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课时精练22　立体几何中的平行问题
(分值：100分)
单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共24分.
一、基础巩固
1.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(　　)
EF∥PA
EF∥PB
EF∥PC
以上均有可能
2.已知三条互不相同的直线l，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：
①若l与m为异面直线，l α，m β，则α∥β；
②若α∥β，l α，m β，则l∥m；
③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为(　　)
3 2
1 0
3.在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)
异面
平行
相交
以上均有可能
4.平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的(　　)
一个侧面平行 底面平行
仅一条棱平行 某两条相对的棱都平行
5.(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是(　　)
A B
C D
6.如图，α∥β∥γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝2 cm，DE＝4 cm，EF＝3 cm，则AC的长为________ cm.
　　
第6题图　　　　　　第7题图
7.如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________.
8.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.
可以填入的条件有________.(填序号)
9.(13分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.
10.(14分)如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F，已知AB＝2 cm，BC＝3 cm，DE＝4 cm，求EF的值.
二、综合运用
11.(多选)下列结论正确的是(　　)
平行于同一条直线的两条直线平行
平行于同一条直线的两个平面平行
平行于同一个平面的两条直线平行
平行于同一个平面的两个平面平行
12.(多选)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，下列四个命题中正确的为(　　)
若α∥β，γ∥β，则α∥γ
若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
若α∥β，l α，则l∥β
若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n
13.(14分)如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点.
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1？
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值.
三、创新拓展
14.(多选)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是(　　)
没有水的部分始终呈棱柱形
水面EFGH所在四边形的面积为定值
棱A1D1始终与水面所在的平面平行
当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值
立体几何中的平行问题
1.B　[由线面平行的性质定理可知EF∥PB.]
2.C　[对于①，两条异面直线分别在两个平面内，这两个平面可能平行，也可能相交，故①错误；
对于②，两个平行平面内分别有一条直线，这两条直线的位置关系是平行或异面，故②错误；
对于③，因为l∥γ，l α，α∩γ＝n，所以由线面平行的性质定理可得l∥n，同理l∥m，所以m∥n，故③正确，
因此真命题的个数为1.]
3.B　[在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，
∵AB 平面ABC，A1B1 平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC，
∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.
∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.]
4.C　[当平面α平行于某一平面时，截面为三角形，故A，B错误.
如图，当平面α∥SA时，截面是四边形DEFG.
又∵SA 平面SAB，平面SAB∩α＝DG，
∴SA∥DG.
同理SA∥EF，∴DG∥EF.
同理，若α∥BC，则GF∥DE.
∵截面是梯形，
∴四边形DEFG中仅有一组对边平行，故α仅与一条棱平行.]
5.AC　[对于A，AB∥DE，AB 平面DEF，
DE 平面DEF，
∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；
对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；
对于C，AB∥DF，AB 平面DEF，DF 平面DEF，
∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；
对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，
又D为BC的中点，
∴AB∥OD，
∵OD与平面DEF相交，
∴直线AB与平面DEF相交，故D错误.]
6.　[过点D作直线AB的平行线分别交平面β与平面γ于点M，N，连接AD，BM，CN，ME，NF，
如图所示，所以AD∥BM∥CN，ME∥NF，
所以＝＝，
因为AB＝2 cm，DE＝4 cm，EF＝3 cm，
所以＝，
解得BC＝ cm，
所以AC＝AB＋BC＝2＋＝(cm).]
7.矩形　[因为CD∥平面EFGH，CD 平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF，
所以CD∥EF.
同理HG∥CD，所以EF∥HG.
同理HE∥GF，
所以四边形EFGH为平行四边形.
又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF，
所以平行四边形EFGH为矩形.]
8.①或③　[由面面平行的性质定理可知，①正确；
当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；
当n∥β，m γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确.]
9.证明　如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，
INCLUDEPICTURE"W258.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\W258.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\W258.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\W258.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\W258.TIF" \* MERGEFORMATINET
∵MP∥BB1，∴＝.
∵BD＝B1C，DN＝CM，∴MB1＝NB，
∴＝，∴＝，
∴NP∥CD∥AB.
∵NP 平面AA1B1B，AB 平面AA1B1B，
∴NP∥平面AA1B1B.
∵MP∥BB1，MP 平面AA1B1B，
BB1 平面AA1B1B，
∴MP∥平面AA1B1B.
又∵MP 平面MNP，NP 平面MNP，
MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
∵MN 平面MNP，
∴MN∥平面AA1B1B.
10.解　如图所示，连接AF交平面β于点G，连接CF，BG，EG，AD.
∵AC∩AF＝A，
∴直线AC和AF确定一个平面AFC，
则平面AFC∩β＝BG，
平面AFC∩γ＝CF，
又β∥γ，∴BG∥CF.
∴＝.同理可证＝.
∴＝，∴＝，
∴EF＝6 cm.
11.AD　[A中，平行于同一条直线的两条直线平行是正确的；
B中，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，所以不正确；
C中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以不正确；
D中，平行于同一个平面的两个平面是相互平行的，所以正确.]
12.ACD　[对于A，由面面平行的传递性可知A正确；
对于B，若m α，n α，m∥β，n∥β，
则α∥β或α与β相交，所以B错误；
对于C，若两个平面平行，其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，
所以C正确；
对于D，因为α∩β＝l，β∩γ＝m，l∥γ，
所以l∥m，同理l∥n，由平行线的传递性可得m∥n，
所以D正确.]
13.解　(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，即＝1时，BC1∥平面AB1D1.证明如下：
连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知四边形A1ABB1为平行四边形，
所以O为A1B的中点，
在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.
又因为OD1 平面AB1D1，
BC1 平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
得BC1∥D1O，
所以＝.又O为A1B的中点，
∴D1是A1C1的中点，
∴四边形ADC1D1是平行四边形，
∴＝1.
14.ACD　[由题图，显然A是正确的，B是错误的；
对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG，
所以A1D1∥FG且FG 平面EFGH，A1D1 平面EFGH，
所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C是正确的；
因为水是定量的(定体积V).
所以S△BEF·BC＝V，
即BE·BF·BC＝V，
所以BE·BF＝(定值)，即D是正确的.]习题课　立体几何中的平行问题
课标要求　1.以立体几何中相关的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间中的平行关系的简单命题.
【引入】 平行问题主要考查线线、线面以及面面平行的判定和性质，难度适中，运用的数学思想主要有转化与化归的思想，即空间问题平面化(面面问题 线面问题 线线问题)、几何问题代数化等.
一、证明线线平行
例1 如图，在三棱锥P－ABQ中，E，F，C，D分别是AP，BP，BQ，AQ中点，平面PCD∩平面EFQ＝GH.求证：AB∥GH.
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思维升华　证明线线平行，可以运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或者运用线面和面面平行的性质定理来证明.
训练1 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，过AB的截面与上底面交于PQ，且点P在棱A1C1上，点Q在棱B1C1上.证明：PQ∥A1B1.
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二、证明线面平行
例2 平行四边形ABCD和平行四边形ABEF不在同一平面内，M，N分别为对角线AC，BF上的点，且＝.求证：MN∥平面BEC.
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思维升华　(1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)；
②利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)；
③利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)；
④利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β).
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.
训练2 如图，AB是圆柱底面圆O的直径，点C，F是的两个三等分点，CD，BE为圆柱的母线，求证：EF∥平面OCD.
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三、证明面面平行
例3 如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点.求证：平面MNP∥平面A1BD.
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思维升华　(1)三种平行关系的相互转化
线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行相互转化.
(2)判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程，在证明问题时要切实把握这一点，灵活地确定转化思路和方向.“平行关系”的应用是证明线线、线面、面面平行的依据.充分理解并掌握三者之间转化的判定及性质定理，并进一步理解转化的数学思想，是解决“平行关系”问题的关键所在.
训练3 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点，
证明：平面PEF∥平面GAC.
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四、平行关系中的探索性问题
例4 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？并说明理由.
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思维升华　解决面面平行问题的关键点
(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.
(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.
训练4 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点.在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD.
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【课堂达标】
1.下列说法正确的是(　　)
①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
④一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行.
A.①③ B.②④
C.②③④ D.③④
2.(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E、F分别是D1C和A1C1上的点，CE＝C1F＝，则下列位置关系正确的是(　　)
A.EF∥平面AA1D1D
B.EF与平面AA1D1D相交
C.C1D1上存在一点G，使平面EFG∥平面AA1D1D
D.C1D1上任意一点G，使平面EFG与平面AA1D1D相交
3.已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a α，b，c β，则α与β的关系是________.
4.(P108教材习题改编)如图，平面α∥β∥γ，直线l，m分别与α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.若＝，DF＝20，则EF＝________.
习题课　立体几何中的平行问题
例1　证明　由题意可知，EF∥AB，DC∥AB，
所以EF∥DC.
又EF 平面PCD，DC 平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
因为EF 平面EFQ，
平面EFQ∩平面PCD＝GH，
所以EF∥GH.
又EF∥AB，所以AB∥GH.
训练1　证明　因为正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，
平面ABC∩平面ABQP＝AB，平面ABQP∩平面A1B1C1＝QP，
所以AB∥PQ，
又因为正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为平行四边形，
故有AB∥A1B1，所以PQ∥A1B1.
例2　证明　在AB上取点G，使得MG∥BC，
INCLUDEPICTURE"D205.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D205.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D205.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D205.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D205.tif" \* MERGEFORMATINET
则＝，
∵MG 平面BEC，BC 平面BEC，
∴MG∥平面BEC，
连接GN，
∵＝，即＝，则＝，
∴GN∥AF，
又∵BE∥AF，则GN∥BE，且GN 平面BEC，BE 平面BEC，
∴GN∥平面BEC，MG∩GN＝G，MG，GN 平面MGN，
故平面MGN∥平面BEC，
由MN 平面MGN，可得MN∥平面BEC.
训练2　证明　连接BF，OF，如图，因AB是圆O的直径，C，F是的两个三等分点，
则∠AOC＝∠BOF＝60°，
而OF＝OB，即△BOF是正三角形，
于是得∠OBF＝∠AOC＝60°，
则BF∥OC，BF 平面OCD，OC 平面OCD，
因此有BF∥平面OCD，
又CD，BE均为圆柱的母线，
则有BE∥CD，BE 平面OCD，
CD 平面OCD，因此有BE∥平面OCD，
又BE∩BF＝B，BE，BF 平面BEF，
于是得平面BEF∥平面OCD，
而EF 平面BEF，
所以EF∥平面OCD.
例3　证明　如图，连接B1D1.
因为P，N分别是D1C1，B1C1的中点，
所以PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，
所以PN∥BD.
因为PN 平面A1BD，BD 平面A1BD，
所以PN∥平面A1BD.
同理可证MN∥平面A1BD.
又因为MN∩PN＝N，PN，MN 平面MNP，
所以平面MNP∥平面A1BD.
训练3　证明　连接CE，BE，BE与AC交于O，连接OG，
INCLUDEPICTURE"D213.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D213.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D213.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D213.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D213.tif" \* MERGEFORMATINET
因为E为AD的中点，BC∥AD，AD＝2BC，
所以AE＝BC，AE∥BC，
所以四边形ABCE为平行四边形，
所以OB＝OE，
因为G为PB的中点，所以OG∥PE，
因为OG 平面PEF，PE 平面PEF，
所以OG∥平面PEF，
因为E，F分别为线段AD，DC的中点，
所以EF∥AC，
因为AC 平面PEF，EF 平面PEF，
所以AC∥平面PEF，
因为AC∩OG＝O，AC，OG 平面GAC，
所以平面PEF∥平面GAC.
例4　解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.理由如下：
INCLUDEPICTURE"D215.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D215.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D215.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D215.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D215.tif" \* MERGEFORMATINET
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，
易证四边形PQBA是平行四边形，
∴QB∥PA.
又∵AP 平面APO，QB 平面APO.
∴QB∥平面APO.
∵P，O分别为DD1，DB的中点，
∴D1B∥PO.同理可得D1B∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，D1B，
QB 平面D1BQ，
∴平面D1BQ∥平面PAO.
训练4　解　当Q是PB的中点时，
平面MNQ∥平面PAD，
∵M，N是AB，PC的中点，
若Q为PB的中点，
则MQ∥PA，NQ∥BC.
又底面平行四边形ABCD中，BC∥AD，
∴NQ∥AD，
又MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PAD.
课堂达标
1.D　[由两平面平行的判定定理知③④正确.]
2.AC　[A1C1＝D1C＝a，由于CE＝C1F＝，
所以E，F是D1C，A1C1的三等分点，
设G是棱C1D1上靠近C1的三等分点，
则FG∥A1D1，GE∥CC1∥DD1.
由于FG 平面AA1D1D，A1D1 平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，
同理可证得GE∥平面AA1D1D，
由于FG∩GE＝G，FG，GE 平面EFG，
所以平面EFG∥平面AA1D1D，
由于EF 平面EFG，
所以EF∥平面AA1D1D.]
3.相交或平行　[b，c β，a α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行.]
4.15　[利用平行平面分线段成比例得
＝＝，
又DF＝20，得EF＝15.](共59张PPT)
习题课　立体几何中的平行问题
第十一章 立体几何初步
1.以立体几何中相关的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间中的平行关系的简单命题.
课标要求
平行问题主要考查线线、线面以及面面平行的判定和性质，难度适中，运用的数学思想主要有转化与化归的思想，即空间问题平面化(面面问题 线面问题 线线问题)、几何问题代数化等.
引入
课时精练
一、证明线线平行
二、证明线面平行
三、证明面面平行
课堂达标
内容索引
四、平行关系中的探索性问题
证明线线平行
一
如图，在三棱锥P－ABQ中，E，F，C，D分别是AP，BP，BQ，AQ中点，平面PCD∩平面EFQ＝GH.求证：AB∥GH.
例1
由题意可知，EF∥AB，DC∥AB，
所以EF∥DC.
又EF 平面PCD，DC 平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
因为EF 平面EFQ，
平面EFQ∩平面PCD＝GH，
所以EF∥GH.
又EF∥AB，所以AB∥GH.
证明线线平行，可以运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或者运用线面和面面平行的性质定理来证明.
思维升华
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，过AB的截面与上底面交于PQ，且点P在棱A1C1上，点Q在棱B1C1上.证明：PQ∥A1B1.
训练1
因为正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，
平面ABC∩平面ABQP＝AB，平面ABQP∩平面A1B1C1＝QP，
所以AB∥PQ，
又因为正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为平行四边形，
故有AB∥A1B1，所以PQ∥A1B1.
证明线面平行
二
例2
在AB上取点G，使得MG∥BC，
∵MG 平面BEC，BC 平面BEC，
∴MG∥平面BEC，
连接GN，
∴GN∥AF，
又∵BE∥AF，则GN∥BE，且GN 平面BEC，BE 平面BEC，
∴GN∥平面BEC，MG∩GN＝G，MG，GN 平面MGN，
故平面MGN∥平面BEC，
由MN 平面MGN，可得MN∥平面BEC.
思维升华
(1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)；
②利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)；
③利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)；
④利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β).
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.
训练2
则∠AOC＝∠BOF＝60°，
而OF＝OB，即△BOF是正三角形，
于是得∠OBF＝∠AOC＝60°，
则BF∥OC，BF 平面OCD，OC 平面OCD，
因此有BF∥平面OCD，
又CD，BE均为圆柱的母线，
则有BE∥CD，BE 平面OCD，
CD 平面OCD，因此有BE∥平面OCD，
又BE∩BF＝B，BE，BF 平面BEF，
于是得平面BEF∥平面OCD，
而EF 平面BEF，
所以EF∥平面OCD.
证明面面平行
三
如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点.求证：平面MNP∥平面A1BD.
例3
如图，连接B1D1.
因为P，N分别是D1C1，B1C1的中点，
所以PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，所以PN∥BD.
因为PN 平面A1BD，BD 平面A1BD，
所以PN∥平面A1BD.
同理可证MN∥平面A1BD.
又因为MN∩PN＝N，PN，MN 平面MNP，
所以平面MNP∥平面A1BD.
思维升华
(1)三种平行关系的相互转化
线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行相互转化.
思维升华
(2)判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程，在证明问题时要切实把握这一点，灵活地确定转化思路和方向.“平行关系”的应用是证明线线、线面、面面平行的依据.充分理解并掌握三者之间转化的判定及性质定理，并进一步理解转化的数学思想，是解决“平行关系”问题的关键所在.
如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点，
训练3
证明：平面PEF∥平面GAC.
连接CE，BE，BE与AC交于O，连接OG，
因为E为AD的中点，BC∥AD，AD＝2BC，
所以AE＝BC，AE∥BC，
所以四边形ABCE为平行四边形，
所以OB＝OE，
因为G为PB的中点，所以OG∥PE，
因为OG 平面PEF，PE 平面PEF，
所以OG∥平面PEF，
因为E，F分别为线段AD，DC的中点，
所以EF∥AC，
因为AC 平面PEF，EF 平面PEF，
所以AC∥平面PEF，
因为AC∩OG＝O，AC，OG 平面GAC，
所以平面PEF∥平面GAC.
平行关系中的探索性问题
四
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？并说明理由.
例4
当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.理由如下：
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，
易证四边形PQBA是平行四边形，
∴QB∥PA.
又∵AP 平面APO，QB 平面APO.
∴QB∥平面APO.
∵P，O分别为DD1，DB的中点，
∴D1B∥PO.
同理可得D1B∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，D1B，
QB 平面D1BQ，
∴平面D1BQ∥平面PAO.
思维升华
解决面面平行问题的关键点
(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.
(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.
如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点.在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD.
训练4
当Q是PB的中点时，平面MNQ∥平面PAD，
∵M，N是AB，PC的中点，
若Q为PB的中点，
则MQ∥PA，NQ∥BC.
又底面平行四边形ABCD中，BC∥AD，
∴NQ∥AD，
又MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PAD.
【课堂达标】
1.下列说法正确的是
①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
④一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行.
A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④
√
由两平面平行的判定定理知③④正确.
√
√
所以E，F是D1C，A1C1的三等分点，
设G是棱C1D1上靠近C1的三等分点，
则FG∥A1D1，GE∥CC1∥DD1.
由于FG 平面AA1D1D，A1D1 平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，
同理可证得GE∥平面AA1D1D，
由于FG∩GE＝G，FG，GE 平面EFG，
所以平面EFG∥平面AA1D1D，
由于EF 平面EFG，所以EF∥平面AA1D1D.
3.已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a α，b，c β，则α与β的关系是____________________.
相交或平行
b，c β，a α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行.
15
【课时精练】
√
1.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则
A.EF∥PA B.EF∥PB
C.EF∥PC D.以上均有可能
由线面平行的性质定理可知EF∥PB.
√
2.已知三条互不相同的直线l，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：
①若l与m为异面直线，l α，m β，则α∥β；
②若α∥β，l α，m β，则l∥m；
③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为
A.3 B.2 C.1 D.0
对于①，两条异面直线分别在两个平面内，这两个平面可能平行，也可能相交，故①错误；
对于②，两个平行平面内分别有一条直线，这两条直线的位置关系是平行或异面，故②错误；
对于③，因为l∥γ，l α，α∩γ＝n，所以由线面平行的性质定理可得l∥n，同理l∥m，所以m∥n，故③正确，
因此真命题的个数为1.
√
3.在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，
∵AB 平面ABC，A1B1 平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC，
∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.
∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.
√
4.平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的
A.一个侧面平行 B.底面平行
C.仅一条棱平行 D.某两条相对的棱都平行
当平面α平行于某一平面时，截面为三角形，故A，B错误.
如图，当平面α∥SA时，截面是四边形DEFG.
又∵SA 平面SAB，平面SAB∩α＝DG，∴SA∥DG.
同理SA∥EF，∴DG∥EF.
同理，若α∥BC，则GF∥DE.
∵截面是梯形，
∴四边形DEFG中仅有一组对边平行，故α仅与一条棱平行.
5.(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是
√
√
对于A，AB∥DE，AB 平面DEF，DE 平面DEF，
∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；
对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；
对于C，AB∥DF，AB 平面DEF，DF 平面DEF，
∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；
对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，
又D为BC的中点，∴AB∥OD，
∵OD与平面DEF相交，
∴直线AB与平面DEF相交，故D错误.
6.如图，α∥β∥γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝2 cm，DE＝4 cm，
EF＝3 cm，则AC的长为________ cm.
过点D作直线AB的平行线分别交平面β与平面γ于点M，N，连接AD，BM，CN，ME，NF，
7.如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________.
矩形
因为CD∥平面EFGH，CD 平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF，
所以CD∥EF.
同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，
所以四边形EFGH为平行四边形.
又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF，
所以平行四边形EFGH为矩形.
①或③
8.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.
可以填入的条件有________.(填序号)
由面面平行的性质定理可知，①正确；
当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；
当n∥β，m γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确.
9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.
如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，
∴NP∥CD∥AB.
∵NP 平面AA1B1B，AB 平面AA1B1B，
∴NP∥平面AA1B1B.
∵MP∥BB1，MP 平面AA1B1B，
BB1 平面AA1B1B，
∴MP∥平面AA1B1B.
又∵MP 平面MNP，NP 平面MNP，
MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
∵MN 平面MNP，
∴MN∥平面AA1B1B.
10.如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F，已知AB＝2 cm，BC＝3 cm，DE＝4 cm，求EF的值.
如图所示，连接AF交平面β于点G，连接CF，BG，EG，AD.
∵AC∩AF＝A，
∴直线AC和AF确定一个平面AFC，
则平面AFC∩β＝BG，
平面AFC∩γ＝CF，
又β∥γ，∴BG∥CF.
√
11.(多选)下列结论正确的是
A.平行于同一条直线的两条直线平行
B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.平行于同一个平面的两条直线平行
D.平行于同一个平面的两个平面平行
√
A中，平行于同一条直线的两条直线平行是正确的；
B中，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，所以不正确；
C中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以不正确；
D中，平行于同一个平面的两个平面是相互平行的，所以正确.
12.(多选)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，下列四个命题中正确的为
A.若α∥β，γ∥β，则α∥γ
B.若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C.若α∥β，l α，则l∥β
D.若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n
√
√
√
对于A，由面面平行的传递性可知A正确；
对于B，若m α，n α，m∥β，n∥β，
则α∥β或α与β相交，所以B错误；
对于C，若两个平面平行，其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，
所以C正确；
对于D，因为α∩β＝l，β∩γ＝m，l∥γ，
所以l∥m，同理l∥n，由平行线的传递性可得m∥n，
所以D正确.
连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知四边形A1ABB1为平行四边形，
所以O为A1B的中点，
在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
所以OD1∥BC1.
又因为OD1 平面AB1D1，
BC1 平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
14.(多选)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是
A.没有水的部分始终呈棱柱形
B.水面EFGH所在四边形的面积为定值
C.棱A1D1始终与水面所在的平面平行
D.当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值
√
√
√
由题图，显然A是正确的，B是错误的；
对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG，
所以A1D1∥FG且FG 平面EFGH，A1D1 平面EFGH，
所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C是正确的；
因为水是定量的(定体积V).

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