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第一章　第3节　带电粒子在匀强磁场中的运动
(分值：100分)
选择题1～9题，每小题8分，共72分。
基础对点练
题组一　带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题
1.一质子在匀强磁场中运动，不考虑其他场力(重力)作用，下列说法正确的是(　　)
可能做类平抛运动
一定做匀变速直线运动
可能做匀速直线运动
只能做匀速圆周运动
2.质子p(H)和α粒子(He)以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径分别为Rp和Rα，周期分别为Tp和Tα，则下列选项中正确的是(　　)
Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2
Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶1
Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶2
Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶1
3.如图所示，水平导线中有恒定电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将(　　)
沿路径a运动，轨迹是圆
沿路径a运动，轨迹半径越来越大
沿路径a运动，轨迹半径越来越小
沿路径b运动，轨迹半径越来越小
4.(2024·北京房山高二期中)如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，有a、b两个电子从同一处沿垂直磁感线方向开始运动，a的初速度为v，b的初速度为2v，则(　　)
a做圆周运动的轨道半径大
b做圆周运动的周期大
a、b同时回到出发点
a、b在纸面内做逆时针方向的圆周运动
题组二　带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
5.比荷不相等的带电粒子M和N，以相同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运动的半圆轨迹(M的轨迹圆半径大于N的轨迹圆半径)如图中虚线所示。下列说法正确的是(　　)
M的带电荷量大于N的带电荷量
M的质量小于N的质量
M的运行时间小于N的运行时间
M的运行时间大于N的运行时间
6.如图所示，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场(未画出)，一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O。已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力。铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为(　　)
2∶1 ∶1
1∶1 ∶2
7.(多选)如图所示，截面为正方形的容器处在匀强磁场中，一束电子从孔A垂直磁场射入容器中，其中一部分从C孔射出，一部分从D孔射出，则下列叙述正确的是(　　)
从两孔射出的电子速率之比vC∶vD＝2∶1
从两孔射出的电子在容器中运动所用时间之比tC∶tD＝1∶2
从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比aC∶aD＝∶1
从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比aC∶aD＝2∶1
综合提升练
8.如图所示，一束离子以相同的速度垂直射入匀强磁场后分为a、b两束，下列说法正确的是(　　)
a束离子和b束离子都带负电
a束离子和b束离子质量一定不同
a束离子的比荷大于b束离子的比荷
a束离子的周期大于b束离子的周期
9.平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计粒子重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交点O的距离为(　　)
10.(12分)如图所示，一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，从直线上一点O沿与PO方向成30°角的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直线上的P点，求：
(1)(4分)粒子做圆周运动的周期；
(2)(4分)磁感应强度B的大小；
(3)(4分)若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度的大小。
培优加强练
11.(16分)(2024·湖南怀化高二期末)如图所示，平面直角坐标系的第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，一带正电的粒子，电荷量为q，质量为m，从y轴上的点A(0，L)沿某方向射入磁场，若干时间后到达第四象限的点B，粒子在点B的速度大小为v，方向与y轴平行，不计重力，求：
(1)(8分)匀强磁场B的大小；
(2)(8分)粒子从点A到点B的时间t。
第3节　带电粒子在匀强磁场中的运动
1.C　[质子在匀强磁场中的运动形式有三种：当质子的速度方向与磁场方向平行时，质子不受洛伦兹力，做匀速直线运动；当质子的速度方向与磁场方向垂直时，质子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力；当质子的速度方向与磁场方向有一定夹角(不垂直)时，质子做螺旋运动。故C正确。]
2.A　[质子p(H)和α粒子(He)的带电荷量之比为qp∶qα＝1∶2，质量之比mp∶mα＝1∶4。由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律可知，轨道半径R＝，周期T＝，因为两粒子速率相同，代入q、m，可得Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2，故选项A正确，B、C、D错误。]
3.B　[电流在导线下方产生的磁场方向垂直纸面向外，离导线越远，磁感应强度B越小。由左手定则可知电子运动轨迹向下弯曲，又由r＝可知， B减小，r越来越大，则电子的轨迹是a，故B正确。]
4.C　[根据evB＝m，得r＝，a的初速度为v，b的初速度为2v，则a做圆周运动的轨道半径小，A错误；根据T＝，两个电子运动周期相同，同时回到出发点，B错误，C正确；根据左手定则，a、b在纸面内做顺时针方向的圆周运动，D错误。]
5.D　[根据qv0B＝m可得R＝，由M的轨迹圆半径大于N的轨迹圆半径，不能判断两粒子的电荷量和质量的大小关系，选项A、B错误；根据t＝T＝，可知M的运行时间大于N的运行时间，选项C错误，D正确。]
6.D　[根据几何关系可知，带电粒子在铝板上方做匀速圆周运动的轨迹半径r1是其在铝板下方做匀速圆周运动的轨迹半径r2的2倍，设粒子在P点的速度大小为v1，动能为Ek，根据牛顿第二定律可得qv1B1＝m，则B1＝＝；同理，B2＝＝＝，则＝＝，D正确。]
7.ABD　[RC＝，RD＝，因为RC＝2RD，所以vC∶vD＝2∶1，故A正确；tC＝×，tD＝×，所以tC∶tD＝1∶2，故B正确；加速度a＝＝∝v，所以加速度之比aC∶aD＝vC∶vD＝2∶1，故C错误，D正确。]
8.C　[根据左手定则知，a束离子和b束离子都带正电，选项A错误；根据牛顿第二定律得qv0B＝m，解得r＝，a束离子的轨迹半径小于b束离子，所以<，a束离子的比荷大于b束离子的比荷，但是不能确定a束和b束的离子质量的大小关系，选项B错误，C正确；根据T＝，<可知， a束离子的周期小于b束离子的周期，D错误。]
9.D　[粒子运动的轨迹如图所示。
运动半径为R＝。由运动的对称性知，出射速度的方向与OM间的夹角为30°，由图中几何关系知lAB＝R，lAC＝2Rcos 30°＝。所以出射点到O点的距离为lBO＝＝，故选项D正确。]
10.(1)1.8×10－6 s　(2)0.314 T　(3)3.49×105 m/s
解析　(1)作出粒子的运动轨迹，如图所示，
由图可知粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角为300°，
则＝＝
周期T＝t＝×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s。
(2)由qvB＝m，T＝，得T＝
则B＝＝ T＝0.314 T。
(3)由几何知识知，半径r＝＝0.1 m
由qvB＝m得，粒子的运动速度大小为
v＝＝ m/s≈3.49×105 m/s。
11.(1)　(2)
解析　(1)对粒子在磁场中做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律qvB＝m
由几何关系
r2＝2＋2
解出r＝L
B＝。
(2)设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆心角为θ，则
sin(π－θ)＝
得θ＝
则粒子从点A到点B的时间t＝＋
得t＝。第3节　带电粒子在匀强磁场中的运动
学习目标　1.知道带电粒子的初速度方向和磁场方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。
2.会应用动力学方法推导半径公式和周期公式。3.会分析带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题。
知识点一　带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题
如图所示，可用洛伦兹力演示仪观察运动电子在匀强磁场中的偏转。
(1)不加磁场时，电子束的运动轨迹如何？加上磁场时，电子束的运动轨迹如何？
(2)运动的带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由谁提供？
(3)如果保持出射电子的速度不变，增大磁感应强度，轨迹圆半径如何变化？
(4)如果保持磁感应强度不变，增大出射电子的速度，轨迹圆半径如何变化？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的____________，不改变粒子速度的____________。
(2)沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做____________运动。
2.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径和周期
(1)运动条件：不计重力的带电粒子沿着与磁场________的方向进入匀强磁场。
(2)洛伦兹力作用：提供带电粒子做圆周运动的________。
(3)由qvB＝m，可得r＝________。
①粒子在同一匀强磁场中，由半径公式r＝知，r与m、q、v有关。
②同一粒子在同一磁场中，由r＝知，r与v成正比。
(4)由r＝和T＝，可得T＝。
当粒子垂直进入同一匀强磁场中，速度越大，半径越大，但周期相同，即周期与运动速度无关，与半径大小无关，而与带电粒子的比荷成反比。
【思考】
1.带电粒子若垂直进入非匀强磁场后做半径不断变化的运动，这时公式r＝是否成立？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.一个带正电粒子沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场。粒子的一段径迹如图所示。径迹上的每一小段都可近似看成圆弧。由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小(带电荷量、质量不变)。从图中情况可以作出何种判断？
(1)粒子的运动轨迹方向由a→b，还是b→a
(2)粒子在磁场中运动的半径随速度的减小是增大还是减小？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (2024·浙江宁波高二期中)用洛伦兹力演示仪可以观察电子在磁场中的运动径迹。图甲是洛伦兹力演示仪的实物图，图乙是结构示意图。励磁线圈通电后可以产生垂直纸面的匀强磁场，励磁线圈中的电流越大，产生的磁场越强。图乙中电子经电子枪中的加速电场加速后水平向左垂直磁感线方向射入磁场。下列实验现象和分析正确的是(　　)
A.励磁线圈应通以逆时针方向的电流
B.仅升高电子枪加速电场的电压，运动径迹的半径变大
C.仅增大励磁线圈中的电流，运动径迹的半径变大
D.仅升高电子枪加速电场的电压，电子运动的周期将变大
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练1 质子和α粒子在同一匀强磁场中做半径相同的圆周运动，已知α粒子质量是质子的4倍，电荷量是质子的2倍。则下列说法正确的是(　　)
A.质子和α粒子的速度大小之比为1∶2
B.质子和α粒子的周期之比为2∶1
C.质子和α粒子的动量之比为1∶2
D.质子和α粒子的动能之比为2∶1
知识点二　带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
　　　　　　　　　　　　　　
1.圆心的确定方法：两线定一“心”
(1)圆心一定在垂直于速度的直线上。
已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。
(2)圆心一定在弦的中垂线上。
已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。
2.半径的确定
方法1：由公式qvB＝m，得半径r＝。
方法2：根据勾股定理求解。如图所示，若已知出射点相对于入射点侧移了x，磁场的宽度为d，则有r2＝d2＋(r－x)2。
方法3：根据三角函数求解。如图所示，若已知出射速度方向与入射速度方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有r＝。
3.圆心角与偏向角、弦切角的关系
(1)带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，偏向角等于圆弧对应的圆心角α，即α＝φ，如图所示。
(2)圆弧所对应圆心角α等于弦PM与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图所示。
综上：圆心角＝偏向角＝2倍弦切角。
4.时间的确定
(1)粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间为t＝T(或t＝T)。
(2)利用粒子在磁场中运动的弧长s和速度v求解t＝或t＝T。
例2 如图所示，在第一象限内，有垂直纸面向里的匀强磁场(磁场足够大)，磁感应强度为B，一电子从O点沿纸面以速度v射入磁场中，速度方向与x轴成30°角，已知电子质量为m，电荷量为e。
(1)定性地画出电子在磁场中的轨迹，并求电子的轨迹半径；
(2)求电子离开磁场的出射点到O点的距离；
(3)求电子在磁场中运动的时间。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 (多选)如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，关于它们在磁场中的运动情况，下列结论正确的是(　　)
A.轨迹半径之比为1∶2 　B.速度之比为2∶1
C.时间之比为3∶2 　D.周期之比为2∶1
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法
训练2 如图所示，在平面坐标系xOy的第一象限内，存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带正电的粒子，沿x轴正方向以速度v0从y轴上的点P1(0，a)射入磁场，从x轴上的点P2(2a，0)射出磁场，不计粒子受到的重力，则粒子的比荷为(　　)
A. B.
C. D.
随堂对点自测
　　　　　　　　　　　　　　
1.(带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题)关于带电粒子在匀强磁场中的运动，下列说法正确的是(　　)
A.带电粒子飞入匀强磁场后，一定做匀速圆周运动
B.静止的带电粒子在匀强磁场中将会做匀加速直线运动
C.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力的方向总是和运动方向垂直
D.当洛伦兹力方向和运动方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中的运动一定是匀速圆周运动
2.(带电粒子在匀强磁场中的运动)(2024·江苏盐城高二期末)在同一匀强磁场中，两带电荷量相等的粒子，仅受磁场力作用，做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
A.若速率相等，则半径必相等
B.若速率相等，则周期必相等
C.若动量大小相等，则半径必相等
D.若动能相等，则周期必相等
3.(带电粒子在匀强磁场中的圆周运动)(多选)如图所示，两个匀强磁场的方向相同，磁感应强度分别为B1、B2，虚线MN为理想边界。现有一个质量为m、电荷量为e的电子以垂直于边界MN的速度v由P点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B1的匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线，以下说法正确的是(　　)
A.电子的运动轨迹为P→D→M→C→N→E→P
B.电子运动一周回到P点所用的时间T＝
C.B1＝4B2
D.B1＝2B2
第3节　带电粒子在匀强磁场中的运动
知识点一
导学　提示　(1)一条直线　圆　(2)洛伦兹力　(3)减小　(4)增大
知识梳理
1.(1)方向　大小　(2)匀速圆周
2.(1)垂直　(2)向心力　(3)
[思考] 1.提示　成立。在非匀强磁场中，随着B的变化，粒子轨迹的圆心、半径不断变化，但粒子运动到某位置的半径仍由B、q、v、m决定，仍满足r＝。
2.提示　(1)由左手定则，洛伦兹力指向轨迹凹的一侧，如图。可判定粒子轨迹方向为b→a。
(2)由于粒子的能量变小，由Ek＝mv2，知速率变小，所以可判定粒子在磁场中运动的半径r＝随速度的减小而减小。
例1 B　[电子受到的洛伦兹力正好指向圆心，根据左手定则可知磁场垂直纸面向里，根据安培定则知励磁线圈通以顺时针方向的电流，故A错误；当升高电子枪加速电场的电压时，电子的速度增大，根据公式r＝可知运动半径增大，故B正确；若仅增大励磁线圈中的电流，则磁感应强度增大，根据公式r＝可得运动半径减小，故C错误；根据公式T＝可得电子做匀速圆周运动的周期和速度大小无关，故D错误。]
训练1 C　[粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，则速度v＝，带电粒子在磁场中运动的周期T＝，由于质子和α粒子做圆周运动的半径相同，即r1＝r2，且α粒子的质量是质子质量的4倍，电荷量是质子的2倍，故两粒子的速度大小之比为＝＝，A错误；结合A项分析可知两粒子的周期之比＝＝，B错误；结合A项分析可知两粒子的动量之比＝＝，C正确；结合A项分析可知两粒子的动能之比为＝＝1，D错误。]
知识点二
例2 (1)轨迹见解析图　　(2)　(3)
解析　(1)由左手定则可知，电子刚射入时受力方向垂直速度方向向右下方，则可知运动轨迹如图所示。
电子在做圆周运动的过程中，设半径为r，由evB＝m得
r＝。
(2)结合(1)中所画运动轨迹，由几何关系可解得圆心角为60°，由几何关系可知出射点到O点的距离等于电子的运动半径，即
d＝r＝。
(3)电子在磁场中的运动周期为T＝＝
电子在磁场中运动的圆心角为60°，则运动的时间为t＝T
联立解得t＝。
例3 AC　[设粒子的入射点到磁场下边界的距离为d，粒子的运动轨迹如图所示。
粒子1、2的轨迹圆心分别为O1、O2。由几何关系可知，第一个粒子轨迹半径r1＝d，第二个粒子轨迹半径r2满足r2sin 30°＋d＝r2，解得r2＝2d，所以两粒子在磁场中运动的轨迹半径之比为r1∶r2＝1∶2，故A正确；由r＝可知v与r成正比，所以速度之比也为1∶2，故B错误；粒子在磁场中运动的周期为T＝，与粒子的速度大小无关，所以粒子周期之比为1∶1，故D错误；由于粒子1、2的偏转角分别为90°、60°，所以粒子1运动的时间为，粒子2运动的时间为，所以时间之比t1∶t2＝3∶2，故C正确。]
训练2 B　[粒子运动轨迹对应的圆心在y轴上，如图所示，
设轨迹的半径为R，有(R－a)2＋4a2＝R2，解得R＝，由牛顿第二定律可得qv0B＝，解得＝，故B正确。]
随堂对点自测
1.C　[若带电粒子的速度方向与磁场方向平行(同向或反向)，此时洛伦兹力为零，带电粒子做匀速直线运动，A错误；静止的带电粒子不受洛伦兹力，仍将静止，B错误；带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力总是跟速度方向垂直，即和运动方向垂直，C正确；如果带电粒子以与磁场方向成某一角度进入匀强磁场，洛伦兹力与运动方向垂直，带电粒子不是做匀速圆周运动，D错误。]
2.C　[根据qvB＝m，解得r＝，电荷量相等，速率相等，但是质量不一定相等，半径不一定相等，故A错误；根据T＝，电荷量相等，动能相等，质量不一定相等，周期不一定相等，故B、D错误；根据qvB＝m，解得r＝，电荷量相等，mv大小相等，则半径必相等，C正确。]
3.AD　[由左手定则可知，电子在P点所受的洛伦兹力的方向向上，轨迹为P→D→M→C→N→E→P，选项A正确；由题图得两磁场中轨迹圆的半径比为1∶2，由半径r＝可得＝2，选项C错误，D正确；电子运动一周回到P点的时间t＝T1＋＝＋＝，选项B错误。](共55张PPT)
第3节　带电粒子在匀强磁场中的运动
第一章　安培力与洛伦兹力
1.知道带电粒子的初速度方向和磁场方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。
2.会应用动力学方法推导半径公式和周期公式。
3.会分析带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
知识点一　带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题
知识点一　带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题
如图所示，可用洛伦兹力演示仪观察运动电子
在匀强磁场中的偏转。
(1)不加磁场时，电子束的运动轨迹如何？加上磁场
时，电子束的运动轨迹如何？
(2)运动的带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的
向心力由谁提供？
(3)如果保持出射电子的速度不变，增大磁感应强度，
轨迹圆半径如何变化？
(4)如果保持磁感应强度不变，增大出射电子的速度，轨迹圆半径如何变化？
提示　(1)一条直线　圆　(2)洛伦兹力　(3)减小　(4)增大
1.带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的_____，不改变粒子速度的______。
(2)沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做__________运动。
方向
大小
匀速圆周
2.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径和周期
垂直
向心力
2.一个带正电粒子沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场。粒子的一段径迹如图所示。径迹上的每一小段都可近似看成圆弧。由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小(带电荷量、质量不变)。从图中情况可以作出何种判断？
(1)粒子的运动轨迹方向由a→b，还是b→a
(2)粒子在磁场中运动的半径随速度的减小是增大还是减小？
提示　(1)由左手定则，洛伦兹力指向轨迹凹的一侧，如图。可判定粒子轨迹方向为b→a。
B
例1 (2024·浙江宁波高二期中)用洛伦兹力演示仪可以观察电子在磁场中的运动径迹。图甲是洛伦兹力演示仪的实物图，图乙是结构示意图。励磁线圈通电后可以产生垂直纸面的匀强磁场，励磁线圈中的电流越大，产生的磁场越强。图乙中电子经电子枪中的加速电场加速后水平向左垂直磁感线方向射入磁场。下列实验现象和分析正确的是(　　)
A.励磁线圈应通以逆时针方向的电流
B.仅升高电子枪加速电场的电压，运动径迹的半径变大
C.仅增大励磁线圈中的电流，运动径迹的半径变大
D.仅升高电子枪加速电场的电压，电子运动的周期将变大
C
训练1 质子和α粒子在同一匀强磁场中做半径相同的圆周运动，已知α粒子质量是质子的4倍，电荷量是质子的2倍。则下列说法正确的是(　　)
A.质子和α粒子的速度大小之比为1∶2
B.质子和α粒子的周期之比为2∶1
C.质子和α粒子的动量之比为1∶2
D.质子和α粒子的动能之比为2∶1
知识点二　带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
1.圆心的确定方法：两线定一“心”
(1)圆心一定在垂直于速度的直线上。
已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。
(2)圆心一定在弦的中垂线上。
已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。
2.半径的确定
3.圆心角与偏向角、弦切角的关系
4.时间的确定
例2 如图所示，在第一象限内，有垂直纸面向里的匀强磁场(磁场足够大)，磁感应强度为B，一电子从O点沿纸面以速度v射入磁场中，速度方向与x轴成30°角，已知电子质量为m，电荷量为e。
(1)定性地画出电子在磁场中的轨迹，并求电子的轨迹半径；
(2)求电子离开磁场的出射点到O点的距离；
(3)求电子在磁场中运动的时间。
解析　(1)由左手定则可知，电子刚射入时受力方向垂直速度方向向右下方，则可知运动轨迹如图所示。
例3 (多选)如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，关于它们在磁场中的运动情况，下列结论正确的是(　　 )
A.轨迹半径之比为1∶2 　
B.速度之比为2∶1
C.时间之比为3∶2 　
D.周期之比为2∶1
AC
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法
B
训练2 如图所示，在平面坐标系xOy的第一象限内，存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带正电的粒子，沿x轴正方向以速度v0从y轴上的点P1(0，a)射入磁场，从x轴上的点P2(2a，0)射出磁场，不计粒子受到的重力，则粒子的比荷为(　　)
随堂对点自测
2
C
1.(带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题)关于带电粒子在匀强磁场中的运动，下列说法正确的是(　　)
A.带电粒子飞入匀强磁场后，一定做匀速圆周运动
B.静止的带电粒子在匀强磁场中将会做匀加速直线运动
C.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力的方向总是和运动方向垂直
D.当洛伦兹力方向和运动方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中的运动一定是匀速圆周运动
解析　若带电粒子的速度方向与磁场方向平行(同向或反向)，此时洛伦兹力为零，带电粒子做匀速直线运动，A错误；静止的带电粒子不受洛伦兹力，仍将静止，B错误；带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力总是跟速度方向垂直，即和运动方向垂直，C正确；如果带电粒子以与磁场方向成某一角度进入匀强磁场，洛伦兹力与运动方向垂直，带电粒子不是做匀速圆周运动，D错误。
C
2.(带电粒子在匀强磁场中的运动)(2024·江苏盐城高二期末)在同一匀强磁场中，两带电荷量相等的粒子，仅受磁场力作用，做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
A.若速率相等，则半径必相等
B.若速率相等，则周期必相等
C.若动量大小相等，则半径必相等
D.若动能相等，则周期必相等
AD
3.(带电粒子在匀强磁场中的圆周运动)(多选)如图所示，两个匀强磁场的方向相同，磁感应强度分别为B1、B2，虚线MN为理想边界。现有一个质量为m、电荷量为e的电子以垂直于边界MN的速度v由P点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B1的匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线，以下说法正确的是(　　)
课后巩固训练
3
C
题组一　带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题
1.一质子在匀强磁场中运动，不考虑其他场力(重力)作用，下列说法正确的是(　　)
A.可能做类平抛运动 B.一定做匀变速直线运动
C.可能做匀速直线运动 D.只能做匀速圆周运动
解析　质子在匀强磁场中的运动形式有三种：当质子的速度方向与磁场方向平行时，质子不受洛伦兹力，做匀速直线运动；当质子的速度方向与磁场方向垂直时，质子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力；当质子的速度方向与磁场方向有一定夹角(不垂直)时，质子做螺旋运动。故C正确。
基础对点练
A
A.Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2 B.Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶1
C.Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶2 D.Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶1
B
3.如图所示，水平导线中有恒定电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将(　　)
A.沿路径a运动，轨迹是圆
B.沿路径a运动，轨迹半径越来越大
C.沿路径a运动，轨迹半径越来越小
D.沿路径b运动，轨迹半径越来越小
C
4.(2024·北京房山高二期中)如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，有a、b两个电子从同一处沿垂直磁感线方向开始运动，a的初速度为v，b的初速度为2v，则(　　)
A.a做圆周运动的轨道半径大
B.b做圆周运动的周期大
C.a、b同时回到出发点
D.a、b在纸面内做逆时针方向的圆周运动
D
题组二　带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
5.比荷不相等的带电粒子M和N，以相同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运动的半圆轨迹(M的轨迹圆半径大于N的轨迹圆半径)如图中虚线所示。下列说法正确的是(　　)
A.M的带电荷量大于N的带电荷量
B.M的质量小于N的质量
C.M的运行时间小于N的运行时间
D.M的运行时间大于N的运行时间
D
6.如图所示，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场(未画出)，一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O。已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力。铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为(　　)
ABD
7.(多选)如图所示，截面为正方形的容器处在匀强磁场中，一束电子从孔A垂直磁场射入容器中，其中一部分从C孔射出，一部分从D孔射出，则下列叙述正确的是(　 　)
C
综合提升练
8.如图所示，一束离子以相同的速度垂直射入匀强磁场后分为a、b两束，下列说法正确的是(　　)
A.a束离子和b束离子都带负电
B.a束离子和b束离子质量一定不同
C.a束离子的比荷大于b束离子的比荷
D.a束离子的周期大于b束离子的周期
D
9.平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计粒子重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交点O的距离为(　　)
解析　粒子运动的轨迹如图所示。
10.如图所示，一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，从直线上一点O沿与PO方向成30°角的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直线上的P点，求：
(1)粒子做圆周运动的周期；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度的大小。
答案　(1)1.8×10－6 s　(2)0.314 T (3)3.49×105 m/s
解析　(1)作出粒子的运动轨迹，如图所示，由图可知粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角为300°，
≈3.49×105 m/s。
(1)匀强磁场B的大小；
(2)粒子从点A到点B的时间t。
(2)设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆心角为θ，

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