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创新数学课堂教学 培养学生数学素质 ?????????????????????????????????[摘要]数学素质是人的素质中最重要的成分之一。有关数学素质的内涵本文从六个方面作出解读尝试。但当前课堂教学对数学素质的认识忽视培养漠视，从六个方面对阻碍数学素质培养的因素进行反思，继而作出创新数学课堂教学的设计和探索：关注学生数学学习准备，开展探究性学习实践，呵护学生创新思维火花，活化解题思路。 [关键词]数学素质 解读 反思 创新数学课堂 培养 ????素质是一个人的品格、精神、知识、能力、学识、言谈、行为举止的综合。数学素质是人的素质中最重要的成分之一。一个人的数学素质好，是指他能从数学的角度来思考问题，“数感”好，有数量概念和规律概念，能够辩证地看问题，等等。这些素质是在长期的数学知识学习中潜移默化地养成的。课堂教学是素质教育的主渠道，如果教师自觉地实践探索式、讨论式数学教学方法，突破教师中心、书本中心的束缚、突出学生主体主动的、能动的、有价值的数学活动，创新数学课堂教学，就能保障课堂素质教学主渠道的畅通，着力培养学生的数学素质。 ????一、解读数学素质 ????数学素质是通过数学知识的学习、数学思维方法的训练、教学能力的培养，使学生养成数学地思维的习惯，形成数学地观察世界、处理和解决问题的能力。数学素质主要表现在思维活动中，对数学素质的探讨如下： ????（一）精确的定量思维和准确的定性思维 ????数学计算是数学课堂上一项重要的数学活动。计算，包括根据法则进行的精确计算、心算和估算。按运算法则进行计算可训练学生的推理技巧，培养按程序操作的技能，形成按规则办事的素养和习惯，精确计算是一种定量思维形式 ，有一定的规律可循；心算和估算培养学生全面地把握问题情景、洞察事物本质的能力和对数据特点的正确理解，对算法的合理选择，对结果合理性的正确判断等能力。估算是对事物的整体把握，是通过与头脑中已有数学模型的类比实现的，是对事物本质的直觉判断，因此是一种定性思维形式，有更大的灵活性和变通性。教学计算中包含着对算法的构造、设计、选择，包含了丰富的数学实践，使学生逐渐养成从事智力活动的习惯：计划自己的工作，寻找完成工作合理的途经，对结果进行评判。是训练学生的定量思维和定性思维的最佳途经之一。[1] ????（二）数学地看待事物和对事物进行数学抽象的能力 ????数学教学过程中，首先认识事物的相似性，在分析相似性的某些特点的基础上，以这些特点为标准将事物分类，从而获得对事物共性的认识，然后选择适当的词、符号、图形等表示之。数学抽象是对学生思维方式的训练，是对学生进行简捷、严谨、有序的思想表述的训练，从而使学生获得了这样一种素养：面对错综复杂的事物，把注意力集中在对所研究问题起关键作用的特征上，并用恰当的方法表示出这种特征，以开展思考和交流。 ????（三）对事物本质的洞察力和严谨的推理能力 ????在信息时代，人们需要有对错综复杂、千变万化的信息判断和选择能力，更需要在分析和评判问题、选择解决方案中的推理能力。在数学学习中，学生由学习前人的经验而产生对数学知识的记忆，由记忆而产生有意义的联想，由类比又产生新联想，再对联想到的事物进行归纳、抽象，依靠逻辑推理而获得对事物本质的认识。学生凭借长期的数学实践、严格的数学训练，养成坚毅不拔而又客观公正的为人品格，形成严密的思维习惯，还能培养学生抓住事物主要关系、洞察事物本质，把握全局、明辨是非的能力和快速反应、灵活应变的能力，提高他们对不断变化着的世界的适应能力。 ????（四）应用数学解决实际问题的意识 ????通过数学教学对“问题解决”、“教学建模”的运用，对“数型结合思想”的落实，使学生学会用数学方法观察现实，使其在今后的工作和日常生活中运用数学，用数学去分析、研究和解释具体现象，并进行“数学化”；会利用自己的认识结构进行主动的建构活动，养成用联系的观点看待事物的习惯，形成从不同领域发现共同特性的能力以及一个理论应用于不同领域的能力，从而增强动手能力，发现和提出问题的能力，强化用数学的意识和创新意识。[2] ????（五）用数学语言进行交流的能力和良好的符号意识 ????在数学学习中，通过亲身实践、主动建构而理解知识的精神实质，发展数学思维；通过小组或同学间的数学交流，逐渐学会清晰、准确而有逻辑地表达思想，善于倾听他人的见解，内化他人的思想，以达到同学间的相互学习和共同提高。学生只有具备数学交流能力，才能顺利地阅读和理解数学著作，才能用口头或书面的形式阐释自己对数学的理解，才能成功地吸收他人的心得而提高自己。 ????数学教学可提高学生用符号进行交流的能力，使他们逐渐养成在处理问题时自觉引进适当符号来表述关键事项的习惯，能够通过确定符号程序来表示事件之间的相互关系，并对符号系统进行推理，获得结论并检验所得结果的准确性和合理性。 ????（六）良好的自我反省和自我调节能力 ????数学学习是一种具体性较差和与实现有一定距离的活动，自我意识的作用更为突出，更加需要对学习活动的自我反省和调节，从而达成数学智慧。数学智慧成熟的人有较好的自我反省和自我调节能力，能客观公正地评价自己和他人，遇事独立思考和分析，既不固执已见，也不人云亦云；能根据要求恰当选择解题策略，有效监督认知活动进程，获取反馈信息，对认知活动的有效性作出判断，及时调节认知过程，优化学习过程，减少认知活动的盲目性、冲动性，提高认知活动的效率，增加成功的概率。[3] ????二、反思传统课堂 ????根据前述有关数学素质的内涵解读，反思传统课堂教学的弊端，其对阻碍数学素质培养的因素考察如下： ????（一）数学计算忽视养成从事智力活动的习惯 ????课堂教学中，教师对计算有误解，认为计算就是按照运算法则进行加减乘除，学习计算就是熟练背诵运算法则，形成计算技巧，迅速地算出给定式子的正确答案。实际上，按算法规则进行逻辑推理而获得正确结果仅是计算的一个很小的方面，更重要的是，在计算中包含着对算法的构造、设计、选择，对计算原理的理解、运用，其中包含了丰富的数学实践。传统课堂教学难以涉及到这个层面，学生不能深入理解数学真谛，定量思维和定性思维训练不能到位。 ????（二）数学知识的抽象过程被忽视 ????数学抽象是对学生进行简捷、严谨、有序的思维方式的训练，但现实的课堂教学，学生看不到知识的发生发展过程，他们的思维没有机会经历结论的抽象过程，基本概念，基本原理“从天而降”，在他们还没有对基本概念有个大概的理解就要求他们应用概念去解决问题，这对培养学生的素质很不利。 ????（三）数学逻辑思维能力单靠灌输和模仿来培养 ????数学学习中，逻辑与直觉、推理与猜想总是相互伴随的。理解数学首先要靠“观察”数学现象来实现 ，而这种“观察”力只有凭借长期的数学实践才能逐渐形成。现在的课堂教学对严密的推理能力仅靠向学生灌输一些逻辑法则，让学生模仿运用这些法则（尽管模仿是必须的）来加以培养。这种教学只能增加记忆负担，削弱对法则本质的理解。 ????（四）数学课堂难以发现和体会数学与日常生活的密切关系 ????现在的数学教材和课堂教学，都是从概念到概念、从定理到推论，处处强调逻辑演绎的严格性，对数学的现实背景、理论的发现过程略，这就导致学生形成错误的认识：学习数学就是记住书本上的定义、法则、公式和定理，能够顺利地进行运算、变换或变形、解方程、证明等。过分强调数学的确定性而忽视数学的可变性的数学教学，不仅使人对数学产生误解，降低数学在生活中的作用，而且由于数学活动中的观察、直观描述、猜想、试验等被大大淡化甚至取消，以致数学在培养人的素质方面的作用也受到极大损害。 ????（五）对数学交流的误解 ????许多教师都认为，数学的抽象性、表述的严谨性及语言的特殊性，决定数学学习过程的统一性，学习数学等于得出答案，寻找定理，并用于解答更深层次的数学问题。因此，教师在基本原理的教学上常常三言两语一带而过，不给学生理解的时间和表达自己见解的机会，也不组织学生讨论，教学过程千篇一律，缺乏生动性、具体性、差异性，学生只是做大量重复性的强化训练。造成学生对数学的神秘感和恐惧、厌烦心理。 ????数学既是科学语言也是日常生活语言，一个数学定理常常蕴涵大量信息，从背景材料、证明思想及定理应用等各环节上，都有着丰富的具体内容，学生常常需要用大量时间和精力，才能理解它。只有加强数学交流，才会使数学符号成为一个人自然习惯的语言，增强数学思维能力。 ????（六）对培养学生的反思和调节能力的忽视 ????数学教学轻视基本概念教学，热衷大运动量解题训练，满足获得正确答案，不对解题过程进行反思，不总结解题经验教训，更不对问题进行引申、简单化和概括数学思想方法，结果导致数学学习的“高投入、低产出”，师生双方都感到负担沉重。 ????三、创新数学课堂教学 ????反思传统数学课堂教学不利于数学素质培养的因素，结合新课程标准出台为我们提供的崭新的教学理念，笔者以为实施创新型数学课堂教学，能增强学生数学素质培养的针对性和有效性。现思考总结如下： ????（一）关注学生的数学学习准备，保障学生数学思维的流畅性 ????所谓数学学习准备是指学生原有的数学知识或数学水平对新数学学习的适应性，即学生在学习新数学知识时，那些促进或妨碍数学学习的个人生理、心理发展的水平和特点。奥苏伯尔说：“如果我不得不把全部教育心理学还原为一条原理的话，那就是影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么”，[4]这实际上指出数学学习准备的重要性。在一节数学课中，数学概念之间的联系一般都是非常紧密，逻辑严密的。如果学生头脑中的新旧知识出现断层，必然给后继学习带来困难，因此，在备课和教学中，要重视对学生现有数学基础知识的诊断、链接、发展。 ????在三角函数这一章的教学中，我反复了解、诊断学生相关知识基础，明白从何讲起。然后引导学生模仿已学知识的思想方法，寻求新内容和旧知识的共性和新内容独立的个性。参照已学二次函数、指数函数等，分别从概念、图像、性质等方面去研究三角函数，再由三解函数的个性——角的独立性，各三角函数定义的相互联系，对三角函数式进行三角变换，最后对例题设法在理解的基础上掌握解题格式。通过本章教学，学生思维的流畅性得到训练，从而培养了学生定量、定性思维等素养。 ????（二）开展探究性学习实践，发挥教材蕴含的数学思想方法的扩张效应 ????教材中许多重要的例题、习题反映相关数学理论的本质属性、对于这类题目，通过类比、引申、推广，提出新的问题并加以解决，既有效地巩固基础知识，又培养学生的探索精神和创新能力。发挥教材的扩张效应，是培养良好数学素质的有效载体。 ????如高中《数学》（试验修订本）第二册（上）一例题： ????已知：a、b是正数，且a≠b，求证a3+b3＞a2b+ab2。教学中，在引导学生证明了结论之后，设计如下探究性问题： ????（1）若a,b∈R，且a≠b，试比较a4+b4与a3b+ab3的大小。 ????（2）若a,b是正数，且a≠b，试比较a5+b5与a3b2+a2b3的大小。 ????（3）若a,b∈R，且a≠b，试比较a6+b6与a4b2+a2b4的大小（由习题改编）； ????（4）请你根据例题及（1）~（3）的结果，将例题的结论推广到一般形式。 ????随着问题（1）~（3）的解决，对于问题（4）在学生讨论的基础上，引导他们归纳出如下结论： ????（1）若a、b是正数，且a≠b，m,n∈R，m＜n，当n为正奇数时，有an+bn＞ambn-m+an-mbm; ????（2）若a、b∈R，且a≠b，m,n∈N，m＜n，当n为正偶数时，有an+bn＜ambn-m+an-mbm; ????（3）若a、b是正数，且a≠b，m,n∈N，有am+n+bm+n＞ambn+anbm。 ????上述思维训练有利于培养数学抽象能力、推理能力及良好的符号意识等素质。 ????（三）重视学生的“意外”插话，教学民主呵护创新思维火花 ????课堂教学活动在老师的指导下紧锣密鼓朝着预设的轨道前进时，会有学生冒出一句与教学设计可能完全不同，但又带着“金子般闪光”的“意外”插话。这种“意外”的产生并非纯属偶然。根据建构主义学习理论，学生并不是知识信息被动的吸收者，而是积极主动的建构者，每个学生都以自己头脑中已有的知识和经验为基础，用个人特有的思维方式建构对事物的理解、检验和批判，不同的人看到的是事物的不同方面。 如在复习时，老师进行不等式一题多证的教学，给出题目： ????已知-1＜a＜1，-1＜b＜1，证明： 。 ????在教师的点评帮助下，课堂气氛活跃，同学们给出了4种不同的证法：作差比较法、综合法、分析法、三角换元法。突然，一个学生冒出一句：“我还有一种证法，应用数列求和知识……”老师却不加理会，继续展开自己早已设计好的证法：放缩法的讲解。下课后老师才去关注那位学生的证明： ∵ ……???? ∴ ≥2+2ab+2a2b2+2a3b3+……=2（1+ab+a2b2+a3b3+……）= ????这是一种构思巧妙、精彩简洁的证明，该生利用无穷等比数列各项和的公式S=a1+a1q+a1q2+…a1qn-1+…= 来证明不等式的奇思妙想，由于出于教师意料之外，而没有机会得到表达和交流，令人惋惜！因此在教学中，我们要善待学生的“意外”插话，发扬教学民主，提供给学生平等交流的机会，认真听取学生发言，及时激励学生的创新行为，因势利导进行教学，达到教学相长的目的，这是培养自我反省和自我调节能力的应有之义。 ????（四）活化解题思路，培养对事物的洞察、推理能力 ????数学课堂不仅要追求同一问题的多种解法，而且要通过对一些具体问题解决方法的分析讨论，使学生掌握方法的思想，使他们的思维具有运动、变化、辩证等特性，激活学生解题思路，提高他们的数学素质。 ????例如，下图，一条长为2的线段 AB夹在互相垂直的两个平面M、 平面N之间，AB与平面M交450角， 与平面N交300角，过A、B两点分别作两个平面交线的垂线AC、BD， 求平面ABD与平面ABC所成的二面角。 ????该题的常规解法是构造出所求二面角的平面角。（解法略）继而引导学生多角度、宏观地考察问题：设所求的二面角可以看做是四面体C—ABD的一个侧面ABC与底面ABD的夹角，另外两个侧面与底面的夹角也是易求的，联想到投影关系解题： ????设所求的二面角为 ，在四面体C—ABD中，面积ABD的面积应等于三个侧面在底面上的正投影的面积之和。 ????∵侧面ACD⊥底面ABD，∴S面ABD=S面CAB·cos +S面CBD·cos∠CDA， AD=BD= ，AC=1，BC= ，CD=1，∴S面ABD=1，S面CAB= ，S面CBD= , cos∠CDA= ，∴cos = ， =arccos ????上述方法给我们提供了一个更为一般的思维方法的特殊例证，然后又引导学生反思解题在思想方法层面的更多启示：考虑问题的多角度（既可以求二面角的平面角，又可以将二面角看成侧面与底面的夹角）常能获得各种途径；考虑问题要关于从宏观到微观（空间问题平面化），又要善于从微观到宏观（平面问题立体化）。 ????在解题教学中多作这样的分析，有助于学生开阔视野，提升理念，将数学素质的培养落到实处。 [参考文献] ????[1]严士健：《面向21世纪的中国数学教育》，江苏教育出版社，1994年版147页。 ????[2]王梓坤：《今日数学及其应用》，《数学通报》，1994年第七期第1页。 ????[3]林崇德：《学习与发展》，北京教育出版社，1998年版353页。 ????[4]陈琦等：《当代教育心理学》，北京师范大学出版社，1997年1月版，90页。 ????[5]曹才翰、章建跃：《数学教育心理学》，北京师范大学出版社，1999年9月版。 ????[6]张奠宙：《数学美与课堂教学》、《数学教育学报》，1995年第3期。 ????[7]国家高中数学课程标准制订组：《高中数学课程标准》的框架设想，《数学教育学报》，2002年第九期。
创新数学课堂教学 培养学生数学素质 ?????????????????????????????????[摘要]数学素质是人的素质中最重要的成分之一。有关数学素质的内涵本文从六个方面作出解读尝试。但当前课堂教学对数学素质的认识忽视培养漠视，从六个方面对阻碍数学素质培养的因素进行反思，继而作出创新数学课堂教学的设计和探索：关注学生数学学习准备，开展探究性学习实践，呵护学生创新思维火花，活化解题思路。 [关键词]数学素质 解读 反思 创新数学课堂 培养 ????素质是一个人的品格、精神、知识、能力、学识、言谈、行为举止的综合。数学素质是人的素质中最重要的成分之一。一个人的数学素质好，是指他能从数学的角度来思考问题，“数感”好，有数量概念和规律概念，能够辩证地看问题，等等。这些素质是在长期的数学知识学习中潜移默化地养成的。课堂教学是素质教育的主渠道，如果教师自觉地实践探索式、讨论式数学教学方法，突破教师中心、书本中心的束缚、突出学生主体主动的、能动的、有价值的数学活动，创新数学课堂教学，就能保障课堂素质教学主渠道的畅通，着力培养学生的数学素质。 ????一、解读数学素质 ????数学素质是通过数学知识的学习、数学思维方法的训练、教学能力的培养，使学生养成数学地思维的习惯，形成数学地观察世界、处理和解决问题的能力。数学素质主要表现在思维活动中，对数学素质的探讨如下： ????（一）精确的定量思维和准确的定性思维 ????数学计算是数学课堂上一项重要的数学活动。计算，包括根据法则进行的精确计算、心算和估算。按运算法则进行计算可训练学生的推理技巧，培养按程序操作的技能，形成按规则办事的素养和习惯，精确计算是一种定量思维形式 ，有一定的规律可循；心算和估算培养学生全面地把握问题情景、洞察事物本质的能力和对数据特点的正确理解，对算法的合理选择，对结果合理性的正确判断等能力。估算是对事物的整体把握，是通过与头脑中已有数学模型的类比实现的，是对事物本质的直觉判断，因此是一种定性思维形式，有更大的灵活性和变通性。教学计算中包含着对算法的构造、设计、选择，包含了丰富的数学实践，使学生逐渐养成从事智力活动的习惯：计划自己的工作，寻找完成工作合理的途经，对结果进行评判。是训练学生的定量思维和定性思维的最佳途经之一。[1] ????（二）数学地看待事物和对事物进行数学抽象的能力 ????数学教学过程中，首先认识事物的相似性，在分析相似性的某些特点的基础上，以这些特点为标准将事物分类，从而获得对事物共性的认识，然后选择适当的词、符号、图形等表示之。数学抽象是对学生思维方式的训练，是对学生进行简捷、严谨、有序的思想表述的训练，从而使学生获得了这样一种素养：面对错综复杂的事物，把注意力集中在对所研究问题起关键作用的特征上，并用恰当的方法表示出这种特征，以开展思考和交流。 ????（三）对事物本质的洞察力和严谨的推理能力 ????在信息时代，人们需要有对错综复杂、千变万化的信息判断和选择能力，更需要在分析和评判问题、选择解决方案中的推理能力。在数学学习中，学生由学习前人的经验而产生对数学知识的记忆，由记忆而产生有意义的联想，由类比又产生新联想，再对联想到的事物进行归纳、抽象，依靠逻辑推理而获得对事物本质的认识。学生凭借长期的数学实践、严格的数学训练，养成坚毅不拔而又客观公正的为人品格，形成严密的思维习惯，还能培养学生抓住事物主要关系、洞察事物本质，把握全局、明辨是非的能力和快速反应、灵活应变的能力，提高他们对不断变化着的世界的适应能力。 ????（四）应用数学解决实际问题的意识 ????通过数学教学对“问题解决”、“教学建模”的运用，对“数型结合思想”的落实，使学生学会用数学方法观察现实，使其在今后的工作和日常生活中运用数学，用数学去分析、研究和解释具体现象，并进行“数学化”；会利用自己的认识结构进行主动的建构活动，养成用联系的观点看待事物的习惯，形成从不同领域发现共同特性的能力以及一个理论应用于不同领域的能力，从而增强动手能力，发现和提出问题的能力，强化用数学的意识和创新意识。[2] ????（五）用数学语言进行交流的能力和良好的符号意识 ????在数学学习中，通过亲身实践、主动建构而理解知识的精神实质，发展数学思维；通过小组或同学间的数学交流，逐渐学会清晰、准确而有逻辑地表达思想，善于倾听他人的见解，内化他人的思想，以达到同学间的相互学习和共同提高。学生只有具备数学交流能力，才能顺利地阅读和理解数学著作，才能用口头或书面的形式阐释自己对数学的理解，才能成功地吸收他人的心得而提高自己。 ????数学教学可提高学生用符号进行交流的能力，使他们逐渐养成在处理问题时自觉引进适当符号来表述关键事项的习惯，能够通过确定符号程序来表示事件之间的相互关系，并对符号系统进行推理，获得结论并检验所得结果的准确性和合理性。 ????（六）良好的自我反省和自我调节能力 ????数学学习是一种具体性较差和与实现有一定距离的活动，自我意识的作用更为突出，更加需要对学习活动的自我反省和调节，从而达成数学智慧。数学智慧成熟的人有较好的自我反省和自我调节能力，能客观公正地评价自己和他人，遇事独立思考和分析，既不固执已见，也不人云亦云；能根据要求恰当选择解题策略，有效监督认知活动进程，获取反馈信息，对认知活动的有效性作出判断，及时调节认知过程，优化学习过程，减少认知活动的盲目性、冲动性，提高认知活动的效率，增加成功的概率。[3] ????二、反思传统课堂 ????根据前述有关数学素质的内涵解读，反思传统课堂教学的弊端，其对阻碍数学素质培养的因素考察如下： ????（一）数学计算忽视养成从事智力活动的习惯 ????课堂教学中，教师对计算有误解，认为计算就是按照运算法则进行加减乘除，学习计算就是熟练背诵运算法则，形成计算技巧，迅速地算出给定式子的正确答案。实际上，按算法规则进行逻辑推理而获得正确结果仅是计算的一个很小的方面，更重要的是，在计算中包含着对算法的构造、设计、选择，对计算原理的理解、运用，其中包含了丰富的数学实践。传统课堂教学难以涉及到这个层面，学生不能深入理解数学真谛，定量思维和定性思维训练不能到位。 ????（二）数学知识的抽象过程被忽视 ????数学抽象是对学生进行简捷、严谨、有序的思维方式的训练，但现实的课堂教学，学生看不到知识的发生发展过程，他们的思维没有机会经历结论的抽象过程，基本概念，基本原理“从天而降”，在他们还没有对基本概念有个大概的理解就要求他们应用概念去解决问题，这对培养学生的素质很不利。 ????（三）数学逻辑思维能力单靠灌输和模仿来培养 ????数学学习中，逻辑与直觉、推理与猜想总是相互伴随的。理解数学首先要靠“观察”数学现象来实现 ，而这种“观察”力只有凭借长期的数学实践才能逐渐形成。现在的课堂教学对严密的推理能力仅靠向学生灌输一些逻辑法则，让学生模仿运用这些法则（尽管模仿是必须的）来加以培养。这种教学只能增加记忆负担，削弱对法则本质的理解。 ????（四）数学课堂难以发现和体会数学与日常生活的密切关系 ????现在的数学教材和课堂教学，都是从概念到概念、从定理到推论，处处强调逻辑演绎的严格性，对数学的现实背景、理论的发现过程略，这就导致学生形成错误的认识：学习数学就是记住书本上的定义、法则、公式和定理，能够顺利地进行运算、变换或变形、解方程、证明等。过分强调数学的确定性而忽视数学的可变性的数学教学，不仅使人对数学产生误解，降低数学在生活中的作用，而且由于数学活动中的观察、直观描述、猜想、试验等被大大淡化甚至取消，以致数学在培养人的素质方面的作用也受到极大损害。 ????（五）对数学交流的误解 ????许多教师都认为，数学的抽象性、表述的严谨性及语言的特殊性，决定数学学习过程的统一性，学习数学等于得出答案，寻找定理，并用于解答更深层次的数学问题。因此，教师在基本原理的教学上常常三言两语一带而过，不给学生理解的时间和表达自己见解的机会，也不组织学生讨论，教学过程千篇一律，缺乏生动性、具体性、差异性，学生只是做大量重复性的强化训练。造成学生对数学的神秘感和恐惧、厌烦心理。 ????数学既是科学语言也是日常生活语言，一个数学定理常常蕴涵大量信息，从背景材料、证明思想及定理应用等各环节上，都有着丰富的具体内容，学生常常需要用大量时间和精力，才能理解它。只有加强数学交流，才会使数学符号成为一个人自然习惯的语言，增强数学思维能力。 ????（六）对培养学生的反思和调节能力的忽视 ????数学教学轻视基本概念教学，热衷大运动量解题训练，满足获得正确答案，不对解题过程进行反思，不总结解题经验教训，更不对问题进行引申、简单化和概括数学思想方法，结果导致数学学习的“高投入、低产出”，师生双方都感到负担沉重。 ????三、创新数学课堂教学 ????反思传统数学课堂教学不利于数学素质培养的因素，结合新课程标准出台为我们提供的崭新的教学理念，笔者以为实施创新型数学课堂教学，能增强学生数学素质培养的针对性和有效性。现思考总结如下： ????（一）关注学生的数学学习准备，保障学生数学思维的流畅性 ????所谓数学学习准备是指学生原有的数学知识或数学水平对新数学学习的适应性，即学生在学习新数学知识时，那些促进或妨碍数学学习的个人生理、心理发展的水平和特点。奥苏伯尔说：“如果我不得不把全部教育心理学还原为一条原理的话，那就是影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么”，[4]这实际上指出数学学习准备的重要性。在一节数学课中，数学概念之间的联系一般都是非常紧密，逻辑严密的。如果学生头脑中的新旧知识出现断层，必然给后继学习带来困难，因此，在备课和教学中，要重视对学生现有数学基础知识的诊断、链接、发展。 ????在三角函数这一章的教学中，我反复了解、诊断学生相关知识基础，明白从何讲起。然后引导学生模仿已学知识的思想方法，寻求新内容和旧知识的共性和新内容独立的个性。参照已学二次函数、指数函数等，分别从概念、图像、性质等方面去研究三角函数，再由三解函数的个性——角的独立性，各三角函数定义的相互联系，对三角函数式进行三角变换，最后对例题设法在理解的基础上掌握解题格式。通过本章教学，学生思维的流畅性得到训练，从而培养了学生定量、定性思维等素养。 ????（二）开展探究性学习实践，发挥教材蕴含的数学思想方法的扩张效应 ????教材中许多重要的例题、习题反映相关数学理论的本质属性、对于这类题目，通过类比、引申、推广，提出新的问题并加以解决，既有效地巩固基础知识，又培养学生的探索精神和创新能力。发挥教材的扩张效应，是培养良好数学素质的有效载体。 ????如高中《数学》（试验修订本）第二册（上）一例题： ????已知：a、b是正数，且a≠b，求证a3+b3＞a2b+ab2。教学中，在引导学生证明了结论之后，设计如下探究性问题： ????（1）若a,b∈R，且a≠b，试比较a4+b4与a3b+ab3的大小。 ????（2）若a,b是正数，且a≠b，试比较a5+b5与a3b2+a2b3的大小。 ????（3）若a,b∈R，且a≠b，试比较a6+b6与a4b2+a2b4的大小（由习题改编）； ????（4）请你根据例题及（1）~（3）的结果，将例题的结论推广到一般形式。 ????随着问题（1）~（3）的解决，对于问题（4）在学生讨论的基础上，引导他们归纳出如下结论： ????（1）若a、b是正数，且a≠b，m,n∈R，m＜n，当n为正奇数时，有an+bn＞ambn-m+an-mbm; ????（2）若a、b∈R，且a≠b，m,n∈N，m＜n，当n为正偶数时，有an+bn＜ambn-m+an-mbm; ????（3）若a、b是正数，且a≠b，m,n∈N，有am+n+bm+n＞ambn+anbm。 ????上述思维训练有利于培养数学抽象能力、推理能力及良好的符号意识等素质。 ????（三）重视学生的“意外”插话，教学民主呵护创新思维火花 ????课堂教学活动在老师的指导下紧锣密鼓朝着预设的轨道前进时，会有学生冒出一句与教学设计可能完全不同，但又带着“金子般闪光”的“意外”插话。这种“意外”的产生并非纯属偶然。根据建构主义学习理论，学生并不是知识信息被动的吸收者，而是积极主动的建构者，每个学生都以自己头脑中已有的知识和经验为基础，用个人特有的思维方式建构对事物的理解、检验和批判，不同的人看到的是事物的不同方面。 如在复习时，老师进行不等式一题多证的教学，给出题目： ????已知-1＜a＜1，-1＜b＜1，证明： 。 ????在教师的点评帮助下，课堂气氛活跃，同学们给出了4种不同的证法：作差比较法、综合法、分析法、三角换元法。突然，一个学生冒出一句：“我还有一种证法，应用数列求和知识……”老师却不加理会，继续展开自己早已设计好的证法：放缩法的讲解。下课后老师才去关注那位学生的证明： ∵ ……???? ∴ ≥2+2ab+2a2b2+2a3b3+……=2（1+ab+a2b2+a3b3+……）= ????这是一种构思巧妙、精彩简洁的证明，该生利用无穷等比数列各项和的公式S=a1+a1q+a1q2+…a1qn-1+…= 来证明不等式的奇思妙想，由于出于教师意料之外，而没有机会得到表达和交流，令人惋惜！因此在教学中，我们要善待学生的“意外”插话，发扬教学民主，提供给学生平等交流的机会，认真听取学生发言，及时激励学生的创新行为，因势利导进行教学，达到教学相长的目的，这是培养自我反省和自我调节能力的应有之义。 ????（四）活化解题思路，培养对事物的洞察、推理能力 ????数学课堂不仅要追求同一问题的多种解法，而且要通过对一些具体问题解决方法的分析讨论，使学生掌握方法的思想，使他们的思维具有运动、变化、辩证等特性，激活学生解题思路，提高他们的数学素质。 ????例如，下图，一条长为2的线段 AB夹在互相垂直的两个平面M、 平面N之间，AB与平面M交450角， 与平面N交300角，过A、B两点分别作两个平面交线的垂线AC、BD， 求平面ABD与平面ABC所成的二面角。 ????该题的常规解法是构造出所求二面角的平面角。（解法略）继而引导学生多角度、宏观地考察问题：设所求的二面角可以看做是四面体C—ABD的一个侧面ABC与底面ABD的夹角，另外两个侧面与底面的夹角也是易求的，联想到投影关系解题： ????设所求的二面角为 ，在四面体C—ABD中，面积ABD的面积应等于三个侧面在底面上的正投影的面积之和。 ????∵侧面ACD⊥底面ABD，∴S面ABD=S面CAB·cos +S面CBD·cos∠CDA， AD=BD= ，AC=1，BC= ，CD=1，∴S面ABD=1，S面CAB= ，S面CBD= , cos∠CDA= ，∴cos = ， =arccos ????上述方法给我们提供了一个更为一般的思维方法的特殊例证，然后又引导学生反思解题在思想方法层面的更多启示：考虑问题的多角度（既可以求二面角的平面角，又可以将二面角看成侧面与底面的夹角）常能获得各种途径；考虑问题要关于从宏观到微观（空间问题平面化），又要善于从微观到宏观（平面问题立体化）。 ????在解题教学中多作这样的分析，有助于学生开阔视野，提升理念，将数学素质的培养落到实处。 [参考文献] ????[1]严士健：《面向21世纪的中国数学教育》，江苏教育出版社，1994年版147页。 ????[2]王梓坤：《今日数学及其应用》，《数学通报》，1994年第七期第1页。 ????[3]林崇德：《学习与发展》，北京教育出版社，1998年版353页。 ????[4]陈琦等：《当代教育心理学》，北京师范大学出版社，1997年1月版，90页。 ????[5]曹才翰、章建跃：《数学教育心理学》，北京师范大学出版社，1999年9月版。 ????[6]张奠宙：《数学美与课堂教学》、《数学教育学报》，1995年第3期。 ????[7]国家高中数学课程标准制订组：《高中数学课程标准》的框架设想，《数学教育学报》，2002年第九期。

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