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特训01 圆、二次函数、相似三角形 压轴题 （最新中考模拟，十一大题型）
目录：
题型1：二次函数的交点问题
题型2：二次函数新定义题
题型3：二次函数存在性问题
题型4：二次函数旋转问题
题型5：二次函数动点、最值问题
题型6：二次函数与圆
题型7：二次函数的实际应用
题型8：相似三角形中的分类讨论
题型9：相似三角形动态问题综合
题型10：相似三角形—情景探究题
题型11：相似三角形—数学活动题（含相似三角形与圆）
题型1：二次函数的交点问题
1．（2024·江苏南京·一模）在平面直角坐标系，二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上．
(1)写出该函数图象的对称轴；
(2)已知点．
①若函数图象恰好经过点，求的值；
②若函数图象与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围．
题型2：二次函数新定义题
2．（2023·江苏镇江·二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”．
(1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是________；（填序号）
(2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值；
(3)若将函数的图像绕y轴上一点M旋转，M在下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求的坐标．
题型3：二次函数存在性问题
3．（2024·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线交抛物线于点M，过点M作轴于点C，连接，已知点A的坐标为．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为，其中．
①若，请求此时点Q的坐标；
②在线段上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由．
4．（2024·江苏苏州·一模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接、，点为的外心．
(1)填空：点的坐标为 ， ；
(2)记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值；
(3)若在第一象限内的抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则 ．
5．（2023·江苏苏州·一模）如图1，抛物线经过点，对称轴为直线与x轴的交于点B．
(1)求抛物线L的解析式；
(2)点C在抛物线上，若的内心恰好在x轴上，求点C的坐标；
(3)如图2，将抛物线L向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线于另一点N．P为线段上一点．若与相似，并且符合条件的点P恰有2个，求k的值．
题型4：二次函数旋转问题
6．（2024·江苏淮安·一模）如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为．
(1) ， ；
(2)若点在点的上方，且，求的值；
(3)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）．
①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足=？若存在，求出及相应的、的值；若不存在，请说明理由．
②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，直接写出点F的坐标．
题型5：二次函数动点、最值问题
7．（2024·江苏常州·二模）如图，抛物线，抛物线交轴于点（点在点的右侧），交轴于点，抛物线与抛物线关于原点成中心对称．

(1)求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式．
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接与相交于点．
①作轴，垂足为，当时，求点的横坐标．
②请求出的最大值．
8．（2023·四川巴中·一模）如图1，已知抛物线经过点和点B，且与y轴交于点C，直线经过B点和点C．
(1)求直线和抛物线的解析式．
(2)若点P为直线BC上方的抛物线上一点，过点P作于点E，作轴，交直线BC于点F，当的周长最大时，求点P的坐标．
(3)在第（2）问的条件下，直线CP上有一动点Q，连接BQ，求的最小值．
9．（2022·福建·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
题型6：二次函数与圆
10．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，已知抛物线顶点的纵坐标为，且与x轴交于点．作出该抛物线位于x轴下方的图象关于x轴对称的图象，位于x轴上方的图象保持不变，就得到的图象，直线与的图象交于O、B、C三点．
(1)求a、b的值；
(2)新定义：点与点的“折线距离”为．已知．
①求k的值；
②以点B为圆心、长为半径的交的平分线于点D（异于点O），交x轴点E（异于点O），求的值．
题型7：二次函数的实际应用
11．（2024·江苏扬州·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里表示起跳点A到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离x（单位：m）近似满足函数关系．已知m，m，落点P到的水平距离是，到地面的竖直高度是．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；当他在点P着陆时，飞行时间为；
①求x与t的函数表达式；
②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．
题型8：相似三角形中的分类讨论
12．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，是的对角线，，，点P是的中点．点从点A出发，沿线段向点B运动，连接，以、为邻边作．
(1)点D到的距离是__________；
(2)连接，求的最小值；
(3)当和有一个内角相等时，求的长．
题型9：相似三角形动态问题综合
13．（2024·江苏扬州·一模）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
如图，正方形中，在边上任意一点（不与点重合），以为旋转中心，将逆时针旋转，得到，连接，，分别交于点，．
(1)当时，的度数为______°；
(2)连接，当P为中点时，求证：；
(3)若，是否存在最小值 如果存在，求此最小值：如果不存在，说明理由．
14．（2024·江苏泰州·一模）已知，点是边长为(为常数)的正方形内部一动点，于， 于，连结，，，，记，，的面积分别为，，，令，．
(1)如图，点P在对角线上．
①求（用含、的代数式表示）
②是否存在实数，使的值与点在上的位置无关．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)若 ，当点在内部(不含边界)时(如图)．
①求的取值范围；
②试说明：的值随着的增大而增大．
15．（2020·江苏扬州·二模）定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
（1）如图，在△ABC中，AC=8，BC=5，，试判断△ABC是否是“准黄金”三角形，请说明理由．

（2）如图，△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是△ABD的重心，求的值．

（3）如图，，且直线与之间的距离为4，“准黄金”△ABC的“金底”BC在直线上，点A在直线上，=，若∠ABC是钝角，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△，线段交于点D．当点落在直线上时，则的值为____．

题型10：相似三角形—情景探究题
16．（2024·江苏淮安·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，连接、，相交于点G，作，交于点F，设．
【变中不变】
（1）明明发现：连接，当点E的位置在上发生变化时，的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整．
∵，且①_______；
∴；
∴即：；
又∵；
∴②_______；
∴；
∴；
在矩形中，；
∴；
∴③_______°，即度数不变．
【尝试应用】
（2）若，求的长；
【思维拓展】
（3）将绕着点E顺时针旋转得到，是否存在这样的x，使得有顶点落在直线上，若存在，请求出满足条件的x值；若不存在，请说明理由．
17．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：；
【结论应用】
（2）如图②，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若，求折痕的长；
【拓展运用】
（3）如图③，将矩形沿折叠．使得点D落在边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形，若，求的长．

题型11：相似三角形—数学活动题（含相似三角形与圆）
18．（2024·江苏南京·一模）在 中，
(1)设 ，求证： ，在小明和小红的思路中，请选择一种继续完成证明．
(2)如图③， 已知线段m，n．求作：满足已知条件的，且 ，（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．）
(3)若△ABC有一条边的长度为4， 设 的周长为l，直接写出l关于k的函数表达式，以及l的取值范围．
19．（2024·江苏南京·一模）数学的思考
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，试在轴正半轴上确定点的位置，使得最大，并求出此时点的坐标．
数学的眼光
(1)如图，请说明；
数学的表达
(2)如图，根据“垂径定理”，可知圆心在线段的垂直平分线上，借助直线的表达式及，可以求出圆心的坐标，从而得到点的坐标，请写出具体的过程；
(3)如图，延长线段交轴于点，连接，当与相切时，通过求的长可得到点的坐标，请写出具体的过程；
(4)如图，已知线段，用尺规在射线上作出点，使得最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）特训01 圆、二次函数、相似三角形 压轴题 （最新中考模拟，十一大题型）
目录：
题型1：二次函数的交点问题
题型2：二次函数新定义题
题型3：二次函数存在性问题
题型4：二次函数旋转问题
题型5：二次函数动点、最值问题
题型6：二次函数与圆
题型7：二次函数的实际应用
题型8：相似三角形中的分类讨论
题型9：相似三角形动态问题综合
题型10：相似三角形—情景探究题
题型11：相似三角形—数学活动题（含相似三角形与圆）
题型1：二次函数的交点问题
1．（2024·江苏南京·一模）在平面直角坐标系，二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上．
(1)写出该函数图象的对称轴；
(2)已知点．
①若函数图象恰好经过点，求的值；
②若函数图象与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围．
【答案】(1)对称轴为
(2)①；②或
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算，图形交点的计算方法是解题的关键．
（1）根据点的平移即对称轴的计算方法即可求解；
（2）①根据二次函数的对称轴，可得，结合二次函数过点，即可求解；②根据二次函数图象的性质可得顶点坐标为，分类讨论，当时，点在二次函数图象上；当时，点在二次函数图象上；图形结合分析即可求解．
【解析】（1）解：二次函数图象与轴交于点，则，
∵点向右平移个单位长度得到点，点 恰好也在该函数的图象上，
∴，
∴该函数图象的对称轴为，
∴对称轴为；
（2）解：①∵二次函数图象的对称轴为，
∴，
∵二次函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
解得，；
②根据题意，，
∴二次函数解析式为，
∴当时，，即顶点坐标为；
当时，，即二次函数与轴的交点为；
当时，，
解得，；
∴当时，如图所示，

∴点在二次函数图象上，
∴，
解得，，
∴当时，二次函数与线段只有一个交点；
当，如图所示，

∴点在二次函数图象上，
∴，
解得，，
∴当时，二次函数与线段只有一个交点；
综上所示，的取值范围为：或．
题型2：二次函数新定义题
2．（2023·江苏镇江·二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”．
(1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是________；（填序号）
(2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值；
(3)若将函数的图像绕y轴上一点M旋转，M在下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求的坐标．
【答案】(1)③
(2)或或或
(3)
【分析】（1）根据“平衡点”的定义进行逐一计算判断即可；
（2）可求，，①当为等腰三角形的顶点时，，此时在以圆心，长为半径的圆周上，由进行求解即可；②当为等腰三角形的顶点时，，此时在以圆心，长为半径的圆周上，由进行求解即可；③当为等腰三角形的顶点时，，此时在的垂直平分线上，由进行求解即可．
（3）设（），先将抛物线向上平移个单位得，再将绕原点旋转得：，即：，
然后将向下平移个单位得为绕旋转后函数解析式；由，进行求解即可．
【解析】（1）解：①，
，
故此函数不存在“平衡点”；
②当时，，
，
，
，
故此函数不存在“平衡点”；
③当时，，
，
，
整理得：，
，
此方程有两个不相等的实数根，
此函数存在“平衡点”；
④当时，，
，
，
整理得：，
此方程无实数根，
此函数不存在“平衡点”；
故答案：③．
（2）解：当时，，
，
，
解得：，（舍去） ，
，
，
同理可求：，
①如图，当为等腰三角形的顶点时，，
此时在以圆心，长为半径的圆周上，
，
解得：，，
当时，，
与重合，舍去
；
②如图，当为等腰三角形的顶点时，，
此时在以圆心，长为半径的圆周上，
，
解得：，；
③如图，当为等腰三角形的顶点时，，
此时在的垂直平分线上，
，
解得：；
综上所述：的值为、、、．
（3）解：设（），先将抛物线向上平移个单位得，再将绕原点旋转得：，即：，
然后将向下平移个单位得为绕旋转后函数解析式；
，
整理得：，
旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查了新定义“平衡点”，等腰三角形的判定，函数图象的旋转，理解定义，掌握等腰三角形的判定方法和函数图象旋转中解析式的变化规律是解题的关键．
题型3：二次函数存在性问题
3．（2024·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线交抛物线于点M，过点M作轴于点C，连接，已知点A的坐标为．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为，其中．
①若，请求此时点Q的坐标；
②在线段上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法、一次函数的图象和性质，其中（2），确定是本题解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）①证明，得到直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，解得：，即可求解；
②当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或角线时，同理可解．
【解析】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，点、的坐标分别为：，则点，
设点，
则点，
①由点的坐标得，直线的表达式为：，
∵，则，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：，
解得：，
则点的坐标为：；
②存在，理由：
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：
，
解得：(不合题意的值已舍去)；
当或角线时，
同理可得：，
或，
解得：(舍去)；
综上，．
4．（2024·江苏苏州·一模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接、，点为的外心．
(1)填空：点的坐标为 ， ；
(2)记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值；
(3)若在第一象限内的抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则 ．
【答案】(1)，
(2)为定值，定值为
(3)
【分析】（1）当时，即，解得，，可求得点，点；当时，求得点，得到，故；
（2）根据点D为的外心，，由圆周角定理和外接圆的性质，得，，过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，设点，则，，，，证明，得到，，求得，即可求得为定值；
（3）由于在第一象限内的抛物线上存在一点，以、、、为顶点的四边形只能是四边形，若四边形是平行四边形，则四边形即是菱形，设点，若为四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，再由中点坐标公式列方程即可求解．
【解析】（1）当时，即，
，
解得，，
点，点，
当时，，
点，
，
，
（2）为定值，理由如下：
点D为的外心，，
则，，
过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，
设点，
则，，，，
，，
，
，，
，
，
，，
解得：
则的面积，
为等腰直角三角形，
，
则的面积，
为定值；
（3） 在第一象限内的抛物线上存在一点，
以、、、为顶点的四边形只能是四边形，
又，
若四边形是平行四边形，则四边形即是菱形，如图所示，
由前面可知，点，点，点，设点，
若为四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，由中点坐标公式得：
，
解得：或（不合题意舍去）；
综上，．
【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质、三角形的外接圆与外心、圆周角定理、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，利用数形结合思想是解题的关键．
5．（2023·江苏苏州·一模）如图1，抛物线经过点，对称轴为直线与x轴的交于点B．
(1)求抛物线L的解析式；
(2)点C在抛物线上，若的内心恰好在x轴上，求点C的坐标；
(3)如图2，将抛物线L向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线于另一点N．P为线段上一点．若与相似，并且符合条件的点P恰有2个，求k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)当与相似，并且符合条件的点P恰有2个，则或2
【分析】（1）根据对称轴为直线且抛物线过点求解可得；
（2）由题意易得x轴平分，即，且点C在y轴的左侧，过点C作轴于点D，设，然后可得，进而问题可求解；
（3）设抛物线的解析式为，知、、，再设，分和两种情况，由对应边成比例得出关于与的方程，利用符合条件的点恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．
【解析】（1）解：由题意知，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：由题意得：x轴平分，即，
∵的内心恰好在x轴上，
∴的三个内角的角平分线交点在x轴上，
由此可知点C在y轴的左侧，
过点C作轴于点D，如图所示：
由题意知：，，
∴，
∴，
设，则有，，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴点；
（3）解：如图2，
设抛物线的解析式为，
、、，
设，
①当时，，
，
①；
②当时，，
，
②；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
，
解得：（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根，
方程②有一个实数根，
，
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：，
解得：（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根、，
方程②有一个实数根，
，
综上，当与相似，并且符合条件的点P恰有2个，则或2．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角形的内心，熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角形的内心是解题的关键．
题型4：二次函数旋转问题
6．（2024·江苏淮安·一模）如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为．
(1) ， ；
(2)若点在点的上方，且，求的值；
(3)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）．
①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足=？若存在，求出及相应的、的值；若不存在，请说明理由．
②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，直接写出点F的坐标．
【答案】(1)1，
(2)m的值为1
(3)①当时，， ；当时，，；；②
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，三角函数的定义；
（1）把、代入即可得到答案；
（2）先求出直线的解析式，设点，可得 ，进而即可求解；
（3）①先求出的解析式，的解析式，再表示，
，结合=，列出方程，即可求解；②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，推出，即可求解；当旋转后点F在点C右侧时满足的点F不存在
【解析】（1）解：∵二次函数的图象与直线交于、两点，
∴，解得：，
∴，
把代入，得，
故答案为：1，；
（2）∵直线过、两点．
∴直线的解析式是，
设点，
∴点M（m，）、N（m，），当点在点的上方时，则 ，
当时，，解得：；
∴m的值为1；
（3）①由题意得：的解析式为，
的解析式，
当时，，
∴点E（3，），
∴，，
∴，
，
∵=，
∴，解得：
∵点在直线的上方
∴令=，解得：
∴
∴存在，，满足=
当时，， ；
当时，，；
②当旋转后点F在点C左侧时
过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，如图3，
∵直线的解析式为，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴和是全等的两个等腰直角三角形，
∴，
∵M（m，），
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴点F的坐标是，
当旋转后点F在点C右侧时
满足的点F不存在；
综上所述，点F的坐标是．
题型5：二次函数动点、最值问题
7．（2024·江苏常州·二模）如图，抛物线，抛物线交轴于点（点在点的右侧），交轴于点，抛物线与抛物线关于原点成中心对称．

(1)求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式．
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接与相交于点．
①作轴，垂足为，当时，求点的横坐标．
②请求出的最大值．
【答案】(1)，；
(2)①P的横坐标为；②的最大值为：．
【分析】（1）根据中心对称的性质可得的表达式，再令，求解，的坐标即可；
（2）①如图，连接，设，而，求解直线为，可得，，再利用建立方程求解即可；②作于，而，可得，可得，再建立二次函数的模型解题即可．
【解析】（1）解：∵抛物线，抛物线与抛物线关于原点成中心对称．
∴抛物线为：，
∴，
当，
解得：，，
∴，；
∵，
当时，，
∴，
设为，
∴，
解得：，
∴为；
（2）①如图，连接，设，
而，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
∴，
解得：，
∴，，

∵，
∴
∴，
解得：，（不符合题意的根舍去），
∴，
∴P的横坐标为；
②作于，而，
∴，
∴，
∴，

∵，，
∵，，
∴，
∵，，
∴当时，
的最大值为：．
【点睛】本题考查的是中心对称的性质，求解函数的解析式以及交点坐标，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，本题的计算量大，难度大，熟练的计算是解本题的关键．
8．（2023·四川巴中·一模）如图1，已知抛物线经过点和点B，且与y轴交于点C，直线经过B点和点C．
(1)求直线和抛物线的解析式．
(2)若点P为直线BC上方的抛物线上一点，过点P作于点E，作轴，交直线BC于点F，当的周长最大时，求点P的坐标．
(3)在第（2）问的条件下，直线CP上有一动点Q，连接BQ，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用抛物线的解析式求点的坐标，代入一次函数求出一次函数的解析式，再求出点的坐标，最后把的坐标代入抛物线的解析式中即可；
（2）设点P的横坐标为，用的代数式表示点P和点F的坐标，构建是的二次函数，利用二次函数的性质确定最大值，此时的周长也最大，最后求出点P的坐标；
（3）作，利用相似得比例线段，把转化为，再用“二点一线”模型，结合相似三角形求最小值．
【解析】（1）在中
令，，∴
将点代入得：，
∴直线的解析式是，
当时，，∴，∴，
将，代入得
解得：，
∴抛物线的解析式是
（2）∵，，
∴，，
易得，
∴，即，
∴，
∴的周长为：
∴当PF最大时，的周长最大．
设点P的坐标为，则点F的坐标为
∴
∴当时，PF的值最大，的周长最大，此时
（3）过点Q作于点E
∵，，
∴轴
∴，
∴，即，
∴，
∴，
作点B关于直线CP的对称点，连接，此时，，过点作于点，交CP于点，此时，的值最小，即的值最小，最小值为．
∴，∴，
∵，
∴
∴，即
∴，即的最小值为．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合，考查了求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，构建二次函数求最值，解题的关键是掌握待定系数法，突破点是构建新的二次函数求最值．
9．（2022·福建·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或（3，4）
(3)存在，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值．
【解析】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以
．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
（3）
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为．
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．
题型6：二次函数与圆
10．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，已知抛物线顶点的纵坐标为，且与x轴交于点．作出该抛物线位于x轴下方的图象关于x轴对称的图象，位于x轴上方的图象保持不变，就得到的图象，直线与的图象交于O、B、C三点．
(1)求a、b的值；
(2)新定义：点与点的“折线距离”为．已知．
①求k的值；
②以点B为圆心、长为半径的交的平分线于点D（异于点O），交x轴点E（异于点O），求的值．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①求出点，点，由，即可求解；②求出点，得到直线的表达式为：，设点、点，则，即可求解．
【解析】（1）解：∵抛物线顶点的纵坐标为，且与x轴交于点．
∴顶点的坐标为：，
则抛物线的表达式为：，
将点代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
即，；
（2）解：①由函数的对称性，翻折后抛物线的表达式为：，
联立上式和得：，
解得：，，
即点，
同理可得，点，
∵，
∴，
解得：（舍去）或；
②由①知，点B的坐标为：，
则直线的表达式为：，
在上取点，则，
作轴于点N，交于点P，过点P作于点T，
∵平分，
∴设，则，，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
则点，
由点P的坐标得，直线的表达式为：，
设点、点，
则，
即，
解得：，，（不符合题意的根舍去）
即点D、E的坐标分别为：、，
则．
【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解函数的解析式，一元二次方程的解法，同圆的半径相等，勾股定理的应用，理解题意，选择合适的方法解题是关键．
题型7：二次函数的实际应用
11．（2024·江苏扬州·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里表示起跳点A到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离x（单位：m）近似满足函数关系．已知m，m，落点P到的水平距离是，到地面的竖直高度是．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；当他在点P着陆时，飞行时间为；
①求x与t的函数表达式；
②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）解：将，代入，得，计算求解，然后作答即可；
（2）①设，将，代入，得，计算求解，然后作答即可；②设直线的解析式为，将代入得，，计算求解可确定直线的解析式为，设运动员飞行过程中的某一位置为M，如图，过M作轴交于点N，设，则，则，由，可得当时，最大，根据，计算求解即可．
【解析】（1）解：将，代入，得，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
（2）①解：设，
将，代入，得，
解得，
∴；
②解：设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设运动员飞行过程中的某一位置为M，如图，过M作轴交于点N，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键．
题型8：相似三角形中的分类讨论
12．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，是的对角线，，，点P是的中点．点从点A出发，沿线段向点B运动，连接，以、为邻边作．
(1)点D到的距离是__________；
(2)连接，求的最小值；
(3)当和有一个内角相等时，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)2或
【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理即可求得答案；
连接，在中，由三边关系得，则当B、M、D三点共线时最小，此时，即点M落在上．根据平行四边形的性质得．即可判定是的中位线，结合线段之间关系即可；
由题意得有两种情况：或，①当时，由（2）的情况，；②当时，根据平行四边形的性质得∽，有，即可求得．
【解析】（1）解：过点作于点，如图，
则，
∵，
∴点D到的距离，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，
在中，，
当B、M、D三点共线时最小，此时，
当B、M、D三点共线，即点M落在上．
∵四边形是平行四边形，
∴，
即．
∴，
∵点P是的中点，
∴，即，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
（3）解：当和有一个内角相等时，存在两种情况：
或，
①当时，如（2）的情况，；
②当时，在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
综上所述，当和有一个内角相等时，的长为2或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、三角形三边之间的关系、相似三角形的判定和性质和三角形中位线定理，解题的关键是分类讨论和三角形相似的应用．
题型9：相似三角形动态问题综合
13．（2024·江苏扬州·一模）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
如图，正方形中，在边上任意一点（不与点重合），以为旋转中心，将逆时针旋转，得到，连接，，分别交于点，．
(1)当时，的度数为______°；
(2)连接，当P为中点时，求证：；
(3)若，是否存在最小值 如果存在，求此最小值：如果不存在，说明理由．
【答案】(1)65
(2)见解析
(3)存在，
【分析】（1）由旋转的性质得出，，求出和的度数，则可得出答案；
（2）过点作交延长线于，于，则，证明，得出，，证出是等腰直角三角形，则可得出答案；
（3）连接，设，，则，由（2）可知，，证明，得出，可得出答案．
【解析】（1）解： 四边形是正方形，
，
将逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）过点作交延长线于，于，连接，则，
四边形是正方形，
，，
，，
四边形为矩形，
将逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，，
为的中点，
，
，
四边形为正方形
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）存在．理由如下：
连接，
四边形是正方形，
，，
由勾股定理可知，
当取最小值时，有最小值，
而，
当取最大值时，有最小值时，
即：当取最大值时，有最小值，
设，，则，
由（2）可知，，
，
，
，
，
时，有最大值，
此时，，则，
，
即：当时，存在最小值，此时取得最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
14．（2024·江苏泰州·一模）已知，点是边长为(为常数)的正方形内部一动点，于， 于，连结，，，，记，，的面积分别为，，，令，．
(1)如图，点P在对角线上．
①求（用含、的代数式表示）
②是否存在实数，使的值与点在上的位置无关．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)若 ，当点在内部(不含边界)时(如图)．
①求的取值范围；
②试说明：的值随着的增大而增大．
【答案】(1)①；②存在，
(2)①；②理由见解析
【分析】（1）①证明四边形是矩形，得到，，继而得到，，根据等边对等角得到，，再根据三角形的面积即可得解；
②求出，根据题意即可得解；
（2）①连接，，根据四边形是矩形，，得，延长交于，作于，证明，得，继而得到，得，再根据点在内部（不含边界）可得解；
②根据，利用二次函数的性质即可得解．
【解析】（1）解：①∵点是边长为的正方形的对角线上的一点，且， ，，，，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，
∵，，的面积分别为，，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵四边形是矩形，，，
∴，
∴
，
∵的值与点在上的位置无关，即与值无关，
∴，
解得：，
∴当时，的值为，与点在上的位置无关；
（2）①连接，，
由（1）知：，，
∵四边形是矩形，即，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
延长交于，作于，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵点在内部（不含边界）
∴；
②∵，
∴对称轴为：，
∵，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
即的值随的增大而增大．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识点．掌握矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质是解题的关键．
15．（2020·江苏扬州·二模）定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
（1）如图，在△ABC中，AC=8，BC=5，，试判断△ABC是否是“准黄金”三角形，请说明理由．

（2）如图，△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是△ABD的重心，求的值．

（3）如图，，且直线与之间的距离为4，“准黄金”△ABC的“金底”BC在直线上，点A在直线上，=，若∠ABC是钝角，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△，线段交于点D．当点落在直线上时，则的值为____．

【答案】（1）△ABC是“准黄金”三角形；理由见解析；（2）；（3）
【分析】(1)过点A作AD⊥CB交CB的延长线于D．解直角三角形求出AD即可得出结论．
(2) 根据A，D关于BC对称，得到BE⊥AD，AE＝ED，根据△ABC是“准黄金”三角形，得到BC是“金底”，再利用C是△ABD的重心求解即可得到答案；
(3) 过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥AC于F，过点B′作B′G⊥BC于G．证明△CGB′∽△CFD，推出DF：CF：CD=GB′：CG：CB′=4：3：5，设DF=4k，CF=3k，CD=5k，再求出AD（用k表示）即可解决问题．
【解析】解：（1）结论：△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”．
理由：过点A作AD⊥CB交CB的延长线于D．

∵AC＝8，∠C＝30°，
∴AD＝4，
∴＝
∴△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”；
（2）如图，

∵A，D关于BC对称，
∴BE⊥AD，AE＝ED，
∵△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，
∴＝，不妨设AE＝4k，BC＝5k，
∵C是△ABD的重心，
∴BC：CE＝2：1，
∴CE＝ ，BE＝ ，
∴AB＝，
∴；
（3）如图4中，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥AC于F，过点B′作B′G⊥BC于G．

在Rt△CB′G中，∵∠CGB′=90°，GB′=4，=CB=5，
∴ ，
又∵=，
∴ ，
∴ ，
∴EC=7，
∵∠GCB′=∠FCD=α，∠CGB′=∠CFD=90°，
∴△CGB′∽△CFD，
∴DF：CF：CD=GB′：CG：CB′=4：3：5，
设DF=4k，CF=3k，CD=5k，
∵△AEC∽△DFA，
，
解得： ，
∴AF=7k，
∴
．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，“准黄金”三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
题型10：相似三角形—情景探究题
16．（2024·江苏淮安·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，连接、，相交于点G，作，交于点F，设．
【变中不变】
（1）明明发现：连接，当点E的位置在上发生变化时，的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整．
∵，且①_______；
∴；
∴即：；
又∵；
∴②_______；
∴；
∴；
在矩形中，；
∴；
∴③_______°，即度数不变．
【尝试应用】
（2）若，求的长；
【思维拓展】
（3）将绕着点E顺时针旋转得到，是否存在这样的x，使得有顶点落在直线上，若存在，请求出满足条件的x值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；；；（2）；（3）或或．
【分析】（1）证明推出，再证明，得到，据此即可求解；
（2）由（1）得到，推出，得到，根据勾股定理求得相关数据，再代入求解即可；
（3）分三种情况讨论，①当点与点重合时；②当点落在直线上时，过点作交分别为，证明，用表示出，在中，利用勾股定理列式计算即可求解；③当点落在直线上时，过点作交分别为，用表示出，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【解析】解：（1）∵，且；
∴；
∴即：；
又∵；
∴；
∴；
∴；
在矩形中，；
∴；
∴，即度数不变．
故答案为：；；；
（2）∵矩形中，，，
∴，，，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，即，
解得；
（2）存在，①当点与点重合时，点都在直线上，此时；
②当点落在直线上时，由旋转得，，，
过点作交分别为，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，
同理，
在中，，即，
整理得，
解得或，
∵，
∴不合题意，舍去，
∴；
③当点落在直线上时，过点作交分别为，
同理四边形为矩形，
∴，
由旋转得，，，
同理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得（舍去负值），
∴，
综上，或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
17．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：；
【结论应用】
（2）如图②，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若，求折痕的长；
【拓展运用】
（3）如图③，将矩形沿折叠．使得点D落在边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形，若，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）如图，过作交于，过作交于，由矩形，可得，，则四边形、均为平行四边形，，，证明，即可证明，则，；
（2）由矩形的性质可得，由勾股定理得，由（1）可知，，即，计算求解即可；
（3）如图，过点作交延长线于，由（1）可知，，即，解得，由勾股定理得，由折叠的性质可得，，，，设，则，在中，结合勾股定理即可解得，即，再证明，则，计算求解和的值，进而可得的长．
【解析】解：（1）如图，过作交于，过作交于，

∵四边形是矩形，
∴，，，
∴四边形、均为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
由勾股定理得，
∵将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，
∴，
由（1）可知，，即，
∴，
∴的长．

（3）如图所示，过点作交延长线于，
由折叠的性质可得，

由（1）可知，，即，解得，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
由折叠的性质可得，，，，
设，则，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
在中，由勾股定理得．
【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用以及正确作出辅助线构造相似三角形．
题型11：相似三角形—数学活动题（含相似三角形与圆）
18．（2024·江苏南京·一模）在 中，
(1)设 ，求证： ，在小明和小红的思路中，请选择一种继续完成证明．
(2)如图③， 已知线段m，n．求作：满足已知条件的，且 ，（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．）
(3)若△ABC有一条边的长度为4， 设 的周长为l，直接写出l关于k的函数表达式，以及l的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)当时，，此时；当时，，此时，当时，，此时；
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，数形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）选择小明的思路：证明，则，得到，进一步即可得到结论；选择小红的思路：由翻折可知证明，则，得到，由即可得到结论；
（2）按照步骤：①作，②以点C为圆心，n为半径作圆，以点D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A，③以点A为圆心，m为半径作圆，交的延长线于点B，则即为所求，
（3）分三种情况分别进行解答即可．
【解析】（1）证明：选择小明的思路：
∵，
∴
∵
∴，
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∵，
∴
即；
选择小红的思路：由翻折可知，
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
（2）如图，即为所求，（答案不唯一）
①作，
②以点C为圆心，n为半径作圆，以点D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A，
③以点A为圆心，m为半径作圆，交的延长线于点B，则即为所求，
（3）∵设，则
∵
∴
即，
∴，
由（1）得，
分三种情况：
①当时，即，
∴，即，
代入得，
解得，
∴
∴，
②当时，
代入得，
解得，
∴
∴，
③当时，则
代入得，
解得，
∴
∴，
综上可知， 当时，，此时；当时，，此时，当时，，此时；
19．（2024·江苏南京·一模）数学的思考
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，试在轴正半轴上确定点的位置，使得最大，并求出此时点的坐标．
数学的眼光
(1)如图，请说明；
数学的表达
(2)如图，根据“垂径定理”，可知圆心在线段的垂直平分线上，借助直线的表达式及，可以求出圆心的坐标，从而得到点的坐标，请写出具体的过程；
(3)如图，延长线段交轴于点，连接，当与相切时，通过求的长可得到点的坐标，请写出具体的过程；
(4)如图，已知线段，用尺规在射线上作出点，使得最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
【答案】(1)见解析；
(2)点坐标为，见解析；
(3)点坐标为，见解析；
(4)见解析．
【分析】（）设与圆于点，连接，根据外角性质，得到即可；
（）设点，求出，根据和两点间的距离，列出等式即可求解；
（）连接并延长，交于点，连接，证明，再根据性质即可求解；
（）延长，交于点，根据第（）问，可知，则在右图中构造，然后左图以为圆心，为半径画弧，交于点即可．
【解析】（1）解：如图，设与圆于点，连接，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，设与直线交于点，设直线与轴交于点，过作轴于点，
∵点，，
∴，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，即重合，
∴，
设直线的表达式是，
∴，解得：，
∴直线的表达式是，
∵点在直线上，
∴设点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，（不合题意，舍去）
∴点坐标为；
（3）解：如图，连接并延长，交于点，连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵与轴相切于点，
∴轴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点，，
∴同理解析式为，
当时，,
∴点，
∴， ，
∴，
即，
∴，
∴点坐标为 ；
（4）如图：
延长，交于点，
同（）理得，设，
以为直径画半圆，过作的垂线交半圆于点，
易证，
∴，
然后以为圆心，为半径画弧，交于点，
∴即为所求．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离，三角形外角性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键

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