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函数学习的认知层次 ????????????????????????????????????复旦附中特级教师曾容老师认为：“中学数学以函数为纲”。许多代数问题可以纳入到函数层面进行理解。譬如解方程就是求函数值等于某一确定值时的自变量的值，数列是特殊的函数等等。学好了函数，就会用变化的观点分析世界，用对应的思想发现部分本质。 ????在教学过程中发现，绝大部分学生认为函数难学，不少教师也认为函数难教，特别是学生遇有不懂的问题时，教师有时只能就题论题，下次学生遇到同类问题还是不懂。究其原因有很多，笔者认为主要原因之一是函数学习有六个认知层次，学生未解决低层次的认知问题，必然会在高层次的认知学习中遇到困难。 ????1、理解变量 ????问题：关于x的方程a-2x=0有解，求a的取值范围。 ????不少学生对此问题无从下手，不能想到a是变量，变形为a=2x,a就是x的函数，从而a的范围就是2x的值域。暴露了学生对变量的理解不深刻。 ????在引入函数概念之前，需要完成从常量到变量的转变，物体运动涉及变量，但是，学生往往用常量观点去理解变量。比如问：“某物体以100m/min的速度前进，10min前进多少m？”小学生都会给出正确答案，但他们并没有注意一时间与路程都是变量，即使部分学生能给出“s=100t”，也只是文字代表“数”而已，并没有把它看作是一个变化的过程，仅若将t看作运点沿数轴从0运动到10，列出相应的另一个变量S(t)的对应值，并在坐标系上描出这些点，这时学生才感受到变量的真实意义。 ????教学启示：数形结合是深化函数概念这习的重要手段，函数的图像一方面是函数的一种表示方法，另一方面也为函数建立了真观模型，从图像上更能看出函数作为运动过程的描述这一特征，因此，应使学生的思维能在静止与运动、离散与连续之间进行转化，从观察静态的“照片”（例如常量、代数方程和算式），到认识动态过程的“录像”（如变量、函数），这是认识的飞跃。 ????2、突出“关系” ????问题：已知1≤x+y≤2,0≤2x-y≤1,求4x+y的取值范围。（答案：2≤4x+y≤5） 学生困惑：两条件相加得1/3≤x≤1,类似求得0≤y≤4/3,故4/3≤4x+y≤16/3,为什么不对？ ????对此问题的困惑暴露出学生对两个变量之间关系理解的不深刻。 ????例如，表达式x+y=5，在学生已有的图式中就是两个定数相加为5，没有想到两个量之间此消彼长的内在联系；上述问题中的x,y之间也是一个此消彼长相互制约的关系， x,y不能同时取到最大（最小）值。 ????认识变量和认识变量间的关系是不同层次的认知水平，例如一位教师在函数概念教学时，让学生先举一个生活中遇到的在某过程中的变量，选一个字母表示，然后再想一想有没有另一个与前一个量有关的也在变化的量，找到它们之间的关系，学生分别举了“距离和时间的关系”，“买铅笔的数量与总价的关系”等，有一个学生说：“吹气球时气球的体积随时间变，但是关系不清楚。”这是一个很关键的问题：找变量容易，找关系难，找关系，实际上是“建立数学模型”的问题，吹气球时，时间和气球究竟有没有关系？学生的回答是有关系，但是不知道是什么关系，那么我们能不能说他已经知道了气球大小是时间的函数呢？老师和同学讨论的结果是：只要把各个时刻的气球半径大小记下来，就是一个函数了，有关系，可以是函数，把关系记录下来，才得到这个函数。 ????教学启示：函数教学中必须突出关系。为了使生个学生都获得必要的感知，引导学生多分析几个不同的实例，实行“函数建模”是十分必要的。 ????3、区别函数与算式 ????问题：把长为1的铁丝折成一边长为x的矩形，何时面积最大？ ????矩形面积为x(1/2-x),这是算式，求其最大值需把它看作x的函数。 ????算式只是函数的一种表示方法，代数式可以看作带有变量的函数表达式，求代数式的值就是求特定的函数值；列表法、图像法都可以表示函数，报纸上天天刊载的“股票走势图”，就是一种函数模型，主要是找到算式表示，最终是用找到的函数关系去解决问题，因此，寻求算式，但不限于算式，是函数教学的目的之一。 ????4、紧扣“对应” ????问题：y=1是函数吗？ ????学生困惑：y没有变化，怎么是函数？ ????如果问刚升入高一的学生：“什么是函数？”回答往往是“函数是变量”，“函数是变化过程”，“y=kx是x的函数”，“函数是图像”等等，他们是大体地描述函数的外在特征，很少深入到抽象的层面；函数是对应关系，只有明确了这点，才能理解y=1是函数。当然，把函数作为“变化过程”的描述和作为“对应关系”的描述是认识函数概念的不同的侧面，不能说成后者比前者更好，或者“对应说是现代化”，“变量说是陈旧的”等。 ????工程师、经济师等对函数的理解主要是“变量说”，通过寻找变量之间的关系，找出客观现象的规律，这种宏观的把握，对于科学发展是很重要的，另一方面，作为数学本身的进步而言，需要在宏观的基础上，微观地考虑函数：x的哪一个值和y的哪一个值对应？例如分段函数的端点的值，以及狄立克莱函数的定义等问题，就需要微观的观察和精细的判断。 ????在高中阶段，首先要使得学生在宏观地研究变量之间关系的基础上，有进一步抽象的需求，把“对应”关系凸现出来，尤其是，对于不能用算式表示的函数，更需要用对应思想进行理解，例如上例中的气球体积与时间的关系，虽然写不出算式关系，只要有数据的对应关系，仍旧是函数。 ????5、力求形式化 ????学生困惑： f和x是不是乘的关系？ ????由此可见他们虽然背了定义，但没有理解函数的真实意义，这也是学习函数最困难的地方。 ????为何前者会有那样的错误理解？其原因在于：一是，学生对对应关系认识不足；二是，函数的形式化表示不是用一个“记作”就能让人接受的；三是，从变量到函数抽象的符号表示突然跨了多个抽象层次，难怪学生产生了理解的障碍。教学中可以不直接说“通常我们把y是x的函数表示为：y=f(x)”，而是先说“f代表自变量和因变量之间的对应关系，对于定义域内任意的x（这时在黑板上写下‘x’），通过对应关系（在黑板上写出‘f( )’，刚才的x被括号括在内），对应出唯一的一个y（在黑板上刚才的式子前写下‘y=’）”，这样就写出了表达式y=f(x)，后一种书写次序主要是突出了对应关系这个特征，而且与定义的描述次序相同，所以这样写的顺序应了学生意义建构的模式，学生更容易接受。 ????有些教材把函数比作“加工机”，给定一个就加工出一个f(x)，复合函数就好比组合加工机，这种比喻很形象，一方面体现了对应的特征，另一方面体现了过程的特征，这就奠定了函数模型，对于理解抽象的函数表示有较大的帮助。 ????函数的表示，最完整的是y=f(x)，x∈D，可以简写为f(x)，x∈D，又因为对应关系居于核心地位，所以在不致混淆的时候，更可以简化为f(x)，有时甚至简写为f。 ????6、当作对象 ????问题：已知f(x)+2f(-x)=x,求f(x)。 ????和数学的其它概念一样，函数概念具有二重性，既代表定义域的元素按对应法则与值域中元素作对应的过程，又代表特定对应的关系结构，所以认识这个概念也应分为两个侧面，即作为过程的一面和作为对象的一面，研究表明，形成一个概念，往往要经过由过程开始，然后转变为对象的认知过程，掌握函数概念的最后一个层次，就是把函数作为一个“整体的对象”来看待，对本问题的解决就需要如此。 ????当我们进行思维的时候，最先在头脑里跳出的不是函数的某种定义，而往往是具有代表性的某一函数的图像，例如看到y=sinx，首先想到的不是对边与斜边的比，而是一条正弦曲线，由此就可以记忆起有关的有界性和周期性等性质，认识函数的图像也有不同水平的思维方式，例如，作函数y=2sin(x+ωx)+3的图像，如果用描点法，每给一个x，通过表达式计算出一个y，然后描点连线，,这是典型的过程性思维；如果是先画y=sinx的图像，再作平移和放缩等变换，也可得出图像，这就是结构性的思维方式。把函数作为对象是认识函数的综合表象阶段，并在表象之间可以转换，将函数概念的动态过程转变为抽象的结构对象便可整体掌握函数，这样才能够更好地应用函数思想解决实际问题。

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