC－D的平面角的度数为45°.
训练3　解　由已知得PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，
即二面角P－BC－A的大小是45°.
课堂达标
1.C　[如图，连接BC1，∵A1C1∥AC，
∴异面直线A1B与AC所成角的平面角为∠BA1C1或其补角.
∵∠ACB＝90°，AA1＝，AC＝BC＝1，
∴BC1＝＝，A1B＝＝2，A1C1＝AC＝1，
∴在△A1BC1中，
cos ∠BA1C1＝＝.
又∵∠BA1C1∈(0，π)，
∴∠BA1C1＝，
∴异面直线A1B与AC所成角的大小为60°.故选C.]
2.A　[易知AB＝2，
连接C1P，在直角△CC1P中，可计算
C1P＝eq \r(CP2－CC)＝2；
又A1P＝2，A1C1＝4，
所以点P是A1C1的中点；
连接AC与BD交于点O，
易证AC⊥平面BDD1B1，
直线CP在平面BDD1B1内的射影是OP，
所以∠CPO就是直线CP与平面BDD1B1所成的角，
在直角△CPO中，tan ∠CPO＝＝ .]
3.45°　[根据长方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，
根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A－BC－A1的平面角.
又AB＝AA1，且AB⊥AA1，
所以∠ABA1 ＝45°.]
4.45°　[由题意，四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，PD＝a，
所以DC＝a，PC＝a，
所以PC2＝PD2＋DC2，
所以PD⊥DC，同理PD⊥DA，
因为DA∩DC＝D，DA，DC 平面ABCD，
所以PD⊥平面ABCD，则PD⊥BC，
又BC⊥DC，且PD∩DC＝D，PD，CD 平面PDC，
所以BC⊥平面PDC，则BC⊥PC，
所以∠PCD为二面角P－BC－D的平面角，
在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，
所以∠PCD＝45°，
所以二面角P－BC－D的大小为45°.](共65张PPT)
习题课　空间角的求法
第十一章 立体几何初步
1.理解异面直线所成角的概念，能求异面直线所成角.
2.掌握线面角的求解方法，能求线面角.
3.理解二面角的概念，能求二面角.
课标要求
空间角能比较集中地反映空间想象能力，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考.空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的总称.
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解(在选修课本).
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算.
引入
课时精练
一、异面直线所成角的求法
二、直线与平面所成角的求法
三、二面角的求法
课堂达标
内容索引
异面直线所成角的求法
一
正三棱锥S－ABC的侧棱长与底面边长都为a，E，F分别是SC，AB的中点，求直线EF和SA所成的角.
例1
如图，取SB的中点G，连接EG，GF，SF，CF.
在△SAB中，F，G分别是AB，SB的中点，
求异面直线所成角的方法
第一步：将所求直线中的一条进行平移然后与另一条直线衔接出现三角形；
第二步：将三角形画到草稿纸上并利用空间图求出各边的长；
第三步：利用余弦定理求出待求角；
第四步：检查若求出的角为锐角或直角，则即为所求；若求出的角为钝角，则补角即为所求.
思维升华
正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CC1的中点，则AE，BF所成的角的余弦值是________.
训练1
取DD1的中点G，由GA∥BF且GA＝BF，
直线与平面所成角的求法
二
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
例2
∵直线A1A⊥平面ABCD，
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BDD1B1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
思维升华
求直线与平面所成的角的方法
(1)射影法：首先找出平面的一条垂线，若斜线与垂线相交，则可找到斜线在平面上的射影，求出斜线与其射影的夹角，当斜线与垂线不相交时，则需要平移斜线或垂线；
(2)体积法：棱锥中利用等体积法找出面上的高，则高与斜线的比值为斜线与平面所成的角的正弦值.
训练2
连接BD，如图所示.
从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，
又DE⊥DC，DC∩AC＝C，DC，AC 平面ACD，
从而DE⊥平面ACD，
所以∠EAD为AE与平面ACD成的角.
二面角的求法
三
四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
求：(1)二面角A－PD－C的平面角的度数；
例3
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.
(2)二面角B－PA－D的平面角的度数；
∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴AB⊥PA，AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角.
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，
∴二面角B－PA－D的平面角的度数为90°.
(3)二面角B－PA－C的平面角的度数.
∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.
在本例中，二面角P－BC－D的平面角的度数是多少？
迁移
∵PA⊥平面ABCD，BC，AB 平面ABCD，
∴PA⊥BC，PA⊥AB.
又BC⊥AB，且AB∩AP＝A，AB，AP 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
又PB 平面PAB，∴BC⊥PB.
又AB⊥BC，∴∠PBA为二面角P－BC－D的平面角.
在Rt△PAB中，AP＝AB，∴∠PBA＝45°.
∴二面角P－BC－D的平面角的度数为45°.
思维升华
1.确定二面角的平面角的方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.
(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面相交产生两条射线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角.
(3)垂线法：如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用直线与平面垂直的判定定理可证明连线与棱垂直，找到二面角的平面角.
思维升华
2.求二面角大小的步骤
(1)找出这个平面角.
(2)证明这个角是二面角的平面角.
(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小.
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.
训练3
由已知得PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，
即二面角P－BC－A的大小是45°.
【课堂达标】
√
如图，连接BC1，
√
又A1P＝2，A1C1＝4，
所以点P是A1C1的中点；
连接AC与BD交于点O，
易证AC⊥平面BDD1B1，
直线CP在平面BDD1B1内的射影是OP，
所以∠CPO就是直线CP与平面BDD1B1所成的角，
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角等于________.
45°
根据长方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，
根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A－BC－A1的平面角.
又AB＝AA1，且AB⊥AA1，
所以∠ABA1 ＝45°.
4.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，则二面角P－BC－D的大小为________.
45°
由题意，四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，PD＝a，
所以PC2＝PD2＋DC2，
所以PD⊥DC，同理PD⊥DA，
因为DA∩DC＝D，DA，DC 平面ABCD，
所以PD⊥平面ABCD，则PD⊥BC，
又BC⊥DC，且PD∩DC＝D，PD，CD 平面PDC，
所以BC⊥平面PDC，则BC⊥PC，
所以∠PCD为二面角P－BC－D的平面角，
在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，
所以∠PCD＝45°，
所以二面角P－BC－D的大小为45°.
【课时精练】
√
1.在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为
A.30° B.45° C.60° D.90°
连接A1D，DB，如图，
因为正方体中A1D∥B1C，
所以∠BA1D就是A1B与B1C所成的角，
在△BA1D中，A1D＝A1B＝BD.
∴∠BA1D＝60°.故选C.
√
设A1C1和B1D1相交于点O.连接AO.
因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，
所以A1C1⊥B1D1，AB1＝AD1.
因为O为B1D1的中点，
所以AO⊥B1D1.
则∠AOA1为二面角A－B1D1－A1的平面角.
设正方体ABCD－A1B1C1D1的边长为a，
√
3.如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AA1＝A1B1＝B1C1＝1，AB＝2，则AC与平面BCC1B1所成的角为
A.30° B.45° C.60° D.90°
将棱台补全为如下棱锥D－ABC，
由∠ABC＝90°，AA1＝A1B1＝B1C1＝1，AB＝2，
√
如图所示，设直线BC与平面PAB所成角为α，
又在△ABC中，由余弦定理可得
AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C＝7，
√
√
√
因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝5，
所以四边形ABCD为正方形，BB1⊥平面ABCD，
因为AC 平面ABCD，
所以BB1⊥AC，AC⊥BD，
因为BB1∩BD＝B，BB1，BD 平面BDD1B1，
所以AC⊥平面BDD1B1，
因为BD1 平面BDD1B1，
所以AC⊥BD1，故A正确；
由长方体的性质易知A1D∥B1C，
因为AD≠AA1，所以AD1与A1D不垂直，
故AD1与B1C不垂直，所以B不正确；
设AC与BD交于O，连接D1O，
由长方体性质知AD1＝D1C，
故△AD1C为等腰三角形，
所以D1O⊥AC，由于AC⊥BD，
所以∠DOD1为二面角D1－AC－D的平面角，
如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，
则AC∥A1C1∥DE，
所以∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角，
7.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，则AB1与BC1所成角大小为________.
60°
设BC1∩B1C＝D，
设E是AC的中点，连接BE，DE，
则DE∥AB1，
所以AB1与BC1所成角是∠BDE或其补角.
所以三角形BDE是等边三角形，
所以∠BDE＝60°，
所以AB1与BC1所成角大小为60°.
8.在直三棱柱ABC－A1B1C1中， ∠BCA＝90°，D，F分别是A1B1，A1C1的中点， BC＝CA＝CC1，则BD与AF所成角的余弦值是________.
∵D，F分别是A1B1，A1C1的中点，
∵设BC＝CA＝CC1＝2，∠BCA＝90°，ABC－A1B1C1是直三棱柱，
若G为DC上靠近D的三等分点，
所以F，G，B，D四点共面，显然F，B，D不共线，
故平面FDB与平面FGDB为同一个平面，
而E 平面FDB，F∈平面FDB，
即EF∩平面FDB＝F，BD 平面FDB，F BD，
所以直线EF与BD是异面直线.
若H，I分别为AC，BD靠近A，B的三等分点，
所以EI∥AB∥FH，FI∥DC∥HE，
故IFHE为平行四边形，且AB，CD所成角为∠IFH或其补角，
10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1.
(1)求证：B1C⊥BD1；
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
∵D1C1⊥C1C，D1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，CC1，B1C1 平面BCC1B1，
∴D1C1⊥平面BCC1B1，
∵B1C 平面BCC1B1，
∴B1C⊥D1C1，
又AD＝AA1＝1，可得B1C⊥BC1，BC1∩C1D1＝C1，BC1，C1D1 平面ABC1D1，
∴B1C⊥平面ABC1D1.
∵BD1 平面ABC1D1，
∴B1C⊥BD1.
(2)求直线AB1与平面ABC1D1所成角的正弦值.
记B1C交BC1于点O，连接AO，
由(1)得B1C⊥平面ABC1D1，
所以AO为斜线AB1在平面ABC1D1上的射影，
∠B1AO为AB1与平面ABC1D1所成的角.
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，
√
√
√
取AD中点E，连接PE，BE，△PAD和△BAD都是等边三角形，
则PE⊥AD，BE⊥AD，
所以PE2＋BE2＝PB2，即PE⊥BE，
所以二面角P－AD－B是直二面角，
所以平面PAD⊥平面ABCD，A正确；
AD∥BC，所以∠PBC是异面直线AD与PB所成的角或其补角，
由此可得PE⊥平面ABCD，
而CE 平面ABCD，所以PE⊥EC，
由BE⊥AD知BC⊥BE，
所以∠PBE是二面角P－BC－A的平面角，
在△PEB中，可得∠PBE＝45°，C正确；
以上证明有PE⊥平面ABD，同理BE⊥平面PAD，
设M，N分别是△ABD和△PAD的中心，
如图，作NO∥EB，MO∥PE，
NO与MO交于点O，则NO⊥平面PAD，MO⊥平面ABD，
所以O是三棱锥P－ABD外接球的外心，
12.已知直角△ABC的斜边AB在平面α内，AC，BC与α所成角分别为30°，45°，CD是斜边AB上的高，则CD与平面α所成角的正弦值为________.
如图所示，过C作CH⊥α于H，连接AH，BH，DH，
则∠CDH为CD与平面α所成角，
由题意可得∠CAH＝30°，∠CBH＝45°，∠ACB＝90°，
设CH＝m，
13.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DCB＝60°，AB⊥PB.
(1)证明：△PDC为等腰三角形.
如图，取DC的中点E，连接PE，BE，BD.
因为四边形ABCD为菱形，∠DCB＝60°，
所以△BCD为等边三角形，则BE⊥DC.
因为AB∥CD，AB⊥PB，所以CD⊥PB.
因为PB∩BE＝B，且PB，PE 平面PEB，
所以DC⊥平面PEB，
又PE PEB，∴DC⊥PE，所以△PDC为等腰三角形.
(2)若平面PDC⊥平面ABCD，AB＝PC＝2，求直线PA与平面ABCD所成角的正切值.
连接AE, 由平面PDC⊥平面ABCD，DC⊥PE，PE 平面ABCD，
平面PDC∩平面ABCD＝CD，
所以PE⊥平面ABCD.
所以直线PA与平面ABCD所成的角为∠PAE，
14.如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.
(1)证明：平面SBC⊥平面SAB；
∵∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，
∴SA⊥AB，SA⊥AC，AB⊥BC，
又AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，
∴SA⊥平面ABC，又BC 平面ABC，∴SA⊥BC，
又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA，AB 平面SAB，
∴BC⊥平面SAB，
又BC 平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.
(2)求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.
取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB.
由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，
AD 平面SAB，
∴AD⊥平面SBC.
∴AD⊥DE，AD⊥SC，
作AE⊥SC，垂足为E，连接DE，DE⊥SC，
则∠AED为二面角A－SC－B的平面角.

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