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第二章　专题提升八　电磁感应中的动力学和能量问题
(分值：100分)
选择题1～8题，每小题8分，共64分。
基础对点练
题组一　电磁感应中的动力学问题
1.如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导体之间接有电阻R。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是(　　)
ab中的感应电流方向由b到a
ab中的感应电流逐渐减小
ab所受的安培力保持不变
ab所受的静摩擦力逐渐减小
2.如图所示，质量为m的金属环用线悬挂起来，金属环有一半处于水平且与环面垂直的匀强磁场中，从某时刻开始，磁感应强度均匀减小，则在磁感应强度均匀减小的过程中，关于细线拉力大小的下列说法中正确的是(重力加速度为g)(　　)
大于环重力mg，并逐渐减小
始终等于环重力mg
小于环重力mg，并保持恒定
大于环重力mg，并保持恒定
3.(多选)如图所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计。ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆。开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，一段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像可能是(　　)
A B
C D
4.(2024·湖北襄阳高二期中)如图所示，足够长的“U”形光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计。金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且接触良好，ab棒接入电路的部分的电阻为R，重力加速度为g，某一时刻金属棒的速度大小为v，则金属棒ab在这一过程中下列说法正确的是(　　)
ab棒中电流的方向由a到b
ab棒中所受到的安培力方向与金属棒的运动方向相反且做负功
加速度的大小为
下滑过程中速度的最大值是
题组二　电磁感应中的能量问题
5.(多选)(2024·河北衡水高二期中)如图所示，两根相距为L的平行光滑直导轨ab、cd，b、d间连有一定值电阻R，导轨电阻忽略不计。MN为放在ab和cd上的一导体棒，其电阻也为R。整个装置水平放置处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于导轨所在平面。现对MN施加力F使它沿导轨方向以速度v匀速运动。令U表示MN两端电压的大小，则(　　)
M端电势低于N端
U＝BLv，流过定值电阻R的感应电流由d→R→b
U＝BLv，流过定值电阻R的感应电流由b→R→d
外力F所做的功等于电阻R和导体棒上产生的焦耳热之和
6.(多选)如图所示电路，两根光滑金属导轨平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨下端接有电阻R，导轨电阻不计，斜面处在竖直向上的匀强磁场中，电阻可忽略不计的金属棒ab质量为m，受到沿斜面向上且与金属棒垂直的恒力F的作用。金属棒沿导轨匀速向上滑动，则它在上滑高度h的过程中，以下说法正确的是(　　)
作用在金属棒上各力的合力做功为零
重力做的功等于系统产生的电能
金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热
恒力F做的功与安培力做的功之和等于金属棒增加的机械能
综合提升练
7.(多选)两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的绝缘轻弹簧下端，金属棒和导轨垂直且接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，磁感应强度方向如图所示。金属棒和导轨的电阻不计。现将金属棒从轻弹簧原长位置由静止释放，则(　　)
释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g
金属棒向下运动时，流过电阻的电流方向为a→b
金属棒的速度为v时，所受的安培力大小为F＝
电阻上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量
8.(2024·浙江绍兴高二期中)如图所示，足够长的U形光滑金属导轨平面与水平面成θ角，其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计。金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，经过足够长的时间，当流过ab棒某一横截面的电荷量为q时，棒的速度为v，则ab棒在这一过程中(　　)
受到的最大安培力为sin θ
运动的平均速度为v
下滑的位移为
产生的焦耳热为qBLv
9.(18分)如图所示，空间存在B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的足够长的平行长直导轨，其间距L＝0.2 m，R＝0.3 Ω的电阻接在导轨一端，ab是跨接在导轨上质量m＝0.1 kg、接入电路的电阻r＝0.1 Ω的导体棒，已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为μ＝0.2。从零时刻开始，对ab棒施加一个大小为F＝0.45 N、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，ab棒始终保持与导轨垂直且接触良好(g＝10 m/s2)。
(1)(6分)分析导体棒的运动性质；
(2)(6分)求导体棒所能达到的最大速度的大小；
(3)(6分)试定性画出导体棒运动的速度—时间图像。
培优加强练
10.(18分)(2024·山西运城高二期中)如图所示，上端接有R＝1.5 Ω的定值电阻的两平行粗糙导轨，间距为L＝0.25 m，足够长的倾斜部分和水平部分圆滑连接，倾斜部分与水平面的夹角θ＝37°，倾斜部分有一垂直导轨向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝4 T，水平部分没有磁场。垂直于导轨的质量为m＝0.5 kg、电阻为r＝0.5 Ω的金属棒ab，从斜面上足够高的某处由静止释放，运动中与导轨有良好接触。已知金属棒与轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，其余电阻不计，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)(6分)金属棒ab在倾斜轨道上的最大速率；
(2)(6分)金属棒ab在水平轨道的运行路程；
(3)(6分)若金属棒从高度h＝0.9 m处滑下(进入水平轨道前已处于平衡状态)，电阻R上产生的热量。
专题提升八　电磁感应中的动力学和能量问题
1.D　[磁感应强度均匀减小，穿过闭合回路的磁通量减小，根据楞次定律可知，ab中的感应电流方向由a到b，选项A错误；由于磁感应强度均匀减小，根据法拉第电磁感应定律可得E＝，可知感应电动势恒定，则ab中的感应电流不变，选项B错误；根据安培力公式F＝IlB知，电流不变，B随时间均匀减小，则安培力F减小，选项C错误；ab始终保持静止，处于平衡状态，安培力和静摩擦力大小相等，即Ff＝F，安培力减小，则静摩擦力减小，选项D正确。]
2.A　[根据楞次定律知圆环中感应电流方向为顺时针，再由左手定则判断可知圆环所受安培力竖直向下，对圆环受力分析，根据受力平衡有FT＝mg＋F，得FT＞mg，圆环所受安培力F＝IlB，则I＝＝＝S，可知I为恒定电流，联立以上各式可知B减小，推知F减小，则由FT＝mg＋F知FT减小，选项A正确。]
3.ACD　[设ab杆的有效长度为l，S闭合时，若>mg，杆先减速再匀速，D项有可能；若＝mg，杆匀速运动，A项有可能；若4.B　[根据右手定则可知，ab棒中电流的方向由b到a，故A错误；根据左手定则可知，ab棒中所受到的安培力方向沿导轨向上，与金属棒的运动方向相反，故安培力做负功，故B正确；根据牛顿第二定律有mgsin θ－ILB＝ma，ab棒中的电流为I＝，联立解得加速度的大小为a＝gsin θ－，故C错误；下滑过程中速度最大时，有mgsin θ＝ImLB，ab棒中的最大电流为Im＝，则下滑过程中速度的最大值是vm＝，故D错误。]
5.CD　[根据右手定则，可知导体棒中的电流方向由N指向M，导体棒可以看为一个等效电源，可知M为等效电源的正极，即M端电势高于N端，故A错误；感应电动势为E＝BLv，则MN两端电压为U＝＝BLv，根据上述可知，流过定值电阻R的感应电流由b→R→d，故B错误，C正确；导轨光滑，导体棒匀速运动，动能不变，根据功能关系可知，外力F所做的功等于电阻R和导体棒上产生的焦耳热之和，故D正确。]
6.ACD　[因为金属棒匀速运动，所以动能不变，根据动能定理可得合力做功为零，故A正确；根据动能定理可得WF＋WG＋W安＝0，解得WF＋W安＝－WG，即克服重力做功等于外力与安培力做功之和，因为动能不变，所以恒力F做的功与安培力做的功之和等于金属棒增加的机械能，故D正确；根据功能关系可知金属棒克服安培力做的功等于系统产生的电能，电能转化为电阻R上产生的焦耳热，故B错误，C正确。]
7.AC　[释放瞬间，金属棒只受重力作用，所以其加速度等于重力加速度，选项A正确；金属棒向下切割磁感线，由右手定则可知，流过电阻的电流方向为b→a，选项B错误；当金属棒的速度为v时，感应电流I＝，则安培力F＝ILB＝，选项C正确；由能量守恒定律可知，最终稳定后，重力势能的减少量等于轻弹簧弹性势能的增加量与电阻上产生的总热量之和，选项D错误。]
8.C　[金属棒ab开始做加速运动，速度增大，感应电动势增大，所以感应电流也增大，导致金属棒受到的安培力增大，所以加速度减小，即金属棒做加速度逐渐减小的变加速运动，不是匀变速直线运动，则运动的平均速度大小≠＝，故B错误；当速度为v时，电动势为E＝BLv，电路电流为I＝，则这一过程金属棒ab受到的最大安培力为Fm＝ILB＝，故A错误；根据q＝Δt＝Δt＝Δt＝，解得下滑的位移为x＝，故C正确；由于这一过程，安培力逐渐增大，则金属棒ab克服安培力做功满足W安9.(1)先做加速度减小的加速直线运动，最终做匀速直线运动
(2)10 m/s　(3)见解析图
解析　(1)导体棒做切割磁感线的运动，
产生的感应电动势E＝BLv①
回路中的感应电流I＝②
导体棒受到的安培力F安＝ILB③
导体棒运动过程中水平方向受到拉力F、安培力F安和摩擦力Ff的作用，根据牛顿第二定律有
F－μmg－F安＝ma④
由①②③④得F－μmg－＝ma⑤
由⑤可知，随着速度的增大，安培力增大，加速度a减小，当加速度a减小到0时，速度达到最大，此后导体棒做匀速直线运动。
(2)当导体棒达到最大速度时，有
F－μmg－＝0
可得vm＝＝10 m/s。
(3)由(1)(2)中的分析与数据可知，导体棒运动的速度—时间图像如图所示。
10.(1)2 m/s　(2)0.4 m　(3)0.375 J
解析　(1)由题意可知，金属棒到达水平轨道之前已开始匀速运动，设最大速度为vmax，由法拉第电磁感应定律有E＝BLvmax
感应电流为I＝
对导体棒受力分析，有ILB＋μmgcos θ＝mgsin θ
联立解得vmax＝2 m/s。
(2)金属棒在水平轨道上，由动能定理有
－μmgx＝0－mv
解得x＝0.4 m。
(3)金属棒在倾斜轨道上运动时，由能量守恒定律有
mgh＝mv＋μmgcos θ＋Q
解得Q＝0.5 J
电阻R上产生的热量QR＝Q＝0.375 J。专题提升八　电磁感应中的动力学和能量问题
学习目标　1.掌握电磁感应中动力学问题的分析方法，建立解决电磁感应中动力学问题的思维模型。2.理解电磁感应现象中的能量转化，会用动能定理、能量守恒定律分析有关问题。
提升1　电磁感应中的动力学问题
　　　　　　　　　　　　　　
由于导体的感应电流在磁场中受到安培力作用，而安培力又会改变导体的运动状况，所以电磁感应常与力学知识联系在一起。
1.电磁感应问题中电学对象与力学对象的相互制约关系
2.两种状态
（1）导体处于平衡状态——静止或匀速直线运动状态。
处理方法：根据平衡条件（合力等于零）列式求解。
（2）导体处于非平衡状态——加速度不为零。
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析。
3.电磁感应中的动力学临界问题
角度1　电磁感应中的平衡问题
例1 如图所示，固定在磁场中的水平导轨ab、cd的间距L1＝0.5 m，金属棒ad与导轨左端bc的距离为L2＝0.8 m，整个闭合回路的电阻为R＝0.2 Ω，磁感应强度为B0＝1 T的匀强磁场竖直向下穿过整个回路。ad杆通过滑轮和轻绳（上端水平）连接着一个质量为m＝0.04 kg的物体，不计一切摩擦，现使磁场的磁感应强度以＝0.2 T/s的变化率均匀地增大（g取10 m/s2）。求：
（1）金属棒中电流的方向；
（2）感应电动势的大小；
（3）物体刚好离开地面的时间。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　电磁感应中的动力学问题
例2 （2024·河南南阳高二期末）如图所示，两根足够长的电阻不计的光滑平行金属导轨固定在水平面内，两导轨间的距离为L＝1 m，之间接有阻值为R＝1.5 Ω的定值电阻。一根质量为m＝2 kg的均匀金属棒ab放在导轨上，与两导轨垂直且保持良好接触，ab在导轨间的电阻为r＝0.5 Ω，整个装置放在磁感应强度为B＝1 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现对金属棒ab施加水平向右的恒力F＝1 N，使之由静止开始运动。求：
（1）金属棒ab中电流的方向及最大速度vm；
（2）ab棒的速度大小为v1＝1 m/s时棒的加速度大小。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
电磁感应中动力学问题的解题技巧
（1）受力分析时，要把立体图转换为平面图。
（2）要特别注意安培力的大小和方向都有可能变化。
（3）根据牛顿第二定律分析加速度a的变化情况，以求出力F的变化情况。
（4）列出稳定状态下的受力平衡方程往往是解题的突破口。
训练1 （2024·四川成都高二期末）如图，电阻不计的光滑平行金属导轨竖直放置，金属导轨足够长，下端接一电阻R，整个空间存在垂直于导轨平面向里的匀强磁场。t＝0时刻，将一金属杆ab以初速度v0竖直向上抛出，t＝t1时金属杆ab又返回到出发位置，金属杆ab在运动过程中始终与导轨垂直并保持良好接触。下列图像能正确描述在0～t1这段时间内金属杆ab的速度与时间关系的是（　　）
提升2　电磁感应中的能量问题
　　　　　　　　　　　　　　
如图所示，用丝线把闭合金属环悬挂于点O，图中虚线的左边有匀强磁场，右边则没有磁场，用手拨动金属环，使悬线偏离竖直位置，放手后，金属环摆动，但金属环的摆动会很快停下来。试从能量转化角度解释这一现象。若整个空间都有向外的匀强磁场，还会有这种现象吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.电磁感应现象中的能量转化
2.焦耳热Q的计算方法及适用条件
（1）焦耳定律：Q＝I2Rt，适用于电流恒定的电磁感应问题。
（2）功能关系：对于纯电阻电路，克服安培力所做的功等于焦耳热Q。
即Q＝W克安。
（3）能量转化：Q等于其他能的减少量，适用于所有电磁感应问题。
例3 如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ间距L＝1 m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成θ＝30°角，N、Q两端接有R＝1 Ω 的电阻。一金属棒ab垂直导轨放置，ab两端与导轨始终有良好接触，已知ab的质量m＝0.2 kg，电阻r＝1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B＝1 T。ab在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度v1＝0.5 m/s沿导轨向上开始运动，可达到最大速度v＝2 m/s。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度g＝10 m/s2。
（1）求拉力的功率P；
（2）金属棒ab开始运动后，经t＝0.09 s速度达到v2＝1.5 m/s，此过程中ab克服安培力做功W＝0.06 J，求该过程中ab沿导轨的位移大小x。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
电磁感应中能量问题的解题基本步骤
（1）用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向。
（2）画出等效电路，求出回路中消耗电功率的表达式。
（3）分析导体机械能的变化，用能量守恒定律得到导体做功的功率的变化与回路中电功率的变化所满足的关系。
训练2 （2024·四川成都高二期中）如图为相距L的光滑平行导轨，圆弧部分竖直放置，平直部分固定于水平地面上，矩形MNPQ区域内（MQ足够长）存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，导轨右端连接定值电阻R。一质量为m、长为L、电阻为r的金属棒ab从圆弧轨道上高h处由静止释放。金属棒ab与导轨始终接触良好，不计导轨电阻，重力加速度大小为g。从金属棒ab开始运动到停止运动的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.金属棒ab刚进入磁场时的速度大小为
B.金属棒ab刚进入磁场时，金属棒ab两端的电压为BL
C.金属棒ab进入磁场后做匀减速直线运动
D.金属棒ab克服安培力做的总功为mgh
随堂对点自测
1.（电磁感应中的动力学问题）如图所示，匀强磁场存在于虚线框内，矩形线圈竖直下落，如果线圈受到的磁场力总小于其重力，则它在1、2、3、4位置时的加速度关系为（　　）
A.a1>a2>a3>a4 B.a1＝a3>a2>a4
C.a1＝a3>a4>a2 D.a4＝a2>a3>a1
2.（电磁感应中的能量问题）（2024·广东东莞高二期中）如图所示，相距L＝40 cm的两光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，在M、P两点间接一阻值为R＝0.5 Ω的电阻，在两导轨间的矩形区域OO1O1′O′内有垂直导轨平面向里、宽为d＝0.7 m的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T。一质量m＝20 g、电阻r＝0.1 Ω的导体棒ab垂直的搁在导轨上，与磁场的上边界相距d0＝0.8 m。现使ab棒由静止开始释放，棒ab在离开磁场前已做匀速直线运动（棒ab与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平），导轨电阻不计。g取10 m/s2，求：
（1）棒ab离开磁场下边界的速度大小；
（2）棒ab进入磁场瞬间的加速度大小和方向；
（3）棒ab在通过磁场区域的过程中，电阻R上产生的焦耳热。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
专题提升八　电磁感应中的动力学和能量问题
提升1
例1 (1)a到d　(2)0.08 V　(3)5 s
解析　(1)由楞次定律可以判断，金属棒中的电流方向由a到d。
(2)由法拉第电磁感应定律得
E＝＝S＝0.08 V。
(3)物体刚好离开地面时，其受到的拉力F＝mg
而拉力F又等于金属棒所受的安培力，即
mg＝F安＝IL1B
其中B＝B0＋t，I＝
联立解得t＝5 s。
例2 (1)从b到a　2 m/s　(2)0.25 m/s2
解析　(1)金属棒向右运动，根据右手定则可知此时金属棒ab中电流的方向为从b到a；对金属棒受力分析有
F－F安＝ma
F安＝ILB，I＝，E＝BLv
联立可得F－＝ma
分析可知随着速度的增大，安培力在增大，当F＝F安时，此时加速度为零，速度到达最大，即
F＝
代入数据解得vm＝2 m/s。
(2)当ab棒的速度大小为v1＝1 m/s时，由
F－＝ma可得此时加速度大小为
a1＝0.25 m/s2。
训练1 D　[竖直向上的过程中，有mg＋＝ma，解得a＝g＋，则金属杆ab做加速度逐渐减小的减速运动，直到速度为0；竖直向下的过程中，有mg－＝ma′，解得a′＝g－，则金属杆ab做加速度逐渐减小的加速运动。由于安培力做负功，返回时速度的大小应该比v0小，故D正确，A、B、C错误。]
提升2
导学　提示　金属环进出磁场的过程中产生感应电流，环中会有电热产生，部分机械能转化为内能，故金属环摆动几次便停下来。若整个空间都有向外的匀强磁场，则金属环中无感应电流产生，机械能守恒，金属环会一直摆动(不考虑空气阻力)。
例3 (1)4 W　(2)0.1 m
解析　(1)在ab运动过程中，由于拉力功率恒定，ab做加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最大时，加速度为零，设此时拉力的大小为F，安培力大小为FA，有F－mgsin θ－FA＝0
设此时回路中的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律，有
E＝BLv
设回路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律，有
I＝
ab受到的安培力FA＝ILB
由功率表达式，有P＝Fv
联立上述各式，代入数据解得P＝4 W。
(2)金属棒ab从速度v1到v2的过程中，由动能定理，有
Pt－W－mgxsin θ＝mv－mv
代入数据解得x＝0.1 m。
训练2 D　[金属棒ab从释放到刚进入磁场时，根据动能定理有mgh＝mv2，解得v＝，故A错误；金属棒ab刚进入磁场时，根据法拉第电磁感应定律有E＝BLv，金属棒ab两端的电压为U＝E，解得U＝BL，故B错误；金属棒ab进入磁场后，安培力提供加速度，有＝ma，可知金属棒ab做加速度减小的减速直线运动，故C错误；根据能量守恒定律可知金属棒ab克服安培力做的总功为mgh，故D正确。]
随堂对点自测
1.B　[线圈进入磁场前和全部进入磁场后，都仅受重力，所以加速度a1＝a3＝g。线圈在题图中2位置时，受到重力和向上的安培力，且已知F安2a2>a4，故B正确。]
2.(1)3 m/s　(2) m/s2　竖直向上　(3)0.175 J
解析　(1)棒ab在离开磁场前已做匀速直线运动，
则有mg－ILB＝0
由闭合电路欧姆定律得I＝
由法拉第电磁感应定律有E＝BLv
联立解得v＝＝3 m/s。
(2)棒ab进入磁场前做自由落体运动，则有
2gd0＝v
解得v0＝＝4 m/s
根据牛顿第二定律可得－mg＝ma
解得a＝ m/s2，方向竖直向上。
(3)棒ab从静止释放到离开磁场区域的过程中，根据能量守恒定律可得mg(d0＋d)＝mv2＋Q
解得Q＝0.21 J
电阻R上产生的焦耳热为QR＝Q＝0.175 J。(共53张PPT)
专题提升八　电磁感应中的动力学和能量问题
第二章　电磁感应
1.掌握电磁感应中动力学问题的分析方法，建立解决电磁感应中动力学问题的思维模型。
2.理解电磁感应现象中的能量转化，会用动能定理、能量守恒定律分析有关问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
课后巩固训练
03
随堂对点自测
02
提升
1
提升2　电磁感应中的能量问题
提升1　电磁感应中的动力学问题
提升1　电磁感应中的动力学问题
由于导体的感应电流在磁场中受到安培力作用，而安培力又会改变导体的运动状况，所以电磁感应常与力学知识联系在一起。
1.电磁感应问题中电学对象与力学对象的相互制约关系
2.两种状态
(1)导体处于平衡状态——静止或匀速直线运动状态。
处理方法：根据平衡条件(合力等于零)列式求解。
(2)导体处于非平衡状态——加速度不为零。
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析。
3.电磁感应中的动力学临界问题
(1)金属棒中电流的方向；
(2)感应电动势的大小；
(3)物体刚好离开地面的时间。
解析　(1)由楞次定律可以判断，金属棒中的电流方向由a到d。
(2)由法拉第电磁感应定律得
(3)物体刚好离开地面时，其受到的拉力F＝mg
而拉力F又等于金属棒所受的安培力，即
mg＝F安＝IL1B
联立解得t＝5 s。
答案　(1)a到d　(2)0.08 V　(3)5 s
角度2　电磁感应中的动力学问题
例2 (2024·河南南阳高二期末)如图所示，两根足够长的电阻不计的光滑平行金属导轨固定在水平面内，两导轨间的距离为L＝1 m，之间接有阻值为R＝1.5 Ω的定值电阻。一根质量为m＝2 kg的均匀金属棒ab放在导轨上，与两导轨垂直且保持良好接触，ab在导轨间的电阻为r＝0.5 Ω，整个装置放在磁感应强度为B＝1 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现对金属棒ab施加水平向右的恒力F＝1 N，使之由静止开始运动。求：
(1)金属棒ab中电流的方向及最大速度vm；
(2)ab棒的速度大小为v1＝1 m/s时棒的加速度大小。
解析　(1)金属棒向右运动，根据右手定则可知此时金属棒ab中电流的方向为从b到a；对金属棒受力分析有F－F安＝ma
(2)当ab棒的速度大小为v1＝1 m/s时，由
a1＝0.25 m/s2。
答案　(1)从b到a　2 m/s　(2)0.25 m/s2
电磁感应中动力学问题的解题技巧
(1)受力分析时，要把立体图转换为平面图。
(2)要特别注意安培力的大小和方向都有可能变化。
(3)根据牛顿第二定律分析加速度a的变化情况，以求出力F的变化情况。
(4)列出稳定状态下的受力平衡方程往往是解题的突破口。
D
训练1 (2024·四川成都高二期末)如图，电阻不计的光滑平行金属导轨竖直放置，金属导轨足够长，下端接一电阻R，整个空间存在垂直于导轨平面向里的匀强磁场。t＝0时刻，将一金属杆ab以初速度v0竖直向上抛出，t＝t1时金属杆ab又返回到出发位置，金属杆ab在运动过程中始终与导轨垂直并保持良好接触。下列图像能正确描述在0～t1这段时间内金属杆ab的速度与时间关系的是(　　)
提升2　电磁感应中的能量问题
如图所示，用丝线把闭合金属环悬挂于点O，图中虚线的左边有匀强磁场，右边则没有磁场，用手拨动金属环，使悬线偏离竖直位置，放手后，金属环摆动，但金属环的摆动会很快停下来。试从能量转化角度解释这一现象。若整个空间都有向外的匀强磁场，还会有这种现象吗？
提示　金属环进出磁场的过程中产生感应电流，环中会有电热产生，部分机械能转化为内能，故金属环摆动几次便停下来。若整个空间都有向外的匀强磁场，则金属环中无感应电流产生，机械能守恒，金属环会一直摆动(不考虑空气阻力)。
1.电磁感应现象中的能量转化
2.焦耳热Q的计算方法及适用条件
(1)焦耳定律：Q＝I2Rt，适用于电流恒定的电磁感应问题。
(2)功能关系：对于纯电阻电路，克服安培力所做的功等于焦耳热Q。即Q＝W克安。
(3)能量转化：Q等于其他能的减少量，适用于所有电磁感应问题。
例3 如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ间距L＝1 m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成θ＝30°角，N、Q两端接有R＝1 Ω 的电阻。一金属棒ab垂直导轨放置，ab两端与导轨始终有良好接触，已知ab的质量m＝0.2 kg，电阻r＝1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B＝1 T。ab在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度v1＝0.5 m/s沿导轨向上开始运动，可达到最大速度v＝2 m/s。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)求拉力的功率P；
(2)金属棒ab开始运动后，经t＝0.09 s速度达到v2＝1.5 m/s，此过程中ab克服安培力做功W＝0.06 J，求该过程中ab沿导轨的位移大小x。
解析　(1)在ab运动过程中，由于拉力功率恒定，ab做加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最大时，加速度为零，设此时拉力的大小为F，安培力大小为FA，
有F－mgsin θ－FA＝0
设此时回路中的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律，有E＝BLv
设回路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律，有
ab受到的安培力FA＝ILB
由功率表达式，有P＝Fv
联立上述各式，代入数据解得P＝4 W。
代入数据解得x＝0.1 m。
答案　(1)4 W　(2)0.1 m
电磁感应中能量问题的解题基本步骤
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向。
(2)画出等效电路，求出回路中消耗电功率的表达式。
(3)分析导体机械能的变化，用能量守恒定律得到导体做功的功率的变化与回路中电功率的变化所满足的关系。
D
训练2 (2024·四川成都高二期中)如图为相距L的光滑平行导轨，圆弧部分竖直放置，平直部分固定于水平地面上，矩形MNPQ区域内(MQ足够长)存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，导轨右端连接定值电阻R。一质量为m、长为L、电阻为r的金属棒ab从圆弧轨道上高h处由静止释放。金属棒ab与导轨始终接触良好，不计导轨电阻，重力加速度大小为g。从金属棒ab开始运动到停止运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
随堂对点自测
2
B
1.(电磁感应中的动力学问题)如图所示，匀强磁场存在于虚线框内，矩形线圈竖直下落，如果线圈受到的磁场力总小于其重力，则它在1、2、3、4位置时的加速度关系为(　　)
A.a1>a2>a3>a4 B.a1＝a3>a2>a4
C.a1＝a3>a4>a2 D.a4＝a2>a3>a1
2.(电磁感应中的能量问题)(2024·广东东莞高二期中)如图所示，相距L＝40 cm的两光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，在M、P两点间接一阻值为R＝0.5 Ω的电阻，在两导轨间的矩形区域OO1O1′O′内有垂直导轨平面向里、宽为d＝0.7 m的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T。一质量m＝20 g、电阻r＝0.1 Ω的导体棒ab垂直的搁在导轨上，与磁场的上边界相距d0＝0.8 m。现使ab棒由静止开始释放，棒ab在离开磁场前已做匀速直线运动(棒ab与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平)，导轨电阻不计。g取10 m/s2，求：
(1)棒ab离开磁场下边界的速度大小；
(2)棒ab进入磁场瞬间的加速度大小和方向；
(3)棒ab在通过磁场区域的过程中，电阻R上产生的焦耳热。
解析　(1)棒ab在离开磁场前已做匀速直线运动，
则有mg－ILB＝0
课后巩固训练
3
D
题组一　电磁感应中的动力学问题
1.如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导体之间接有电阻R。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是(　　)
基础对点练
A.ab中的感应电流方向由b到a
B.ab中的感应电流逐渐减小
C.ab所受的安培力保持不变
D.ab所受的静摩擦力逐渐减小
A
2.如图所示，质量为m的金属环用线悬挂起来，金属环有一半处于水平且与环面垂直的匀强磁场中，从某时刻开始，磁感应强度均匀减小，则在磁感应强度均匀减小的过程中，关于细线拉力大小的下列说法中正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.大于环重力mg，并逐渐减小
B.始终等于环重力mg
C.小于环重力mg，并保持恒定
D.大于环重力mg，并保持恒定
ACD
3.(多选)如图所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计。ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆。开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，一段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像可能是(　 　)
B
4.(2024·湖北襄阳高二期中)如图所示，足够长的“U”形光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计。金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且接触良好，ab棒接入电路的部分的电阻为R，重力加速度为g，某一时刻金属棒的速度大小为v，则金属棒ab在这一过程中下列说法正确的是(　　)
CD
题组二　电磁感应中的能量问题
5.(多选)(2024·河北衡水高二期中)如图所示，两根相距为L的平行光滑直导轨ab、cd，b、d间连有一定值电阻R，导轨电阻忽略不计。MN为放在ab和cd上的一导体棒，其电阻也为R。整个装置水平放置处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于导轨所在平面。现对MN施加力F使它沿导轨方向以速度v匀速运动。令U表示MN两端电压的大小，则(　　)
ACD
6.(多选)如图所示电路，两根光滑金属导轨平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨下端接有电阻R，导轨电阻不计，斜面处在竖直向上的匀强磁场中，电阻可忽略不计的金属棒ab质量为m，受到沿斜面向上且与金属棒垂直的恒力F的作用。金属棒沿导轨匀速向上滑动，则它在上滑高度h的过程中，以下说法正确的是(　　 )
A.作用在金属棒上各力的合力做功为零
B.重力做的功等于系统产生的电能
C.金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热
D.恒力F做的功与安培力做的功之和等于金属棒增加的机械能
解析　因为金属棒匀速运动，所以动能不变，根据动能定理可得合力做功为零，故A正确；根据动能定理可得WF＋WG＋W安＝0，解得WF＋W安＝－WG，即克服重力做功等于外力与安培力做功之和，因为动能不变，所以恒力F做的功与安培力做的功之和等于金属棒增加的机械能，故D正确；根据功能关系可知金属棒克服安培力做的功等于系统产生的电能，电能转化为电阻R上产生的焦耳热，故B错误，C正确。
AC
综合提升练
7.(多选)两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的绝缘轻弹簧下端，金属棒和导轨垂直且接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，磁感应强度方向如图所示。金属棒和导轨的电阻不计。现将金属棒从轻弹簧原长位置由静止释放，则(　　)
C
8.(2024·浙江绍兴高二期中)如图所示，足够长的U形光滑金属导轨平面与水平面成θ角，其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计。金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，经过足够长的时间，当流过ab棒某一横截面的电荷量为q时，棒的速度为v，则ab棒在这一过程中(　　)
9.如图所示，空间存在B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的足够长的平行长直导轨，其间距L＝0.2 m，R＝0.3 Ω的电阻接在导轨一端，ab是跨接在导轨上质量m＝0.1 kg、接入电路的电阻r＝0.1 Ω的导体棒，已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为μ＝0.2。从零时刻开始，对ab棒施加一个大小为F＝0.45 N、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，ab棒始终保持与导轨垂直且接触良好(g＝10 m/s2)。
(1)分析导体棒的运动性质；
(2)求导体棒所能达到的最大速度的大小；
(3)试定性画出导体棒运动的速度—时间图像。
答案　(1)先做加速度减小的加速直线运动，最终做匀速直线运动　(2)10 m/s　(3)见解析图
解析　(1)导体棒做切割磁感线的运动，产生的感应电动势E＝BLv①
导体棒运动过程中水平方向受到拉力F、安培力F安和摩擦力Ff的作用，根据牛顿第二定律有
F－μmg－F安＝ma④
由⑤可知，随着速度的增大，安培力增大，加速度a减小，当加速度a减小到0时，速度达到最大，此后导体棒做匀速直线运动。
(2)当导体棒达到最大速度时，有
(3)由(1)(2)中的分析与数据可知，导体棒运动的速度—时间图像如图所示。
培优加强练
10.(2024·山西运城高二期中)如图所示，上端接有R＝1.5 Ω的定值电阻的两平行粗糙导轨，间距为L＝0.25 m，足够长的倾斜部分和水平部分圆滑连接，倾斜部分与水平面的夹角θ＝37°，倾斜部分有一垂直导轨向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝4 T，水平部分没有磁场。垂直于导轨的质量为m＝0.5 kg、电阻为r＝0.5 Ω的金属棒ab，从斜面上足够高的某处由静止释放，运动中与导轨有良好接触。已知金属棒与轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，其余电阻不计，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)金属棒ab在倾斜轨道上的最大速率；
(2)金属棒ab在水平轨道的运行路程；
(3)若金属棒从高度h＝0.9 m处滑下(进入水平轨道前已处于平衡状态)，电阻R上产生的热量。
答案　(1)2 m/s　(2)0.4 m　(3)0.375 J
解析　(1)由题意可知，金属棒到达水平轨道之前已开始匀速运动，设最大速度为vmax，由法拉第电磁感应定律有E＝BLvmax
对导体棒受力分析，有ILB＋μmgcos θ＝mgsin θ
联立解得vmax＝2 m/s。
(2)金属棒在水平轨道上，由动能定理有
(3)金属棒在倾斜轨道上运动时，

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