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课时精练6　组合与组合数公式
(分值：100分)
单选题每小题5分，共15分；多选题每小题6分，共18分.
一、基础巩固
1.(多选)下列问题属于组合问题的是(　　)
从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作
从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式
从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
2.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为(　　)
4 8 28 64
3.(多选)若C＝C(n∈N*)，则n＝(　　)
4 5 6 7
4.某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有(　　)
140种 120种
35种 34种
5.(多选)下列结论正确的是(　　)
C＝C
A＝mA
C÷C＝
C＝C
6.C＋CC＝________.
7.某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有________种.
8.计算：C＋C＝__________.
9.(13分)已知C，C，C成等差数列，求C的值.
10.(13分)现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
(1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
二、综合运用
11.已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九个点为顶点的三角形个数为(　　)
CC＋CC (C＋C)(C＋C)
C－9 C－C
12.在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有________位.
13.(16分)某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行.
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛(6支球队的任两支球队各比赛一场)，以积分及净胜球数取前两名；
(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负.
问：全部赛程共需比赛多少场？
三、创新拓展
14.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条.
组合与组合数公式
1.AC　[A，C与元素顺序无关，是组合问题，B与D是排列问题.]
2.C　[由于“村村通”公路的修建，是组合问题，
故共需要建C＝＝＝28(条)公路.]
3.BD　[由题意，得2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，解得n＝5或n＝7.]
4.D　[从7人中选4人，共有C＝35(种)选法，4人全是男生的选法有C＝1(种)，
故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34(种).]
5.ACD　[由组合数性质，知A正确.
B中，A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
A＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
所以A＝nA，故B不成立.
对于C，C÷C＝＝＝，故C正确.
对于D，C＝＝＝C，故D正确.]
6.5 006　[C＋CC＝C＋C×1
＝＋＝56＋4 950＝5 006.]
7.63　[分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；
第二步，选男工，有C种选法.
故共有CC＝3×21＝63种不同选法.]
8.7　[∵
∴≤n≤5.∵n∈N*，∴n＝5，
∴C＋C＝C＋C＝1＋6＝7.]
9.解　由已知得2C＝C＋C，
所以2·＝＋，
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝7或n＝14，
由于C中需n≥12，
所以n＝14，
所以C＝C＝＝91.
10.解　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45.
(2)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，
根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法C·C＝×＝90(种).
11.A　[可以分为两类：
①a上取两点，b上取一点，则可构成三角形个数为CC；
②a上取一点，b上取两点，则可构成三角形个数为CC.
由分类加法计数原理，共构成三角形个数为CC＋CC.]
12.12　[设参赛选手共有n位，则总比赛场次为C，即场，且n∈N*，n≥2，
由题意知，任意一场比赛结束，选手的总得分为2分，故所有选手总得分为n(n－1)分且为偶数，
所以当n(n－1)＝132，得n＝12；
当n(n－1)＝134，n无整数解.
所以n＝12.]
13.解　(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C＝30(场).
(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，
所以半决赛共要比赛2×2＝4(场).
(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负，
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场).
14.126　[要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走.
因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.
设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC＝126(种)走法，
故从A地到B地的最短路线共有126条.]6.2.3　组合与组合数公式
课标要求　1.通过实例理解组合的概念，知道组合与排列的区别与联系. 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题.
【引入】 某人到石城旅游，要从A，B，C，D 4处景点中选择2处，上午选1处，下午选1处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从A，B，C，D 4处景点中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？
一、组合概念的理解
探究1 问题：①从全班40名同学中选出5人组成班委会.
②从全班40名同学中选出5人分别担任班委中的5个不同职务.
(1)以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同？
(2)如果把问题中的背景去掉，把选出的同学叫做“元素”，你如何表述上述问题①？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m，n∈N*，且m≤n)个元素________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.两个组合只要________相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.
温馨提示　区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题.排列与组合都是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素.
例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.组合的特点是只选不排，组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可，与顺序无关.
2.判断是否与元素的顺序有关.把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；否则，则无顺序，是组合问题.
训练1 下列四个问题属于组合问题的是(　　)
A.从3个不同小球中，取出2个排成一列
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D.将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人1张
二、组合数与组合数公式
探究2 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，上午1人，下午1人，能否得到CA＝A？你能得出计算C的公式吗？能否利用猜想求得C？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 分别计算(1)C，(2)C，(3)C，(4)C，并观察(1)与(2)，(3)与(4)的结果，你能有什么发现和猜想？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4 从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加，有多少种选法？你有什么发现？你能推广到一般结论吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.组合数的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示.
2.组合数公式
C＝＝________________________.
C＝____________(n，m∈N*，且m≤n).
规定C＝1.
3.组合数的性质
性质1：C＝________.
性质2：C＝________.
例2 (链接教材P24例6)(1)计算3C－2C＝________.
(2)方程C－C＝C的解是________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.组合数公式的乘积形式主要用于计算，阶乘形式的公式C＝一般用于含字母的式子的化简与证明.要善于利用组合数的性质化简.
2.要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C的隐含条件为m≤n，且m，n∈N*，并注意验证求解后所得结果是否符合题意.
训练2 (1)计算C＋C＋C＋…＋C＝________.
(2)若C＝C，则C＝________.
三、简单的组合问题
例3 一个口袋内装有7个白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.
2.要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用.在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏.
训练3 (1)现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有2个黑球的取法种数是(　　)
A.90 B.115 C.210 D.385
(2)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________.
【课堂达标】
1.(多选)下面是组合问题的为(　　)
A.从1，2，3，4中选出2个构成的集合个数
B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C.由1，2，3组成无重复数字的两位数
D.甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数(假设票价只与距离有关)
2.从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是(　　)
A.10 B.5 C.4 D.1
3.若C＝C，则n＝(　　)
A.3 B.5 C.3或5 D.15
4.计算：C＝________；C＋C＝________.
组合与组合数公式
探究1　(1)提示　问题②是排列，问题①选出的5名同学组成班委会，与顺序无关；问题②选出的5名同学分别担任班委中的5个不同职务，与元素的顺序有关.
(2)提示　从40个不同元素中取出5个元素作为一组.
知识梳理
1.作为一组
2.元素
例1　解　(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.
(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题.
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.
(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题.
训练1　C　[A，B，D与顺序有关，是排列问题，而C与顺序无关，是组合问题.]
探究2　提示　由先选后排可得种数为CA种，或直接选出2人进行排列可得种数为A种，故CA＝A，则C＝＝＝3.猜想C＝.
探究3　提示　C＝10，C＝10，C＝1，C＝1，
C＝C，C＝C，猜想C＝C.
探究4　提示　C＝＝＝210.
队长参加有C＝126(种)选法；
队长不参加有C＝84(种)选法.
因此C＋C＝C，
推广：C＝C＋C.
知识梳理
1.所有不同　C
2.　
3.C　C＋C
例2　(1)148　(2)5　[(1)3C－2C＝3×－2×＝148.
(2)∵C＝C＋C，且C－C＝C，
∴C＝C，
因此x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，
∴x＝－3(舍)或x＝5.]
训练2　(1)330　(2)28　[(1)法一　原式＝C＋C－C＋C－C＋…＋C－C
＝C＝330.
法二　原式＝C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C
＝…＝C＋C＝C＝330.
(2)由C＝C，
得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，
解得n＝8(舍去)或n＝2，
故C＝28.]
例3　解　(1)从口袋内的8个球中取出3个球，
取法种数是C＝＝＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，
取法种数是C＝＝＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝ ＝35.
训练3　(1)B　(2)　[(1)依题意，根据取法可分为三类：
两个黑球，有CC＝90(种)；
三个黑球，有CC＝24(种)；
四个黑球，有C＝1(种).
根据分类加法计数原理，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115.
(2)设甲、乙等5名同学的编号分别为1，2，3，4，5，从中随机选3名，所有的基本事件有C＝10个，
其中甲、乙都入选的有C＝3个，
所以甲、乙都入选的概率p＝.]
课堂达标
1.ABD　[只有选项C与元素的顺序有关，其余选项与顺序无关.]
2.B　[不同的推选方法数为C＝C＝5.]
3.C　[依题意n＝2n－3或n＋2n－3＝12.
解之得n＝3或n＝5.
经验证知，满足题意.]
4.20　161 700　[C＝C＝20；
C＋C＝C＝＝161 700.](共46张PPT)
第六章 6.2　排列与组合　6.2.3　组合　6.2.4　组合数
第一课时　组合与组合数公式
课标要求
1.通过实例理解组合的概念，知道组合与排列的区别与联系. 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题.
某人到石城旅游，要从A，B，C，D 4处景点中选择2处，上午选1处，下午选1处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从A，B，C，D 4处景点中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？
引入
课时精练
一、组合概念的理解
二、组合数与组合数公式
三、简单的组合问题
课堂达标
内容索引
组合概念的理解
一
探究1 问题：①从全班40名同学中选出5人组成班委会.
②从全班40名同学中选出5人分别担任班委中的5个不同职务.
(1)以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同？
提示　问题②是排列，问题①选出的5名同学组成班委会，与顺序无关；问题②选出的5名同学分别担任班委中的5个不同职务，与元素的顺序有关.
(2)如果把问题中的背景去掉，把选出的同学叫做“元素”，你如何表述上述问题①？
提示　从40个不同元素中取出5个元素作为一组.
1.组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m，n∈N*，且m≤n)个元素__________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.两个组合只要______相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.
知识梳理
作为一组
元素
温馨提示
区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题.排列与组合都是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素.
例1
判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.
(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题.
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.
(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题.
1.组合的特点是只选不排，组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可，与顺序无关.
2.判断是否与元素的顺序有关.把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；否则，则无顺序，是组合问题.
思维升华
下列四个问题属于组合问题的是
A.从3个不同小球中，取出2个排成一列
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D.将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人1张
训练1
√
A，B，D与顺序有关，是排列问题，而C与顺序无关，是组合问题.
组合数与组合数公式
二
探究4 从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加，有多少种选法？你有什么发现？你能推广到一般结论吗？
知识梳理
1.组合数的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__________组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号　　　表示.
所有不同
2.组合数公式
3.组合数的性质
例2
148
5
因此x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，
∴x＝－3(舍)或x＝5.
思维升华
训练2
330
28
简单的组合问题
三
例3
一个口袋内装有7个白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(1)从口袋内的8个球中取出3个球，
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
思维升华
1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.
2.要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用.在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏.
训练3
(1)现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有2个黑球的取法种数是
A.90 B.115 C.210 D.385
依题意，根据取法可分为三类：
√
根据分类加法计数原理，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115.
(2)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________.
【课堂达标】
1.(多选)下面是组合问题的为
A.从1，2，3，4中选出2个构成的集合个数
B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C.由1，2，3组成无重复数字的两位数
D.甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数(假设票价只与距离有关)
√
只有选项C与元素的顺序有关，其余选项与顺序无关.
√
√
√
2.从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是
A.10 B.5 C.4 D.1
A.3 B.5 C.3或5 D.15
√
依题意n＝2n－3或n＋2n－3＝12.
解之得n＝3或n＝5.
经验证知，满足题意.
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161 700
【课时精练】
√
1.(多选)下列问题属于组合问题的是
A.从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作
B.从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C.从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式
D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
A，C与元素顺序无关，是组合问题，B与D是排列问题.
√
√
2.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为A.4 B.8 C.28 D.64
由于“村村通”公路的修建，是组合问题，
√
A.4 B.5 C.6 D.7
由题意，得2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，解得n＝5或n＝7.
√
√
4.某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有
A.140种 B.120种 C.35种 D.34种
故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34(种).
√
5.(多选)下列结论正确的是
由组合数性质，知A正确.
√
√
5 006
7.某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有________种.
63
7
10.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
(1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
√
11.已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九个点为顶点的三角形个数为
可以分为两类：
12
12.在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有________位.
由题意知，任意一场比赛结束，选手的总得分为2分，故所有选手总得分为n(n－1)分且为偶数，
所以当n(n－1)＝132，得n＝12；
当n(n－1)＝134，n无整数解.
所以n＝12.
13.某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行.
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛(6支球队的任两支球队各比赛一场)，以积分及净胜球数取前两名；
(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C＝30(场).
(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，
所以半决赛共要比赛2×2＝4(场).
(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负.
问：全部赛程共需比赛多少场？
决赛只需比赛1场，即可决出胜负，
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场).
14.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条.
要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走.
126
因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.

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