资源简介

秘密★启用前
2024-2025 学年度第一学期第二次段考
高一年级 数学试题
试卷分值：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．本卷共 4 页。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。
3．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息
点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改
液。不按以上要求作答无效。
5．考生必须保证答题卡的整洁。
第 I卷（选择题）
一、单选题：（每小题只有一个选项符合题意。本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。）
1．已知集合 A {x | 3 x 1}，B {x | x2 4}，则 A B （ ）
A． 1,0 B． 2, 1,0,1
C．{x | 2 x 1} D．{x | 3 x 2}
2．已知命题 p : x 1, x2 1，则命题 p的否定为（ ）
A． x 1, x2 1 B． x 1, x2 1
C． x 1, x2 1 D． x 1, x2 1
3．下列各组函数中， f (x)与 g(x)是相同函数的是（e 为自然对数的底数）（ ）
x2
A． f (x) x2 ， g(x) ( x )
2 B． f (x) ， g(x) x
x
C． f (x) ln x2 ， g(x) 2ln x x 1 x 1 2x D． f (x) e e ， g(x) e
4．函数 f x 的大致图象如图所示，则 f x 可能是（ ）
1 x2
A． f x B2 ． f x x 1 x 1
x x
C． f x D． f2 x x 1 x2 4
试卷第 1 页 共 4 页
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5．已知命题 p :0 a 1，命题 q : log2 a 0，则命题 p是命题 q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知a ln2，b lg2，c π0.1，则（ ）
A．c b a B．b a c
C．a c b D．a b c
7．已知函数 f x ax2 2x 1的值域为 0, ，则a 的取值范围为（ ）
A． 0,1 B． 0,1
C． 1, D． 0 [1, )
x3 3x 1, x 0,
8．已知函数 f (x) 3 的图象上存在两个点关于原点对称，则实数a 的取
x log2 (x a), x 0
值范围是（ ）
A． (1, 2) B．[0, 2)
C． ( ,4) D．[0,4)
二、多选题：（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。全部选对的得 6分，部分选对的得
部分分，有选错的得 0分。）
9．下列函数中，既是偶函数，又在 (0, )上单调递增的有（ ）
A． f (x) ln(x2 1) B． f (x) ex e x
2
C． f (x) 2| x | 1 D． f (x) x 3
1 2a x 3a, x 1

10．已知函数 f x 1 的值域为R ，那么a 的取值可以是（ ）
x , x 1
x
A．0 B． 1
1
C．1 D．
2
11．已知关于 x 的不等式 m a x2 m 2b x 1 0 a 0,b 0 的解集为
1
, 1 , ，则下列结论正确的是（ ）
2
A．a 2b 1
B． a 2b 的最大值为 2
4 4
C． 的最小值为3 2 2
a 1 b 1
D．a2 b2
1
的最小值为
4
试卷第 2 页 共 4 页
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第 II卷（非选择题）
三、填空题：（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。）
log2 2 x
12．已知函数 f x ，则函数 f x 的定义域为 .
x 3
13．已知函数 y f (x)是定义在 1,1 上的奇函数，且在 0,1 上单调递减，则不等式
f x 1 f 2x 的解集为 ．
lg x , x 0
14．已知 f (x) , 若函数 g(x) 2 f
2(x) af (x) 1有 5 个零点，则实数 a的取
x
2 , x 0
值范围是 ．
四、解答题：（本题共 5小题，共 77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本题 13 分）
log 2 1
(1) 计算：3 3 log2 3 log27 8 log6 16 4log6 3 .
2
a3x a 3x
(2) 若a2x 2(a 0)，求 的值．
ax a x
16．（本题 15 分）
x 2
已知全集 2U R，集合 A x 0 ，B {x | (x a)(x a 2) 0}．
2x 1
(1)当a 1时，求 A CRB；
(2)若“ x B ”是“ x A”的必要非充分条件，求实数a 的取值范围．
试卷第 3 页 共 4 页
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17．（本题 15 分）
为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立
方米空气中的含药量 y （毫克）与时间 t （小时）成正比；药物释放完毕后， y 与 t 的函数
t a
1
关系式为 y （ a 为常数，e 为自然对数的底数），根据如图提供的信息：
e
（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y （毫克）
与时间 t （小时）之间的函数关系式；
（2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量
降低到 0.25 毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，
至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.（参考数据：ln2≈0.7）
18．（本题 17 分）
x m 1
已知函数 f (x) [ 2,2] f ( 1)
nx2
是定义在 上的奇函数，且 ．
4 5
(1)求 m，n的值；
(2)判断 f (x)在[ 2,2]上的单调性，并用定义证明；
(3)若不等式 f [ f (x)] k在[ 2,2]上恒成立，求实数 k 的取值范围．
19．（本题 17 分）
设函数 y f (x)在区间D上有定义，若对任意 x1 D，都存在 x2 D，使得 x1 f (x2) m，
则称函数 y f (x)在区间 D 上的“和值”为m .
判断函数 f (x) 2x(1) 在 R 上的“和值”是否为 0，并说明理由;
(2)若函数 f (x) log
1 , 2 m m
2x 在区间 上的“和值”为 ，求实数 的取值范围; 2
(3)若 t ( ,4]，且函数 f (x) |x2 tx| 在区间[0,2]上有唯一“和值”m ，求 t 的值.
试卷第 4 页 共 4 页
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第二次数学段考参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C D C B B A D AC AB ABC
1．D
【详解】由 B ={x | x2 4}={x | 2 x 2}， A ={x | 3 x 1}，得 AUB ={x | 3 x 2} .
2．C
【详解】因为命题 p : x 1, x2 1，所以命题 p 的否定为： x 1, x2 1，
3．D
【详解】对于 A，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数；
对于 B，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数；
对于 C，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数；
D 选项两个函数为相同函数.
4． C
【详解】由图象可知， f (x)为奇函数且定义域为 x x 1 ，
1 1
对于 A：定义域为 x x 1 关于原点对称， f ( x) = = = f x2 2 ( )x 1 ，是偶函数，( x) 1
不符合；对于 B：定义域为 x x 1 ，不符合；对于 C：定义域为 x x 1 关于原点对
x x
称， f ( x) = = = f x2 x2
( )
1 ，是奇函数，符合；对于 D：定义域为( x) 1
x x 2 ，不符合；
5．B
【详解】由 log2 a 0 0 a 1，
综上，命题 q为真的 a的范围为0 a 1，所以 p 是 q的必要不充分条件.
6．B
【详解】 e 1且2 e ，a = ln2 ln e =1，
10 1且 2 10，b = lg 2 lg10 =1， π 1且0.1 0，b = π0.1 π0 =1，
a 1，b 1， c 1，即c a 且c b ，又a = ln2 lg2， 故a b ，故b a c .
答案第 1 页，共 8 页
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7．A
【详解】由题意得 y = ax2 + 2x +1的值域为 0,+ )，
当 a = 0时， y = 2x +1的值域为 0,+ )，符合题意，
a 0
当 a 0时， ，解得0 a 1；综上： a的取值范围为 0,1 .
Δ = 4 4a 0
8．D
【详解】由函数定义域可知， a 0，
当 x 0 时，设 g(x) = f ( x) = x3 +3 x +1，要题目条件成立，只需 g(x)的图象与 f (x)的图
象有公共点，即方程 f (x) = g(x)在 x 0时有解，
所以 x
3 + log2 (x + a) = x
3 +3 x +1，即 log2 (x + a) = 3
x +1在 x 0时有解，
x
作出函数 y = log2 (x + a) , y = 3 +1的图象如图，
由图象可知， log2 a 2，得 a 4，综上所述，0 a 4 ，
9．AC
2 2
对于 A 选项，设 f3 (x) = ln (x +1)，该函数的定义域为 R ， f3 ( x) = ln (x +1) = f3 (x)，
2
所以，函数 y = ln (x +1)为偶函数，
当 x 0时，内层函数u = x2 +1单调递增，外层函数 y = lnu 也为增函数，
所以，函数 y = ln (x2 +1)在区间 (0,+ )上单调递增，C 选项合乎要求；
f (x) = ex e x x x对于 B 选项，设 2 ，该函数的定义域为 R ， f2 ( x) = e e = f2 (x)，
所以，函数 y = ex e x为奇函数，B 选项不合乎要求；
对于 C，由 f (x) = 2 x +1, x R ，定义域关于原点对称，
得 f ( x) = 2 | x |+1= 2 | x |+1= f (x) ， f (x)是偶函数.
当 x 0时， f (x) = 2x+1，故 f (x)在 (0,+ )上单调递增，C 正确
对于 D 选项，为偶函数，但该函数在区间 (0,+ )上递减，D 选项不合乎要求.
10．AB
答案第 2 页，共 8 页
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(1 2a) x +3a, x 1

【详解】因为 f (x) = 1 ，
x , x 1
x
1
当 x 1时， y = x 与 y = 在 1,+ )上单调递增，
x
1
所以 f (x) = x 在 1,+ )单调递增，所以 f (x)在 x 1,+ )上有 f (x) 0，
x
(1 2a) x +3a, x 1

所以要使函数 f (x) = 1 的值域为R ，
x , x 1
x
1 2a 0 1
则需 ，解得 1 a ，结合选项可知 A、B 符合题意.
1 2a +3a 0 2
11．ABC
1 2
【详解】A 选项，由题意得 , 1是 (m+ a) x + (m 2b) x 1= 0 的两个根，
2
1 m 2b 1 1
故 1= , = ，消去m得a + 2b =1，A 正确；
2 m+ a 2 m + a
2
B 选项， ( a + 2b ) = a + 2b+ 2 2ab =1+ 2 2ab ，
a + 2b 1
a 0,b 0，由基本不等式得 2ab = ，
2 2
1 1
当且仅当 a = 2b，即 a = ,b = 时，等号成立，
2 4
2
则 ( a + 2b ) =1+ 2 2ab 2，故 a + 2b 2 ，B 正确；
a +1 b +1
C 选项，a + 2b =1 a +1+ 2(b +1) = 4 + =1，
4 2
4 4 4 4 a +1 b+1 a +1 2(b+1)
由基本不等式得 + = + + =1+ 2+ +
a +1 b+1 a +1 b+1 4 2 b+1 a +1
a +1 2(b +1) a +1 2(b+1)
3+ 2 = 3+ 2 2 ，当且仅当 = ，
b +1 a +1 b+1 a +1
即b = 3 2 2,a = 4 2 5时，等号成立，C 正确；
1
D 选项，a 0,b 0，a =1 2b 0，解得0 b ，
2
2
2
a2 2
2 2 2 2 1 1+b = (1 2b) + b = 5b 4b +1= 5 b
2 2
+ ，故当b = 时，a +b 取得最小值 ，D
5 5 5 5
错误.
12． ( 3,2)
答案第 3 页，共 8 页
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2 x 0
【详解】 ，∴ 3 x 2 .所以函数 f (x)的定义域为 ( 3,2) .
x + 3 0
1
13． ,02

【详解】由题意得，函数 f (x)在 0,1 上单调递减，在 1,1 上单调递减，
1 x +1 1

由 f (x +1) f (2x)得， 1 2x 1 ，

x +1 2x
1 1
由 1 x +1 1得， 2 x 0，由 1 2x 1得， x ，由 x +1 2x 得， x 1，
2 2
1
故不等式的解集为 ,0 .
2
14． 3，+ )
【详解】
作出函数 y＝f(x)的图象，
由 g(x) = 2 f 2 (x) af (x) +1有 5 个零点，得 f (x) （0,1）或 f (x) 1，+ )．
0 a2 8
法一： a 3.
g(1) 0 3 a 0
2 f 2 (x)+1
法二： a = a 3.
f (x)
3
15．(1) 3 ； (2)
2
解：（1）原式
ln 3 ln8 4 ln 3 3ln 2= 2 + log6 16 + log6 3 = 2 + log6 4+ log6 9 = 2 1+ log6 36 = 3
ln 2 ln 27 ln 2 3ln 3
a3x + a 3x (ax + a x2x )(a
2x 1+ a 2x ) 1 1 3
（2）因为a = 2 ，所以 = = a2x 1+ = 2 1+ = ．
ax + a x ax + a x a2x 2 2
1 1
16．(1) ( ,1) ； (2) ( , ] .
2 2
答案第 4 页，共 8 页
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x 2 (x 2)(2x 1) 0 1 1
解：（1）由 0，可得 ，解得 x 2，即 A = , 2 ， 2x 1 2x 1 0 2 2
当 a =1时， (x a)(x a2 2) 0即 (x 1)(x 3) 0，解得1 x 3，
即 B = [1,3] ,故CRB = ( ,1) (3,+ ) .
1
于是 A CRB = ( ,1).
2
（2）由“ x B ”是“ x A”的必要非充分条件，可得集合A 是集合 B 的真子集.
1 1 7
因 A =
2 2
, 2 ，由 (a + 2) a = (a ) + 0可知B = [a,a
2 + 2]，
2 2 4
1
a 1 1
故得 2 ，解得 a .故实数 a的取值范围为 ( , ] .
2 2
a
2 + 2 2
10t (0 t 0.1)

17．(1) y = t 0.1 1 ； (2)1.5 小时
(t 0.1)
e
解：（1）因为图中直线过点 (0.1,1)，所以图象中线段的方程为 y =10t (0 t 0.1)，
t a 0.1 a
1 1
又点 (0.1,1) 在曲线 y = 上，所以1= ，所以 a = 0.1，
e e
所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间 t（小时）之间的
10t (0 t 0.1)

函数关系式为 y = t 0.1 1 .
(t 0.1)
e
（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于 0.25 毫克，学生也不能进
入教室，
所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到 0.25 毫克及以下时学生方可进入教室，
t 0.1 1
1 (t 0.1) log 1 1 1 4即 0.25，所以
e
，所以 t 0.1 ln 4 ，解得 t 1.5，
e e e
答：从药物释放开始，至少需要经过 1.5 小时，学生才能回到教室.
4
18．(1) m = 0，n =1；(2)单调递增，证明见解析；(3) ,+
65
答案第 5 页，共 8 页
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x +m 1
【详解】（1）因为函数 f (x) = 是定义在[ 2,2]上的奇函数，且 f ( 1) = ，
nx2 + 4 5
m
f (0) = = 0 4 x
则 ，解得m = 0,n =1．所以函数 f (x) =
m 1 1 x2
，
+ 4f ( 1) = =
n + 4 5
经检验，函数为奇函数，所以m = 0， n =1 .
（2） f (x)在[ 2,2]上单调递增．证明如下：
设 2 x1 x2 2 ，
x x (x1x2 4)(x2 x( ) ( ) 1 2 1
)
则 f x1 f x2 = =
x2
，
1 + 4 x
2
2 + 4 (x21 + 4)(x22 + 4)
其中 x1x2 4 0， x2 x 0 x
2
1 ， + 4 0, x
2 + 4 0
1 2 ，
则 f (x1 ) f (x2 ) 0，即 f (x1 ) f (x2 )，
所以函数 f (x)在[ 2,2]上单调递增.
1 1
（3）∵ f (x)在[ 2,2]上单调递增，可得 f (x) , ，
4 4


1 1 1 1
又 , 2,2 ；∴ g(x) = f f (x) 在 , 上单调递增.
4 4 4 4


1
4
∴ g(x)
4 4 4
max = =2 ，即 k ；即实数 k 的取值范围为 ,+ ． 1 65
+ 4 65
65

4
x
19．解：（1）若函数 f (x) = 2 在R 上的“和值”为 0 ，
由于 2x (0,+ )，令 x1 =1，此时 2
x2 = 1无解，矛盾
x
从而函数 f (x) = 2 在R 上的“和值”不为 0 ；
1
（2）由于 x1 + log x = m，则 log x 1,1 ，m x1 m 2,m 2 2 2 2 ，
2
m 2 1
1 3
那么 m 2,m 2
1,1 ，于是 1 ，则m 1, ；
m 1

2


2
（3）由于m x1 m 2,m ，
若 t 0 ，则 2y = x2 tx 在 0,2 单调递增，则 y = x tx 0,4 2t ，则 f (x) 0,4 2t ，
答案第 6 页，共 8 页
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m 2 0
于是 ，则 2 m 4，矛盾；
m 4 2t
若 2t = 4，则 y = x 4x 在 0,2 单调递减，则 f (x) 0,4 ，则 2 m 4，矛盾；
2 t t 若 0 t 4，则 y = x tx 在 0, 单调递减，在 , 2 上单调递增，
2 2
t t2
则 x = 时， y = x2 tx 取最小值 ；
2 4
若 t = 2，此时 f (x) 0,1 ，则m 无解；
t2 t
2
若 0 t 2， y ,4 2t ，由于 4 2t ，那么 f (x) 0,4 2t ，
4 4
m 2 0
那么 ，则 t =1；
m 4 2t
t2 t2
若 2 t 4， y ,0 ， f (x) 0, ，
4 4
m 2 0

那么 t2 ，则 t = 2 2 ；
m
4
综上所述， t =1或 t = 2 2 .
t2
解法 2 由于m x1 m 2,m ，由于 y = x
2 tx 的最值只可能在 0 ， 4 2t ， 中取，
4
因此 f (x) 的最小值为 0 ，于是必然m 2 0，则m 2，
而m 的值唯一，那么m = 2，于是 f (x) 的最大值必然等于 2，否则m 不唯一，
t2
若最大值在 4 2t 处取，则 4 2t = 2， t =1，此时 =1，符合；
4
t 2 t 2
若最大值在 处取，则 = 2，则 t = 2 2 ，
4 4
若 t = 2 2 ，此时 4 2t = 4 + 4 2 2，矛盾；
若 t = 2 2 ，此时 4 2t = 4 4 2 2 符合，
综上所述： t =1或 t = 2 2 .
答案第 7 页，共 8 页
{#{QQABAQokEwggC4okABAYIAACRZh4Cr QwWyCCCEEoIQkkogCRAJAUQggGGRxUFCAMPusARAiAiIiFQIBFIAAB=A}#A}=}#}
答案第 8 页，共 8 页
{#{QQABAQokEwggC4okABAYIAACRZh4Cr QwWyCCCEEoIQkkogCRAJAUQggGGRxUFCAMPusARAiAiIiFQIBFIAAB=A}#A}=}#}

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