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2023-2024学年上海外国语大学附属大境中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，为实数，若且，则下列结论中，正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是奇函数，且在上是减函数
C. 是偶函数，且在上是增函数 D. 是偶函数，且在上是减函数
3.已知函数的导函数的图像如图所示，以下结论：
在区间上有个极值点；
在处取得极小值；
在区间上单调递减；
的图像在处的切线斜率小于．
正确的序号是( )
A. B. C. D.
4.若实数、满足，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.函数的定义域为 ．
6.：是的倍数，：是的倍数；则是的______条件填“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”．
7.若函数的图像恒过定点，则该定点坐标为______．
8.设函数在处的导数为，则 ______．
9.方程在上的近似解为______精确到．
10.设，则关于的不等式的解集是______．
11.设，则方程的解集为______．
12.若函数是奇函数，则 ______．
13.如图，函数的图像为折线，则不等式的解为______．
14.已知正数，满足，且，则______．
15.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是______．
16.已知函数，，若对于任意的总存在，使得成立，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设全集为，已知，．
若，求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
求函数的导数．
求函数的单调区间和极值．
19.本小题分
提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度和车流密度满足关系式：研究表明：当隧道内的车流密度时造成堵塞，此时车流速度．
若车流速度，求车流密度的取值范围；
定义隧道内的车流量为，求隧道内的车流量的最大值，并指岀当车流量最大时的车流密度．
20.本小题分
已知函数的定义域为，若存在区间使得函数满足：
函数在区间上是严格增函数或严格减函数；
函数，的值域是，；
则称区间是函数的“倍区间”．
判断函数是否存在“倍区间”；
证明函数不存在“倍区间”；
证明：当有理数满足时，对于任意的，函数都存在“倍区间”，并求出的所有的“倍区间”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.必要非充分
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.
17.解：时，或，
，
，
；
或，
，，
，解得，
实数的取值范围是．
18.解：因为，函数定义域为，
可得；
易知的定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极大值，极大值．
当时，取得极小值，极小值．
19.解：由题意可知：当时，，
所以，解得，
所以，
当时，，解得，所以；
当时，，解得：，所以，
综上，车流速度，车流密度的取值范围为．
由题意可得：，
当时，，
由二次函数的性质可知：当时，取最大值为；
当时，，
当且仅当，即时取等，
所以当时，取最大值为，
综上可知：的最大值为，此时车流密度为．
20.解：根据题意，函数不存在“倍区间”；
理由如下：函数是一次函数，在上严格单调递减，
若是函数的倍区间，则函数的值域为，
则有，解可得，与相矛盾，
故函数不存在“倍区间”；
证明：假设存在区间是的“倍区间”，
由条件可知，，或，．
当，，即时，
因为在是严格减函数，
所以，变形可得，即，
这与的假设矛盾，所以假设不成立，
则在不存在“倍区间“；
当，时，其值域为，，
这与时，矛盾，
即在不存在“倍区间”，
综上所述，不存在“倍区间“；
证明：先考虑，的情况，
而，则在是严格增函数，
若存在“倍区间”，则有两个非负解，
原方程可化为，
当时，原方程有两个非负解和，
所以，至少存在一个“倍区间”为，
在是严格增函数，
令得，，，
所以有三个“倍区间”，分别为，，
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