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第1章 解直角三角形 单元基础测试卷
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点，连接交y轴于点B．若， 则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
5．（22-23九年级上·福建泉州·期中）三角板是我们数学学习中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，现将一副含45°角和30°角的三角板按如图所示的方式放置，则的值为（ ）

A． B． C． D．无法确定
6．（2024·浙江杭州·三模）如图，是的直径，点在线段上，交于点，连接．设，则（ ）
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A． B． C． D．
7．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，则底角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在矩形中，点E是边上一点，将延折叠，使点D的对应点F为恰好落到边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·辽宁大连·一模）经过对“锐角三角函数”一章节的学习后，小胖同学十分好奇角的三角函数值．于是他利用课余时间对其正切值进行了探究．在询问了老师、与同学研讨后，他决定通过构造已学的特殊角（如，，），以特殊角的三角函数值来解决问题．在他的提示下，请你帮助小胖同学求出：角的正切值为（　　）
A．-1 B． C． D．+1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知α为锐角， 且，则α等于 ．
12．（22-23九年级上·山西·阶段练习）有下列几个数：，0，，5，从这四个数中随机抽取一个数，恰好是一元二次方程的根的概率是 ．
13．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离是 海里．（用含三角函数的式子表示）
14．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若关于x方程有两个相等实数根，则锐角度数为 ．
15．（22-23九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，点是的边上一点，，．
（1） ；
（2）若反比例函数的图象经过点，则 ．
16．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则尺上沿的交点C在尺上的读数是 （结果精确到，参考数）
17．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在中，如果，边、上的中线、相交于点，如果，，那么 ．
18．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，已知直线分别与轴和轴相交于点和点，且直线
的解析式为，于点，与轴正半轴的夹角为，则等于 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（2024·山东德州·二模）
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，求的长．
21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连结交于点．
(1)求的长． (2)的值为___________．
22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·四川成都·期中）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得，点，，在同一直线上，且直线与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，）
(1)求的长；
(2)求物体上升的高度（结果保留根号）．
23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．
(1)求两点间的距离；
(2)试说明该车是否超过限速．
24．（本小题满分12分）（2023·海南·模拟预测）6月6日是全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现当张角时（点是A的对应点）用眼舒适度较为理想．（结果精确到1cm；参考数据：，，，）
(1)填空：______；______；
(2)求的长；
(3)求的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D C B C A A D
1．B
【分析】本题考查了特殊角三角函数值，根据的正切值求出的度数是解题的关键．先根据，且是锐角求出的度数，即可求解．
【详解】解：，且是锐角，
，
，
故选：B．
2．C
【分析】作轴于点D，利用相似三角形的判定和性质求得，利用平行线分线段成比例定理求得，再根据正切函数的定义即可求解．
【详解】解：作轴于点D，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正切函数的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
3．C
【分析】本题考查三角函数，先将余弦函数、正弦函数进行转换，再根据正弦函数的增减性求解．
【详解】解：，
当时，随的增大而增大，
，
，
，
故选C．
4．D
【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理等知识点，先由非负数的性质得出，，根据三角函数求得，的度数，然后根据三角形内角和定理，求得的度数，从而确定三角形的形状，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
故选：D．
5．C
【分析】根据特殊角的三角函数和三角板的特殊角的度数解答即可．
【详解】解：如图：

，
，
，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数以及三角板的特殊角的度数，解题时注意：熟记特殊角的三角函数值．
6．B
【分析】本题考查了解直角三角形．根据，，可得，，所以，，代入式子化简即可．
【详解】解：，，
，，
，，
．
故选：B．
7．C
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，先解得到，再由旋转的性质得到，则，最后解求出的长即可得到答案．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
在中，，
∴，
故选：C．
8．A
【分析】设，当时，，不能构成三角形；当时，,能构成三角形，过A作于D，得，即得．
【详解】如图，等腰是“倍长三角形”，设，
当时，，不能构成三角形，三角形不存在；
当时，,能构成三角形，
过A作于D，
则，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了新定义——“倍长三角形”．熟练掌握新定义，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，余弦定义，分类讨论，是解题的关键．
9．A
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，解直角三角形．根据题意设，，则，由翻折变换可知，，，证明，推出，，在中，由勾股定理求得，进一步计算即可求解．
【详解】解：∵矩形，
∴，，，
∵，
∴，
设，，则，
由翻折变换可知，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，，
∴，
故选：A．
10．D
【分析】构造等腰，平分，，设，，得到，再结合等腰直角三角形的性质即可求出各线段的长度，由图可知：，即有：，解方程即可求解．
【详解】构造等腰，平分，，设，，
各角度和线段的长度如下图所示，，
由图可知：，
即有：，
整理得：，
即：，（负值舍去），
经检验，是原方程的根，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了求解角的正切值的知识，依据特殊角构造出是解答本题的关键．
11．/40度
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，由，α为锐角，得到，即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：∵，α为锐角，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查特殊角的三角函数值、解一元二次方程、简单的概率计算，先根据特殊角的三角函数值求解各数，再解一元二次方程，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：，，
解一元二次方程得，
即5和是一元二次方程的根，
∴从这四个数中随机抽取一个数，恰好是一元二次方程的根的概率是，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了锐角三角函数，方位角，正确理解余弦的概念是解题关键．根据，即可求出的值．
【详解】解：在中，，
，海里，
（海里），
故答案为：．
14．/60度
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，从而可求出α的余弦值，然后根据特殊角的三角函数值确定α的度数．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15． / 10
【分析】（1）根据题意得到，设，则，根据勾股定理得到，解得，即可求得，解直角三角形即可求解；
（2）根据待定系数法即可求得．
【详解】解：（1）作轴于M，
∵．
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，解得，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，则，
∴，
∵反比例函数的图象经过点P，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征，求得P的坐标是解题的关键．
16．
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，过点B作于D，过点C作于E，根据等腰直角三角形的性质可得，再通过解直角三角形可求得的长，进而可求解．
【详解】解：如图，过点B作于D，过点C作于E，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
即与尺上沿的交点C在尺上的读数是．
故答案为：2.6．
17．
【分析】根据、上的中线、相交于点得到点是的重心，进而求出的长度，再利用等腰三角形的三线合一得到，结合求出的长度，进而求得，最后利用三角形面积公式求解．
【详解】解：边、上的中线、相交于点，，
点是的重心，
，
．
在中，如果，是边上的中线,
，
，
,
，
,
．
故答案为：．
【点晴】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一，重心的性质，锐角三角函数值的求法，三角形面积公式，利用重心求出是解答关键．
18．/
【分析】本题考查锐角三角函数和一次函数的知识，根据题意，直线的解析式为，求出
，的坐标，得到，的值，根据，得到的角度，根据，三角形的内角和，求出，即可．
【详解】解：直线的解析式为，
∴当，；当，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
19．（1）；（2），
【分析】（1）首先化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，然后计算加减；
（2）根据分式的运算法则化简，再代入a即可求解．
【详解】（1）原式
；
（2）原式

当时，原式．
【点睛】此题考查了化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则．
20．
【分析】本题考查了含30度直角三角形性质，等腰直角三角形的判定及勾股定理；过C作于D，在中，得，求出，有，则在中，由含30度直角三角形性质，得，由勾股定理得；最后即可得解．
【详解】解：如图，过点C作于点D．
在中，，
，
，
在中，
，
，
．
．
21．(1)
(2)4
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、菱形的性质及三角函数，熟练掌握菱形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键；
（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解；
（2）由题意易得，然后根据正切的定义可进行求解．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为4．
22．(1)长
(2)物体上升的高度为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）解即可求解；
（2）在中，由勾股定理得，，解求得，根据即可求解．
【详解】（1）解：在中，
答：长．
（2）在中，

在中，
，
答：物体上升的高度为．
23．(1)20米
(2)该车没有超过限速，理由见解析
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出的长是解题的关键．
（1）首先利用列方程求出米，然后求出米，进而求解即可；
（2）首先求出该车的速度，进而比较求解即可．
【详解】（1）∵米，
∴，即
∴米，
∵
∴
∴米，
∴米；
（2）∵米千米，该车从点点行驶到点所用时间为1秒小时
∴该车的速度为千米/小时，
∵
∴该车没有超过限速．
24．(1)30，72
(2)
(3)
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用：
（1）根据邻补角进行求解即可；
（2）解直角三角形即可；
（3）解直角三角形，求出，用求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
故答案为：30，72；
（2）在直角三角形中，，
∴；
∴的长为；
（3）在直角三角形中，，
∴，
∴；
∴的长约为．

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