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专题提升三　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
(分值：100分)
选择题1～9题，每小题8分，共72分。
基础对点练
题组一　带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
1.(多选)如图所示，两个初速度大小相同的同种粒子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上。不计重力，下列说法正确的有(　　)
a、b均带正电
a在磁场中运动的时间比b的短
a在磁场中运动的路程比b的短
a在P上的落点与O点的距离比b的近
2.如图所示为测量磁感应强度的装置，粒子源O能够稳定地发射出速度为v、比荷为k的带正电粒子。将装置放置在被测磁场中，粒子从O点垂直ON和磁场方向进入磁场，经磁场偏转后，垂直打在底片MN上的A点，测出OA距离，从而确定被测磁场的磁感应强度B。已知OM＝MN＝L，不计重力，则此装置能测量的磁感应强度范围是(　　)
题组二　带电粒子在平行边界或三角形边界匀强磁场中的运动
3.(多选)(2024·山西大同高二期末)如图所示，一束电子从M点垂直于磁场左边界，射入边界平行、宽度为d、磁感应强度大小为B的匀强磁场，射入速度为v，从右边界上的N点穿出磁场时，速度方向与原来射入方向的夹角为θ＝60°，则(　　)
电子的比荷为
电子的比荷为
电子穿越磁场的时间为
电子穿越磁场的时间为
4.(多选)如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则(　　)
从P射出的粒子速度大
从Q射出的粒子速度大
从P射出的粒子在磁场中运动的时间长
两粒子在磁场中运动的时间一样长
题组三　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
5.两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是(　　)
a粒子带正电，b粒子带负电
a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
b粒子动能较大
b粒子在磁场中运动时间较长
6.(多选)如图所示，圆柱形区域的横截面在没有磁场的情况下，带电粒子(不计重力)以某一初速度沿截面直径方向入射时，穿过此区域的时间为t；若该区域加沿轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B，带电粒子仍以同一初速度沿截面直径入射，粒子飞出此区域时，速度方向偏转了，根据上述条件可求得的物理量为(　　)
带电粒子的初速度
带电粒子在磁场中运动的半径
带电粒子在磁场中运动的时间
带电粒子的比荷
综合提升练
7.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　)
8.(2024·福建漳州高二期中)如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿直径AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，下列说法正确的是(　　)
两粒子分别从A到P、Q经历时间之比为3∶1
粒子在磁场中做匀速圆周运动周期之比为2∶1
粒子在磁场中速率之比为1∶3
粒子在磁场中运动的轨道半径之比为3∶1
9.(多选)(2024·安徽阜阳临泉一中高二期中)如图所示，边长为L的正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一个带电粒子静止在正方形的中心O处，某时刻分裂成两个带正电的粒子a、b，粒子a从中心O水平向左射出，粒子b从中心O水平向右射出，经一段时间a、b两粒子同时射出磁场区域，已知粒子a恰从A处飞出磁场，粒子b从CD边某处飞出，飞出磁场时速度与CD边的夹角为60°，若忽略重力和粒子间的相互作用力，则下列判断正确的是(　　)
a、b两带电粒子的半径之比为1∶2
a、b两带电粒子的速度大小之比为2∶3
a、b两带电粒子的质量之比为2∶3
a、b两带电粒子的比荷之比为2∶3
10.(12分)(2024·广东深圳高二期中)如图所示， 在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为 m＝5.0×10－8 kg、电荷量为 q＝1.0×
10－6 C的带电粒子。从静止开始经U0＝2.5 V的电压加速后，从P点沿图示方向进入磁场，已知OP＝16 cm(粒子重力不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)(6分) 带电粒子到达 P 点时速度v大小；
(2)(6分)若要求粒子不能进入x轴上方，磁感应强度的最小值B是多大(要求画出粒子运动的轨迹)。
培优加强练
11.(16分)如图所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为－q(q＞0)的粒子1在纸面内以速度v1＝v0从O点射入磁场，其方向与MN的夹角α＝30°；质量为m、电荷量为＋q的粒子2在纸面内以速度v2＝v0也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角β＝60°。已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：
(1)(8分)两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d；
(2)(8分)两粒子进入磁场的时间间隔Δt。
专题提升三　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.AD　[a、b粒子的运动轨迹如图所示。
粒子a、b都向下偏转，由左手定则可知，a、b均带正电，故A正确；由洛伦兹力提供向心力，qvB＝m，得r＝，由此可知，两粒子运动半径相等，根据图中两粒子运动轨迹可知a的运动轨迹长度大于b的运动轨迹长度，a在磁场中运动的时间比b的长，故B、C错误；根据运动轨迹可知，a在P上的落点与O点的距离比b的近，故D正确。]
2.D　[带电粒子进入磁场后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，由题意知＝，联立解得B＝。如图所示，当粒子打到M点时，轨迹圆半径r＝，此时测得磁感应强度B＝，当粒子打到N点时，轨迹圆半径r＝L，同理可知，此时测得磁感应强度B＝，则此装置能测量的磁感应强度范围是，D正确。]
3.BC　[电子运动轨迹如图所示，
根据几何关系有r＝＝d，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，则电子的比荷为＝＝，故A错误，B正确；电子穿越磁场的时间为t＝T＝·＝＝，故C正确，D错误。]
4.BD　[作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示，
根据圆周运动特点知，两粒子分别从P、Q点射出时，速度方向与AC边的夹角相等，故可判定两粒子从P、Q点射出时，半径rP5.C　[粒子向右运动，根据左手定则，b向上偏转，应带正电；a向下偏转，应带负电，故A错误；洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m，得r＝，故半径较大的b粒子速度大，动能也大，由公式F＝qvB，知速度大的b粒子受洛伦兹力较大，故B错误，C正确；由t＝T及T＝知磁场中偏转角大的运动时间长，a粒子的偏转角大，因此运动的时间较长，故D错误。]
6.CD　[无磁场时，带电粒子做匀速直线运动，设圆柱形区域磁场的半径为R0，则v＝；而有磁场时，带电粒子做匀速圆周运动，由半径公式可得r＝，由几何关系得，圆轨道半径r＝R0，可得＝；设粒子在磁场中的运动时间为t0，粒子飞出此区域时，速度方向偏转60°角，则t0＝T＝＝＝πt；由于不知横截面的半径，因此带电粒子的运动半径以及初速度无法求出，故C、D正确。]
7.C　[为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，轨迹圆圆心为M，磁场的磁感应强度最小为B，由几何关系有＋r＝3a，解得r＝a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有evB＝m，解得B＝，选项C正确。]
8.D　[作出带电粒子运动轨迹如图所示，
根据几何关系可知，到达Q点的粒子在磁场中转过的角度为120°，到达P点的粒子在磁场中转过的角度为60°，而粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，两粒子比荷相同且在同一磁场中做圆周运动，因此周期相同，可得tP＝T，tQ＝，则tP∶tQ＝1∶2，故A、B错误；设圆形磁场的半径为R，根据几何关系可得＝tan 30°，＝tan 30°，解得rP∶rQ＝3∶1，而根据v＝，可得vP∶vQ＝3∶1，故C错误，D正确。]
9.AC　[a、b两带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，
由几何关系知，r2＝2r1，所以a、b两带电粒子的半径之比为1∶2，A正确；由图知，两粒子的运动时间分别为ta＝Ta，tb＝Tb，由于ta＝tb，则Ta∶Tb＝1∶3，根据周期公式T＝知，a、b两带电粒子的比荷之比为3∶1，D错误；由动量守恒定律得mava＝mbvb，根据r＝知，两粒子的质量之比为2∶3，速度大小之比为3∶2，B错误，C正确。]
10.(1)10 m/s　(2)5 T
解析　(1)对带电粒子的加速过程，由动能定理可得
qU0＝mv2
代入数据得v＝10 m/s。
(2)带电粒子恰好不从x轴射出，其轨迹与x轴相切，如图所示，
由几何关系得
OP＝R＋Rcos 53°
其中OP＝16 cm＝0.16 m
根据洛伦兹力提供向心力可得
qvB＝m
联立并代入数据得B＝5 T。
11.(1)　(2)
解析　(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有
qvB＝m，则r＝，
即两粒子的半径分别为
r1＝，r2＝
两粒子的运动轨迹如图所示，则
d＝OA＋OB＝2r1sin 30°＋2r2sin 60°＝。
(2)粒子1做圆周运动的圆心角θ1＝
粒子2做圆周运动的圆心角θ2＝
粒子做圆周运动的周期T＝＝
粒子1在匀强磁场中运动的时间t1＝T
粒子2在匀强磁场中运动的时间t2＝T
所以Δt＝t1－t2＝。专题提升三　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
学习目标　会分析带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、三角形边界等有界匀强磁场中的运动。
提升1　带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
如图所示，进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等。
例1 如图所示，一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子从x轴正方向上的P点以速度v沿与x轴成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直y轴射出第一象限。已知OP＝a，不计带电粒子的重力。求：
(1)带电粒子在磁场中运动的半径；
(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(3)带电粒子穿过第一象限所用的时间。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　
训练1 (2024·江苏无锡高二期中)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在第二象限和第一象限中运动的时间之比为(　　)
A.1∶2 B.2∶1
C.3∶4 D.3∶2
提升2　带电粒子在平行边界或三角形边界匀强磁场中的运动
1.平行边界
这种情况经常出现带电粒子恰好从磁场飞出(或恰好飞不出)的临界问题，通常有两种情况，一种是从磁场边界端点飞出，如图甲所示；另一种是与磁场边界相切，如图乙、丙所示。
例2 带电粒子的质量m＝1.7×10－27 kg，电荷量q＝＋1.6×10－19 C，以速度v＝3.2×106 m/s 沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B＝0.17 T，磁场的宽度L＝10 cm，如图所示(粒子重力忽略不计，结果保留2位有效数字)。求：
(1)带电粒子离开磁场时的速度大小；
(2)带电粒子在磁场中运动的时间；
(3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.三角形边界
如图所示是等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。
例3 (多选)如图所示，在AB＝L，∠A＝60°的直角三角形ABC区域内，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。从A点沿AB有一束同种粒子以不同速率射入磁场，粒子在磁场中做圆周运动。其中某一速度的粒子的运动轨迹恰好与BC边相切，最终从AC边射出，总用时为t0。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A.粒子带正电
B.运动轨迹恰好与BC边相切的粒子，它的轨道半径为L
C.从BC边射出的粒子最小速度是
D.从BC边射出的粒子最小速度是
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提升3　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
　　　　　　　　　　　　　　
1.粒子沿圆形区域匀强磁场的半径方向垂直射入磁场，必沿半径方向射出磁场，如图甲所示。
2.粒子射入磁场的速度方向与入射点和磁场圆心连线的夹角等于射出磁场的速度方向与出射点和磁场圆心连线的夹角，如图乙所示。
例4 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出。
(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷 ；
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′的大小，及此次粒子在磁场中运动所用时间t。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
随堂对点自测
　　　　　　　　　　　　　　
1.(直线边界)如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为(　　)
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶ D.1∶1
2.(正方形边界)(多选)(2024·四川成都高二月考)如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入一正方形区域的匀强磁场(未画出)，不计电子间的相互作用。下列判断正确的是(　　)
A.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹越长
B.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹所对应的圆心角越大
C.在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合
D.电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同
3.(圆形边界)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力。则为(　　)
A. B.
C. D.
专题提升三　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
提升1
例1 (1)　(2)　(3)
解析　(1)作粒子通过P、Q两点速度方向的垂线，两垂线的交点即为粒子做圆周运动的圆心O′。画出粒子在第一象限运动的轨迹如图所示，可知运动半径
r＝＝。
(2)洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，即qvB＝m，
解得B＝。
(3)由运动轨迹图可知，圆弧轨迹对应的圆心角θ＝120°，则粒子通过第一象限所用时间t＝，而周期T＝
联立解得t＝。
训练1 C　[带电粒子在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，
对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m，可得R1＝，R2＝，则R2＝2R1，由题意可知带电粒子在第二象限运动轨迹为圆弧，根据几何关系可得在第一象限运动的轨迹所对圆心角θ满足cos θ＝，解得θ＝60°，根据T＝可得粒子在第二象限、第一象限做圆周运动的周期分别为T1＝，T2＝，带电粒子在第二象限、第一象限中运动的时间分别为t1＝＝，t2＝＝，故＝，故C正确。]
提升2
例2 (1)3.2×106 m/s　(2)3.3×10－8 s　(3)2.7×10－2 m
解析　(1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时速度大小仍为
3.2×106 m/s。
(2)由qvB＝m得轨道半径
r＝＝ m＝0.2 m
由题图可知偏转角θ满足
sin θ＝＝＝0.5
所以θ＝
带电粒子在磁场中运动的周期T＝
所以带电粒子在磁场中运动的时间t＝T＝T
所以t＝
＝ s＝3.3×10－8 s。
(3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离
d＝r(1－cos θ)＝0.2×(1－) m
＝2.7×10－2 m。
例3 BC　[粒子运动轨迹恰好与BC边相切，最终从AC边射出，即粒子轨迹如图所示，
根据左手定则，粒子带负电，A错误；根据几何关系，轨迹圆半径R＝L，B正确；粒子恰好不能从BC边飞出时，粒子运动轨迹与BC相切，结合几何知识可知，粒子在磁场中运动的轨迹圆弧对应的圆心角θ＝，解得此时粒子的速度v＝＝＝，若要粒子从BC边飞出，则速度v不小于，C正确，D错误。]
提升3
例4 (1)负电荷　　(2)B　
解析　(1)由粒子的运动轨迹(如图)，
利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径为r，由qvB＝m，可得粒子的比荷＝。
(2)设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了60°角，故所对圆心角为60°，由几何知识可知，粒子做圆周运动的半径r′＝＝r，又r′＝，所以B′＝B，此次粒子在磁场中运动所用时间t＝T＝×＝。
随堂对点自测
1.B　[由洛伦兹力提供向心力有qvB＝，又T＝，解得T＝，则正、负粒子在磁场中的运动周期相等，运动时间t＝T，正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，正粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°，故时间之比为2∶1，B正确。]
2.BC　[由题图知，从左边界射出的电子运动时间均为半个周期，由周期公式T＝知，从左边界射出的电子在磁场中运动的时间相同，故D错误；由半径公式r＝知，轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大，可知从左边界射出的电子运动时间相同，但轨迹不一定重合，故C正确；由t＝T知，电子在磁场中的运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹所对应的圆心角θ越大，故B正确；比较轨迹2与轨迹5结合B项分析，可知A错误。]
3.B　[设磁场区域的半径为R，根据几何关系可知，带电粒子以v1射入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径r1＝R，带电粒子以v2射入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径r2＝＝R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得r＝，则＝＝，B正确。](共50张PPT)
专题提升三　带电粒子在有界匀强磁场中的运动　
第一章　安培力与洛伦兹力
会分析带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、三角形边界等有界匀强磁场中的运动。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
课后巩固训练
03
随堂对点自测
02
提升
1
提升2　带电粒子在平行边界或三角形边界匀强磁场中的运动
提升1　带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
提升3　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
提升1　带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
如图所示，进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等。
例1 如图所示，一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子从x轴正方向上的P点以速度v沿与x轴成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直y轴射出第一象限。已知OP＝a，不计带电粒子的重力。求：
(1)带电粒子在磁场中运动的半径；
(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(3)带电粒子穿过第一象限所用的时间。
A.1∶2 B.2∶1
C.3∶4 D.3∶2
C
解析　带电粒子在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，
提升2　带电粒子在平行边界或三角形边界匀强磁场中的运动
1.平行边界
这种情况经常出现带电粒子恰好从磁场飞出(或恰好飞不出)的临界问题，通常有两种情况，一种是从磁场边界端点飞出，如图甲所示；另一种是与磁场边界相切，如图乙、丙所示。
例2 带电粒子的质量m＝1.7×10－27 kg，电荷量q＝＋1.6×10－19 C，以速度v＝3.2×106 m/s 沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B＝0.17 T，磁场的宽度L＝10 cm，如图所示(粒子重力忽略不计，结果保留2位有效数字)。求：
(1)带电粒子离开磁场时的速度大小；
(2)带电粒子在磁场中运动的时间；
(3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d。
解析　(1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时速度大小仍为3.2×106 m/s。
(3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离
2.三角形边界
如图所示是等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。
例3 (多选)如图所示，在AB＝L，∠A＝60°的直角三角形ABC区域内，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。从A点沿AB有一束同种粒子以不同速率射入磁场，粒子在磁场中做圆周运动。其中某一速度的粒子的运动轨迹恰好与BC边相切，最终从AC边射出，总用时为t0。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
BC
解析　粒子运动轨迹恰好与BC边相切，最终从AC边射出，即粒子轨迹如图所示，
根据左手定则，粒子带负电，A错误；
根据几何关系，轨迹圆半径R＝L，B正确；
粒子恰好不能从BC边飞出时，粒子运动轨迹与BC相切，结合几何知识可知，
提升3　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
1.粒子沿圆形区域匀强磁场的半径方向垂直射入磁场，必沿半径方向射出磁场，如图甲所示。
2.粒子射入磁场的速度方向与入射点和磁场圆心连线的夹角等于射出磁场的速度方向与出射点和磁场圆心连线的夹角，如图乙所示。
例4 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出。
随堂对点自测
2
B
1.(直线边界)如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为(　　)
BC
2.(正方形边界)(多选)(2024·四川成都高二月考)如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入一正方形区域的匀强磁场(未画出)，不计电子间的相互作用。下列判断正确的是(　　)
A.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹越长
B.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹所对应的圆心角越大
C.在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合
D.电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同
B
课后巩固训练
3
AD
题组一　带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
1.(多选)如图所示，两个初速度大小相同的同种粒子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上。不计重力，下列说法正确的有(　　)
基础对点练
A.a、b均带正电
B.a在磁场中运动的时间比b的短
C.a在磁场中运动的路程比b的短
D.a在P上的落点与O点的距离比b的近
D
2.如图所示为测量磁感应强度的装置，粒子源O能够稳定地发射出速度为v、比荷为k的带正电粒子。将装置放置在被测磁场中，粒子从O点垂直ON和磁场方向进入磁场，经磁场偏转后，垂直打在底片MN上的A点，测出OA距离，从而确定被测磁场的磁感应强度B。已知OM＝MN＝L，不计重力，则此装置能测量的磁感应强度范围是(　　)
BC
题组二　带电粒子在平行边界或三角形边界匀强磁场中的运动
3.(多选)(2024·山西大同高二期末)如图所示，一束电子从M点垂直于磁场左边界，射入边界平行、宽度为d、磁感应强度大小为B的匀强磁场，射入速度为v，从右边界上的N点穿出磁场时，速度方向与原来射入方向的夹角为θ＝60°，则(　　)
BD
4.(多选)如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则(　　)
A.从P射出的粒子速度大
B.从Q射出的粒子速度大
C.从P射出的粒子在磁场中运动的时间长
D.两粒子在磁场中运动的时间一样长
C
题组三　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
5.两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是(　　)
A.a粒子带正电，b粒子带负电
B.a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C.b粒子动能较大
D.b粒子在磁场中运动时间较长
CD
C
综合提升练
7.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　)
D
8.(2024·福建漳州高二期中)如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿直径AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，下列说法正确的是(　　)
A.两粒子分别从A到P、Q经历时间之比为3∶1
B.粒子在磁场中做匀速圆周运动周期之比为2∶1
C.粒子在磁场中速率之比为1∶3
D.粒子在磁场中运动的轨道半径之比为3∶1
AC
9.(多选)(2024·安徽阜阳临泉一中高二期中)如图所示，边长为L的正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一个带电粒子静止在正方形的中心O处，某时刻分裂成两个带正电的粒子a、b，粒子a从中心O水平向左射出，粒子b从中心O水平向右射出，经一段时间a、b两粒子同时射出磁场区域，已知粒子a恰从A处飞出磁场，粒子b从CD边某处飞出，飞出磁场时速度与CD边的夹角为60°，若忽略重力和粒子间的相互作用力，则下列判断正确的是(　　)
A.a、b两带电粒子的半径之比为1∶2
B.a、b两带电粒子的速度大小之比为2∶3
C.a、b两带电粒子的质量之比为2∶3
D.a、b两带电粒子的比荷之比为2∶3
10.(2024·广东深圳高二期中)如图所示， 在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为 m＝5.0×10－8 kg、电荷量为 q＝1.0×10－6 C的带电粒子。从静止开始经U0＝2.5 V的电压加速后，从P点沿图示方向进入磁场，已知OP＝16 cm(粒子重力不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1) 带电粒子到达 P 点时速度v大小；
(2)若要求粒子不能进入x轴上方，磁感应强度的最小值B是多大(要求画出粒子运动的轨迹)。
答案　(1)10 m/s　(2)5 T
代入数据得v＝10 m/s。
(2)带电粒子恰好不从x轴射出，其轨迹与x轴相切，如图所示，
由几何关系得OP＝R＋Rcos 53°
其中OP＝16 cm＝0.16 m
(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d；
(2)两粒子进入磁场的时间间隔Δt。
解析　(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有
两粒子的运动轨迹如图所示，则

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