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重难点突破02 线性代数背景下新定义
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 2
题型一：行列式背景 2
题型二：矩阵背景 7
题型三：向量组背景 16
题型四：特征向量背景 22
03 过关测试 28
线性代数中处理新定义问题时，首要任务是准确理解新定义的本质。方法技巧上，可以采取以下步骤：
一、深入剖析新定义，明确其内涵与外延，把握关键要素。
二、尝试将新定义与已知概念、定理或性质建立联系，利用已有知识体系进行推理。
三、在解题过程中，灵活运用矩阵运算、线性变换、特征值与特征向量等工具，以及适当的代数或几何方法。
四、注重验证结果的正确性，确保解题步骤和答案无误。
总结时，应强调新定义在解题中的关键作用，回顾解题过程中用到的关键知识点和技巧。同时，总结新定义问题的常见类型和解题思路，以便在遇到类似问题时能迅速找到解决方法。通过不断练习和总结，可以逐渐提高解决线性代数新定义问题的能力，加深对线性代数学科的理解和掌握。
题型一：行列式背景
【典例1-1】（2024·河北保定·三模）对于任意给定的四个实数，，，，我们定义方阵，方阵对应的行列式记为，且，方阵与任意方阵的乘法运算定义如下：，其中方阵，且.设，，.
(1)证明：.
(2)若方阵，满足，且，证明：.
【解析】（1）设方阵，
则，
，
，
，
则，
所以.
因为，所以，证毕.
（2）设，，则由，
可得，①
，②
，③
，④
由①④，得，⑤
由②③，得，⑥
由⑤⑥，可得，
整理得，即.
由，可得或则.
又，
所以，证毕.
【典例1-2】（2024·江苏南通·模拟预测）解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件的二元一次方程组.
(1)用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解；
(2)通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中的系数所唯一确定的一个数，按照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表，由此可以看出是这个数表中左上到右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个数的乘积的差，称为该数表的二阶行列式，记为.当≠0时，二元一次方程组有唯一一组解.同样的，行列式称为三阶行列式，且=.
（i）用二阶行列式表示方程组的两个解；
（ii）对于三元一次方程组，类比二阶行列式，用三阶行列式推导使得该三元一次方程组有唯一一组解的条件（结论不得使用行列式表达），并用三阶行列式表示该方程组的解.
(3)若存在，使得，求的取值范围.
【解析】（1）该方程组的两个解为；
（2）（i）由（1）得，
所以该方程组的两个解为；
（ii）类比二元一次方程组，将三元一次方程组中的系数排成一个数表，则可以得到三阶行列式.
令，当时，该三元一次方程组有唯一一组解，
即得该三元一次方程组有唯一一组解的条件为
，
用三阶行列式表示该方程组的解为
，，；
（3），
令，则，
其中，
因为，所以，，
故，
当时，无解，不合要求；
当时，，
其中在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为2，故；
当时，，
其中在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为-2，故，
因为存在，使得，所以或，
综上所述，m的取值范围为.
【变式1-1】（2024·山东菏泽·模拟预测）行列式是代数学中线性代数的重要分支，是一个方阵所对应的一个标量值.行列式具有简洁 对称 优美的特点，可以用来求直线方程，求三角形的面积，解线性方程组等.利用行列式进行求解，则可以简化运算步骤，提高做题速度.其中二阶行列式定义为：；三阶行列式定义为：例如：.在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标为，，则的面积公式可表示为：
(1)已知，求的面积.
(2)已知点，若点是圆上的动点，求面积的最小值.
(3)已知椭圆，它的左焦点坐标为，右顶点坐标为，设点的坐标为，过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.
【解析】（1）由题意得
；
（2），
设，
则
，
因为，所以当时，取得最小值，
最小值为；
（3）由题意得，故，
故椭圆方程为，
过原点的直线交椭圆于点，设，
由对称性可知，
故
，
故当时，面积取得最大值，最大值为4.
题型二：矩阵背景
【典例2-1】（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)，，矩阵，求使的的最小值.
(2)，，，矩阵求.
(3)矩阵，证明：，，.
【解析】（1）由题意得.
若，则，即.
因式分解得.因为，所以.
所以使的的最小值是10.
（2）由题得第1对角线上的平方和为，
第2对角线上的平方和为
，
第对角线上的平方和为
，
第对角线上的平方和为，
所以
所以.
（3）由题意知，证明
等价于证明，
注意到左侧求和式，
将右侧含有的表达式表示为求和式有
故只需证成立，
即证成立，令，
则需证成立，
记，则在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，
所以在上恒成立，即成立，
所以原不等式成立.
【典例2-2】行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数学中，我们把形如，，这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩阵两边的“[ ]”改为“”，得到二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为．
(1)求二阶行列式的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若存在，使得，求m的取值范围．
【解析】（1）；
（2），
故，故，
解得，
不等式的解集为；
（3），
令，则，
其中，
因为，所以，，
故，
当时，无解，不合要求，
当时，，
其中在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为2，故；
当时，，
其中在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为-2，故，
因为存在，使得，所以或，
m的取值范围为.
【变式2-1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示.
(1)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(2)在平面直角坐标系中，求双曲线绕原点按逆时针旋转（到原点距离不变）得到的双曲线方程；
(3)已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于，两点（在第一象限），与轴交于点.设直线，的倾斜角分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）设，，则，，，
故，
，
所以坐标变换公式为，
该变换所对应的二阶矩阵为；
（2）设曲线上任意一点在旋转角是的旋转变换下所得点坐标为.
则，即，
得，则，所求曲线方程为；
（3）
①直线斜率存在时，可设直线的方程为，
设，
由，得，
所以，，且，
当时，取，，所以直线方程为：，
直线方程与双曲线方程联立可得，解得或，
所以，.
所以，所以，可得；
当时，设的斜率分别为，
，，
所以，
，
所以.
因为在第一象限，所以，所以，所以.
②直线斜率不存在时，可得，
可得，，
所以，同理可得.
综上可得，为定值，得证.
【变式2-2】有个正数，排成矩阵（行列的数表）：，表示位于第行，第列的数.其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知，，.
(1)求公比.
(2)用表示.
(3)求的值.
【解析】（1）由题可知第4行公差为，由此可知
由第四列数据可知公比为：
（2），是首项为，公差为的等差数列，故
（3）因为每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，所以由（2）可知，故，设的前n项和为
①
②
得
【变式2-3】（2024·山东泰安·模拟预测）在数学中，由个数排列成的m行n列的数表称为矩阵，其中称为矩阵A的第i行第j列的元素.矩阵乘法是指对于两个矩阵A和B，如果4的列数等于B的行数，则可以把A和B相乘，具体来说：若，，则，其中.已知，函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若是的两个极值点，证明：，.
【解析】（1）由矩阵乘法定义知，，
∵，
∴当时，，单调递增，
时，方程的判别式，
当时，，，单调递增，
当或时，，令，方程两根记为，，
则，，
当时，，，
当时，，单调递增，时，，单调递减，
当时，，
当和时，单调递增，
当时，，单调递减，
综上，当时，单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）∵有两个极值点，由（1）知，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴单调递增，
∴，
由（1）知，，
∴，即，
∴，
又由（1）知在上单调递减且，
∴，
∴.
题型三：向量组背景
【典例3-1】（2024·贵州黔东南·二模）一般地，个有序实数，，，组成的数组，称为维向量，记为.类似二维向量，对于维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、数量积运算、向量的长度（模）、两点间的距离等，如，则；若存在不全为零的个实数，，，使得，则向量组，，，是线性相关的向量组，否则，说向量组，，，是线性无关的.
(1)判断向量组，，是否线性相关？
(2)若，，，当且时，证明：.
【解析】（1）设存在不全为零的个实数，，使得
则，即，
由①②消去得:，由①③消去得:，
则该方程有无数组解，所以不妨取，则，，
，即向量组，，是线性相关的.
（2）证明：，，，
，
先证：，，
设，，则，
在上单调递增，当时，，
即，
，.
同理可证：，.
，
，
.
当且时，
.
综上可得，当且时，.
【典例3-2】对于一组向量（，且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“H向量”．
(1)设，若是向量组的“H向量”，求实数x的取值范围；
(2)若，向量组是否存在“H向量”？若存在求出所有的“H向量”，若不存在说明理由；
(3)已知均是向量组的“H向量”，其中，，设在平面直角坐标系中有一点列满足为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值．
【解析】（1）由题意可得：，
因为，所以，，
则，
解得：；
（2）假设存在“向量”，因为，
且，
则由题意得：只需要使得，
又因为，
所以，
则，
即满足
，又因为，
所以满足上式，故存在“向量”为；
（3）由题意得：，
同理可得：，，
上面三个式子相加得：，
即，所以，
设，则由得：，
设，则依题意得：，
得
,
所以，
而，
当且仅当时等号成立，
故.
【变式3-1】对于一组向量，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
(1)设，且，若是向量组的“长向量”，求实数的取值范围；
(2)若且，向量组是否存在“长向量”？若存在，求出正整数；若不存在，请说明理由；
(3)已知均是向量组的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．
【解析】（1）由题意可得：，，，
则，解得：
（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下：
由题意可得，若存在“长向量”，只需使，
因为，，，，，，
所以，故只需使
，
即，即，
当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.
（3）由题意，得，，即，
即，同理，
三式相加并化简，得：，
即，，所以，
设，由，解得，
即
设，则依题意得：，
得，
故，
，
所以，
因为
所以，
当且仅当时等号成立，
所以.
【变式3-2】若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义：
①数乘运算：；
②加法运算：；
③数量积运算：；
④向量的模：，
对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，
(1)对于，判断下列各组向量是否线性相关：
①；
②；
(2)已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由；
(3)证明：对于中的任意两个元素，均有，
【解析】（1）对于①，假设与线性相关，
则存在不全为零的实数使得，
则，即，
可取，所以线性相关，
对于②，假设线性相关，
则存在不全为零的实数使得，
则，得，
可取，所以线性相关.
（2）假设线性相关，
则存在不全为零的实数，
使得，
则，
因为线性无关，
所以，得，矛盾，
所以向量线性无关.
（3）设，
则，
所以，
又，
所以
，
当且仅当同时成立时，等号成立，
所以.
题型四：特征向量背景
【典例4-1】已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
(1)记向量的相伴函数为，若且，求的值；
(2)设（），试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量﹔
(3)已知，，，为函数（）的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意知，向量的相伴函数为
由题意，且，，，
故；
（2）因为
故函数的相伴特征向量，
则与反向的单位向量为
（3）因为，
其相伴特征向量，
故，所以，
则，
设点，
又，，
所以，，
若，则，
即，，
因为，，
故，
又，故当且仅当时，成立
故在的图象上存在一点，使得
【典例4-2】已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)记向量的相伴函数为，求当且时，的值;
(2)设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量;
(3)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由.
【解析】（1）由已知可得：，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以
，
，
（2），
，
，
，
所以，，
，
所以与共线的单位向量为和.
（3），
因为为的相伴特征向量，
所以，解得，
所以，
所以，
，
假设在的图象上是否存在一点，使得，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
令，
令，
所以，
，
当时，；当时，，，
所以，
因为，
所以当且仅当且时，成立，
此时，且，即点，
所以的图象上是存在一点，使得.
【变式4-1】我们学过二维的平面向量，其坐标为，那么对于维向量，其坐标为.设维向量的所有向量组成集合.当时，称为的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.设和为的“特征向量”， 定义.
（1）若，，且，，计算，的值；
（2）设且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，当时，为奇数；当时，为偶数.求集合中元素个数的最大值；
（3）设，且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，.写出一个集合，使其元素最多，并说明理由.
【解析】（1），
；
（2）设，，，
时，为奇数，则仅有1个1或3个1，
时，为偶数，
①当仅有1个1时，，为使为偶数，
则，即不同时为1，
此时，共4个元素，
②当仅有3个1时，，为使为偶数，
则，即不同时为0，
此时，共4个元素，
③当时，则，不符题意，舍去，
综上所述，集合中元素个数的最大值为4；
（3），，
时，，则，
则只有3种情况，，且成对出现，
所以B中最多有个元素，.
【变式4-2】已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
(3)记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【解析】（1）向量的相伴函数为，
所以
∵，
∴.
∵，∴，∴.
所以.
（2）由为的相伴特征向量知：
所以.
设，∵，，∴，，
又∵，∴∴.
，∴
∵，∴，
∴.又∵，
∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立.
∴在图像上存在点，使得.
（3）向量的相伴函数为
当时，，
即，恒成立.
所以①当，即时，，所以，
即，由于，所以的最小值为，所以；
②当，，不等式化为成立.
③当，时，，所以，
即，由于，所以的最大值为，所以.
综上所述，k的取值范围是.
1．给出以下关于线性方程组解的个数的命题．
①，②，③，④，
（1）方程组①可能有无穷多组解；
（2）方程组②可能有且只有两组不同的解；
（3）方程组③可能有且只有唯一一组解；
（4）方程组④可能有且只有唯一一组解．
其中真命题的序号为 ．
【答案】①④
【解析】将①④的解看作平面上直线交点，将②③的解看作空间平面相交.
对于①，当平面两条直线重合时，方程组①有有无穷多组解，①正确；
对于②，空间三个平面相交，如果有两组不同的解，则三个平面必有一条公共直线，即方程组②的解有无数个，故②错误.
对于③，空间两个平面相交，则两个平面有一条公共直线，即方程组③的解有无数个，故③错误.
对于④，当平面三条直线相交于一点时，方程组④有且只有唯一一组解，正确.
故真命题的序号为：①④.
故答案为①④.
2．（2024·上海闵行·二模）平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，的值为 ．
【答案】
【解析】当时，取得最大值，
又，如图所示，
，
设，，
则，
所以，即，解得，
故，或，
，
或，
故答案为：
3．（2024·高三·广东·开学考试）已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）．
(1)计算．
(2)设函数．
①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求；
②若且，函数，证明：．
【解析】（1）原式
．
（2）
．
（i）．
当或时，；当时，．
所以在和上是增函数，在上是减函数，
所以的极大值点为，极小值点为1．
因为的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，
所以，
则公差，所以，
所以．
（ii）因为，
所以在上无零点，在上存在唯一零点，且．
令，
则，
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以，
而，所以．
令，则．
因为在上单调递诚，
所以当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
所以，
而，所以．
综上，．
4．（2024·全国·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：．
(1)在等比数列中，是的两个实根，求的值；
(2)已知数列的前项和为，且，若，求数列的前项和；
(3)已知是奇函数，是偶函数．设函数，且存在实数，使得对于任意的都成立，若，求的值．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由得：，即，
，，
，，
，
，
.
（2），
当时，；当时，；
经检验：满足，，
，
设数列的前项和为，
，
，
，
.
（3）由题意知：存在实数，使得对于任意都成立，
即，
令，则，
为奇函数，为偶函数，
…①；
令，则…②，
由①②得：，
令，则，，
，
.
5．定义行列式运算： ，若函数 （，）的最小正周期是，将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称.
(1)求函数的单调增区间；
(2)数列的前项和，且，求证：数列的前项和.
【解析】（1）由题意：，
∵，即，
∴，
∴的图象向右平移个单位后得，
此函数为奇函数，则，
∵，∴，
∴，
由，可得，
∴的单调增区间为；
（2）由上可得，
∴，
当时，；
当时，，
又，适合此式，
∴，
∴，
∴．
6．行列式按第一列展开得，记函数，且的最大值是4．
(1)求A；
(2)将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域．
【解析】（1）（1）
因为的最大值是4，所以，故，
（2）由（1）知，
向左移得，
横坐标变为原来2倍得
因为，所以，因此，
所以.
7．（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵．
(1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求；
(2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且．
（i）求；
（ii）已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
【解析】（1），则，即，
解得，
则，，，
，
故.
（2）（i），，
故，，
.
（ii），
，
，
故，
故，
，即，取验证不成立，
整理得到，，
当时，，不成立；当时，；当时，；
现说明当时不成立：
设，，，则，，
故单调递增，，
设，，，，，
故单调递减，，，，，
故时，不成立，
综上所述：使成立的所有的正整数对为，.
8．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示．
(1)在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(3)向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：．
【解析】（1）可求得，设，则，，
设点，，
故
所以.
（2）设，，则，，，
故
所以坐标变换公式为，
该变换所对应的二阶矩阵为
（3）设矩阵，向量，，则．
，
对应变换公式为：，
，
所以
故对应变换公式同样为
所以得证.
9．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
(1)若向量为的相伴特征向量，求实数的值；
(2)记向量的相伴函数是，求在的值域．
【解析】（1）因为向量为的相伴特征向量，
则，
解得：.
（2）因为向量的相伴函数是，
设，因为，则，
所以，
当时，，
当时，函数有最大值为13，
当时，即，函数有最小值为，
故函数的值域为.
10．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；
（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）
的相伴特征向量.
（2）向量的相伴函数为，
，.
，，.
.
（3）由为的相伴特征向量知：
.
所以.
设，，
，，
又，.
，
，，
.
又，
当且仅当时，和同时等于，这时式成立.
在图像上存在点，使得.
11．（2024·高三·上海宝山·期末）对于一组向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”.
（1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；
（2）若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知 均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值.
【解析】（1）由题意，得：，
则
解得：
（2）是向量组，，，…，的“向量”，证明如下：
，
当为奇数时，
，故
即
当为偶数时，
故
即
综合得：是向量组，，，…，的“向量”
（3）由题意，得，，即
即，同理，
三式相加并化简，得：
即，，所以
设，由得：
设，则依题意得：，
得
故
所以
当且仅当时等号成立
故
12．对于一组向量，，，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”．
(1)设，，若是向量组，，的“1向量”，求实数x的取值范围；
(2)若，，则向量组，，，，是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
故，
，
所以，
，
当且仅当或时等号成立，
所以．
13．元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．
(1)设，解决下面问题：
①求；
②设与的夹角为，求；
(2)对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．
【解析】（1）因为，
所以，
①，
②因为，，所以.
（2）任取，，计算内积，设这些内积之和为，
则，设的第个分量之和为，
又因为，故，所以
又，
所以，即，所以.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点突破02 线性代数背景下新定义
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 2
题型一：行列式背景 2
题型二：矩阵背景 4
题型三：向量组背景 7
题型四：特征向量背景 9
03 过关测试 11
线性代数中处理新定义问题时，首要任务是准确理解新定义的本质。方法技巧上，可以采取以下步骤：
一、深入剖析新定义，明确其内涵与外延，把握关键要素。
二、尝试将新定义与已知概念、定理或性质建立联系，利用已有知识体系进行推理。
三、在解题过程中，灵活运用矩阵运算、线性变换、特征值与特征向量等工具，以及适当的代数或几何方法。
四、注重验证结果的正确性，确保解题步骤和答案无误。
总结时，应强调新定义在解题中的关键作用，回顾解题过程中用到的关键知识点和技巧。同时，总结新定义问题的常见类型和解题思路，以便在遇到类似问题时能迅速找到解决方法。通过不断练习和总结，可以逐渐提高解决线性代数新定义问题的能力，加深对线性代数学科的理解和掌握。
题型一：行列式背景
【典例1-1】（2024·河北保定·三模）对于任意给定的四个实数，，，，我们定义方阵，方阵对应的行列式记为，且，方阵与任意方阵的乘法运算定义如下：，其中方阵，且.设，，.
(1)证明：.
(2)若方阵，满足，且，证明：.
【典例1-2】（2024·江苏南通·模拟预测）解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件的二元一次方程组.
(1)用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解；
(2)通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中的系数所唯一确定的一个数，按照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表，由此可以看出是这个数表中左上到右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个数的乘积的差，称为该数表的二阶行列式，记为.当≠0时，二元一次方程组有唯一一组解.同样的，行列式称为三阶行列式，且=.
（i）用二阶行列式表示方程组的两个解；
（ii）对于三元一次方程组，类比二阶行列式，用三阶行列式推导使得该三元一次方程组有唯一一组解的条件（结论不得使用行列式表达），并用三阶行列式表示该方程组的解.
(3)若存在，使得，求的取值范围.
【变式1-1】（2024·山东菏泽·模拟预测）行列式是代数学中线性代数的重要分支，是一个方阵所对应的一个标量值.行列式具有简洁 对称 优美的特点，可以用来求直线方程，求三角形的面积，解线性方程组等.利用行列式进行求解，则可以简化运算步骤，提高做题速度.其中二阶行列式定义为：；三阶行列式定义为：例如：.在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标为，，则的面积公式可表示为：
(1)已知，求的面积.
(2)已知点，若点是圆上的动点，求面积的最小值.
(3)已知椭圆，它的左焦点坐标为，右顶点坐标为，设点的坐标为，过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.
题型二：矩阵背景
【典例2-1】（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)，，矩阵，求使的的最小值.
(2)，，，矩阵求.
(3)矩阵，证明：，，.
【典例2-2】行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数学中，我们把形如，，这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩阵两边的“[ ]”改为“”，得到二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为．
(1)求二阶行列式的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若存在，使得，求m的取值范围．
【变式2-1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示.
(1)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(2)在平面直角坐标系中，求双曲线绕原点按逆时针旋转（到原点距离不变）得到的双曲线方程；
(3)已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于，两点（在第一象限），与轴交于点.设直线，的倾斜角分别为，，求证：为定值.
【变式2-2】有个正数，排成矩阵（行列的数表）：，表示位于第行，第列的数.其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知，，.
(1)求公比.
(2)用表示.
(3)求的值.
【变式2-3】（2024·山东泰安·模拟预测）在数学中，由个数排列成的m行n列的数表称为矩阵，其中称为矩阵A的第i行第j列的元素.矩阵乘法是指对于两个矩阵A和B，如果4的列数等于B的行数，则可以把A和B相乘，具体来说：若，，则，其中.已知，函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若是的两个极值点，证明：，.
题型三：向量组背景
【典例3-1】（2024·贵州黔东南·二模）一般地，个有序实数，，，组成的数组，称为维向量，记为.类似二维向量，对于维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、数量积运算、向量的长度（模）、两点间的距离等，如，则；若存在不全为零的个实数，，，使得，则向量组，，，是线性相关的向量组，否则，说向量组，，，是线性无关的.
(1)判断向量组，，是否线性相关？
(2)若，，，当且时，证明：.
【典例3-2】对于一组向量（，且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“H向量”．
(1)设，若是向量组的“H向量”，求实数x的取值范围；
(2)若，向量组是否存在“H向量”？若存在求出所有的“H向量”，若不存在说明理由；
(3)已知均是向量组的“H向量”，其中，，设在平面直角坐标系中有一点列满足为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值．
【变式3-1】对于一组向量，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
(1)设，且，若是向量组的“长向量”，求实数的取值范围；
(2)若且，向量组是否存在“长向量”？若存在，求出正整数；若不存在，请说明理由；
(3)已知均是向量组的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．
【变式3-2】若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义：
①数乘运算：；
②加法运算：；
③数量积运算：；
④向量的模：，
对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，
(1)对于，判断下列各组向量是否线性相关：
①；
②；
(2)已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由；
(3)证明：对于中的任意两个元素，均有，
题型四：特征向量背景
【典例4-1】已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
(1)记向量的相伴函数为，若且，求的值；
(2)设（），试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量﹔
(3)已知，，，为函数（）的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【典例4-2】已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)记向量的相伴函数为，求当且时，的值;
(2)设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量;
(3)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由.
【变式4-1】我们学过二维的平面向量，其坐标为，那么对于维向量，其坐标为.设维向量的所有向量组成集合.当时，称为的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.设和为的“特征向量”， 定义.
（1）若，，且，，计算，的值；
（2）设且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，当时，为奇数；当时，为偶数.求集合中元素个数的最大值；
（3）设，且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，.写出一个集合，使其元素最多，并说明理由.
【变式4-2】已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
(3)记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围.
1．给出以下关于线性方程组解的个数的命题．
①，②，③，④，
（1）方程组①可能有无穷多组解；
（2）方程组②可能有且只有两组不同的解；
（3）方程组③可能有且只有唯一一组解；
（4）方程组④可能有且只有唯一一组解．
其中真命题的序号为 ．
2．（2024·上海闵行·二模）平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，的值为 ．
3．（2024·高三·广东·开学考试）已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）．
(1)计算．
(2)设函数．
①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求；
②若且，函数，证明：．
4．（2024·全国·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：．
(1)在等比数列中，是的两个实根，求的值；
(2)已知数列的前项和为，且，若，求数列的前项和；
(3)已知是奇函数，是偶函数．设函数，且存在实数，使得对于任意的都成立，若，求的值．
5．定义行列式运算： ，若函数 （，）的最小正周期是，将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称.
(1)求函数的单调增区间；
(2)数列的前项和，且，求证：数列的前项和.
6．行列式按第一列展开得，记函数，且的最大值是4．
(1)求A；
(2)将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域．
7．（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵．
(1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求；
(2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且．
（i）求；
（ii）已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
8．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示．
(1)在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
（2）若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知 均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值.
12．对于一组向量，，，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”．
(1)设，，若是向量组，，的“1向量”，求实数x的取值范围；
(2)若，，则向量组，，，，是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
(3)已知，，均是向量组，，的“1向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，，（且）满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值．
13．元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．
(1)设，解决下面问题：
①求；
②设与的夹角为，求；
(2)对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．
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