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概率专题一
知识点一 由递推关系证明等比数列,写出简单离散型随机变量分布列,求离散型随机变量的均值,
利用等比数列的通项公式求数列中的项
典例1、足球运动被誉为“世界第一运动”.为推广足球运动，某学校成立了足球社团由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：
（1）下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为，求；
点球数 20 30 30 25 20 25
进球数 10 17 20 16 13 14
（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，接到第n次传球的人即为第次触球者，第n次触球者是甲的概率记为.
（1）求，，（直接写出结果即可）；
（2）证明：数列为等比数列.
随堂练习：雅礼中学是三湘名校，学校每年一届的社团节是雅礼很有特色的学生活动，几十个社团在一个月内先后开展丰富多彩的社团活动，充分体现了雅礼中学为学生终身发展奠基的育人理念.2022年雅礼文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手正确回答出下句可得10分，若不能正确回答出下可得0分.
（1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
（2）已知恰有甲 乙 丙 丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相同的机会抢答下一问题.记第次回答的是甲的概率是，若.
①求和；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.
典例2、现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
（1）设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望；
（2）设第次传球后，甲接到球的概率为，
（i）试证明数列为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
随堂练习：为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
（2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为.
①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若，求i的最小值.
典例3、某校班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行了一次统计，发现分数都位于20﹣55之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）七组，其频率分布直方图如图所示，已知m＝2n，[30，35）这组的参加者是12人．
（1）根据此频率分布直方图求图中m，n的值，并求该班级这次月考作文分数的中位数；
（2）组织者从[35，40）这组的参加者（其中共有5名女学生，其余为男学生）中随机选出1人（为公平起见，把每个人编号，通过号码确定），如果选到男学生，则该学生留在本组，如果选到女生，则该女生交换一个男生到该组中去（已知本班男生人数多于女生人数），重复上述过程n次后，该组中的男生人数为Xn．
①求随机变量X1的概率分布及数学期望E（X1）；
②求随机变量Xn的数学期望E（Xn）关于n的表达式．
随堂练习：中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞.
（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：
月份x 1 2 3 4 5
体重超重的人数y 640 540 420 300 200
若该大学体重超重人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？
（2）在某次排球训练课上，球恰由A队员控制，此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递，已知每当球由A队员控制时，传给B队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由B队员控制时，传给A队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由C队员控制时，传给A队员的概率为，传给B队员的概率为.记，，为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率.
（i）若，B队员控制球的次数为X，求；
（ii）若，，，，，证明：为等比数列，并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与的大小.
附1：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；. 附2：参考数据：，.
知识点二 概率综合,写出简单离散型随机变量分布列
典例4、某智能共享单车备有、两种车型，采用分段计费的方式营用，型单车每30分钟收费0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算），型单车每30分钟收费1元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲、乙、丙三人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，并且三个人每人租车都不会超过60分钟，甲、乙均租用型单车，丙租用型单车.
（1）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；
（2）设甲、乙、丙三人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望.
随堂练习：8月5日晚，2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”开幕式在洞庭南路历史文化街区工业遗址公园（岳阳港工业遗址公园）举行，举办2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”，是我市深入贯彻落实中央和省委“稳经济、促消费、激活力”要求，推出的大型文旅活动，旨在进一步深挖岳阳“名楼”底蕴、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳阳”文旅IP，为加快推进文旅融合发展拓展新维度、增添新动力.活动期间，某小吃店的生意异常火爆，对该店的一个服务窗口的顾客从排队到取到食品的时间进行统计，结果如下：
取到食品所需的时间（分） 1 2 3 4 5
频率 0.05 0.45 0.35 0.1 0.05
假设每个顾客取到食品所需的时间互相独立，且都是整数分钟.从排队的第一个顾客等待取食品开始计时.
（1）试估计“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”的概率；
（2）若随机变量X表示“至第2分钟末，已取到食品的顾客人数”，求X的分布列及数学期望.
典例5、为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游4名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这9名导游中随机选择4人参加比赛.
（1）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
随堂练习：某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．
（1）求甲获得奖金的期望；
（2）已知甲和乙最后所得奖金之和为900元，求甲获得一等奖的概率．
典例6、年月日，郑渝高铁实现全线贯通运营.郑渝高铁北起河南省郑州市，南至重庆市，途经河南、湖北、重庆三省市，全长公里，此前，北京到重庆的高铁列车耗时小时分，现在只需小时分；石家庄至重庆高铁的耗时由小时分缩短至小时分，郑州至重庆的耗时由小时分缩短至小时分，不仅如此，郑渝高铁还是一条旅游线，串联起了嵩山少林寺、襄阳古隆中、神农架原始森林、巫山大小三峡、奉节白帝城等众多著名旅游景点. 现有一列郑渝高铁从重庆北发出，某节车厢内共有位旅客，每位旅客等可能地从云阳、奉节、巫山、巴东、神农架、襄阳东共个车站中选择一站下车，且彼此独立.
（1）求这位旅客选择下车的车站互不相同的概率；
（2）设这位旅客选择下车的车站共有个，求的分布列和期望.
随堂练习：某银行招聘，设置了A，B，C三组测试题供竞聘人员选择.现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试.若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为；丙通过B组测试的概率为；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.
（1）求丁、戊都竞聘成功的概率；
（2）记A、B两组通过测试的总人数为，求的分布列和期望.
概率专题一答案
典例1、答案：（1） （2）（i），，（ii）证明见解析；
详解:（1）这150个点球中的进球频率为，
则该同学踢一次点球命中的概率，
由题意，可能取1，2，3，
则，，，
则的期望.
（2）（i）因为从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，
所以第1次触球者是甲的概率，显然第2次触球者是甲的概率，
第2次传球有两种可能，所以第3次触球者是甲的概率概，
（ii）∵第n次触球者是甲的概率为，所以当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为，
则.
从而，又，
∴是以为首项，公比为的等比数列.
随堂练习：答案： （1）12 （2）①； ②证明见解析，第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大
解：（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，
易知的所有可能取值为，
则， ， ，
故的分布列为
0 1 2
，则.
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，，则.
②由第次回答的是甲的概率为，得当时，第次回答的是甲的概率为，
第次回答的不是甲的概率为，
则，即，又，
是以为首项，为公比的等比数列，则
，
第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大..
典例2、答案： （1）分布列见解析， （2）（i）证明见解析；（ii）答案见解析.
解：（1）由题意知的取值为，
； ；
；
所以X的分布列为
0 1 2
所以；
（2）（i）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则，
时，第次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第次必传给甲的事件，
于是有 ，即 ，
故数列是首项为，公比为的等比数列;
（ii） ，所以 ，
当时， ，
所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数.
随堂练习：答案： （1）； （2）①，，且；②5.
解：（1）甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.
（2）①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，
则，
显然，
，甲第次答题所得分数的数学期望为，
因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，
于是甲第i次答题所得分数的数学期望为，
所以与满足的等量关系式是：，，且；
②由①知，，当时，，而，
因此数列以为首项，为公比的等比数列，，
于是，由得：，显然数列是递增数列，
而，则有正整数，
所以i的最小值是5.
典例3、答案：（1），，中位数为；（2）①分布列见详解，；②.
解:（1）由题可知：
由，所以可知中位数为
（2）由题可知：这组人数有：，其中女生5名，男生3名
①随机变量X1的所有可能结果为3，4 所以
所以的分布列为
数学期望
②设，则
，，
，，
，
所以的分布列为
3 4 5 6 7 8
所以
所以
即 则
所以，又 所以
随堂练习：答案：（1）可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下；
（2）（i） （ii）证明见解析；.
解:（1）由已知可得：， ，
又因为，，
所以，
所以， 所以，
当时，，
所以，可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下.
（2）（i）由题知X的可能取值为：0，1，2；
；
；
；
的分布列为：
所以.
（ii）（方法一）由，，
两式相加得：.
因为， 所以，，
代入等式得，即 所以，
因为，， 所以，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，
即，因此经过200次传球后A队员控制球的概率 .
（方法二）由题知：，所以，
所以，
又因为， 所以，
所以， 所以， 所以，
又因为，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
因此经过200次传球后A队员控制球的概率.
典例4、答案： （1） （2）分布列见解析，
解：（1）由题意，甲乙丙在3分钟以上且不超过6分钟还车的概率分别为，，，
设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件， 则；
（2）随机变量所有可能取值有2，2.5，3，3.5，4，
则， ，
， ，
，
所以，甲乙丙三人所付费用之和的分布列为
2 2.5 3 3.5 4
∴
随堂练习：答案： （1）； （2）分布列见解析，
解：（1）设Y表示每个顾客取到食品所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下:
1 2 3 4 5
0.05 0.45 0.35 0.1 0.05
A表示事件“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”，
则事件A对应三种情形：
①第一个人取到食品所需的时间为1分钟，且第二个人取到食品所需的时间为3分钟；
②第一人取到食品所需的时间为3分钟，且第二人取到食品所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个人取到食品所需的时间均为2分钟.
所以
.
（2）X所有可能的取值为0，1，2.
对应第一个人取到食品所需的时间超过2分钟， 所以;
对应第一个人取到食品所需的时间为1分钟且第二个人取到食品所需的时间超过1分钟，或第一个人取到食品所需的时间为2分钟，
所以；
对应两个人取到食品所需的时间均为1分钟，
所以；
所以X的分布列为：
0 1 2
0.5 0.4975 0.0025
所以
典例5、答案： （1） （2）分布列见解析，
解：（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；
当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，
则 所以事件发生的概率为；
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4.
， ， ，
， ，
所以，随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
所以，随机变量的数学期望为（人）
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设甲获得的奖金为元，则可能的取值为0，200，700．
， ，
，
所以，甲获得的奖金的概率分布列为：
0 200 700
所以．
（2）由（1）可知，获得二等奖的概率为0.14，获得一等奖的概率为0.035．
设事件A：甲和乙最后所得奖金之和为900元，设事件B：甲选手获得一等奖，
由（1）知获得二等奖的概率为，获得一等奖的概率为，
所以，
所以，所求的概率．
典例6、答案： （1） （2）分布列答案见解析，
解：（1）记事件这位旅客选择下车的车站互不相同，则.
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、，
则，，
，，
因此，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，
解：（1）设参加C组测试的每个人竞聘成功为A事件，则
又两人竞聘成功相互独立，故丁、戊都竞聘成功的概率等于
由题意可知可取0，1，2，3，又3人竞聘成功相互独立，
则，
，
，
，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）概率专题二
知识点一 由频率分布直方图估计平均数,利用二项分布求分布列
典例1、2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日-12月18日进行，共有32支球队获得比赛资格．赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分：“中国制造”的卢赛尔体育场将见证新的世界冠军产生，中国企业成为本届世界杯最大赞助商，世界杯周边商品七成“义乌造”．某企业还开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解世界杯的相关知识，并倡议大家做文明球迷．该企业为了解广大球迷对世界杯知识的知晓情况，在球迷中开展了网上问卷调查，球迷参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运球迷，他们得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：
（1）若用样本来估计总体，根据频率分布直方图，求m的值，并计算这200人得分的平均值（同一组数据用该区间中点值作为代表）；
（2）该企业对选中的200名幸运球迷组织抽奖活动：每人可获得3次抽奖机会，且每次抽中价值为100元纪念品的概率均为，未抽中奖的概率为，现有幸运球迷张先生参与了抽奖活动，记Y为他获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望．
随堂练习：青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握程度，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间中，并将数据分组，制成如下频率分布表：
分数
频率 0.15 0.25 0.30 0.10
（1）试估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用样本估计总体，用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4人深入调查，设X为抽取的4人中得分在的人数，求的分布列与数学期望．
典例2、第届冬季奥林匹克运动会，于年月在北京市和张家口市联合举行．某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为、、、、五个等级，分别对应的分数为、、、、．甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示．
（1）根据上图判断，甲、乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明）
（2）求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；
（3）若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为分并且乙的成绩为分或分的次数为，求的分布列（频率当作概率使用）．
随堂练习：“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；
（2）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；
（3）用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列.
典例3、某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格，从中随机抽测100个零件的长度d（单位：）．该样本数据分组如下：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．经检测，样本中d大于61的零件有13个，长度分别为61.1，61.1，61.2，61.2，61.3，61.5，61.6，61.6，61.8，61.9，62.1，62.2，62.6.
（1）求频率分布直方图中a，b，c的值及该样本的平均长度（结果精确到，同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）视该批次样本的频率为总体的概率，从工厂生产的这批新零件中随机选取3个，记ξ为抽取的零件长度在的个数，求ξ的分布列和数学期望；
随堂练习：新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在内，按区间分组为，，，，，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于分（百分制）为优秀．
（1）求这名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；
（2）按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取名学生座谈，再在这名学生中，选名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量，求的分布列和期望．
知识点二 计算古典概型问题的概率,利用互斥事件的概率公式求概率,写出简单离散型随机变量分布列,求离散型随机变量的均值
典例4、甲、乙两个学校进行球类运动比赛,比赛共设足球、篮球、排球三个项目,每个项目胜方得100分,负方得0分,没有平局,三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军,已知甲校在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.5,各项目比赛互不影响.
（1）求乙获得冠军的概率;
（2）用表示甲校的总得分,求的分布列与期望.
随堂练习：有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中（3个白球和2个黑球）轮流摸出1球（摸后不放回），摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏.
（1）分别求先摸球者3轮获胜和5轮获胜的概率；
（2）小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球.每次游戏获胜得1分，失败得0分.记3次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望.
典例5、我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲 乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲 乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲公司至少答对2道题目的概率；
（2）请从期望和方差的角度分析，甲 乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
随堂练习：某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为，后两天每天出现风雨天气的概率均为，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为.
（1）求该社区能举行4场音乐会的概率；
（2）求该社区举行音乐会场数的分布列和数学期望.
典例6、足球比赛两队踢平，需要通过点球决胜。
1、扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左 中 右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左 中 右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
2、好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲 乙 丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知．
①试证明：为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
随堂练习：为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：
①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：
容易题 中等题 难题
答对概率 0.7 0.5 0.3
答对得分 3 4 5
（1）若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题并说明理由；
（2）甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为X，求随机变量X的数学期望．
概率专题二答案
典例1、答案：（1）， （2）分布列见解析，
解：（1），解得.
.
由题知：，
，，
，，
的分布列
.
随堂练习：答案： （1） （2）答案见解析
解：（1）由频率分布表可得，解得，
所以这200份问卷得分的平均值为：；
由题意可得的可能取值为，则，
又，
则的分布列为：
典例2、答案： （1）乙比甲的单板滑雪成绩更稳定 （2）众数为分，平均数为分
（3）分布列答案见解析
解：（1）由图可知，乙比甲的单板滑雪成绩更稳定.
（2）因为甲单板滑雪项目测试中分和分成绩的频率之和为，
分成绩的频率为，所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的众数为分，
测试成绩分的频率为，
所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的平均数为.
（3）由题意可知，在每次测试中，甲的成绩为分，
并且乙的成绩为分或分的概率为：，
依题意，，所以，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
随堂练习：答案： （1）41.5（岁）． （2） （3）分布列见解析
解：（1）由小矩形面积和等于1可得：， ∴ a＝0.035
∴平均年龄为（岁）．
（2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30
故用分层抽样后，第1组抽取人，第2组抽取人
∴再从这5人中抽取3人，
设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为：.
（3）由题意可知X服从二项分布X～B（3，）
，，
，.
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
典例3、答案：（1），，，60 （2）分布列见解析，2.1
解：（1）由题意可得， ，
所以，，.
.
（2）由（1）可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件，
长度d在的概率
且随机变量ξ服从二项分布，
所以， ，
， ，
所以随机变量ξ分布列为
ξ 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
.
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析；期望
解：（1）名学生的平均成绩为.
（2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为，
则非优秀学员对应的频率为，
抽取的名学生中，有优秀学生人，非优秀学生人；
则所有可能的取值为，
； ；
；；
的分布列为：
数学期望.
典例4、答案： （1）0.5 （2）分布列见解析,150
解:（1）由题知,乙获得冠军时,需要乙在两个项目中获胜或三个项目均获胜,
乙在两个项目中获胜的概率,
乙在三个项目均获胜的概率,
故乙获得冠军的概率;
（2）由题分析可得,的所有可能取值为0,100,200,300,
,
,
,
,
所以的分布列如下：
0 100 200 300
0.12 0.38 0.38 0.12
的期望.
随堂练习：答案： （1）；. （2）分布列见解析，.
解：（1）设“3轮获胜”为事件，“5轮获胜”为事件，
3轮：白黑黑：，黑白黑：，
所以，先摸球者3轮获胜的概率为
若进行5轮，前四个球的情况为：黑白白白：，
白黑白白：，白白黑白：，白白白黑：，
所以，先摸球者5轮获胜的概率为
（2）由（1）得先摸球者获胜的概率为.
X的所有可能取值为：0 1 2 3，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则.
典例5、答案： （1）； （2）甲公司竞标成功的可能性更大．
解：（1）由题意可知，甲公司至少答对2道题目可分为答对两题或者答对三题；
所求概率
（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为．
．
则的分布列为：
1 2 3
， ；
设乙公司正确完成面试的题为，则取值分别为．
，，
，
则的分布列为：
0 1 2 3
．
．
由可得，甲公司竞标成功的可能性更大．
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，
解：（1）由已知可得，，又，解得
设表示第i天可以举行音乐会，B表示该社区能举行4场音乐会
则
（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5
；
所以的分布列为
0 1 2 3 4 5
P
从而数学期望为：
典例6、答案： （）1分布列见解析；期望为 （2）①证明见解析 ；②
解：（1）方法一：的所有可能取值为，
在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以，
，
所以的分布列如下：
0 1 2 3
方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，易知，
所以，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以的期望．
（2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
②由①可知，所以，
所以， 故．
随堂练习：答案： （1）后两轮应该选择容易题进行答题，理由见解析 （2）
解：（1）依题意，甲前两轮都选择了中等题，只答对了一个，则甲得分为分，要进入决赛，还需要得分，
所以甲后两轮的选择有三种方案：
方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为；
方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为；
方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为：；
因为，所以甲后两轮应该选择容易题进行答题.
依题意，X的可能取值为3、7、8、11、12、16，
则，
，
，
所以X的分布列为：
X 3 7 8 11 12 16
P
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）数学--概率专题三
知识点一 独立性检验解决实际问题,计算条件概率
典例1、2017年8月27日~9月8日，第13届全运会在天津举行.4年后，第14届全运会将于2021年9月15日~27日在西安举行.为了宣传全运会，西安某大学在天津全运会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看天津全运会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：
收看 没收看
男生 60 20
女生 20 20
（1）根据右表说明，能否有99%的把握认为，学生是否收看开幕式与性别有关？
附：，其中.
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2021年西安全运会志愿者宣传活动.若从这8人中随机选取2人到校广播站开展全运会比赛项目宣传介绍，
①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到一名男生一名女生的概率；
②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望.
随堂练习：今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图(引体向上个数只记整数）.学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组
（1）第一小组决定从单次完成1-15个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，
①单次完成11-15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这11人中抽取2人进行个别访谈，已知抽到的其中一个男生单次完成了3个引体向上，求抽到的另一个男生单次完成了11-15个引体向上的概率是多少？
（2）第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的列联表.
学业优秀 学业不优秀 总计
体育成绩不优秀 100 200 300
体育成绩优秀 50 50 100
总计 150 250 400
请你根据联表判断是否有%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？
参考公式及数据
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828
典例2、近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共95份有效问卷，40名男性中有10名不愿意接种疫苗，55名女性中有5名不愿意接种疫苗．
(1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关
愿意接种 不愿意接种 合计
男
女
合计
（2）从不愿意接种的15份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：有3份身体原因不能接种；有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种：有4份担心疫苗的有效性：有6份担心疫苗的安全性．求从这15份问卷中随机选出2份，在已知至少有一份担心疫苗安全性的条件下，另一份是担心疫苗有效性的概率．
附：
0.050 0.010 0.005
3.841 6.635 7.879
随堂练习：深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考查甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：
球队胜 球队负 总计
甲参加
甲未参加
总计
（1）求、、、、的值，据此能否有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；
（2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：、、、，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：、、、.则：
①当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
②当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？
附表及公式：
.
典例3、2021年6月2日巴蜀中学成功地举办了一年一度的大型学生社团文化节，吸引了众多学生．巴蜀中学目前共有社团近40个，由高一和高二学生组成，参加社团的学生共有四百人左右．已知巴蜀中学高一和高二的所有学生中男生与女生人数比为6：4，为了解学生参加社团活动的情况，按性别采用分层抽样的方法抽取部分学生，统计得到如下等高累积型条形图：
（1）求巴蜀中学参加社团的学生中，任选1人是男生的概率；
（2）若抽取了100名学生，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为巴蜀中学高一和高二学生的性别与参加学生社团有关联？请说明理由．
参加社团 未参加社团 合计
男生
女生
合计
附：，
临界值表：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
随堂练习：一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄在[20，60]内的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：
（1）为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有10000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关：
年龄<40 年龄≥40 小计
使用移动支付
不使用移动支付
小计 200
（3）现从该超市年龄在20到60的200人的顾客中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的是使用移动支付的顾客，求第2次抽到的是不使用移动支付的顾客的概率．
附表：
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
．
知识点二 根据频率分布表解决实际问题,用频率估计概率,求离散型随机变量的均值
典例4、某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．
满意度 老年人 中年人 青年人
报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游
满意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不满意 1 1 6 2 3 2
（1）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，随机抽取3人征集整改建议，记表示这3人中老年人的人数，求的分布列和期望；
（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
随堂练习：某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出 (不足，按计算)需再收元.该公司将最近承揽的件包裹的重量统计如表：
包裹重量（单位：）
包裹件数
公司对近天，每天揽件数量统计如表：
包裹件数范围
包裹件数（近似处理）
天数
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（）计算该公司未来天揽件数在之间的概率；
（）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员人，每人每天揽件不会超过件，且日工资为元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利
典例5、北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析，随机抽取同时选考物理 化学的学生330名，下表是物理 化学成绩等级和人数的数据分布情况：
物理成绩等级
化学成绩等级
人数（名） 110 53 2 55 70 15 3 12 10
（1）从该区高三年级同时选考物理 化学的学生中随机抽取1人，已知该生的物理成绩等级为，估计该生的化学成绩等级为的概率；
（2）从该区高三年级同时选考物理 化学的学生中随机抽取2人，以表示这2人中物理 化学成绩等级均为的人数，求的分布列和数学期望（以上表中物理 化学成绩等级均为的频率作为每名学生物理 化学成绩等级均为的概率）；
（3）记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为，排名前的成绩方差为，排名后的成绩方差为，则不可能同时大于和，这种判断是否正确.（直接写出结论）.
随堂练习：自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下 70以上
使用人数 3 12 17 6 4 2 0
未使用人数 0 0 3 14 36 3 0
（1）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
（2）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
典例6、2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条 段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园 积水潭 牛街 草桥 新发地 新宫共6座车站.在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：
下车站 上车站 牡丹园 积水潭 牛街 草桥 新发地 新宫 合计
牡丹园 /// 5 6 4 2 7 24
积水潭 12 /// 20 13 7 8 60
牛街 5 7 /// 3 8 1 24
草桥 13 9 9 /// 1 6 38
新发地 4 10 16 2 /// 3 35
新宫 2 5 5 4 3 /// 19
合计 36 36 56 26 21 25 200
（1）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；
（2）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；
（3）为了研究各站客流量的相关情况，用表示所有在积水潭站上下车的乘客的上 下车情况，“”表示上车，“”表示下车.相应地，用，分别表示在牛街，草桥站上 下车情况，直接写出方差，，大小关系.
随堂练习：2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：
心理价位（元/件） 90 100 110 120
人数 10 20 50 20
假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.
（1）若，试估计消费者购买该纪念品的概率；
（2）在（1）的前提下，某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；
（3）假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？
概率专题三答案
典例1、答案：(1) 有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关；（2）①；②答案见解析.
解：（1）因为，
所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关.
（2）①根据分层抽样方法得，选取的8人中，男生人，女生人，
记事件“选出的两人中有女生”，共有或种不同的选法，
“选出的两人为一名男生 一名女生”，共有种不同的选法，
则
②根据题意，所有可能取值为
所以的分布列为
0 1 2
P
(或服从超几何分布，，，，.)
随堂练习：答案：（1）①② （2）有
解:（1）①因为0.02：0.03：0.06＝2：3：6， 所以 ，，
则从1～5，6～10，11～15中选出的个数分别为2个，3个，6个，
因为单次完成11～15个引体向上的人数共有0.06×5×400＝120人，
则单次完成11～15个引体向上的男生甲被抽到的概率是p＝
②由题知抽到的另一个男生单次完成了11-15个引体向上的概率是
（2）因为K2= ≈8.889＞7.879，
所以有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关．
典例2、答案：（1）列联表见解析；有；（2）．
解:（1）
愿意接种 不愿意接种 合计
男 30 10 40
女 50 5 55
合计 80 15 95
有的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关．
（2）设事件A为至少有一份担心疫苗安全性，事件B为另一份担心疫苗有效性，
则,, 所以.
随堂练习：答案：（1），，，有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关
（2）①；②；③多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次
解：（1）由列联表中的数据可得，，，
，
有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关.
（2）①设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中锋 ”；
表示“乙球员担当后卫”； 表示“乙球员担当守门员”；表示“球队输掉某场比赛”，
则
；
②；
③因为，
， ，
所以，，
所以应该多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次.
典例3、答案：（1）：（2）填表见解析；性别与参加社团无关；答案见解析．
解:（1）方法（1）：设高一和高二的所有学生中任选一人是男生、是女生分别为事件、
设高一和高二的所有学生中任选一人参加社团为事件
则， 则．
方法（2）：用第（2）问的列联表中的条件频数直接求解
设高一和高二的所有学生中任选一人是男生为事件
设高一和高二的所有学生中任选一人参加社团为事件 则．
（2）列联表如下：
参加社团 未参加社团 合计
男生 6 54 60
女生 8 32 40
合计 14 86 100
零假设为：性别与参加社团独立，即性别与参加社团无关．
根据列联表中的数据，经计算得到：，
依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，
因此可以认为成立，即性别与参加社团无关．
随堂练习：答案：（1）个；（2）填表见解析；有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关；（3）．
解：（1）根据图中数据，得到如下表格：
类型╲年龄段 [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) [40，45) [45，50) [50，55) [55，60]
使用移动支付 20 25 25 15 15 10 8 7
不使用移动支付 0 0 4 6 10 10 23 22
由频率估计概率，计算得该超市使用移动支付的概率为：；
所以某日该超市预计当天应准备环保购物袋的个数为： ；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关：
年龄<40 年龄≥40 小计
使用移动支付 85 40 125
不使用移动支付 10 65 75
小计 95 105 200
假设移动支付与年龄无关，则K2的观测值，
因为56.17>10.828， 所以有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关；
（3）解法一：记事件A：第1次抽到的是使用移动支付的顾客，
事件B：第2次抽到的是不使用移动支付的顾客， 所以；
解法二：记事件A：第1次抽到的是使用移动支付的顾客，
事件B：第2次抽到的是不使用移动支付的顾客，
则 所以
典例4、答案：（1）老年人更倾向于选择报团游；（2）分布列见解析，；（3）建议他选择报团游．
解：（1）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为
，，，
因为，所以老年人更倾向于选择报团游；
（2）由题意可得，的可能取值为0，1，2，
所以， ， ，
所以的分布列为：
0 1 2
所以；
（3）由上表可知，报团游的满意率为， 自助游的满意率为，
因为，故建议他选择报团游．
随堂练习：答案：（1）；（2）①元；②裁员前期望值为1000元，裁员后期望值为元，不利.
解:（）样本包裹件数在之间的天数为，频率，
显然未来天中，包裹件数在之间的概率为
（）（）样本中快递费用及包裹件数如下表：
包裹重量（单位：）
快递费（单位：元）
包裹件数
故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元），
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为元
（）根据题意及（）（），揽件数每增加，可使前台工资和公司利润增加（元），
将题目中的天数转化为频率，得
包裹件数范围
包裹件数近似
天数
频率
若不裁员，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数近似
实际揽件数
频率
故公司平均每日利润的期望值为（元）；
若裁员人，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数近似
实际揽件数
频率
故公司平均每日利润的期望值为（元）
因，故公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利.
典例5、答案： （1） （2）分布列答案见解析，数学期望为 （3）不正确
解：（1）设事件为“该生物理成绩等级为的情况下，化学成绩等级为”，
样本中物理成绩等级为的人数为，在该群体中化学成绩等级为的人数为110，所以频率为，由样本估计总体可得，
故该生物理成绩等级为，估计该生化学成绩等级为的概率为.
（2）从该区高三年级同时选考物理 化学的学生随机选取一名，
物理 化学成绩等级均为的概率估计为.
由题意随机变量的取值范围是
则的分布列：
0 1 2
（3）不正确； 举例：，排名前的成绩均为分，方差为，排名后的成绩均为分，
方差为，显然，所以，，故同时大于和.
随堂练习：答案：（1） ；（2）详见解析；（3）2200
解:（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为．
（2）所有的可能取值为1,2,3，
, , .
所以的分布列为
1 2 3
所以的数学期望为.
（3）在随机抽取的100名顾客中， 使用自由购的共有人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.
典例6、答案： （1） （2）分布列答案见解析，数学期望：1 （3）
解：（1）设选取的乘客在积水潭站上车 在牛街站下车为事件，
由已知，在积水潭站上车的乘客有人，其中在牛街站下车的乘客有人，
所以.
（2）由题意可知，
； ；
； .
随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望为：. .
（两点分布：）
随堂练习：答案：（1）0.9 （2）分布列见详解，
（3）当该纪念品的销售价格定为110元时， 达到最大值．
解：（1）时，消费者购买该纪念品的概率
由题意，，，
，同理，，，，
的分布列为：
0 1 2 3 4
.
（2）由（2）知时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
，因此最大，此时．
所以当该纪念品的销售价格定为110元时，Y的数学期望达到最大值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）概率专题四
知识点一 根据频率分布表解决实际问题,用频率估计概率,求离散型随机变量的均值
典例1、《中华人民共和国老年人权益保障法》规定，老年人的年龄起点标准是60周岁．为解决老年人打车难问题，许多公司均推出老年人一键叫车服务．某公司为调查老年人对打车软件的使用情况，在某地区随机抽取了100位老年人，调查结果整理如下：
年龄/岁 80岁以上
使用过打车软件人数 41 20 11 5 1
未使用过打车软件人数 1 3 9 6 3
（1）从该地区的老年人中随机抽取1位，试估计该老年人的年龄在且未使用过打车软件的概率；
（2）从参与调查的年龄在且使用过打车软件的老年人中，随机抽取2人进一步了解情况，用X表示这2人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
（3）为鼓励老年人使用打车软件，该公司拟对使用打车软件的老年人赠送1张10元的代金券，若该地区有5000位老年人，用样本估计总体，试估计该公司至少应准备多少张代金券．
随堂练习：近期，某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各25名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如下：
成绩
男生（人数） 2 5 8 9 1
女生（人数） a b 10 3 2
（1）在抽取的50名学生中，从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率；
（2）从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，设这3人中大赛成绩在80分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小．（只写出结论，不需要说明理由）
典例2、某企业为了解职工款APP和款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男职工 女职工
使用 不使用 使用 不使用
款APP 72人 48人 40人 80人
款APP 60人 60人 84人 36人
假设所有职工对两款APP是否使用相互独立.
（1）分别估计该企业男职工使用款APP的概率 该企业女职工使用款APP的概率；
（2）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用款APP的人数为，求的分布列及数学期望；
（3）据电商行业发布的市场分析报告显示，款APP的用户中男性占% 女性占%；款APP的用户中男性占% 女性占%.试分析该企业职工使用款APP的男 女用户占比情况和使用款APP的男 女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男 女用户占比情况更相符.
随堂练习：某调研机构就该市工薪阶层对“楼市限购令”的态度进行调查，抽调了5000名市民，他们月收入人数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：
月收入(单位：百元)
调查人数 500 1000 1500 1000 500 500
赞成人数 400 800 1200 414 99 87
（1）若从抽调的5000名市民中随机选取一名市民，求该市民赞成“楼市限购令”的概率；
（2）依据上表中的数据，若从该市工薪阶层随机选取两人进行调查，记赞成“楼市限购令”的人数为X,求X的分布列和数学期望；
（3）若从抽调的收入在(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为，期望记作；若从抽调的收入在(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为，期望记作，比较与的大小关系.(直接写出结论即可)
典例3、小明所在学习小组开展社会调查，记录了某快餐连锁店每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；
（2）将上图中的频率作为相应的概率，从该连锁店的骑手中任意选3人，记其中业务量不少于65单的人数为，求的分布列和数学期望．
（3）如果该连锁店的骑手每送1单可以提成3元，试估计一名骑手每天的收入．并说明理由．
随堂练习：人类常见的遗传病类型主要分为单基因遗传病、多基因遗传病和染色体异常遗传病三大类，高度近视（600度以上）、红绿色盲都是较常见的单基因遗传病．某学校课后实践活动对学生这两种遗传病情况进行统计，分别从男、女同学中各随机抽取100人进行调查，对患病情况统计如下，其中“√”表示是，“×”表示否．
人数 男生 高度近视 红绿色盲
3 √ × √
2 √ √ ×
1 √ √ √
1 × × √
2 × √ ×
1、分别估计该校男生红绿色盲的发病率和该校女生红绿色盲的发病率；
2、为做家庭访问，从已调查出患红绿色盲的同学中任选两人，记这两人中男同学人数为，求的分布列及数学期望；
3、假设该校男生人数为1500，女生人数为2500，试估计该校学生高度近视发病率与该校学生红绿色盲发病率的大小关系，并说明理由．
（注：）
知识点二 独立性检验解决实际问题,计算条件概率
典例4、茶是中国颇受青睐的传统饮品．于爱茶的人而言，不仅迷恋于茶恬淡的气味与味道，泡茶工序带来的仪式感也是个修身养性静心的方式．但是细细品来，茶饮复杂的味型之中，总能品出点点的苦和淡淡的涩，所以也有人并不喜欢饮茶．在人们的固有印象中，总觉得中年人好饮茶，年轻人对饮茶持有怎样的态度呢？带着这样的疑问，高二3班的小明同学做了一项社会调查．调查针对身边的同学与方便联系的家长，共回收了200份有效问卷．为了提高统计工作的效率，小明只记录了问卷中三项有效数据，
喜欢饮茶 不喜欢饮茶 合计
家长 60 120
学生 50
合计
（1）请将上面的信息表格补充完整（请在答题卡中画表格作答）；
（2）从这200人中随机选取2人，已知选取的2人中有人喜欢饮茶，求其中有学生的概率；
（3）请利用独立性检验相关的知识帮小明同学形成这次调查的结论．
公式：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
随堂练习：在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上的重要标语．
（1）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检．已知批次的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为，．
①求批次I成品口罩的次品率．
②第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰，合格的口罩进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次I的成品口罩红外线自动检测显示合格率为92%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.
（2）已知某批次成品口罩的次品率为，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产线后批次的口罩的次品率．某医院获得批次，的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求，并判断是否有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？
附：．
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
典例5、某种病菌在某地区人群中传播，目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准确检测出个体是否带菌的方法.现引进操作易、成本低的新型检测方法：每次只需检测，两项指标，若指标的值大于4且指标的值大于100，则检测结果呈阳性，否则呈阴性.为考查该检测方法的准确度，随机抽取50位带菌者（用“*”表示）和50位不带菌者（用“”表示）各做一次检测，他们检测后的数据，制成统计图：
（1）从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，求检测结果呈阳性的概率；
（2）完成下列列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“带菌”与“检测结果呈阳性”有关？
检测结果呈阳性 检测结果呈阴性 合计
不带菌者
带菌者
合计
（参考公式：，其中）
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
随堂练习：根据国家电影局发布的数据，2020年中国电影总票房为204.17亿，年度票房首度超越北美，成为2020年全球第一大电影市场.国产历史战争题材影片《八佰》和《金刚川》合力贡献了国内全年票房的.我们用简单随机抽样的方法，分别从这两部电影的购票观众中各随调查了100名观众，得到结果如下：图1是购票观众年龄分布情况；图2是购票观众性别分布情况.
（1）记表示事件：“观看电影《八佰》的观众年龄低于30岁”，根据图1的数据，估计的概率；
（2）现从参与调查的电影《金刚川》的100名购票观众中随机抽取两名依次进行电话回访，求在第1次抽到男性观众的条件下，第2次仍抽到男性观众的概率.
（3）填写下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析男性观众与女性观众对这两部历史战争题材影片的选择是否有差异？
影片 女性观众 男性观众 总计
《八佰》 100
《金刚川》 100
总计 86 114 200
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
附：
典例6、大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：
喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计
男 23 30
女 11
总计 50
表（1）
并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表（2）所示.
成功完成时间（分钟）
人数 10 4 4 2
表（2）
（1）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？
（2）现从表（2）中成功完成时间在和这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率.
附参考公式及参考数据：，其中.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
随堂练习：某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查.从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾客的比为，商家认为一年以内（含一年）更换手机为频繁更换手机，否则视为未频繁更换手机.现按照性别采用分层抽样的方法从中抽取105人，并按性别分为两组，得到如下表所示的频数分布表：
事件间隔（月）
男性 x 8 9 18 12 8 4
女性 y 2 5 13 11 7 2
（1）计算表格中x，y的值；
（2）若以频率作为概率，从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3至6个月（含3个月和6个月）的顾客中，随机抽取2人，求这2人均为男性的概率；
（3）请根据频率分布表填写列联表，并判断是否有以上把握认为“频繁更换手机与性别有关”.
频繁更换手机 未频繁更换手机 合计
男性顾客
女性顾客
合计
附表及公式：
P（） 0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
概率专题四答案
典例1、答案： （1） （2）分布列见解析， （3）3900张
解：（1）在随机抽取的100位老年人中，年龄在且未使用过打车软件的人数为，
所以随机抽取的这1位老年人的年龄在且未使用过打车软件的概率．
（2）由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，
且， ， ．
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
故X的数学期望．
（3）在随机抽取的100位老年人中，使用过打车软件的共有（人），
所以估计该公司至少应准备张代金券．
随堂练习：答案： （1）；（2）分布列见解析；期望为；（3）．
解：（1）设“从大赛成绩在以上的人中随机取出2人，恰好男、女生各1名，且所在分数段不同”为事件A，
由表格可得：随机抽取的50名学生中，成绩在80分以上的男生人数是10人，女生5人，共15人，即从15名学生中随机抽取2人，所以样本空间；如果这2人恰好男、女生各1名，且分数段不同，即．所以事件A包含21个样本点，因此．
（2）由数据可知，从抽取的25名男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80分以上的概率为．即从该校参加活动的男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80分以上的概率为，因此从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，这3人中大赛成绩在以上的人数可取，且．
，，，．
所以随机变量的分布列
0 1 2 3
数学期望 或者，所以．
（3） （由题意可得，由于方差是衡量一组数据的离散程度，当数据越集中，方差越小，所以时，数据更集中，方差最小）
典例2、答案：（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；
（3）该企业职工使用APP的情况与官方发布的男 女用户情况更相符
解：（1）由所给数据可知，男职工使用A款APP的人数为72，
用频率估计概率，可得男职工使用京东APP的概率约为，
同理，女职工使用A款APP的概率约为；
（2）的可能取值为0，1，2，
；
；
.
的分布列为：
0 1 2
的数学期望；
（3）样本中，款APP的男 女用户为(人)，
其中男用户占%；女用户占%，
样本中，款APP的男 女用户为(人)，
其中男用户占%；女用户占%，
该企业职工使用APP的情况与官方发布的男 女用户情况更相符.
随堂练习：答案： （1） ；（2）分布列见详解，数学期望为；（3）；
解:（1）由数据可知，在抽调的5000名市民中， 有名，
由频率估计为概率，所以从抽调的5000名市民中随机选取一名市民，
该市民赞成“楼市限购令”的概率为，
（2）由（1）知，市民赞成“楼市限购令”的概率为，
记赞成“楼市限购令”的人数为X，则， 则X的可能取值为0,1,2，
那么， ， ，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
则.
（3）由题意得：因为，， .
典例3、答案：（1）0.4； （2）分布列见解析，1.2； （3）186元，理由见解析.
解：（1）由频率分布直方图知，该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的频率为：，
所以，随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率为0.4.
（2）的可能值为0，1，2，3，依题意，，，
， ，
， ，
所以的分布列为：
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
期望.
（3）由频率分布直方图知，骑手每天送单的平均数为：，
因骑手每送1单可以提成3元，则骑手每天的收入的期望为（元）.
随堂练习：答案：（1）男生红绿色盲的发病率为，女生红绿色盲的发病率
（2）的分布列见解析，数学期望为 （3）
解：（1）设该校男生红绿色盲为事件，女生红绿色盲为事件， 则
（2）由表中的数据可知，已调查的学生中，有5人患红绿色盲，其中男生4人，女生1人，
所以可能取1，2，
则, ,
所以的分布列为
1 2
所以
（3）由题意得，
， 所以
典例4、答案：（1）表格见解析 （2） （2）答案见解析
喜欢饮茶 不喜欢饮茶 合计
家长 60 60 120
学生 30 50 80
合计 90 110 200
解：（2）取事件A为“选取的2人中有人喜欢饮茶”，则，
取事件B为“选取的2人中有学生”，则事件AB为“选取的2人中即有人喜欢饮茶，又包含有学生”，
∴∴．
依题意，，
∴此次调研的结论为：有90%的把握认为家长相比于学生更喜欢饮茶．
随堂练习：答案： （1）①，②；
（2），有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关．
解：（1）①批次Ⅰ成品口罩的次品率为：．
②设批次Ⅰ的成品口罩红外线自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，
由已知，得，，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品为事件，
．
（2）100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率．
因此．
令，得．
当时，；当时，． 所以的最大值点为．
由（1）可知，，，故批次口罩的次品率低于批次Ⅰ，
故批次的口罩质量优于批次Ⅰ．
由条形图可建立列联表如下： 单位：人
核酸检测结果 口罩批次 合计
呈阳性 12 3 15
呈阴性 28 57 85
合计 40 60 100
．
因此，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关．
典例5、答案： （1）；（2）表格见解析，能.
解: （1）设从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，检测结果呈阳性为事件，
根据统计图可知在不带菌者中，检测结果呈阳性的有5人， ∴.
（2）可作出列联表如下：
检测结果呈阳性 检测结果呈阴性 合计
不带菌者 5 45 50
带菌者 35 15 50
合计 40 60 100
进一步计算得的观测值
所以，能够在犯错误概率不超过0.001的前提下认为“带菌”与“检测结果呈阳性有关.
随堂练习：答案： (1)； (2)；(3)列联表见解析，没有99%的把握认为对这两部历史战争题材影片的选择与性别有关.
解:(1)由图1知，“观看电影《八佰》的观众年龄低于30岁”的频率为，
由此估计事件C的概率为；
(2) 由图2知，参与调查的电影《金刚川》的100名购票观众中男性有61人，
从100名观众中依次抽两名，在第一次抽到男性的条件下，第二次仍抽到男性的事件B，
相当于从含60名男性观众的99名观众中任抽1人，抽到男性的事件，其概率为，
(3)观察图2得列联表如下：
影片 女性观众 男性观众 总计
《八佰》 47 53 100
《金刚川》 39 61 100
总计 86 114 200
则的观测值为，
由独立性检验知，没有99%的把握认为对这两部历史战争题材影片的选择与性别有关.
典例6、 （1）能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关；（2）.
解:（1）
喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计
男 23 7 30
女 9 11 20
总计 32 18 50
由表中数据可得，
故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关.
（2）6名男生中任意抽取2人共：15种结果.
2人成功完成时间恰好在同一组内分为两种情形：完成时间都在或都在
完成时间都在共有6种结果，完成时间都在有1种结果，
2人成功完成时间恰好在同一组内的概率为：.
随堂练习：答案： （1）， （2）
（3）填表见解析；没有以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”
解: （1）由题知男性顾客共有人， 女性顾客共有人，
按分层抽样抽取105人，则应该抽取男性顾客人，
女性顾客人； 所以，；
（2）记“随机从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3至6个月（含3个月和6个月）的顾客中，抽取2人”为事件A，设男性分别为a，b，c，d，女性分别为e，f，
则事件A共包含，，，， ，，，
，， ，，15个可能结果，
其中2人均男性有，， ，，6种可能结果，
所以2人均是男性的概率为；
（3）由频率分布表可知，在抽取的105人中，男性顾客中频繁更换手机的有21人，女性顾客中频繁更换手机的有9人，据此可得列联表：
频繁更换手机 未频繁更换手机 合计
男性顾客 21 42 63
女性顾客 9 33 42
合计 30 75 105
所以；因为
所以没有以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”.
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知识点一决策中的概率思想,独立重复试验的概率问题,求离散型随机变量的均值,超几何分布的分布列
典例1、某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同．游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖．现有一位员工参加此摸奖游戏．
（1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率；
（2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为，求的分布列和数学期望；
（3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由．
随堂练习： 某公司生产某种食用菌，为了销往全国各地，把该食用菌分为一级、优级、特级、珍品共四个等级，并以每件0.5kg的标准进行统一包装．某采购商订购了一批这种食用菌，并从中随机抽取100件，按该食用菌的等级分类标准得到数据如下表：
等级 一级 优级 特级 珍品
件数 20 10 30 40
（1）以样本估计总体，将频率视为概率，从这100件食用菌中有放回随机抽取3件，求恰好抽到2件珍品的概率；
（2）用分层抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件，再从抽取的10件中随机抽取3件，设X表示抽取的是珍品等级的件数，求X的分布列及数学期望．
典例2、为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅单位（一套住宅为一户）.
阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯
月用电范围（度）
某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
居民用电编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
用电量（度） 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410
（1）若规定第一阶梯电价每度元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度元，第三阶梯超出第二阶梯每度元，式计算居民用电户用电度时应交电费多少元？
（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的用户数的分布与期望；
（3）以表中抽到的10户作为样本估计全是居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值.
随堂练习：根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.
（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为，求的概率分布及数学期望；
（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率，并根据的值解释该试验方案的合理性.
（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）
典例3、年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了所学校进行研究，得到如下数据：
（1）“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数都超过人的学校可以作为“参与冬奥运动积极学校”，现在从这所学校中随机选出所，记为选出“参与冬奥运动积极学校”的学校个数，求的分布列和数学期望；
（2）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、跳跃、停止”这个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这个动作中至少有个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学“滑行”这个动作达到“优秀”的概率均为，其余每个动作达到“优秀”的概率都为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
随堂练习：北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，全体中华儿女深感无比荣光.半年“出差”，神舟十三号航天员顺利完成全部既定任务，创造了实施径向交会对接、实施快速返回流程、利用空间站机械臂操作大型在轨飞行器进行转位试验等多项“首次”.为了回顾“感觉良好”三人组太空“出差亮点”，进一步宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.
（1）求小明至少正确完成其中3道题的概率；
（2）设随机变量表示小宇正确完成题目的个数，求的分布列及数学期望；
（3）现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由.
知识点二由频率分布直方图估计平均数,利用二项分布求分布列,二项分布的均值,总体百分位数的估计
典例4、道德与法律的联系：法律 道德都是行为规范，都是为规范人们的行为而规定的行动准则.1.法律需要道德的奠基和撑持；2.道德的实施需要法律的强制保障.某校进行了一次道德与法律的相关测试（满分：100分），并随机抽取了50个统计其分数，得到的结果如下表所示：
成绩/分
人数/个 4 4 10 22 10
（1）若同一组数据用该区间中点值作代表，试估计这次测试的平均分和中位数（所得结果四舍五入保留整数）；
（2）假设处于的4个人的成绩分别为20，26，35，38，求表中成绩的10%分位数；
（3）以频率估计概率，若在这个学校中，随机挑选3人，记3人的成绩在间的数量为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
随堂练习：某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，把他们的得分（满分100分）分成以下7组：，，，，，，，统计得各组的频率之比为1∶6：8：10：9：4：2．同一组数据用该区间中点值代替．
（1）求这1000名幸运者成绩的第75百分位数和平均值（结果保留整数）﹔
（2）若此次知识竞赛得分，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分不超过93分的可获得2次抽奖机会，超过93分的有3次抽奖机会，试估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望．
参考数据：，，．
典例5、2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台，诠释着新时代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声.某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到右下图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值，并估计样本数据的分位数；
（2）采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在的学生中抽取9人.若从这9人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观看时长在的人数为，求的分布列和数学期望.
随堂练习：我国是一个严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约生活用水，计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准m，使得87%的居民生活用水不超过这个标准.在本市居民中随机抽取了200户家庭某年的月均用水量（单位：吨），通过数据分析得到如图所示的频率分布直方图：
（1）求a，m的值；
（2）在用水量位于区间[1，2.5）的三类家庭中按照分层抽样的方法抽取12人参加由政府组织的一个听证会（每个家庭有1个代表参会），再从这12人中抽3个代表发言，记月均用水量不少于2吨人数为X，求X的分布列和数学期望.
典例6、为了解某地区高中生的每天日间户外活动现状，分别在两所学校随机抽取了部分学生，得到甲校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的统计表和乙校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的频率分布直方图如下.
乙校抽取的学生每天日间户外活动时间频率分布直方图
组别 每天日间户外活 动时间（单位：h） 人数
1 120
2 250
3 60
4 70
甲校抽取的学生每天日间户外活动时间统计表
（1）根据图表中的数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间的25%分位数在第几组；
（2）已知每天日间户外活动时间不低于2h可以对保护视力起到积极作用.现从乙校全体学生中随机选抽取2人，记其中每天日间户外活动时间不低于2h的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）根据上述数据，能否推断甲校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值一定低于乙校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值？说明理由.
随堂练习：某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（其中：），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：
质量指标值m 150≤m<350 100≤m<150或350≤m≤400
等级 A级 B级
（1）根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的分位数；
（2）从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为，求的分布列和数学期望；
（3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.
概率专题五答案
典例1、答案：（1）；（2）分布列见解析，；
（3）在有放回的摸球方式下，该员工中奖可能性更大，理由见解析.
解：（1）在有放回方式下，记“他能中奖”为事件，则．
（2）由题意，随机变量的可能值为0，1，2，3；
，， ，；
所以的分布列为
0 1 2 3
的数学期望．
（3）由（2），在不放回方式下，该员工能中奖的概率为：；
由，所以，在有放回的摸球方式下，该员工中奖可能性更大．
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，
解：（1）设“从这100件食用菌中随机抽取1件，抽到珍品”为事件A，
则，有放回随机抽取3件，设抽到珍品的个数为，则，
∴恰好抽到2件是珍品的概率．
（2）用分层抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件，其中珍品4件，非珍品6件，
再从抽取的10件中随机抽取3件，则X的可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布．
，可得：，，，．
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
．
典例2、答案：（1）227元（2）（3）
解：（1）元
设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0,1,2,3
故的分布列是
0 1 2 3
所以
（2）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，
可知：
,解得，
所以当时，概率最大，所以
随堂练习：答案：（1）分布列见解析，；（2），答案见解析.
解：（1）X的所有可能取值为0，1，2
，，
∴X的分布列如下：
X 0 1 2
P
．
（2）新药无效的情况有：中人痊愈、中人痊愈，∴
故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理.
典例3、答案：（1）分布列见解析，期望为 （2）轮
解：（1）“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数超过人的学校共所，
的所有可能取值为、、、，
所以，，，，
所以的分布列如下表：
所以．
（2）记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件，
，
由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，
由题意可得，得到，因为，所以的最小值为，
故至少要进行27轮测试．
随堂练习：答案： （1）； （2）分布列见解析；期望为3； （3）小宇；理由见解析.
解：（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则.
（2）的可能取值为2，3，4. ，
， ，
的分布列为：
2 3 4
数学期望.
（3）由（1）知，小明进入决赛的概率为；
记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则；
因为，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛.
典例4、答案： （1）， （2） （3）分布列见解析，
解：（1）估计这次测试的平均分为：（分）；
设这次测试的中位数为，显然，
则，解得（分）. 即估计这次测试的中位数为.
（2）由于， 所以表中成绩的10%分位数为.
（3）X所有可能取值为0，1，2，3.
由表中数据可知，任意挑选一人，成绩在间的概率为.
所以，，
，，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故X的数学期望.
随堂练习：答案： （1）第75百分位数约为76分，平均值为65分 （2）数学期望为1.1814次．
解：（1）这1000名幸运者成绩的第75百分位数为x，
则所以，解得（分），
（分）．
所以这1000名幸运者成绩的第75百分位数约为76分，平均值为65分；
（2）设随机变量Y表示任意一名幸运者的抽奖次数，则Y的可能取值为1，2，3，
由已知及（1）得，，
，
，
，
其分布列为
Y 1 2 3
P 0.84135 0.1359 0.02275
所以．
所以可以估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望为1.1814次．
典例5、答案：（1）分位数为 （2）分布列答案见解析，
解：（1）由题意，，解得.
由频率分布直方图知，观看时长在200分钟以下占比为：.
观看时长在240分钟以下占比为.
所以90%分位数位于内，分位数为.
（2）由题意，观看时长[200，240） [240，280]对应的频率分别为和，
所以采用分层随机抽样的方式在两个区间中应分别抽取6人和3人.
于是抽取的3人中观看时长在中的人数X的所有可能取值为.
所以，
的分布列为
0 1 2 3
P
所以，.
随堂练习：答案： （1），； （2）分布列见解析，.
解：（1）由频率分布直方图得， 解得；
前5个矩形的面积为0.83，第6个矩形的面积为0.08， 从而.
（2）用水量位于区间[1，2.5）的三类家庭的频率比为3:4:5，总共抽取12人，
因此这三类家庭被抽取的人数分别为3人、4人、5人，
这里面不少于2吨总人数为5人，少于2吨总人数为7人，故，
，， ，.
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望为：.
典例6、答案： （1）第2组 （2）分布列答案见解析，数学期望： （3）不能，理由见解析
解：（1）根据表中数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间25%分位数在第2组.
（2）由频率分布直方图可知，
乙校参与调查的学生每天日间户外活动时间不低于的频率为.
由此估计乙校全体学生每天日间户外活动时间不低于的概率约为0.3.
X的所有可能取值为0，1，2. ，
， ，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.49 0.42 0.09
.
（3）不能.
若甲校参与调查的学生每组中的数据恰好都取区间中点值，则甲校参与调查的学生每天的日间户外活动时间的平均值.
若乙校参与调查的学生每组中的数据恰好都取相应区间的左端点值，
则乙校参与调查的学生每天的日间户外活动时间的平均值
.
此时，.
随堂练习：答案：（1）287.5 （2）分布列为：
0 1 2 3
数学期望为 （3）每箱零件的利润是4750元
解：（1）前三组的频率和为（0.001+0.002+0.003）×50=0.3<0.6
前四组的频率和为0.3+0.008×50=0.7>0.6
设分位数为， ，解得287.5
∴产品的质量指标值的分位数为287.5
（2），所以样本的B级零件个数为10个，
质量指标值在[350，400]的零件为5个，故可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率为： ， ，
，
随机变量的分布列为
0 1 2 3
所以期望.
（3）设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，则级零件有个，
由题意知：，
由（2）知：每箱零件中B级零件的概率为，
A级零件的概率为1-0.1=0.9
所以， 所以，
所以(元).
所以每箱零件的利润是4750元
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）概率专题六
知识点一 写出简单离散型随机变量分布列,独立事件的乘法公式,求离散型随机变量的均值,
均值的实际应用
典例1、猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有，，三类歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三类歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每类歌曲的歌名相互独立，猜对三类歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
歌曲类别
猜对的概率 0.8 0.5
获得的奖励基金额/元 1000 2000 3000
（1）求甲按“，，”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
（2）若，设甲按“，，”的顺序猜歌名获得的奖励基金总额为，求的分布列与数学期望；
（3）写出的一个值，使得甲按“，，”的顺序猜歌名比按“，，”的顺序猜歌名所得奖励基金的期望高.（结论不要求证明）
随堂练习：为实现乡村的全面振兴，某地区依托乡村特色优势资源，鼓励当地农民种植中药材，批发销售．根据前期分析多年数据发现，某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5000元，此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况
各年的平均每亩产量
频率 0.25 0.75
（注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量×批发价格-各年的平均每亩种植成本）
（1）以频率估计概率，试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率；
（2）设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为X元，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；
（3）已知该地区某农民有一块土地共10亩，该块土地现种植其他农作物，年纯收入最高可达到45000元，根据以上数据，该农民下一年是否应该选择在这块土地种植此品种中药材？说明理由．
典例2、自2019年底开始，一种新型冠状病毒COVID-19开始肆虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.筛查时可通过鼻拭子或咽拭子进行核酸检测判断.某定点医院对来院就诊的发热病人的鼻拭子进行化验，现A、B、C、D、E，F六人均出现了发热咳嗽等症状，经过初次鼻拭子化验已确定其中有且仅有一人罹患新冠肺炎，其余五人只是普通流感，但化验报告不慎遗失，现需要再次化验以确定六人中唯一的阳性患者的姓名.假设在接受化验的鼻拭子样本中每份样本是阳性结果是等可能的，且每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的.下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患者为止；
方案乙：混合化验，先任取两人鼻拭子样本混合在一起化验，若混合样本化验结果呈阳性，则在这2人中任选一人进行化验；若结果呈阴性，则再任取两人鼻拭子样本混合重复第一次混合化验过程；若结果还是阴性，则在最后两份血样中任选一人进行化验；
（1）求方案甲所需化验次数的分布列及其期望.
（2）求方案甲所需化验次数不少于方案乙所需化验次数的概率.
随堂练习：首届以进口为主题的国家级博览会在中国拉开大幕，本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展．其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：
展区类型 智能及高端装备 消费电子及家电 汽车 服装服饰及日用消费品 食品及农产品 医疗器械及医药保健 服务贸易
展区的企业数（家） 400 60 70 650 1670 300 450
备受关注百分比 25％ 20％ 10％ 23％ 18％ 8％ 24％
备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．
（1）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；
（2）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记X为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X的分布列．
典例3、中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量（单位：）的数据，得到如下茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）.
另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示.
周降雨量（单位：）
猕猴桃灾害等级 轻灾 正常 轻灾 重灾
根据上述信息，解答如下问题.
（1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数；
（2）以收集数据的频率作为概率.
①估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；
②若无灾害影响，每亩果树获利6000元：若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元.为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；
方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元.
方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元.
方案3：不采取防控措施.
问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由.
随堂练习：近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：
12月 1月 2月 3月 4月 5月
轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0
MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4
SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5
（1）从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；
（2）从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望；
（2）记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的 月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
知识点二 计算几个数的平均数,计算古典概型问题的概率,独立事件的乘法公式
典例4、单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分.最终取每站三次滑行成绩的最高分作为该站比赛成绩.现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下表：
分站 运动员甲的三次滑行成绩 运动员乙的三次滑行成绩
第1次 第2次 第3次 第1次 第2次 第3次
第1站 80.20 86.20 84.03 80.11 88.40 0
第2站 92.80 82.13 86.31 79.32 81.22 88.60
第3站 79.10 0 87.50 89.10 75.36 87.10
第4站 84.02 89.50 86.71 75.13 88.20 81.01
第5站 80.02 79.36 86.00 85.40 87.04 87.70
（1）从上表5站中随机选取一站，求在该站甲运动员的比赛成绩高于乙运动员的比赛成绩的概率；
（2）设甲乙成绩相互独立，从甲的5站比赛成绩和乙的5站比赛成绩中分别随机选取一个，求两人的比赛成绩中至少有一人高于88分的概率；
（3）甲5站的比赛成绩的平均值为，甲乙5站比赛成绩的总平均值记为，比较与的大小（直接写出结果）.
随堂练习：某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A、B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，求的值；
（2）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（3）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题 请直接写出结论，不必说明理由．
典例5、某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
元件甲 12 8 40 33 7
元件乙 17 8 40 28 7
（1）试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率；
（2）生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在（1）的前提下：
①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率；
②记X，Y分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较和的大小.（结论不要求证明）
随堂练习：汽车租赁公司为了调查两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：
型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 5 10 30 35 15 3 2
B型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 14 20 20 16 15 10 5
（1）从出租天数为3天的汽车（仅限两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；
（2）根据这个星期的统计数据（用频率估计概率），求该公司一辆型车，一辆型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（3）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
典例6、某超市从年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取个，并按、、、、分组，得到频率分布直方图如下：
假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.
（1）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于箱且另一个不高于箱的概率；
（2）设表示在未来天内甲种酸奶的日销售量不高于箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求的数学期望；
（3）记甲种酸奶与乙种酸奶口销售量（单位：箱）的方差分别为、，试比较与的大小（只需写出结论）.
随堂练习：为庆祝元旦，班委会决定组织游戏，主持人准备好甲 乙两个袋子.甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.参加游戏的同学每抽出1个白球须做3个俯卧撑，每抽出1个黑球，须做6个俯卧撑
方案①：参加游戏的同学从甲 乙两个袋子中各随机抽出1个球；
方案②：主持人随机将甲袋中的2个球放入乙袋，然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出1个球；
方案③：主持人随机将乙袋中的2个球放入甲袋，然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出1个球.
（1）若同学小北选择方案①，求小北做6个俯卧撑的概率；
（2）若同学小北选择方案，设小北做俯卧撑的个数为，求的分布列；
（3）如果你可以选择按方案②或方案③参加游戏，且希望少做俯卧撑，那么你应该选择方案②还是方案③，还是两个方案都一样？（直接写出结论）
概率专题六答案
典例1、答案：（1）0.4 （2）分布列见解析，期望为1900 （3）均可
解：（1）设“甲按“，，”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件，
则.
所以，甲按“，，”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名的概率为0.4.
（2）的所有可能取值为0，1000，3000，6000，
， ，
， .
所以随机变量的分布列为：
0 1000 3000 6000
0.2 0.4 0.3 0.1
所以.
（3）证明：设甲按“，，”的顺序猜歌名所得奖励基金的总额为,
甲按“，，”的顺序猜歌名所得奖励基金的总额为
则的所有可能取值为0，3000，5000，6000，
， ，
， ，
所以，
则的所有可能取值为0，1000，3000，6000，
所以
要，即，
解得，因此均符合要求.
随堂练习：答案:（1）； （2）分布列见解析，期望为5925元； （3）应该，理由见解析.
解：（1）要使此品种中药材获得最高纯收入，则每亩产量和批发价格均要最高，
所以其概率为.
（2）由题意，每亩产量×批发价格-平均每亩种植成本，
每亩产量400千克，批发价格20元/千克：元；
每亩产量400千克，批发价格25元/千克：元；
每亩产量500千克，批发价格20元/千克：元；
每亩产量500千克，批发价格25元/千克：元；
所以X的可能值为，且，
，，
则X的分布列如下：
3000 5000 7500
0.1 0.45 0.45
所以元.
（3）由（2）知：种植中药材的每亩期望年纯收入为5925元，
而种植其他农作物每亩年纯收入为4500元，
所以应该选择种植此品种中药材.
典例2、答案： （1）分布列见解析，期望为； （2）.
解：（1）的可能取值为，
，， ，
， ，
所以的分布列为：
1 2 3 4 5
所以；
（2）的可能取值为， ，，
所以
随堂练习：答案: （1）
（2）
解：（1）7个展区企业数共有家，
其中备受关注的智能及高端装备企业共家，
设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件，
所以.
（2）由表格可知：消费电子及家电备受关注的企业有家，
医疗器械及医药保健备受关注的企业有家，共家.
所以的可能取值为.
则；；.
所以随机变量的分布列为：
典例3、答案：（1）中位数为12.5，众数为10；（2）①估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为和，无灾害概率为；②选择方案一比较好；答案见解析.
解: （1）根据茎叶图，可得中位数为12.5，众数为10
（2）①根据图中的数据，可得该地区周降雨量（单位：）的概率：
，，，，
（轻灾），（重灾）
因此估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为和，无灾害概率为
②方案1：设每亩的获利为（元），则的可能取值为600，，则的分布列如下：
6000
则（元），则每亩净利润为（元）；
方案2：设每亩的获利为（元），则的可能取值为6000元，于是，，净利润为（元）；
方案3：设每亩的获利为（元），则的可能取值为6000，，，
则的分布列如下：
6000
则（元），于是每亩亏损为1400（元）；
由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好.
随堂练习：答案: （1） （2）分布列见解析， （3）
解：（1）这6个月MPV车型月度零售销量平均值为
故MPV月度零售销量超过的月份为12月，4月，5月，
所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，
该月MPV零售销量超过的概率为.
（2）从2022年1月至2022年5月，
SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月，
所以的所有可能取值为，
则，
所以的分布列为
0 1 2
故的数学期望.
（3）依题意，2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量分别为，
其平均值为，
所以轿车各月度零售销量与平均值的差约为，
所以，
同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据为：，
其平均值为，
所以轿车与对应的各月度零售销量与平均值的差为，
所以， 故.
典例4、答案： （1）； （2）； （3）<.
解：（1）由表格数据知：各站甲乙对应成绩如下，
甲 乙
第1站 86.20 88.40
第2站 92.80 88.60
第3站 87.50 89.10
第4站 89.50 88.20
第5站 86.00 87.70
其中第2、4站甲成绩比乙高，故随机选取一站，甲运动员成绩高于乙运动员的概率.
（2）由（1）知：甲成绩低于88分有3站,，乙成绩低于88分有1站，
所以抽到甲低于88分的概率为，抽到乙低于88分的概率为，
抽到甲乙都低于88分的概率为，则两人至少有一人高于88分的概率为.
（3）由（1），，
， 所以.
随堂练习：答案: （1） （2）分布列见解析 （3）小明应选择先回答类问题
解：（1）依题意可得
（2）由已知可得，的所有可能取值为0，20，100，
则， ，
所以的分布列为：
0 20 100
0.2 0.32 0.48
（2）由（2）可知小明先回答类问题累计得分的期望为，若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，
则的所有可能取值为0，80，100，
，，，
则的期望为，
因为， 所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答类问题．
典例5、答案：（1）甲为正品的概率，乙为正品的概率 （2）①；②
解：（1）由已知100件甲元件的样本中正品的频率为，
100件乙元件的样本中正品的频率为，
所以生产一件元件甲为正品的概率为，
（2）生产一件元件乙为正品的概率为；
①设生产的5件乙元件中正品件数为，则有次品件，
由题意知得到，
设“生产5件乙元件所获得的利润不少于300元”为事件，
则．
②设生产一件甲元件的利润为，则的所有取值为90,-10， 则，，
所以的分布列为：
90 -10
P
，所以
设生产一件乙元件的利润为，则的所有取值为100,-20， 则，，
所以的分布列为：
100 -20
P
，所以
所以
随堂练习：答案: （1）0.6 （2） （3）,理由见解析.
解：（1）出租天数为3天的汽车型车有30辆，型车20辆．
从中随机抽取一辆，这辆汽车是型车的概率约为．
（2）设“事件表示一辆型车在一周内出租天数恰好为天”，
“事件表示一辆型车在一周内出租天数恰好为天”，其中，，2，，7．
则该公司一辆型车，一辆型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为：
．
该公司一辆型车，一辆型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为．
（2）设为型车出租的天数，则的分布列为
1 2 3 4 5 6 7
0.05 0.10 0.30 0.35 0.15 0.03 0.02
设为型车出租的天数，则的分布列为
1 2 3 4 5 6 7
0.14 0.20 0.20 0.16 0.15 0.10 0.05
一辆类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，
类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天．
从出租天数的数据来看，型车出租天数为3，4，5占比0.8，
型车出租天数为3，4，5占比0.51，根据数据的集中程度看，
型车比型车出租天数更集中，综合分析，选择类型的出租车更加合理．
典例6、答案：（1）；（2）；（3）.
解:（1）记事件在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于箱，
记事件在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于箱，
记事件在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于箱且另一个不高于箱，
则，，
所以，；
（2）在未来的每一天里，甲种酸奶的销售量不高于箱的概率为，
所以，，由二项分布的期望公式可得；
（3）由频率分布直方图可知，甲的销售量比较分散，而乙的销售量较为集中，故.
随堂练习：答案: （1）； （2）分布列见解析； （3）方案③.
解：（1）按方案①，小北做6个俯卧撑的事件是从甲、乙两袋中各抽出1个白球的事件，
而每个袋中抽球是相互独立的，所以小北做6个俯卧撑的概率.
（2）从甲袋中任取2个球有三种情况，当选的2个球为白球时的概率为：，
当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为：，
当选的2个球为黑球时的概率为：，
而的可能值为3，6，
， ，
所以的分布列为：
3 6
（3）从乙袋中任取2个球有三种情况，当选的2个球为白球时的概率为：，
当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为：，
当选的2个球为黑球时的概率为：，
小北抽出白球的概率为：，显然，
所以应该方案③.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）概率专题七
知识点一 写出简单离散型随机变量分布列,求离散型随机变量的均值,利用全概率公式求概率
典例1、某工厂生产一种航天仪器零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.6，得到的不合格零件可以进行一次技术处理，技术处理费用为100元/件，技术处理后得到合格零件的概率为0.5，得到的不合格零件成为废品．
（1）求得到一件合格零件的概率；
（2）合格零件以1500元/件的价格销售，废品以100元/件的价格被回收．零件的生产成本为800元/件，假如每件产品是否合格相互独立，记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列．
随堂练习：第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在中国北京开幕，简称“北京冬奥会”．某媒体通过网络随机采访了某市100名关注“北京冬奥会”的市民，其年龄数据绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）已知、、三个年龄段的人数依次成等差数列，求a，b的值；
（2）该媒体将年龄在内的人群定义为高关注人群，其他年龄段的人群定义为次高关注人群，为了进一步了解其关注项目．现按“关注度的高低”采用分层抽样的方式从参与采访的100位关注者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行电视访谈，求此3人中来自高关注人群的人数X的分布列与数学期望．
典例2、小红每天午餐都会选择一种肉类，她常吃的肉类有猪肉、牛肉，羊肉三种，已知小红当天午餐吃什么肉类且与前一天午餐吃什么肉类有关，在前一天午餐吃什么肉类的情况下，当天午餐吃什么肉类的概率如下表：
前一天午餐 当天午餐
猪肉 牛肉 羊肉
猪肉 0.5 0.2 0.3
牛肉 0.3 0.1 0.6
羊肉 0.3 0.6 0.1
（1）已知小红第一天午餐吃牛肉，则他第三天午餐吃什么肉类的可能性最大？
（2）已知小红午餐吃的肉类（100克）所含的能量如下表所示：
100克肉类 猪肉 牛肉 羊肉
能量/千焦 1654 795 828
求小红从第一天午餐吃牛肉开始，前三天午餐各吃的100克肉类所含的能量总数的分布列和期望．
随堂练习：某学校有A，B，C三家餐厅，王同学每天晚餐时随机地选择其中一家餐厅用餐，已知他当天晚餐选择去哪家餐厅只与前一天晚餐去的餐厅有关，在前一天晚餐去某家餐厅的情况下，当天晚餐选择哪家餐厅的概率如下表：
前一天 当天
A B C
A 0.1 0.6 0.3
B 0.4 0.2 0.4
C 0.5 0.3 0.2
（1）已知王同学第一天晚餐去了A餐厅，则他第三天晚餐去哪家餐厅的可能性最大？
餐厅 A B C
消费金额（元） 15 10 20
（2）已知王同学在三家餐厅一天晚餐的消费金额如下表所示：求王同学从第一天晚餐去A餐厅开始，前三天的晚餐消费总金额的分布列和期望.
典例3、某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．
（1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；
（2）记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望；
（3）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．
随堂练习：2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为，甲与丙比赛，甲赢的概率为，其中．
（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金6万元，负队获奖金3万元；若平局，两队各获奖金3.6万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．
知识点二 绘制散点图,相关系数的意义及辨析,写出简单离散型随机变量分布列,
求离散型随机变量的均值
典例4、为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人.
（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关；
平均车数超过 人数 平均车速不超过 人数 合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计
（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望
参考公式：，其中.
参考数据：
0.150 0．100 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
随堂练习：某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下：
改造前：；
改造后：.
（1）完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？
技术改造 设备连续正常运行天数 合计
超过 不超过
改造前
改造后
合计
（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为天（即从开工运行到第天，）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为万元/次，保障维护费第一次为万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元.现制定生产设备一个生产周期（以天计）内的维护方案：，.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值.
（其中）
典例5、中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车 电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为.
（1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；
（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望.
①参考数据：；
②参考公式：（i）线性回归方程：，其中；
（ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强.
（iii），其中.附表：
随堂练习：为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在市与市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为.
（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：
A市居民 B市居民
喜欢杨树 300 200
喜欢木棉树 250 250
是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；
（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有个路口种植杨树，求的分布列以及数学期望；
（3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为，求证：.
附：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
典例6、随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人．某省统计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
大学 A大学 B大学 C大学 D大学
2022年毕业人数x（千人） 7 6 5 4
2022年考研人数y（千人） 0.5 0.4 0.3 0.2
（1）已知y与x具有较强的线性相关关系，求：y关于x的线性回归方程；
（2）假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴．
①若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额：
②若大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分别为，，该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围．
参考公式：，．
随堂练习：某厂计划购买台机床，该种机床使用四年后即被淘汰，并且在使用过程中机床有一易损零件，若在购进机床同时额外购买这种易损零件作为备用件，此时每个只需元．在使用期间如果备件不足再购买，则每个要元．所以在购买前要决策购买数目．使得该厂购买机床时搭配的易损备用零件费用最省．为此业内相关人员先搜集了台以往这种机床在四年内更换的易损零件数，并整理数据后得如下柱状图．
以这台机床更换的易损零件数的频率代替每台机床更换的易损零件数发生的概率．记表示台机床四年内实际共需更换的易损零件数，表示购买台机床的同时备用的易损零件数目，为购买机床时备用件数发生的概率．
（1）求时的最小值；
（2）求的分布列及备用的易损零件数时的数学期望；
（3）将购买的机床分配给名年龄不同（视技术水平不同）的人加工一批模具，因熟练程度不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同．若用变量表示不同技工的年龄，变量为相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的每日工作效益满足最小二乘法和关于的线性回归方程，已知他们年龄的方差为，所对应的效益方差为.
①试预测年龄为岁的技工使用该机床每日所产生的经济效益；
②试根据的值判断使用该批机床的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱．
附：下面三个计算回归直线方程的斜率和截距及表示随机变量与相关关系强弱的系数计算公式：，.
概率专题七答案
典例1、答案：（1） （2）答案见解析
解：（1）设事件A：“一次性成型即合格”，设事件B：“经过技术处理后合格”，
则，．
所以得到一件合格零件的概率为．
（2）若一件零件一次成型即合格，则．
若一件零件经过技术处理后合格，则．
若一件零件成为废品，则． 所以可取，，，
则，，
，
所以随机变量的分布列为
0.6 0.2 0.2
随堂练习：答案： （1）， （2）分布列见解析，1.8
解：（1）由题意可知 解得，．
（2）利用分层抽样从样本中抽取10人，
易知其中属于高关注人群的有人，
属于次高关注人群的有人．
则的所有可能取值为，，，，
所以，， ，
所以的分布列为：
X 3 2 1 0
P
所以．
典例2、答案：（1）小红第三午餐吃牛肉的可能性最大；（2）分布列见解析，期望为2978.677千焦.
解：（1）用A，B，C分别表示猪肉，牛内，羊肉三种肉类，
用，，分别表示第n天午餐小红A，B，C三种肉类的概率．
因为小红第一天午餐吃牛肉，
所以第2天午餐小红吃三种肉类的概率分别为，，．
第3天午餐小红吃三种肉类的概率分别为：，
，，
所以小红第三午餐吃牛肉的可能性最大．
（2）小红从第一天午餐吃牛肉开始，
前三天午餐的肉类安排有；BAA，BAB，BAC，BBA，BBB、BBC、BCA，BCB、BCC共9种，
所含的能量总数用X表示，有4103，3244，3277，2385，2418，2451共6种可能，
， ，
， ，
， ．
所以小红从第一天午餐吃牛肉开始，前三天午餐各吃的100克肉类所含的能量总数X的分布列为
X 4103 3244 3277 2385 2418 2451
P 0.15 0.09 0.27 0.01 0.42 0.06
前三天午餐各吃的100克肉类所合的能量总数X的期望
（千焦）
所以小红从第一天午餐吃牛肉开始，
前三天午餐各吃的100克内其所合的能量总数X的期望为：2978.677千焦．
随堂练习：答案： （1）王同学第三天选择A餐厅的可能性最大（2）分布列见解析，期望为43.8元
解：（1）用，，分别表示第i天王同学选择A，B，C餐厅的概率，
因为王同学第一天去A，
所以第2天王同学选择A，B，C的概率分别为，，，
第3天王同学选择A，B，C的概率分别为，
， ，
所以王同学第三天选择A餐厅的可能性最大.
（2）王同学从第一天选择A餐厅开始，
前三天的选择有：AAA， AAB， AAC， ABA， ABB， ABC， ACA， ACB， ACC共9种，
由题得，消费总金额X的所有可能取值为35，40，45，50，55，
则：， ，
，
， ，
所以王同学从第一天去A餐厅开始，前三天消费总金额X（元）的分布列为
X 35 40 45 50 55
P 0.12 0.3 0.34 0.18 0.06
所以消费总金额X（元）的期望为
所以王同学从第一天晚餐去A餐厅开始，前三天的晚餐消费总金额X的期望为43.8元.
典例3、答案： （1） （2）分布列见解析， （3）不愿意，理由见解析
解：（1）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字”为事件，
则，
所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率为；
（2）依题意随机变量的所有可能取值为、、； 则，
， ，
所以的分布列为：
所以
（3）记随机变量为消费者在一次抽奖活动中的收益，则，
所以， 所以我不愿意再次参加该项抽奖活动；
随堂练习：答案： （1）安排乙 （2）
解：（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，
业余队获胜的概率为：
第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，
业余队获胜的概率为：
因为，所以，
所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛．
（2）由已知万元，或万元
由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛．
此时，业余队获胜的概率为：
专业队获胜的概率为
所以，非平局的概率为
平局的概率为
X的分布列为：
X 9 7.2
X的期望为
由，所以数学期望的取值范围为（单位：万元）
典例4、答案：（1）有的把握 （2）
解：（1）
平均车数超过 人数 平均车速不超过 人数 合计
男性驾驶员人数 20 10 30
女性驾驶员人数 5 15 20
合计 25 25 50
，所以有的把握认为平均车速超过与性别有关.
（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过的车辆的概率为.
的可能取值为，且，
，
，
分布列为：
0 1 2 3
.
或.
随堂练习：答案：（1）列联表答案见解析，技术改造前后的连续正常运行时间有差异
（2）分布列答案见解析，均值为万元
解：（1）列联表为：
技术改造 设备连续正常运行天数 合计
超过 不超过
改造前
改造后
合计
零假设：技术改造前后的连续正常运行时间无差异. ，
依据小概率值的独立性检验分析判断不成立，
即技术改造前后的连续正常运行时间有差异；
（2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，
一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为，
设一个生产周期内需保障维护的次数为，则，
一个生产周期内的正常维护费为万元，保障维护费为万元，
一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元，
设一个生产周期内的生产维护费为，则的所有可能取值为，
所以，的分布列为
一个生产周期内生产维护费的均值为万元.
典例5、答案： （1），与线性相关较强
（2）认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于
（3）分布列答案见解析，数学期望：
解：（1）相关系数为
故与线性相关较强.
（2）零假设为：购买电动汽车与车主性别相互独立，
即购买电动汽车与车主性别无关.
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于.
（3）抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为
故：,,
故的分布列为：
0 1 2
随堂练习：答案： （1）没有（2）分布列见解析，（3）证明见解析
解:（1）本次实验中，，
故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性.
（2）依题意，的可能取值为0，1，2，3，4，
故， ，
0 1 2 3 4
故.
（3）∵，∴.要证，即证；
首先证明：对任意，有.
证明：因为，所以.
设个路口中有个路口种植杨树，
①当时，，
因为，所以， 于是.
②当时，，同上可得
③当时，，设，
当时，，
显然，当即时，，
当即时，，
即；，
因此，即. 综上，，即.
典例6、答案： （1） （2）① 300（万元）；②
解：（1）由题意得，，
又，∴
∵，∴，
∴，所以，
故得y关于x的线性回归方程为．
（2）①将代入，
估计该省要发放补贴的总金额为（万元）
②设小浙、小江两人中选择考研的的人数为X，则X的所有可能值为0，1，2；
， ，
， ∴，
∴，解得，
又，∴，∴， 故p的取值范围为．
随堂练习：答案： （1）；（2）分布列见解析，元；
（3）①元；②该机床的技工所产生的日经济效益与技工的年龄具有非常强的相关关系.
解:（1）根据图示柱表，易知更换易损零件的频数为的频率为．
易损零件的频数为的频率为．
将频率视为概率，且知每台机床易损零件的发生与否是相互独立的，
结合图表得：当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
据互斥事件发生的概率知；
． 于是的最小值为；
（2）由（1）进而知，随机变量的可能取值为：、、、、、，
当时，；
当时，；
当时，．
于是分布列为：
进而结合（1）知，当备用的易损零件数时，随机变量取值为、、、、、，需注意的是，虽备用的易损零件数时，但发生的概率仍按实际需要的台机床时计算．
则购买易损零件所产生的实际费用数学期望为：
（元）；
（3）①先根据回归方程易知（元），
即岁的技工日使用该机床产生的效益为元；
②由方差计算公式知，
即等价化为，
同理．
又，，，据公式求出相关系数
则有 ．
易知：该机床的技工所产生的日经济效益与技工的年龄具有非常强的相关关系．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）概率专题八
知识点一 写出简单离散型随机变量分布列,计算条件概率,求离散型随机变量的均值
典例1、在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种．单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得分，选择错误得分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得分，部分选对得分，有选择错误的得分．
（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是．问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率．
（2）小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望．
随堂练习：某单位有A，B两家餐厅提供早餐与午餐服务，甲、乙两人每个工作日早餐和午餐都在单位用餐，近100个工作日选择餐厅用餐情况统计如下（单位：天）：
选择餐厅（早餐，午餐） （A，A） （A，B） （B，A） （B，B）
甲 30 20 40 10
乙 20 25 15 40
假设用频率估计概率，且甲、乙选择餐厅用餐相互独立．
（1）估计一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；
（2）记X为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和，求X的分布列和数学期望E（X）；
（3）判断甲、乙两人在早餐选择A餐厅用餐的条件下，哪位更有可能在午餐选择B餐厅用餐？说明理由．
典例2、为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务.某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱，该校期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲 乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表：
若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
（1）已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300名学生通过测试人数的数学期望；
（2）在甲 乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.
随堂练习：某餐饮店饺子有水饺、蒸饺，面有带汤面条、带汤面块、干拌面条、干拌面块．其中蒸饺、干拌面条、干拌面块是不把食物与汤混在一起盛的，称为不带汤食物，其余的都是把食物与汤混在一起的．
（1）甲、乙、丙、丁四人各随机在上述食品中选一种就餐．记事件A＝“恰有2人选择面”，
事件B＝“甲选择不带汤食物”，求；
（2）若三名顾客在上述食物中各随机选一种就餐，其中选择饺子的人数是，求的分布列与数学期望．
典例3、浙江省实行新高考改革方案以来，英语每年安排两次考试，第一次在1月与选考科目同期进行，称为“首考”，第二次在6月与语文、数学同期进行，称为“老高考”，考生可选用其中一次较好的成绩计入高考总分．英语在“首考”中“一考两用”，成绩既用于评定学业水平等级又可用于高考，学考合格后的考生，英语第二次考试成绩仅用于高考，不计算学考等第.2022年1月“首考”中，英语成绩达到117分及以上的考生，学考等第为A．某校为了解英语考试情况，随机抽取了该校男、女各名学生在“首考”中的英语考试成绩，情况如下表，并经过计算可得．
男生 女生
A等
非A等
1、从名学生中随机选择1人，已知选到的学生英语学考等第为A，求这个学生是男生的概率；
2、从名女生中任意选2人，记这2人中获得A等的人数为，求的数学期望与方差．
附：，其中．
附表：
随堂练习：吃粽子是我国端午节的传统习俗.现有一盘子粽子装有10个，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外外观完全相同，从中任意选取3个.
（1）求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；
（2）求所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率．
（3）设ξ表示取到的红豆粽个数，求ξ的分布列与期望.
知识点二 根据散点图判断是否线性相关,相关系数的计算,非线性回归
典例4、应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”，2020年第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平总书记向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”.近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车宝鸡地区销售在2022年5月至2022年9月这5个月的销售量（单位：辆）的数据如下表：
月份 2022年5月 2022年6月 2022年7月 2022年8月 2022年9月
月份代码： 1 2 3 4 5
销售量： 45 56 64 68 72
（1）依据表中的统计数据，请判断月份代码与该品牌的新能源汽车宝鸡地区销售量（单位：辆）是否具有较高的线性相关程度 （参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确度为0.01.）
（2）求销售量与月份代码之间的线性回归方程，并预测2022年11月份宝鸡地区的销售量（单位：辆）.（结果保留整数）
参考数据：，，，
参考公式：相关系数，
线性回归方程中，，，其中，为样本平均值.
随堂练习：我国北方广大农村地区、一些城镇以及部分大中城市的周边区域，还在大量采用分散燃煤和散烧煤取暖，既影响了居民基本生活的改善，也加重了北方地区冬季的雾霾天气．推进北方地区冬季清洁取暖，是重大民生工程、民心工程，关系北方地区广大群众温暖过冬，关系雾霾天能不能减少，是能源生产和消费革命、农村生活方式革命的重要内容．2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得煤改气、煤改电用户大幅度增加．图1所示的条形图反映了某省2018年1~7月份煤改气、煤改电的用户数量．
（1）在图2给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份t变化的散点图，并用散点图和相关系数说明y与t之间具有线性相关性；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量．
参考数据：，，．
典例5、一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本（万元）与该月产量（万件）之间有如下一组数据：
x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87
y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26
（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）①建立月总成本与月产量之间的回归方程；②通过建立的关于的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元 （均精确到0.001）.
附注：①参考数据：，，，
，.
②参考公式：相关系数 ，.
随堂练习：近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随机调查了某市2015-2021年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：年份代码1-7分别对应2015-2021年）.经计算得，.
（1）用一元线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01），并说明y与t相关性的强弱；
（2）建立y关于t的回归直线方程；
（3）若2023年该市某家庭总支出为10万元，预测2023年该家庭的教育支出.
附：①相关系数；
②在回归直线方程中，.
典例6、根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？
附：相关系数公式．
参考数据：
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
随堂练习：我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．现该企业为了了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额和年盈利额的数据．通过对比分析，建立了两个函数模型：①；②，其中、、、均为常数，为自然对数的底数．令，，经计算得如下数据：
26 215 65 2 680
5.36 11250 130 2.6 12
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
（2）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程；（系数精确到0.01）
（3）若希望2021年盈利额为250亿元，请预测2021年的研发资金投入额为多少亿元．（结果精确到0.01）
概率专题八答案
典例1、答案： （1） （2）分布列见解析，数学期望
解：（1）记事件为“该单项选择题回答正确”，事件为“小明直到该题的正确答案”，
，
即小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，
他知道这道单项选择题正确答案的概率为.
（2）由题意知：所有可能的取值为，
设事件表示小明选择了个选项，事件表示选择的选项是正确的，
； ；
的分布列为：
则数学期望.
随堂练习：答案：（1）0.6 （2）分布列见解析，期望为3 （3）乙更有可能在午餐选择B餐厅用餐
解：（1）由统计图表，一天中甲选择2个餐厅用餐的天数为60，概率为；
（2）易知的可能值是，
， ，
，
（2）的分布列为：
2 3 4
0.24 0.52 0.24
．
（3）甲在早餐选择A餐厅用餐的条件下午餐选择B餐厅用餐的概率为，
乙在早餐选择A餐厅用餐的条件下午餐选择B餐厅用餐的概率为，
所以乙更有可能在午餐选择B餐厅用餐．
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）甲同学两分球投篮命中的概率为，
甲同学三分球投篮命中的概率为，
设甲同学累计得分为，
则，
则， 所以甲同学通过测试的概率为.
设这300名学生通过测试的人数为，由题设， 所以.
（2）乙同学两分球投篮命中率为，
乙同学三分球投篮命中率为.
设乙同学累计得分为，则，.
设“甲得分比乙得分高”为事件，“甲 乙两位同学均通过了测试”为事件，
则
由条件概率公式可得.
随堂练习：答案： （1） （2）答案见解析
解：（1）甲选择不带汤食物，这四人的选择方法总数为， ∴．
若甲选择蒸饺，则四人中恰有二人选择面的方法总数为．
若甲选择干拌面条或干拌面块，则四人中恰有二人选择面的方法总数为．
∴． 所以．
（2）由题意得所有可能取值为0，1，2，3．
， ， ， ．
∴的分布列为
0 1 2 3
P
∴．
典例3、答案：（1） （2）；
解：（1）用表示事件“选到的学生学考等第为A等”，用表示事件“选到男生”，
则．
（2）由，
而，可得． 因为的可能取值为0，1，2．
，，
所以这2人种获得A等人数的概率分布列为
0 1 2
数学期望
方差
随堂练习：答案： （1） （2） （3）分布列见解析，
解：（1）令A表示事件“三个粽子中有1个肉粽”， 从中任意选取3个有种可能,
其中恰有1个肉粽的可能选法有种,
∴由古典概型的概率计算公式有.
（2）所选3个粽子有肉粽的可能选法有种，
所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的选法有种，
故所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率为.
（3）由题意知，ξ可能取的值为，则
∴，，，
故ξ的分布列为：
0 1 2
则的期望为.
典例4、答案： （1）具有较高的线性相关程度 （2），87辆
解：（1）由表中数据可得 ，
所以 ,又，，
所以.
所以月份代码与销售量（单位: 辆）具有较高的线性相关程度，
可用线性回归模型拟合销售量与月份代码之间的关系；
（2）由表中数据可得，
则，
所以，令，可得(辆)，
故可预测2022年10月该品牌的新能源汽车该区域的销售量为辆.
随堂练习：答案： （1）答案见解析 （2），2.02万户
解：（1）作出散点图如图所示．
由条形图数据和参考数据得，
，，， ，
所以．
（2）y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关性相当高，
从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
由，又由（1）得，
， 所以y关于t的回归方程为．
将代入回归方程得．
所以预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户．
典例5、答案：（1）与正相关，且相关性很强 （2）①；②
解：（1）作出散点图如图所示：
由已知条件和参考数据得： ，
这说明与正相关，且相关性很强；
（2）①由已知求得，，
∴所求回归直线方程为.
②当时，万元， 此时产品的总成本约为万元.
随堂练习：答案： （1），相关性很强； （2）； （3）万元.
解：（1）由题意得，，
则，故，
故，
∵， ∴y与t高度相关，即y与t的相关性很强．
（2）根据题意，得， ，
∴y关于t的回归直线方程为．
（3）2023年对应的年份代码，当时，，
故预测2023年该家庭的教育支出为（万元）．
典例6、答案： （1），说明见解析 （2）；550千克
解：（1）由已知数据可得，，
所以，
，
，
所以相关系数．
（2）因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
，， 所以回归方程为．
当时，．
即当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约为550千克
随堂练习：答案： （1）模型的拟合程度更好 （2） （3）约为27.56亿元
解：（1）设和的相关系数为，和的相关系数为．
由题意，，
，
则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好．
（2）先建立关于的线性回归方程，由，得，即．
，，
所以关于的线性回归方程为，所以，则．
（3）2021年盈利额（亿元），所以，
则．
因为，
所以．所以2021年的研发资金投入量约为27.56亿元．
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知识点一 求回归直线方程,相关系数的意义及辨析,相关系数的计算,根据回归方程进行数据估计
典例1、某产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据：
2 4 5 6 8
30 40 60 50 70
（1）求回归直线方程；
（2）据此估计广告费用为10时销售收入的值.
附：线性回归方程中系数计算公式，
，其中，表示样本均值.
随堂练习：某景区对2018年1-5月的游客量x与利润y的统计数据如表：
月份 1 2 3 4 5
游客量（万人） 4 6 5 7 8
利润（万元） 19 34 26 41 45
（1）根据所给统计数据，求y关于x的线性回归方程；
（2）据估计6月份将有10万游客光临，请你判断景区上半年的总利润能否突破220万元？
（参考数据：，） ，．
典例2、为打造“四态融合、产村一体”的望山、见水、忆乡愁的美丽乡村，增加农民收入，某乡政府在近几年中任选了5年，经统计，年份代号x与景区农家乐接待游客人数y（单位：万人）的数据如下表：
年份代号x 2 3 5 7 8
接待游客人数y（万人） 3 3.5 4 6.5 8
（1）根据数据说明变量x与y是正相关还是负相关；
（2）求相关系数r的值，并说明年份与接待游客数的相关性的强与弱；
（3）分析近几年中该景区农家乐接待游客人数y的变化情况，求该景区农家乐接待游客人数关于年份代号的回归直线方程；并预测在年份代号为10时该景区农家乐接待游客的人数（单位：万人，精确到小数点后2位）.
附：一般地，当r的绝对值大于0.75时认为两个变量之间有很强的线性关系.
, .
随堂练习：下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：参考数据：，， ，≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
典例3、目前直播带货已经席卷全国了，不论老人小孩、男生女生，大家都听说或是尝试过直播购物，它所具有的能突破时间、空间限制的特点已经吸引了越多越多的人.由此可见，它的受众非常广泛，是大势所趋.不管是什么行业领域，都可以去从事直播带货.直播带货的兴起为人们提供了更多就业岗位.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近4个月的家乡特产收入（单位：万元）情况，如表所示.
月份 5 6 7 8
时间代号 1 2 3 4
家乡特产收入 3.9 3.3 2.2 1.8
（1）根据5月至8月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0.01），并判断相关性；
（2）求出y关于t的回归直线方程，并预测9月收入能否突破1万元，请说明理由.
附：①相关系数公式：；
（若，则线性相关程度非常强，可用线性回归模型拟合）
②一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式
分别为，；
③参考数据：，，.
随堂练习：某公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年研发费和年销售量（，2，…，6）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
12.5 222 3.5 157.5 4.5 1854 270
表中，.
（1）根据散点图判断与哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z的预报值最大？
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
知识点 独立事件的乘法公式,独立重复试验的概率问题,求离散型随机变量的均值
典例4、甲 乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时，乙只投了1个球的概率.
随堂练习：某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子，广场舞，投篮，射门等体育活动.在一次“定点投球”的游戏中，规则如下：每小组两位选手，每位选手投球两次，投中一次得2分，否则得0分，得分累加，得分之和不低于6分则称两人为“黄金搭档”.甲，乙两人一组，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，假设甲，乙两人是否投中互不影响.
（1）若，，求甲，乙两人累计得分之和为4的概率；
（2）若，求甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值.
典例5、甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各投一球，两人都投中或者都未投中则均记0分；一人投中而另一人未投中，则投中的记1分，未投中的记分设每轮比赛中甲投中的概率为，乙投中的概率为，甲、乙两人投篮相互独立，且每轮比赛互不影响．
（1）经过1轮比赛，记甲的得分为，求的分布列和期望；
（2）经过3轮比赛，用表示第n轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率，研究发现点均在函数的图象上，求实数m，s，t的值．
随堂练习：“练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲、乙在相同的条件下轮流射击，每轮中甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分已知甲、乙每次射中的概率分别为，且各次射击互不影响.
（1）经过1轮射击打靶，记甲、乙两人的得分之和为，求的分布列和数学期望；
（2）经过3轮射击打靶后，求甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.
典例6、11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响.
（1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；
（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.
①求；②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式.
随堂练习：足球比赛全场比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时成绩持平，且该场比赛需要决出胜负，则需进行30分钟的加时赛：若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②若在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如第4轮结束时，双方进球数比为2：0．则不需再踢第5轮了，③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方获胜．
（1）已知小明在点球训练中踢进点球的概率是．在一次赛前训练中，小明踢了3次点球，且每次踢点球互不影响，记X为踢进点球的次数，求X的分布列与期望；
（2）现有甲，乙两支球队在冠军赛中相遇，比赛120分钟后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负．设甲队每名球员踢进点球的概率为，乙队每名球员踢进点球的概率为．每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．求甲队在点球大战中比赛4轮并以3∶1获得冠军的概率．
概率专题九答案
典例1、答案： （1） （2）82.5
解：（1）根据表中所给的五对数据，得到五个有序数对，
∵，，
∴，
∴， ∴所以回归直线方程为.
（2）当时，预报的值为.
随堂练习：答案： （1）； （2）能，理由见解析.
解：（1）， ，
，
（2）当时，，
上半年景区总利润为：万元，
据估计景区上半年的总利润能突破220万元.
典例2、答案： （1）正相关； （2）0.959，年份与接待游客数的相关性很强；
（3），9.04万人.
解：（1）由表中数据可得，，
则，
由于变量y的值随x的值的增加而增加（）， 因此x与y之间是正相关；
（2）因为，
所以年份与接待游客数的相关性很强；
（3）因为，
所以景区农家乐接待游客人数y关于年份代号x的回归直线方程为，
当x=10时，，
由此预测在年份代号为10时该景区农家乐接待游客人数约为9.04万人.
随堂练习：答案： (1)答案见解析；(2)答案见解析.
解：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得：，，，
，
.
因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，
从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由及（1）得，
.
所以，关于的回归方程为：.
将2016年对应的代入回归方程得：.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
典例3、答案： （1）；认为y与t之间有很强的相关性.
（2）y关于t的回归直线方程为：，不能.
解：（1）由表格数据可知：，，
则：，
由题意知：，
，
代入相关系数公式可得：，
因为，所以认为y与t之间有很强的相关性.
（2）由题意可得：，
，，，
所以，则，
所以y关于t的回归直线方程为：，
把代入可得：， 所以预测9月收入不能突破1万元.
随堂练习：答案： （1）； （2）； （3）30万元.
解：（1）由散点图可以判断更适宜作为年研发费x的回归方程类型；
（2）令，先建立y关于的线性回归方程，
因为， ，
所以y关于μ的线性回归方程，
（3）因此，γ关于x的回归方程为；
由（2）可知， ，
当时，；当时，，
所以当研发费为30万元时，年利润z的预报值最大
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）设，分别表示甲 乙在第次投篮时投中，
则，，，
“甲获胜”为事件， 则；
（2）记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件.
则.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由题意得甲，乙两人累计得分之和为4的概率为：
（2）他们在一轮游戏中获得“黄金搭档”的概率为：
，
因为，所以，
令，由，及，得， ，
当时，P的最大值为. 故甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值.
典例5、答案：（1）答案见解析 （2），，
解：（1）的可能取值为，
则；；，
的分布列为：
0 1
．
（2）由（1）知， 经过两轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有两种情况：
一是甲两轮得分都为；二是两轮中甲有一轮得0分，另一轮得分，
则．
经过三轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有四种情况：
三轮中甲得分都为；三轮中甲有两轮得分，另一轮得0分；
三轮中甲有一轮得分，另两轮得0分；三轮中甲有两轮得分，另一轮得1分，
则，
由题意，点均在函数的图象上，
则， ②－①得④， ③－②得⑤，
⑤÷④得⑥， 将⑥代入④得⑦， 将⑥⑦代入①得，
综上，，，．
随堂练习：答案： （1）分布列见解析，；（2）.
解:（1）的可能取值为0，1，2，
由题意可知，
， ，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
.
（2）经过3轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分有三种情况：
一是甲累计得3分，此时乙的累计得分低于3分，
二是甲累计得2分，此时乙的累计得分低于2分，
三是甲累计得1分，此时乙累计得0分，
所以
典例6、答案：（1）分布列见解析；（2）①；②，.
解:（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，
由题意，，甲的得分的取值为，
，
，
，
∴的分布列为：
－1 0 1
（2）由（1）， ，
同理，经过2轮投球，甲的得分取值：
记，，，则
，，，，
由此得甲的得分的分布列为：
－2 －1 0 1 2
∴，
∵，，
∴，，∴，
代入得：， ∴，
∴数列是等比数列，公比为，首项为， ∴．
∴．
随堂练习：答案： （1）分布列见解析， （2）
解：（1）由题意可知小明踢进点球的次数，所以X的取值可能是0，1，2，3．
因为； ；
；．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以．
（2）设“甲队在点球大战中比赛4轮并以3:1获得冠军”为事件A．
当甲队前三个点球都进时，乙队前三个点球必进一个球，
﹔
当甲队前三个点球有一个没进时，
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）概率专题十
知识点一 由频率分布直方图估计平均数,总体百分位数的估计,频率分布直方图的实际应用,
求离散型随机变量的均值
典例1、自2020年初以来，由于新冠疫情的冲击，人们日常购物的方式发生了较大的变化，各种便民的团购群异常活跃，据某微信公众号消息，参团进行团购已逐渐成为一大常规的购物形式，因此外卖员的收入明显提高.为调查某市外卖员的收入，现随机抽取500名外卖员，按照他们投送的距离分类统计得到如图所示的频率分布直方图.将上述调查所得到的频率视为概率.
（1）估计该市外卖员的平均运送距离；
（2）假设外卖平台给外卖员的运送距离与外卖员的收入有关，其中甲平台规定：1000米以内每份2元，1000米至3000米每份5元，3000米以上每份13元.乙平台规定：2000米以内每份3元，2000米至3000米每份6元，3000米至4000米每份12元，4000米以上每份18元，若你暑期打工去送外卖，每天能送50份，并且只考虑每天的平均收入，你会选择哪一家平台？为什么？
随堂练习：中医药文化历史悠久，我国经历了数千年的艰难探索和发展，逐渐积淀成博大精深的中医药文化.某医药采购商计划购买500千克乌天麻，购买数据如频率分布直方图所示.
（1）估计每千克乌天麻的平均支数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（2）知生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，方案一：这500千克乌天麻一律售价为280元/千克.方案二：这500千克按规格不同售出，其售价如下：乌天麻规格在售300元/千克，规格在售价280元/千克，规格在售260元/千克，规格在售240元/千克.从采购商的角度考虑，应该选择哪种方案？请说明理由.
典例2、某“双一流A类”大学就业部从该校2020年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率直方图，同一组数据用该区间的中点值作代表.
（1）求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差；
（2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019年国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：
方案一：设，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元；
方案二：按每人个月薪水的3%收取.
用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用.
参考数据：.
随堂练习：某公司为了了解A，B两个地区用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取400名用户，从B地区随机抽取100名用户，通过问卷的形式对公司产品评分．该公司将收集的数据按照，，，分组，绘制成评分分布表如下：
分组 A地区 B地区
40 30
120 20
160 40
80 10
合计 400 100
（1）采取按组分层随机抽样的方法，从A地区抽取的400名用户中抽取10名用户参加座谈活动．求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有多少名？
（2）从（1）中参加座谈的且评分不低于60分的用户中随机选取2名用户，求这2名用户的评分恰有1名低于80分的概率；
（3）若A地区用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区用户对该公司产品的评分的平均值为，两个地区的所有用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小，并说明理由．
典例3、为了保障学生们的合法权益，并保证高考的公平性，重庆市施行的新高考方案中再选科目的高考成绩采用赋分制.赋分制在一定程度上缩小了试题难度不同带来的分数差，也在一定程度上减少了学科难度不一造成的分数差.2022年高考成绩公布后，重庆市某中学收集了部分学生的高考成绩，其中地理成绩均在（单位：分），将收集到的地理成绩按分组，得到频率分布直方图如下.
（1）求，并估计该校2022年高考地理科的平均成绩；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）已知该校2022年所有参加高考的学生中历史类考生占20%，物理类考生占80%，历史类考生中选考地理的占90%，物理类考生中选考地理的占5%，历史类考生中高考地理成绩不低于90分的占8%，若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，求选到历史类考生的概率（以样本中各区间的频率作为相应事件的概率）.
随堂练习：某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲 乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1900万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投入700万元，年生产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件（不含一次性设备改进投资费用）.
（1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立.
①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率；
②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案.（6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用）
知识点一 写出简单离散型随机变量分布列,由随机变量的分布列求概率,独立事件的乘法公式
典例4、2022年11月21日.第22届世界杯在卡塔尔开幕.小组赛阶段，已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队，这四支球队之间进行单循环比赛（每支球队均与另外三支球队进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者积0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.若每场比赛中，一支球队胜对手或负对手的概率均为，出现平局的概率为.
（1）求甲队在参加两场比赛后积分的分布列与数学期望；
（2）小组赛结束后，求四支球队积分均相同的概率.
随堂练习：8月5日晚，2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”开幕式在洞庭南路历史文化街区工业遗址公园（岳阳港工业遗址公园）举行，举办2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”，是我市深入贯彻落实中央和省委“稳经济、促消费、激活力”要求，推出的大型文旅活动，旨在进一步深挖岳阳“名楼”底蕴、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳阳”文旅IP，为加快推进文旅融合发展拓展新维度、增添新动力.活动期间，某小吃店的生意异常火爆，对该店的一个服务窗口的顾客从排队到取到食品的时间进行统计，结果如下：
取到食品所需的时间（分） 1 2 3 4 5
频率 0.05 0.45 0.35 0.1 0.05
假设每个顾客取到食品所需的时间互相独立，且都是整数分钟.从排队的第一个顾客等待取食品开始计时.
（1）试估计“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”的概率；
（2）若随机变量X表示“至第2分钟末，已取到食品的顾客人数”，求X的分布列及数学期望.
典例5、某智能共享单车备有、两种车型，采用分段计费的方式营用，型单车每30分钟收费0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算），型单车每30分钟收费1元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲、乙、丙三人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，并且三个人每人租车都不会超过60分钟，甲、乙均租用型单车，丙租用型单车.
（1）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；
（2）设甲、乙、丙三人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望.
随堂练习：2022年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为，，，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽奖是否中奖互不影响.
（1）求顾客获得两个奖品的概率；
（2）若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为，求的分布列与数学期望.
典例6、甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍末出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
（1）求乙只赢1局且甲赢得比赛的概率；
（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和期望.
随堂练习：某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为，后两天每天出现风雨天气的概率均为，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为.
（1）求该社区能举行4场音乐会的概率；
（2）求该社区举行音乐会场数的分布列和数学期望.
概率专题十答案
典例1、答案： （1）2.8千米 （2）会选择乙平台，因为每天平均收入会高一些
解：（1）由频率分布直方图可知：
平均运送距离为(千米)，
所以估计该市外卖员的平均运送距离为2.8千米.
（2）设外卖员在甲平台每份外卖的收入为X元，在乙平台每份外卖的收入为Y元，
则可得到X，Y的分布列分别为：
X 2 5 13
P 0.05 0.55 0.4
则(元)， (元)，
即选择甲平台每天的平均收入为402.5元.
Y 3 6 12 18
P 0.25 0.35 0.25 0.15
则(元)，(元)，
即选择乙平台每天的平均收入为427.5元.因为
故会选择乙平台，因为每天平均收入会高一些.
随堂练习：答案： （1）16支； （2）选择方案二，理由见解析.
解：（1），
所以该采购商购买的乌天麻每千克的平均支数为16支.
（2）方案一：采购总额为：元
方案二：乌天麻规格在的数量为：（千克），
规格在的数量为：（千克），
规格在的数量为：（千克），
规格在的数量为：（千克）.
采购总额：元
因为139000元<140000元，所以从采购商的角度考虑，选择方案二.
典例2、答案： （1）平均数2；方差 （2）方案一
解：（1）样本平均数（万元），
样本方差 （万元2）.
（2）方案一：（万元），.
月薪落在区间Ω左侧收取费用约为（万元）；
月薪落在区间Ω内收取费用约为（万元）；
月薪落在区间Ω右侧收取费用约为（万元）.
因此这50人共收取费用约为（万元）.
方案二：这50人共收取费用约为（万元）.
故方案一能收到更多的费用.
随堂练习：答案： （1）6 （2） （3），理由见解析
解：（1）由题知地区共抽取400名用户，其中有240名用户对该公司产品的评分不低于60分，
故抽取的人数为,
（2）由（1）知：不低于60分的人抽取了6人，这6人中，
评分在的人数为，记这4个人分别为，
评分在的人数为，记这2人分别为,
故从6个人中选取2人的全部基本事件有： ,
共有15种，恰有1名低于80分包含的基本事件有：
共有8种，
因此2名用户的评分恰有1名低于80分的概率为,
，理由如下：，
， 所以，
因为，两地区人数比为，故地区抽取人数占总数的，地区抽取人数占总数的，
则， 所以．
典例3、答案： （1），估计该校2022年高考地理科的平均成绩为 （2）
解：（1）由题意可得：，解得，
估计该校2022年高考地理科的平均成绩为：
（2）该校2022年所有参加高考的学生中任选1名，记“选到历史类考生”为事件A，
“选到物理类考生”为事件B，“选到选考地理的考生”为事件C，
则有
∴，
记“选到高考地理成绩不低于90分”为事件D，则，
∴
故，
若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，
选到历史类考生的概率.
随堂练习：答案： （1）（万件） （2）①0.6；②乙方案.
解：（1）年销量的平均数（万件）.
（2）①该产品的销售利润为15元/件，
由题意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万，
所以年销售利润不低于270万的概率.
②设甲方案的年销售量为X万件，由（1）可知甲方案的年销售量的期望，
所以甲方案6年的净利润的期望值为（万元）.
设乙方案的年销售量为Y万件，则乙方案的年销售量的分布列为
Y 12 16 20
P 0.05 0.35 0.6
所以乙方案的年销售量期望（万件），
所以乙方案6年的净利润的期望值为（万元），
因为乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值，
所以企业应该选择乙方案.
典例4、答案： （1）分布列见解析， （2）
解：（1）甲队参加两场比赛后积分的取值为0，1，2，3，4，6，
则， ，
， ，
， ，
所以随机变量X的分布列为：
0 1 2 3 4 6
随机变量的数学期望： .
（2）由于小组赛共打6场比赛，每场比赛两个球队共积2分或者3分；
6场比赛总积分的所有情况为12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7种情况，要使四支球队积分相同，则总积分被4整除，所以每只球队总积分为3分或者4分.
若每支球队得3分： 则6场比赛都出现平局，其概率为：；
若每支球队得4分：则每支球队3场比赛结果均为1胜1平1负，
其概率为：﹒
所以四支球队积分相同的概率为.
随堂练习：答案： （1）； （2）分布列见解析，
解：（1）设Y表示每个顾客取到食品所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下:
1 2 3 4 5
0.05 0.45 0.35 0.1 0.05
A表示事件“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”，
则事件A对应三种情形：
①第一个人取到食品所需的时间为1分钟，且第二个人取到食品所需的时间为3分钟；
②第一人取到食品所需的时间为3分钟，且第二人取到食品所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个人取到食品所需的时间均为2分钟.
所以 .
（2）X所有可能的取值为0，1，2.
对应第一个人取到食品所需的时间超过2分钟， 所以;
对应第一个人取到食品所需的时间为1分钟且第二个人取到食品所需的时间超过1分钟，或第一个人取到食品所需的时间为2分钟，
所以；
对应两个人取到食品所需的时间均为1分钟，
所以；
所以X的分布列为：
0 1 2
0.5 0.4975 0.0025
所以
典例5、答案：（1） （2）分布列见解析，
解：（1）由题意，甲乙丙在3分钟以上且不超过6分钟还车的概率分别为，，，
设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件， 则；
（2）随机变量所有可能取值有2，2.5，3，3.5，4，
则， ，
， ，
，
所以，甲乙丙三人所付费用之和的分布列为
2 2.5 3 3.5 4
∴
随堂练习：答案： （1） （2）分布列详见解析，数学期望为
解：（1）顾客获得两个奖品的概率为：.
（2）个顾客没有获奖的概率为，
所以，则的可能取值为，
， ，
， ，
所以的分布列为：
所以.
典例6、答案： （1） （2）分布列见解析，
解：（1）记事件表示“乙只赢局且甲赢得比赛”，
表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”，则，.
则，事件与事件互斥，各局比赛结果相互独立.
由概率加法公式和乘法公式，有
．
（2）的可能取值为，
，
，
．
故的分布列为
2 3 4 5
所以.
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，
解：（1）由已知可得，，又，解得
设表示第i天可以举行音乐会，B表示该社区能举行4场音乐会
则
（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5
；
所以的分布列为
0 1 2 3 4 5
P
从而数学期望为：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）概率专题十一
知识点一 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量,由频率分布直方图估计平均数,指定区间的概率
典例1、为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测.每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如下频率分布直方图.
（1）指标数不在和之间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率；
（2）技术评估可以认为，这种产品的质量指标数服从正态分布，其中近似为样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），计算值，并计算产品指标数落在内的概率.
参考数据：，则，.
随堂练习：2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在内的概率；
（3）假设竞赛成绩服从正态分布，已知样本数据的方差为121，用平均分作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该校本次竞赛的及格率（60分及以上为及格）．
参考数据：，，．
典例2、2022年北京冬季奥运会将在北京市和河北省张家口市联合举行，北京市延庆区张山营镇的2022北京冬奥森林公园于2020年4月22日正式启动了冬奥赛区的树木移植工作．本次移植的树木来自2022北京冬奥赛区树木假植区，包含暴马丁香、核桃楸、大叶白蜡等多个品种．现从冬奥赛区树木假植区中抽取300棵暴马丁香，并对树木高度（单位：）进行测量，将测量结果绘制为如图所示的频率分布直方图．
（1）估计抽取的300棵暴马丁香树木高度的平均值（同一组中的数据可用该区间的中点值为代表）；
（2）北京冬奥赛区树木假植区内的暴马丁香的高度（）服从正态分布，其中近似为样本平均数．记为假植区内10000棵暴马丁香中高度位于区间的数量，求；
（3）在树木移植完成后，采取施用生根粉、加挂营养液等方式确保了移植树木的成活率，经验收，单棵移植成活率达到了90%．假设各棵树木成活与否相互不影响，求移植五棵暴马丁香成活四棵及以上的概率．（保留三位小数）
附：若，则，．
随堂练习：某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X服从正态分布，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算，并计算测量数据落在内的概率；
（3）设生产成本为y元，质量指标值为x，生产成本与质量指标值之间满足函数关系假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产疫苗的平均成本．
参考数据：，则，．
20-5（提升） 为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，某校组织学生加强100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名男生作为样本，统计他们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）．
1、若规定男生短跑成绩小于13.5秒为优秀，求样本中男生短跑成绩优秀的概率．
2、估计样本中男生短跑成绩的平均数．（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
3、根据统计分析，该校男生的短跑成绩X服从正态分布，以（2）中所求的样本平均数作为的估计值．若从该校男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在以外的人数为Y，
求．
附：若，则．．
随堂练习：《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数
（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
[参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，].
（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和6件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为，求的分布列以及期望值.
知识点二 求回归直线方程,卡方的计算,独立性检验解决实际问题
典例4、近年来，随着网络时代的发展，线上销售成为了一种热门的发展趋势.为了了解产品A的线上销售对象对该产品的满意程度，研究人员随机抽取了部分客户作出调查，得到的数据如下表：
表示满意 表示不满意
男性 60 45
女性 30 45
（1）判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为客户的满意程度与性别有关？
（2）根据以往数据，产品A的部分销售年份和线上销售总额之间呈现线性相关，数据统计如图所示，其中，，求关于的回归直线方程.
附：，，，其中.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
随堂练习：时值金秋十月，正是秋高气爽，阳光明媚的美好时刻．复兴中学一年一度的校运会正在密锣紧鼓地筹备中，同学们也在热切地期盼着，都想为校运会出一份力．小智同学则通过对学校有关部门的走访，随机地统计了过去许多年中的五个年份的校运会“参与”数及相关数据，并进行分析，希望能为运动会组织者科学地安排提供参考．
附：①过去许多年来学校的学生数基本上稳定在3500人左右；②“参与”人数是指运动员和志愿者，其余同学均为“啦啦队员”，不计入其中；③用数字表示小智同学统计的五个年份的年份数，今年的年份数是6；
统计表（一）
年份数 1 2 3 4 5
“参与”人数（千人） 1.9 2.3 2.0 2.5 2.8
统计表（二）
高一（3）（4）班参加羽毛球比赛的情况：
男生 女生 小计
参加（人数） 26 50
不参加（人数） 20
小计 44 100
1、请你与小智同学一起根据统计表（一）所给的数据，求出“参与”人数关于年份数的线性回归方程，并预估今年的校运会的“参与”人数；
2、根据统计表（二），请问：你能否有超过 的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关？
参考公式和数据一：，，，
参考公式二：，其中．
参考数据：
典例5、某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份其中5天食品的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：
2 5 8 9 11
12 10 8 8 7
（1）求关于的线性回归方程；查看当天天气预报知道，第二天气温可能降至左右，为第二天准备食品多少千克比较恰当？（精确到个位数）
（2）填写下列2×2列联表，并判断是否有的把握认为气温是否超过对销售量是否低于9千克具有影响？
销量低于 销量不低于 合计
气温高于
气温不高于
合计
附：参考公式与数据：①回归方程中，，.
②.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
随堂练习：为推动实施健康中国战略，树立大卫生、大健康理念，某单位组织职工参加“万步有约”健走激励大赛活动，且每月评比一次，对该月内每日运动都达到一万步及以上的职工授予该月“健走先锋”称号，其余参与的职工均获得“健走之星”称号，下表是该单位职工2021年1月至5月获得“健走先锋”称号的统计数据：
月份 1 2 3 4 5
“健走先锋”职工数 120 105 100 95 80
（1）请利用所给数据求“健走先锋”职工数y与月份x之间的回归直线方程，并预测该单位10月份的“健走先锋”职工人数；
（2）为进一步了解该单位职工的运动情况，现从该单位参加活动的职工中随机抽查70人，调查获得“健走先锋”称号与性别的关系，统计结果如下：
健走先锋 健走之星
男员工 24 16
女员工 16 14
能否据此判断有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关？
参考公式：，．
（其中）
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
典例6、棉花是我国主要经济作物 纺织工业原料 重要战略物资.量化我国棉花生产碳足迹，解析其时空变化规律，阐明其主要构成因素与影响要素，对于“碳达峰，碳中和”愿景下我国棉花绿色可持续生产具有重要意义.某地因地制宜发展特色棉花种植，随着人们种植意识的提升和科技人员的大力指导，越来越多的农田开始种植棉花，近4年该地区棉花种植面积如下表：（单位：百亩）
年度 2018 2019 2020 2021
年度代码x 1 2 3 4
种植面积y 306 347 390 420
（1）请利用所给数据求棉花种植面积y与年度代码x之间的回归直线方程，并估计该地区2022年棉花的种植面积；
（2）针对近几年来棉花出现的生理性蕾铃脱落，及棉花枯 黄萎病等问题，某科研小组随机抽查了100亩棉花，对是否按时足量施用硼肥和棉花产量进行统计得到如下数据：
亩产 亩产
未按时足量施用硼肥 20 10
按时足量施用硼肥 58 12
问：是否有90%的把握认为棉花产量与是否按时足量施用硼肥有关？
参考公试：线性回归方程：，其中，，其中.
临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.01
2.072 2.706 3.841 6.635
随堂练习：某校高一（1）班总共50人，现随机抽取7位学生作为一个样本，得到该7位学生在期中考试前一周参与政治学科这一科目的时间（单位：h）及他们的政治原始成绩（单位：分）如下表：
复习时间 2 3 5 6 8 12 16
考试分数 60 69 78 81 85 90 92
甲同学通过画出散点图，发现考试分数与复习时间大致分布在一条直线附近，似乎可以用一元线性回归方程模型建立经验回归方程，但是当他以经验回归直线为参照，发现这个经验回归方程不足之处，这些散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，成对样本数据呈现出明显的非线性相关特征，根据散点图可以发现更趋向于落在中间上凸且递增的某条曲线附近，甲同学回顾已有函数知识，可以发现函数具有类似特征中，因此，甲同学作变换，得到新的数据，重新画出散点图，发现与之间有很强的线性相关，并根据以上数据建立与之间的线性经验回归方程.
考前一周复习投入时间（单位：h） 政治成绩 合计
优秀 不优秀
≥6h
<6h
合计 50
（1）预测当时该班学生政治学科成绩（精确到小数点后1位）；
（2）经统计，该班共有25人政治成绩不低于85分，评定为优秀，而且在考前一周投入政治学可复习时间不低于6h共有30人，除去抽走的7位学生，剩下学生中考前一周复习政治的时间不少于6h政治不优秀共有6人，请填写下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为政治成绩与考前一周复习时间有关.
附：，，，，，
，.
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
概率专题十一答案
典例1、答案： （1） （2），0.9544
解：（1）由，解得，
样本中指标数不在和之间的频率为，
所以产品为次等品的概率估计值为.
（2）依题意.
所以，
所以.
随堂练习：答案： （1）；平均分为71分；（2）；（3）．
解：（1）由频率分布直方图可得，， 解得．
这组样本数据的平均数为：．
所以估计该校此次竞赛成绩的平均分为71分；
（2）自频率分布直方图可知，成绩在，内的频率分别为0.25，0.1．
所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的7人，
成绩在内的有5人，成绩在内的有2人．
记事件这3人至少有1人成绩在内 则；
（3）由题意知，样本方差，故， 所以竞赛成绩
该校竞赛的及格率．
典例2、答案：（1）；（2）；（3）．
解:（1）抽取树木高度为的频率为，
所以样本均值：．
（2）由第一问估计，
，
一棵树的高度位于区间的概率为0.1359，
依题意知，所以．
（3）记移植五棵树中成活了棵．．
随堂练习：答案： （1）；（2）；；（3）元．
解：（1）由 解得．
（2）依题意，
故 所以
故测量数据落在内的概率约为
（3）根据题意得
故生产该疫苗的平均成本为．
典例3、答案： （1） （2） （3）
解：（1）由频率分布直方图可得， 解得，
所以样本中男生短跑成绩优秀的概率为．
（2）估计样本中男生短跑成绩的平均数为：．
（3）由（2）知，所以，
所以该校男生短跑成绩在以外的概率为：
根据题意， 所以．
随堂练习：答案： （1）70 （2）0.8186 （3）分布列见解析
解：（1）由频率分布直方图可知，.
（2）由题意可知，样本方差，故，所以，
该厂生产的产品为正品的概率：.
（3）X所有可能值为0，1，2，3.
， ， ， .
所以的分布列为
数学期望.
典例4、答案： （1）能； （2）.
解：（1）根据统计数据，可得列联表如下表：
表示满意 表示不满意 总计
男性 60 45 105
女性 30 45 75
总计 90 90 180
则，
故能够在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为客户的满意程度与性别有关.
（2）由题意得，，， 则，，
∴关于的回归直线方程为.
随堂练习：答案： （1）；2.9千人.
（2）没有超过 的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关.
解：（1）由题意得 ， ，
所以， ∴
∴线性回归方程为 ， ∴预计今年的“参与“人数为：（千人）．
由题意可确定列联表如下：
男生 女生 小计
参加（人数） 26 24 50
不参加（人数） 30 20 50
小计 56 44 100
（2）则，
所以没有超过的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关.
典例5、答案：（1），；（2）表格见解析，有．
解:（1），，
，
， ，，
所以，所求回归方程是， 将代入回归方程得千克，
所以依据第二天气温可能降至天气预报，为第二天准备该商品左右较合适；
（2）根据已知条件构造分类变量列联表：
销量低于 销量不低于 合计
气温高于 3 0 3
气温不高于 0 2 2
合计 3 2 5
计算随机变量的观测值：
， ，.
所以，具有的把握认为气温是否超过对销售量是否低于具有影响．
随堂练习：答案： （1）；约为37人；
（2）没有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关.
解：（1）由表中的数据可知，，，
所以，故．
所以所求的回归直线方程为；
当时，，
所以该单位10月份的“健走先锋”职工人数约为37人．
（2）由表中数据可得，.
因为,
所以没有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关．
典例6、答案： （1），面积为462百亩
（2）有90%的把握认为棉花产量与是否按时足量施用硼肥有关
解：（1）根据题意得到,
因为，所以，
所以棉花种植面积y与年度代码x之间的回归直线方程,
（2）当时，，
所以估计该地区2022年棉花的种植面积为462百亩.
结合已知数据得到列联表如下表所示：
亩产 亩产 合计
未按时足量施用硼肥 20 10 30
按时足量施用硼肥 58 12 70
合计 78 22 100
，
所以有90%的把握认为棉花产量与是否按时足量施用硼肥有关.
随堂练习：答案： （1）51.9分；
（2）表格见解析，认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.
解：（1），
，
所以，且,
所以预测当时, ,
即该班学生政治学科成绩约为51.9分.
（2）列联表：
考前一周复习投入时间（单位：h） 政治成绩 合计
优秀 不优秀
≥6h 23 7 30
<6h 2 18 20
合计 25 25 50
零假设为：认为政治成绩与考前一周复习时间无关，
，
依据的独立性检验，推断不成立，
即认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）概率专题十二
知识点一 求回归直线方程,相关系数的意义及辨析,相关系数的计算,计算样本的中心点
典例1、某加工工厂加工产品A，现根据市场调研收集到需加工量X（单位：千件）与加工单价Y（单位：元/件）的四组数据如下表所示：
X 6 8 10 12
Y 12 m 6 4
根据表中数据，得到Y关于X的线性回归方程为，其中．
（1）若某公司产品A需加工量为1.1万件，估计该公司需要给该加工工厂多少加工费；
（2）通过计算线性相关系数，判断Y与X是否高度线性相关．
参考公式： ，时，两个相关变量之间高度线性相关．
随堂练习：党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一.据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入的数据如下表：
年份 2017 2018 2019 2020 2021
年份代码 1 2 3 4 5
人均可支配收入（单位：万元）
1、根据上表统计数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若则线性相关程度较高，精确到）；
2、市五届人大二次会议政府工作报告提出，2022年农村居民人均可支配收入力争不低于万元，求该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值（用百分比表示）.
参考公式和数据：相关系数，.
典例2、随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧便携 工作效率高 环保 可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用.在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大.某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对2017~2021年的研发人数作了相关统计，如下图：
2017~2021年公司的研发人数情况（年份代码1~5分别对应2017~2021年）
（1）根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数与年份代码的相关系数，并由此判断其相关性的强弱；
（2）试求出关于的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数.（结果取整数）
参考数据：，.参考公式：相关系数.
线性回归方程的斜率，截距.
附：
相关性 弱 一般 强
随堂练习：近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随机调查了某市2016-2022年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：年份代码1-7分别对应2016-2022年）.经计算得，，，，.
（1）用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数r，并说明与相关性的强弱；（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01）
（2）求出与的回归直线方程；
（3）若2024年该市某家庭总支出为10万元，预测2024年该家庭的教育支出.
附：①相关系数；
②在回归直线方程，，.
典例3、2021年4月20日我校高三学生参加了高考体检，为了解我校高三学生中男生的体重（单位：）与身高（单位：）是否存在较好的线性关系，体检机构搜集了7位我校男生的数据，得到如下表格：
序号 1 2 3 4 5 6 7
身高 166 173 185 183 178 180 174
体重 57 62 78 75 71 67 59
根据表中数据计算得到关于的线性回归方程为．
（1）求；
（2）已知，且当时，回归方程的拟合效果非常好；当时，
回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．（的结果保留到小数点后两位）
参考数据：．
随堂练习：某公司为了做好产品生产计划，准确地把握市场，对过去四年的产品数据进行整理得到了第年与年销售量（单位：万件）之间的关系如下表：
第年
销售量（万件）
（1）在图中画出表中数据的散点图；
（2）根据（1）中的散点图选择用于拟合与的回归模型，并用相关系数加以说明；
（2）建立关于的回归方程，预测第年的销售量．
（参考数据：，）
知识点二 卡方的计算,独立重复试验的概率问题
典例4、某种疾病可分为Ⅰ II两种类型.为了解该疾病类型与性别是否有关，在某地区随机抽取了男女患者各200名，每位患者患Ⅰ型或II型病中的一种，得到下面的列联表：
Ⅰ型病 II型病
男 150 50
女 125 75
（1）根据列联表，判断是否有99%的把握认为所患疾病类型与性别有关.
（2）某药品公司欲研发此疾病的治疗药物，现有两种试验方案，每种方案至多安排2个接种周期，且该药物每次接种后出现抗体的概率为p（0①求和；
②从平均费用的角度考虑，哪种方案较好？
参考公式：，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
随堂练习：电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务．通过网络的电子邮件系统，用户可以以非常低廉的价格（不管发送到哪里，都只需负担网费）、非常快速的方式（几秒钟之内可以发送到世界上任何指定的目的地），与世界上任何一个角落的网络用户联系．我们在用电子邮件时发现了一个有趣的现象，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少．为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取40个邮箱名称，其中中国人的20个，外国人的20个，在20个中国人的邮箱名称中有15个含数字，在20个外国人的邮箱名称中有5个含数字．
（1）根据以上数据填写列联表：
中国人 外国人 总计
邮箱名称里有数字
邮箱名称里无数字
总计
（2）能否有99％的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”？
（3）用样本估计总体，将频率视为概率．在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各随机调取6个邮箱名称，记“6个中国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为，“6个外国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为，试比较与的大小．
附：临界值参考表与参考公式
（，其中）
典例5、习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为奋斗目标．在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活．当前，“日行万步”正式成为健康生活的代名词．某地一研究团队统计了该地区1000位居民的日行步数，得到如下表格：
日行步数（单位：千步）
人数 10 40 150 200 350 200 50
（1）为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过8千步为标准进行分层抽样，从上述1000位居民中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关；
日行步数千步 日行步数千步 总计
40岁以上 120
40岁以下（含40岁） 40
总计 200
（2）以这1000位居民日行步数超过8千步的频率代替该地区1位居民日行步数超过8千的概率，每位居民日行步数是否超过8千相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20位居民，其中日行步数超过8千的最有可能（即概率最大）是多少位居民？
附：，其中．
0.05 0.025 0.010
3.841 5.024 6.635
随堂练习：随着我国人民生活条件持续改善，国民身体素质明显增强，人均预期寿命不断延长，2019年我国人均预期寿命达到77岁.居民人均寿命提升 健康状况改善，使得群众生产生活中驾车出行需求持续增长，呼吁进一步放宽学驾年龄，进一步方便就近体检.2020年10月22日，公安部新闻发布会上宣布，取消申请小型汽车 小型自动挡汽车 轻便摩托车驾驶证70周岁的年龄上限.为了了解70岁以上人群对考取小型汽车驾照新规的态度，某研究单位对某市的一个大型社区中70岁以上人员进行了随机走访调研，在48名男性人员中有36人持“积极响应”态度 12人持“不积极响应”态度，在24名女性人员中持“积极响应”态度和“持不积极响应态度”的各有12人.
（1）完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为对考小型汽车驾照的态度与性别有关？
积极响应 不积极响应 合计
男
女
合计
（2）在被走访的持“不积极响应”的样本中任取2人，记男性人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)；
（3）不计性别，以样本的频率估计概率，在该市的70岁以上人群中任取4人，求至少有2人持“积极响应”态度的概率.
附：，.
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
典例6、世卫组织近日表示，Delta毒株已扩散至92个国家和地区．这让某国某州的医疗一度濒临崩遗．某国卫生与公共服务部数据显示，在6月23日至7月7日的两周里，该州新冠肺炎确诊病例数新增，平均每周增长1111个病例数，每周人均感染病例人数高居全国首位．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过新冠疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家120个接种与未接种新冠疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
接种新冠疫苗与否/人数 感染Delta病毒 未感染Delta病毒
未接种新冠疫苗 20 30
接种新冠疫苗 10 60
（1）是否有的把握认为密切接触者感染Delta病毒与未接种新冠疫苗有关；
（2）以样本中结束医学现察的密切接触者感染Delta病毒的频率估计概率．现从该地区结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染Delta病毒人数统计，求其中至少有2人感染Delta病毒的概率；
（3）该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行Delta病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立．记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为．求当p为何值时，最大？
附：．
0.1 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
随堂练习：携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务．2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．
（1）完成下面列联表，并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关；
对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计
对业务水平满意人数
对业务水平不满意人数
合计
（2）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望；
（3）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？
附：，．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
概率专题十二答案
典例1、答案：（1）该公司需要给该加工工厂57200元加工费. （2）Y与X高度线性相关.
解：（1）∵，， 则，
又∵ ∴，， ∴，
∵1.1万=11千， ∴当时，（元）， ∴（元），
答：估计该公司需要给该加工工厂57200元加工费.
（2）由（1）知，，，，
∴
∴， ∴两个相关变量之间高度线性相关.
随堂练习：答案： （1），具有较高的线性相关程度； （2）.
解：（1）由题可知的平均数为，
，
所以，
（2）， 所以与具有较高的线性相关程度；
设增长率为，则， 解得， ，
该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值为.
典例2、答案： （1），与具有很强的线性相关关系
（2），预测2023年该公司的研发人数约为613人
解：（1）由条形统计图，得，
， 所以
，
所以.
（2）因为相关系数，所以与具有很强的线性相关关系，且为正相关.
， 所以，
所以. 由题意知，2023年对应的年份代码，
当时，，
故预测2023年该公司的研发人数约为613人.
随堂练习：答案： （1），线性相关程度较高 （2） （3）万元.
解：（1）由题意得，，
则，
故， 故，
∵， ∴与高度相关，即与的相关性很强．
（2）根据题意，得， ，
∴关于的回归直线方程为．
（3）由题知，2024年对应的年份代码， 所以，当时，，
所以，预测2024年该家庭的教育支出为（万元）．
典例3、答案： （1）； （2）该线性回归方程的拟合效果是良好的.
解：（1）由题意可得，，，
又关于的线性回归方程为，所以
（2）由题意，
所以， 所以该线性回归方程的拟合效果是良好的.
随堂练习：答案： （1）散点图见解析 （2）可以用线性回归模型拟合与的关系，说明见解析
（3）回归方程为；第年销售量的预测值为万件
解：（1）作出散点图，如图所示，
（2）由（1）中的散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，
根据题中所给表格及参考数据可得：，，，
，，，， ；
与的相关系数近似为，说明与的线性相关程度相当强，
可以用线性回归模型拟合与的关系．
设关于的回归直线方程为：，
，，
关于的回归直线方程为：，
（3）当时，，预测第年的销售量约为万件.
典例4、答案： （1）有99%的把握认为所患疾病类型与性别有关；
（2）①；；② 方案二较好.
解：（1）由题中数据，可知，
所以有99%的把握认为所患疾病类型与性别有关；
（2）① 方案一：的可能取值为，，
则， 所以；
方案二：由题意，的可能取值为，
则，
，
所以.
② 因为，
所以， 所以方案二较好.
随堂练习：答案：（1）联表见解析；（2）有的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”；（3）．
解:（1）由已知数据可填写列联表如下：
中国人 外国人 总计
邮箱名称里有数字
邮箱名称里无数字
总计
（2）．
有的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”．
（3）用样本估计总体，将频率视为概率，根据（1）中列联表可得：
中国人邮箱名称里含数字的概率为，外国人邮箱名称里含数字的概率为．
设“个中国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量，个外国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量”，
根据题意得：，，
则，， ．
典例5、答案：（1）答案见解析；（2）12位居民．
解：（1）1000人中，步数不超过8千步的有400人，超过8千步有600人，
则抽取的人数中不超过8千步的有80人，超过8千步的有120人，列联表如下：
日行步数千步 日行步数千步 总计
40岁以上 40 80 120
40岁以下（含40岁） 40 40 80
总计 80 120 200
∴，
∴有的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关．
（2）每位居民步数超过8千米的概率为，
设步数超过8千米的最有可能是位居民，
则，解得：，
∵，∴，即最有可能是12为居民．
随堂练习：答案： （1）列联表答案见解析，有95%的把握认为对考小型汽车驾照的态度与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）.
解：（1）完成列联表，得：
积极响应 不积极响应 合计
男 36 12 48
女 12 12 24
合计 48 24 72
∴. ∴有95%的把握认为对考小型汽车驾照的态度与性别有关.
（2）在被走访的持“不积极响应”的样本中任取2人，记男性人数为，
则的可能取值为0，1，2， ，
， ，
∴的分布列为：
0 1 2
数学期望.
（3）以样本的频率估计概率，积极响应的概率为，
至少有2人持“积极响应态度”为事件， 在该市的70岁以上人群中任取4人，
至少有2人持“积极响应”态度的概率为： .
典例6、答案： （1）有的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关
（2） （3）
解：（1）∵，
∴有的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；
（2）由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为，
设在随机抽取的4人中感染病毒的人数为X． 至少有2人感染病毒的为事件A，
， ，
， ， ，
， 则，令，
则（舍去），随着p的变化，，的变化如下表：
p
+ 0 -
极大值
综上，当时，最大．
随堂练习：答案：（1）列联表详见解析，有的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关；
（2）分布列详见解析，期望为；（3）．
解:（1）由题意知对业务满意的有260人，对服务不满意的有100人，得列联表
对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计
对业务水平满意人数 180 80 260
对业务水平不满意人数 20 20 40
合计 200 100 300
经计算得，
所以有的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关．
（2）的可能值为0，1，2．
则，，，
0 1 2
．
（3）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为，
只有一项满意的客户流失的概率为：，
对二者都不满意的客户流失的概率为：．
所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为：，
故在业务服务协议终止时，从运营系统中任选4名客户，
至少有2名客户流失的概率为：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）概率专题十三
知识点一频率分布直方图的实际应用,由频率分布直方图估计平均数,利用对立事件的概率公式求概率
典例1、如图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出、的数据）和频率分布直方图.
（1）求全班人数以及频率分布直方图中的、；
（2）估计学生竞赛成绩的平均数和中位数（保留两位小数）.
（3）从得分在和中学生中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少有一人的得分在区间的概率是多少？
随堂练习：为了选择奥赛培训对象，今年月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取名同学将其成绩分成六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
（2）从频率分布直方图中，估计第百分位数是多少；
（3）已知学生成绩评定等级有优秀 良好 一般三个等级，其中成绩不小于分时为优秀等级，若从第组和第组两组学生中，随机抽取人，求所抽取的人中至少人成绩优秀的概率.
典例2、某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图．
（1）求直方图中的值；
（2）请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；
（3）样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率．
随堂练习：某校为检测高一年级学生疫情期间网课的听课效果，从年级随机抽取名学生期初考试数学成绩（单位：分），画出频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、、.
（1）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这名学生数学成绩的平均分；
（2）从和分数段内采用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行座谈，求这名学生中有两名成绩在的概率；
（2）已知（2）问中抽取的名同学中含有甲、乙两人，甲已经被抽出座谈，求乙也参与座谈的概率.
典例3、为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计，得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失．
请大家完成下面的问题：
（1）根据直方图求以下表格中、的值；
成绩
频数
（2）求参赛同学初赛成绩的平均数 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
（3）若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率．（写出求解步骤）
随堂练习：《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，…，第6组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；
（2）试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数；
（3）已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．
知识点二 观察茎叶图比较数据的特征,独立性检验解决实际问题
典例4、某商场为提高服务质量，随机调查了20名男顾客和20名女顾客，根据每位顾客对该商场服务质量的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图.
（1）根据茎叶图判断男、女顾客中，哪类顾客对该商场的服务质量更认可？并说明理由；
（2）将这40名顾客的评分的中位数记为，并将评分超过和不超过的顾客数填入下面的列联表；
超过 不超过
男顾客
女顾客
（3）根据（2）中的列联表，能否有90％的把握认为顾客对该商场服务质量的评分与性别有关？
附：.
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
随堂练习：根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录数据绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪位运动员的成绩更好？并说明理由；
（2）求24个得分的中位数m，并将所得分超过m和不超过m的得分数填入下面的 列联表，并根据该列联表，判断能否有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异？
超过m 不超过m
甲
乙
附：
0.15 0.10 0.05
2.072 2.706 3.841
典例5、为推行“新课堂”教学法，某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，若成绩大于70分为“成绩优良”.
（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”
甲班 乙班 总计
成绩优良
成绩不优良
总计
（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人，记ξ为所抽取的2人中来自乙班的人数，求ξ的分布列及数学期望.
附:K2=(n=a+b+c+d)，
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
随堂练习：某单位随机抽取了15名男职工和15名女职工，对他们的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数.（说明：图中饮食指数低于70的人，喜食蔬菜；饮食指数高于70的人，喜食肉类.）
喜食蔬菜 喜食肉类 总计
男
女
合计
（1）通过观察茎叶图，对男 女职工的饮食指数进行比较，请直接写出两条统计结论；
（2）完成列联表，并判断是否有95%的把握认为该单位员工的饮食习惯与性别有关.
参考公式及附表：.
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
典例6、为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：
患病 未患病 总计
没服用药 20 30 50
服用药 x y 50
总计 M N 100
设从没服用药的动物中任取2只，未患病数为：从服用药物的动物中任取2只，未患病数为，工作人员曾计算过
（1）求出列联表中数据，y，M，N的值：
（2）求与的均值（期望）并比较大小，请解释所得结论的实际含义：
（3）能够以99%的把握认为药物有效吗？
（参考公式，其中
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
随堂练习：某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别的关系，在某地随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为z，女性人数为2z，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的．
（1）完成下面的2×2列联表．若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则男性患者至少有多少人？
Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计
男
女
合计
（2）某药品研发公司欲安排甲、乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2个接种周期进行试验，每人每次接种花费元．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p，根据以往试验统计，甲团队平均花费为；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期．假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？
概率专题十三答案
典例1、答案：（1）25（人），，（2）平均数为71.4，中位数约为；（3）.
解：（1）分数在的频率为，
由茎叶图知，分数在之间的频数为，∴全班人数为（人），
（2）分数在之间的频数为，则，
由解得；
平均数为，
∵，∴中位数在内，
设中位数为，则，解得， ∴中位数约为；
（3）得分在内的人数为人，记为、、，
得分在内的人数为人，记为、，
从这人中随机抽取两人的所有基本事件为：
、、、、、、、、、，共个，
其中所抽取的两人都在的基本事件为：、、共个，
则所抽取的两人中至少有一人的得分在区间的概率为.
随堂练习：答案：（1） （2） （3）
解：（1）由频率分布直方图可知平均数
（2）成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
第百分位数位于，设其为，
则，解得：，第百分位数为.
（3）第组的人数为：人，可记为；
第组的人数为：人，可记为；
则从中任取人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况；
其中至少人成绩优秀的情况有：，，，，，，，，
，，，，，，，共种情况；
至少人成绩优秀的概率.
典例2、答案： （1）0.01； （2）中位数是，平均数是； （3）.
解：（1）由频率分布直方图得：.
（2）由频率分布直方图知，分数在区间、的频率分别为0.34，0.62，
因此，该校语文成绩的中位数，则，解得，
语文成绩的平均数为，
所以该校语文成绩的中位数是，语文成绩的平均数是.
（3）由频率分布直方图知，分数在内分别有8人和2人，
因此抽取的5人中，分数在内有人，在内有1人，
记内的4人为a，b，c，d，在内的1人为F，
从5人中任取2人的结果有：，共10个不同结果，它们等可能，
选出的2人中恰有一人成绩在中的结果是：，
所以选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率是.
随堂练习：答案： （1），平均分为（分） （2） （3）
解：（1）依题意得，解得，
这名学生的数学平均分为（分）.
（2）由（1）可知，成绩在和中的学生人数比为，
所以用分层抽样方法抽取成绩在和中的学生人数分别为人和人，
设成绩在中的三人为、、，成绩在中的二人为、，
从这人中任取三人的所有可能情况为：、、、、、、
、、、，共种，
而有两名成绩在中的有、、、、、，共种，故所求概率为.
（3）由题可知，乙也参加座谈属于条件概率， 设（2）中人分别为：甲、乙、、、，
甲被抽出的情况为：甲乙、甲乙、甲乙、甲、甲、甲，共6种，
在甲参加的条件下乙也参加的情况有：甲乙、甲乙、甲乙，共种，
故甲已经被抽出座谈，乙也参与座谈的概率为.
典例3、答案： （1），； （2） （3）
解：（1）因为个体在区间内的频率是， 所以频数
在内的频率是， 所以频数
（2）平均数为；
（3）由等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则抽样比例为，
在区间和内抽取的人数各为和，
分别记这人为、、、、和、，
则事件的总体是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有个基本事件，
记所求的事件为，则中包含的基本事件为：
，，，，，，，，，，共个基本事件， 所以.
随堂练习：答案： （1） （2）平均数；中位数 （3）
解：（1）由频率分布直方图可知：被采访人恰好在第2组或第6组的概率
（2）设平均数为,则
（3）设中位数为，则 ∴中位数
共人，其中男生3人，设为，，，女生三人，设为，，，
则任选2人，基本事件有，，，，，，，，，，，，共15种，
其中两个全是男生的有，，共3种情况， 设事件：至少有1名女性，
则至少有1名女性市民的概率
典例4、答案： （1）男顾客，理由见解析 （2）列联表见解析 （3）没有
解：（1）男顾客对该商场的服务质量更认可.
理由如下：由茎叶图可知，男顾客的评分更多集中在，女顾客的评分更多集中在，
故男顾客对该商场的服务质量更认可.（考生如果给出其他合理理由也可得分）
（2）由茎叶图可知，.
列联表如下：
超过 不超过
男顾客 11 9
女顾客 7 13
（3）
故没有90％的把握认为对该商场服务质量的评分与性别有关.
随堂练习：答案： （1）乙运动员的成绩更好，答案见解析 （2）表格见解析，没有
解：（1）乙运动员的成绩更好，理由如下：
（ⅰ）由茎叶图可知：乙运动员的得分基本上是对称的，叶的分布是“单峰”的，
有的叶集中在茎3，4上；甲运动员的得分基本上也是对称的，
只有的叶集中在茎3，4上．所以乙运动员的成绩更好．
（ⅱ）由茎叶图可知：乙运动员得分的中位数是36；
甲运动员得分的中位数是27．所以乙运动员的成绩更好．
（ⅲ）从叶在茎上的分布看，乙运动员的得分更集中于单峰值附近，
这说明乙运动员的发挥更稳定．
以上给出3种理由，学生答出其中一种或其他合理理由均可得分．
（2）由茎叶图可知，列联表如下：
超过m 不超过m
甲 5 7
乙 7 5
由于，
所以没有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异．
典例5、答案：（1）表格见解析，能 （2）分布列见解析，
根据茎叶图中的数据作出列联表如表所示：
甲班 乙班 总计
成绩优良 10 16 26
成绩不优良 10 4 14
总计 20 20 40
解：（1）根据列联表中的数据，得的观测值为，
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.
（2）样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人，乙班有2人，
所以的所有可能取值为，
则=，， =，
则随机变量的分布列为：
0 1 2
P
则数学期望.
随堂练习：答案： （1）答案见解析 （2）列联表答案见解析，有95%的把握认为该单位员工的饮食习惯与性别有关
解：（1）①男性职工饮食指数的平均值大于女性职工饮食指数的平均值；
②男性职工饮食指数的方差大于女性职工饮食指数的方差.
（2）列联表如下：
喜食蔬菜 喜食肉类 总计
男 7 8 15
女 13 2 15
合计 20 10 30
由表中数据得，
故有95%的把握认为该单位员工的饮食习惯与性别有关.
典例6、答案： （1） （2），即说明药物有效
（3）不能够有99%的把握认为药物有效.
解：（1）， ， ，，，；
即，，，；
（2）取值为0、1、2， ，
0 1 2
P
∴ 取值为0、1、2，
，，
0 1 2
P
∴ ∴，即说明药物有效.
（3）∵， ∵4.76<6.635，∴不能够有99%的把握认为药物有效
随堂练习：答案： （1）列联表见解析，男性患者至少有6人 （2）答案见解析
解：（1）2×2列联表如下：
Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计
男 z
女 2z
合计 3z
要使在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则，解得：．
因为，，所以z的最小整数值为6．所以男性患者至少有6人．
（2）设甲研发团队试验总花费为X元，；
设乙研发团队试验总花费为Y元，则Y的可能取值为3m，6m，
所以，，
所以；
因为，所以．
①当时，，因为，所以，
所以，乙团队试验的平均花费较少，所以选择乙团队进行研发；
②当时，，因为，所以，
所以，甲团队试验的平均花费较少，所以选择甲团队进行研发；
③当时，，
所以，甲团队试验的平均花费和乙团队试验的平均花费相同，
从两个团队试验的平均花费考虑，该公司选择甲团队或乙团队进行研发均可．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）概率专题十四
知识点一频率分布直方图的实际应用,由频率分布直方图估计平均数,利用对立事件的概率公式求概率,
典例1、某公司全体员工的年龄的频率分布表如下表所示，其中男员工年龄的频率分布直方图如图所示.已知该公司年龄在35岁以下的员工中，男、女员工的人数相等.
年龄（岁） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45） [45，50） [50，55） [55，60） 合计
人数 6 8 11 23 18 9 5 80
（1）求图中实数a的值，并估计该公司男员工的平均年龄；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）若从年龄在[55，60）的员工中随机抽取2人参加活动，求这2人中至少有1名女员工的概率.
随堂练习：在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的100名学生的数学考试成绩，并将其统计如下表所示.
成绩
人数 6 24 42 20 8
（1）试估计本次质检中数学测试成绩样本的平均数（以各组区间的中点值作为代表）；
（2）现按分层抽样的方法从成绩在及之间的学生中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行试卷分析，求这2人的成绩都在之间的概率.
典例2、2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；
（3）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，试求两组各有一人被抽取的概率.
随堂练习：某校组织学生观看“太空授课”，激发了学生的学习热情.学校组织1000名学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在区间内的人数为400.
（1）求出直方图中a，b，c的值；
（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）若从得分在区间内的学生中抽取2人编号为A，B，从得分在区间内的学生中抽取6人编号为1，2，3，4，5，6，组成帮助小组，从1，2，3，4，5，6中选3个人帮助A，余下的3个人帮助B，求事件“1，2帮助A”的概率.
典例3、《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》提出“构建智慧高效的生态环境管理信息化体系”，下一步，需加快推进5G、物联网、大数据、云计算等新信息技术在生态环境保护领域的建设与应用，实现生态环境管理信息化、数字化、智能化．某科技公司开发出一款生态环保产品，已知该环保产品每售出1件预计利润为0.4万元，当月未售出的环保产品，每件亏损0.2万元．根据市场调研，该环保产品的市场月需求量在内取值，将月需求量区间平均分成5组，画出频率分布直方图如下．
（1）请根据频率分布直方图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值和方差．
（2）若该环保产品的月产量为185件，x（单位：件，，）表示该产品一个月内的市场需求量，y（单位：万元）表示该公司生产该环保产品的月利润．
①将y表示为x的函数；
②以频率估计概率，标准差s精确到1，根据频率分布直方图估计且y不少于68万元的概率．
随堂练习：新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有660人.
（1）求频率分布直方图中的值及所调查的总人数；
（2）从频率分布直方图中，估计本次评测分数的中位数和平均数（精确到0.1）；
（3）为了今后更好地完成当地的防疫工作，政府部门又按照分层抽样的方法，从评分在的居民中选出6人进行详细的调查，再从中选取两人进行面对面沟通，求选出的两人恰好都是评分在之间的概率.
知识点二 计算古典概型问题的概率,卡方的计算
典例4、为了助力北京2022年冬奥会、冬残奥会，某校组织全校学生参与了奥运会项目知识竞赛. 为了解学生的竞赛成绩(竞赛成绩都在区间内)的情况，随机抽取n名学生的成绩，并将这些成绩按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.其中，，三组的频率成等比数列，且成绩在的有16人.
（1）求n的值；
（2）在这n名学生中，将成绩在的学生定义为“冬奥达人”，成绩在的学生定义为“非冬奥达人”.请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“是否是冬奥达人与性别有关”？并说明你的理由.
男生 女生 合计
冬奥达人 30
非冬奥达人 36
合计
参考公式：，其中.
临界值表：
0.050 0.025 0.010 0.001
3.841 5.024 6.635 10.828
随堂练习：某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业"项目，并且在甲 乙两个学校的高一学生中做用户测试，经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：
甲校 乙校
使用AI作业 不使用AI作业 使用AI作业 不使用AI作业
基本掌握 32 28 50 30
没有掌握 8 14 12 26
试用频率估计概率，并假设每位学生是否掌握“向量数量积”'知识点相互独立.
（1）从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；
（2）完成下面列联表，并分析是否有的把握认为基本掌握“向量数量积”知识点与使用AI作业有关
使用AI作业 不使用AI作业 合计
基本堂握
没有掌握
合计
附：
典例5、2019年10月1日，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式在北京天安门广场隆重举行，央视对阅兵式进行了直播.为了解市民在直播中观看阅兵式的情况，某机构随机抽取了800名市民，数据统计如下表：
观看阅兵式 未观看阅兵式 合计
男 300 200 500
女 200 100 300
合计 500 300 800
（1）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否观看阅兵式与性别有关”？
（2）经统计，抽取的500名观看阅兵式的市民中有高三学生5名，其中3名男生，2名女生，若从这5名高三学生中随机抽取两人接受采访，求抽取的两名学生性别不同的概率.
附表及公式：，其中.
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
随堂练习：某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍.
不使用手机 使用手机 合计
学习成绩优秀人数 12
学习成绩不优秀人数 26
合计
（1）求表中的值，并补全表中所缺数据；
（2）运用独立性检验思想，判断是否有的把握认为中学生使用手机对学习有影响？
参考数据：，其中.
典例6、随着经济的高速发展，南昌市居住环境及人文环境进一步得到改善.目前已基本依水建成赣江西岸绿道 赣江东岸绿道 乌沙河绿道 玉带河桃花河绿道 抚河故道绿道 幸福渠绿道 艾溪湖瑶湖绿道等城市主干绿道.新建提升20个公园，精心打造100条景观路，织起一张“四横七纵六环”的“绿道网”.另外，位于凤凰洲赣江边的省文化中心的建成已成为展示江西历史文化的地标建筑.省文化中心由省博物馆 省图书馆 省科技馆三馆组成，三个主体建筑由北向南排列，分别隐喻历史 现在与未来，反映出文化发展的路径，描述了探索知识的故事与旅程.作为江西省文化的新地标，城市的新客厅，成为加快推动江西文化强省建设的一个亮丽缩影，成为丰富江西省人民群众精神文化需求重要阵地.
（1）相比老年人而言，青年人更喜欢在闲暇时间选择去省文化中心参观 学习.已知某区青年人的男女比例为3：2，现采用分层抽样的方法从中抽取100名作为样本，对这100位青年是否在闲暇时间去省文化中心进行统计，得条形图如下所示.
男 女 合计
去省文化中心
不去省文化中心
合计
完成下列2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为青年人选择去省文化中心与性别有关？
（2）现有甲 乙 丙 丁四位青年人，他们每个周末都选择去省文化中心，将他们想去的场馆情况汇总如下：
场馆 图书馆 科技馆 博物馆
意向 甲 乙 丙 甲 乙 丁 乙 丙 丁
若每人只能从已登记的选择意向中随机选取一个场馆，且每个场馆至多有两人选择，求甲 乙两人选择去同一个场馆的概率.
附：
0.100 0.050 0.025 0.010 ， 其中.
2.706 3.841 5.024 6.635
随堂练习：江西新高考改革自2021年执行，在取消文理科后实行“”考试模式，即除语数外三科，学生需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科任选3科参加高考．上饶市某学校为了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，从该校高一年级的500名男生和400名女生中按比例共抽取90人进行模拟选科，经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人．
选择全理 不选择全理 合计
男生 15
女生
合计
（1）完成上面的列联表并判断是否有99.5%的把握认为选择全理与性别有关；
（2）为了解学生选科的理由，随机选取了男生4名，女生2名进行座谈，再从中抽取2名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．
附：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
概率专题十四答案
典例1、答案： （1）0.016，； （2）.
解：（1）由男员工年龄的频率分布直方图得（0.012+2a十2×0.024+0.048+0.060 )×5=1，
解得a=0.016. 则男员工的平均年龄：
（2）该校年龄在35岁以下的男女员工人数相等,且共14人，年龄在35岁以下的男员工共7人.
由（1）知，男员工年龄在[25, 35 )的频率为，
所以男员工共有（人），女员工共有（人），
所以年龄在[55,60 ）的员工中，男员工为0.016×5×50=4（人），
不妨设为，则女员工为1人，设为，从年龄在[55,60 ）的员工中随机抽取2人，
则有，共有10种可能情形，
其中至少有1名女员工的有4种，故所求概率为.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）根据统计图表中的数据，结合平均数的计算方法，可得本次质检中数学测试成绩样本的 均数为.
（2）由题意知，随机抽取的5人中，成绩在的有1人记为，
成绩在的有4人记为，
从中随机抽取2人有，，，，，，，，，，共有10种可能，
其中成绩都在之间有的，，，，，，共有6种可能，
所以这2人成绩都在之间的概率.
典例2、答案： （1）70.5 （2）71.67 （3）0.6
解：（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数：
（2）因为成绩在[40，70)的频率为0.45，成绩在[70，80)的频率为0.3，
所以中位数为
（3）在[80，90）和[90，100]两组中的人数分别为和人，
故在[80，90）分组中抽取的人数为人，故在[90，100]分组中抽取的人数为2人，
两组各有一人被抽取的概率为.
随堂练习：答案： （1）、、 （2）中位数约为，平均数为；（3）
解：（1）依题意，
又且，解得，；
（2）因为，设中位数为，则，
所以，解得，即中位数约为；
平均数为
（3）从1，2，3，4，5，6中选3个人帮助A，余下的3个人帮助B，
所以可能结果为（只列出帮助的学生），，，，，，
，，，，，，，，
，，，，，共个基本事件，
其中满足1，2帮助的有，，，共个，
故满足“1，2帮助”的概率
典例3、答案： （1）；. （2）①；②.
解：（1），
,
（2）①当，且时，万元；
当，且时，万元，
所以，
②，，，所以，
当时，万元，
当时，由得，
故当万元时，， 综上所述：，
所以.
所以估计且y不少于68万元的概率为.
随堂练习：答案： （1），1200人 （2）中位数为82.9，平均数为80.7 （3）
解：（1）由频率分布直方图知
即，解得
设总共调查了人，则，解得，即调查的总人数为1200人；
（2）因为，
所以中位数位于区间，设中位数为，则，
解得：，所以中位数为82.9，
所以估计本次考试成绩的中位数为82.9.
由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02 0.04 0.14 0.20 0.35 0.25，
所以，设平均数为，
则.
所以所以估计本次考试成绩的平均数为.
（3）用分层抽样的方法应该从评分在抽出2人，记编号为1，2，
从评分在抽出4人，记编号为3，4，5，6，.
则样本空间为Ω＝{{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，
{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}}．
用A表示抽出的2人恰好来自于评分在，则A={{1，2} }．
所以选出的两人恰好都是评分在之间的概率为.
典例4、答案： （1） （2）列联表见解析，有，理由见解析
解：（1）由题意知，，三组的频率成等比数列，
设公比为，则， 解得或（舍去），
则这一组的频率为， 由题意知，解得.
（2）成绩在的人数为，成绩在的人数为44.
补充完整的列联表如下：
男生 女生 合计
冬奥达人 30 14 44
非冬奥达人 20 36 56
合计 50 50 100
计算得的观测值，
故有99%的把握认为“是否是冬奥达人与性别有关”.
随堂练习：答案： （1）0.7 （2）表格见解析，有的把握认为基本掌握“向量数量积"知识点与使用AI作业有关
解：（1）在两所学校被调查的200名学生中，
对“向量数量积”知识点基本掌握的学生有140人，
所以估计从两校高一学生中随机抽取1人，
该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率为
使用AI作业 不使用AI作业 合计
基本掌握 82 58 140
没有掌握 20 40 60
合计 102 98 200
（2），
因为，所以有的把握认为基本掌握“向量数量积"知识点与使用AI作业有关.
典例5、答案：（1）不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否观看阅兵式与性别有关”（2）
解:（1）将列联表中的数据代入公式计算得 k=≈3.556<3.841，
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否观看阅兵式与性别有关”.
（2）记抽取的3名男生分别为A，B，C，2名女生分别为d，e，则从这5名学生中随机抽取2人，共包含：(A，B)，(A，C)，(A，d)，(A，e)，(B，C)，(B，d)，(B，e)，(C，d)，(C，e)，(d，e)，共10种等可能的结果，
其中既有男生又有女生这一事件包含：(A，d)，(A，e)，(B，d)，(B，e)，(C，d)，(C，e)，共6种等可能的结果，
由古典概型的概率计算公式可得，抽取的两名学生性别不同的概率为P=.
随堂练习：答案：（1），表格答案见解析；
（2）有的把握认为中学生使用手机对学习有影响.
解：（1）由题意得解得，
（2）补全表中所缺数据如下：
不使用手机 使用手机 合计
学习成绩优秀人数 28 12 40
学习成绩不优秀人数 14 26 40
合计 42 38 80
根据题意计算观测值为，所以有的把握认为中学生使用手机对学习有影响.
典例6、答案： （1）列联表答案见解析，没有90%的把握认为青年人选择去省文化中心与性别有关
（2）
解：（1）由分层抽样知男性共人，女性共人，
结合条形图得去省文化中心男性有人，
去省文化中心女性人，完成2×2列联表如下：
男 女 合计
去省文化中心 40 25 65
不去省文化中心 20 15 35
合计 60 40 100
计算：，所以，没有90%的把握认为青年人选择去省文化中心与性别有关.
序号 图书馆 科技馆 博物馆
1 甲丙 乙丁
2 乙丙 甲丁
3 甲乙 丙丁
4 甲丁 乙丙
5 甲乙 丙丁
6 甲丙 乙丁
7 甲乙 丁 丙
8 甲丙 乙 丁
9 甲丙 丁 乙
10 乙丙 甲 丁
11 丙 甲乙 丁
12 乙 甲丁 丙
13 丙 甲丁 乙
14 甲 乙丁 丙
15 甲 丁 乙丙
16 甲 乙 丙丁
17 乙 甲 丙丁
18 丙 甲 乙丁
分两种情况来考虑：4人分别去其中的两个场馆 4人分别去三个场馆.我们将所有的情况列举如下：
共有18种选择，其中甲 乙选择同一个场馆的有4种，故概率为.
随堂练习：答案： （1）填表见解析；有99.5%的把握认为选择全理与性别有关 （2）
解：（1）由题意得：
选择全理 不选择全理 合计
男生 35 15 50
女生 15 25 40
合计 50 40 90
， ∴有99.5%的把握认为选择全理与性别有关．
（2）设“至少抽到一名女生”为事件A，设4名男生分别为1，2，3，4，两名女生分别为5，6．
从6名学生中抽取2名所有的可能为：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），
（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）（5，6），共15种．
不包含女生的基本事件有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），
（3，4）共6种． 故所求概率．
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知识点一 写出简单离散型随机变量分布列,求离散型随机变量的均值,独立事件的乘法公式
典例1、为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲 乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：①抛一次质地均匀的硬币，若正面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则由乙回答一个问题.②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分.③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，且两人每道题目是否回答正确相互独立.
（1）求乙同学最终得10分的概率；
（2）记X为甲同学的最终得分，求X的分布列和数学期望.
随堂练习：冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆中，得3分，冰壶的重心落在圆环中，得2分，冰壶的重心落在圆环中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．
（1）求甲所得分数大于乙所得分数的概率；
（2）设甲、乙两人所得的分数之差的绝对值为，求的分布列和期望．
典例2、某紫砂壶加工工坊在加工一批紫砂壶时，在出窑过程中有的会因为气温骤冷、泥料膨胀率不均等原因导致紫砂壶出现一定的瑕疵而形成次品，有的直接损毁．通常情况下，一把紫砂壶的成品率为，损毁率为．对于烧窑过程中出现的次品，会通过再次整形调整后入窑复烧，二次出窑，其在二次出窑时不出现次品，成品率为．已知一把紫砂壶加工的泥料成本为500元/把，每把壶的平均烧窑成本为50元/次，复烧前的整形工费为100元/次，成品即可对外销售，售价均为1500元．
（1）求一把紫砂壶能够对外销售的概率；
（2）某客户在一批紫砂壶入窑前随机对一把紫砂壶坯料进行了标记，求被标记的紫砂壶的最终获利X的数学期望．
随堂练习：2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响，相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品的抢购优惠促销活动.活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元，张某参加了这次抢购且三种商品都抢购，假设抢购成功与否相互独立，抢购三种商品成功的概率顺次为、、，已知这三种商品都能抢购成功的概率为，至少一种商品能抢购成功的概率为.
（1）①求、的值； ②求张某恰好抢购成功两种商品的概率.
（2）求张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列和数学期望.
典例3、2022年4月16日上午9：57神舟十三号航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利返回地面．半年内，航天员们顺利完成了两次出舱任务，两次“天空课堂”讲课，还组织了天宫画展、春节跨年以及迎元宵活动，为全国观众留下了深刻印象，也掀起了一股航天热．邢台市某中学航天爱好者协会为了解学生对航天知识的掌握程度，对该校高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了20名学生成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了整理的相关信息：
等级 E D C B A
成绩
高一人数 1 2 3 4 10
高二频率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.25
（1）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？
（2）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取2人，这三人中成绩不低于90分的人数记为X，用频率估计概率，求X的分布列和期望．
随堂练习：高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.
（1）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
（2）设为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求的分布列和数学期望．
典例4、甲、乙两名同学参加某个比赛，比赛开始前箱子中装有3个红球3个白球，箱子中装有1个红球2个白球．比赛规则是：先由甲同学从箱子中每次取一个球放入箱子中，若从箱子中放入箱子中的球是红球则停止取球，若是白球则继续取球放球过程，直到第一次取到红球并放入箱子中为止．然后再由乙同学从箱子中任取一个球，若取出的是红球则乙同学获胜，否则甲同学获胜．
（1）用表示甲同学从箱子中取出放入箱子中球的个数，求的分布列及数学期望；
（2）求甲同学获胜的概率．
随堂练习：为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响．
（1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；
（2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望．
典例5、1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2021年休斯顿世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊 尊重 合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王 小张 小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王 小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率为，小马与小张比赛小张获胜的概率为，小马与小王比赛小马获胜的概率为.
（1）比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；
（2）比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X，求X的分布列和期望.
随堂练习：猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功依次分别获得猜公益基金元，元，元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是，，，该嘉宾选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．
（1）求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；
（2）求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及均值．
典例6、2022年北京冬奥组委会发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约200家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该200家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对200家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有100家，余下的企业中，每天销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：
销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计
线上销售时间不少于8小时 75 100
线上销售时间不足8小时
合计 200
（1）完成上面的列联表；
（2）根据列联表，判断能否有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.
附：
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
随堂练习：如今大家对运动越来越重视，讨论也越来越多，时常听到有人说“有氧运动”和“无氧运动”，有氧运动主要的作用是健身，而无氧运动主要的作用是塑形，一般的健身计划都是有氧运动配合无氧运动以达到强身健体的目的.某健身机构对其60位会员的健身运动进行了一次调查，统计发现有氧运动为主的有42人，30岁以下无氧运动为主的有12人，占30岁以下调查人数的.
（1）根据以上数据完成如下列联表；
有氧运动为主 无氧运动为主 总计
30岁以下 12
30岁及以上
总计 42 60
（2）能否有的把握认为运动方式与年龄有关？
附：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中.
概率专题十五答案
典例1、答案： （1） （2）分布列见解析，X的数学期望为
解：（1）记“乙同学最终得10分”为事件A，
则可能情况为甲回答两题且错两题；甲 乙各答一题且各对一题；乙回答两题且对一题错一题，
则，
所以乙同学得10分的概率是.
（2）甲同学的最终得分X的所有可能取值是0，5，10，15，20.
，
，
，
，
.
X的分布列为
X 0 5 10 15 20
P
， 所以X的数学期望为.
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，期望为：
解：（1）由题意知甲得0分的概率为， 乙得0分的概率为，
甲所得分数大于乙所得分数分为：甲得3分乙得2或1或0分，
甲得2分乙得1或0分，甲得1分乙得0分
所以所求概率为．
（2）可能取值为0，1，2，3，
所以，随机变量的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以
典例2、答案：（1） （2）.
解：（1）设一把紫砂壶第一次出窑为次品为事件A，则，
则第一次为次品，经过复烧，二次出窑为成品的概率为，
则一把紫砂壶能够对外销售的概率，
（2）X的可能取值为1500-500-50=950,1500-500-50-100-50=800，-500-50=-550，
-500-50-100-50=-700，
则，，
，，
则X的分布列为：
950 800 -550 -700
所以最终获利X的数学期望为：
随堂练习：答案： （1）①；② （2）分布列见解析，数学期望为元
解：（1）①由题意得 即 解得：
②设“张某恰好抢购到两种商品”为事件.则抢购到大屏幕电视机和冰箱且没有抢购到洗衣机，或抢购到冰箱和洗衣机且没有抢购到大屏幕电视机，或抢购到大屏幕电视机和洗衣机且没有抢购到冰箱. ∴.
（2）的可能取值为0，300，500，800，1100，1300，1600
，
，
，
，
，
，
∴张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列为
0 300 500 800 1100 1300 1600
张某抢购成功获得的优惠总金额的数学期望为：
（元）
典例3、答案： （1）； （2）分布列见解析；期望为1.
解：（1）从高一样本中抽取一人，这个人的成绩不低于分的概率，
从高二样本中抽取一人，这个人的成绩不低于分的概率为，
因此，从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于分的概率为．
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有，，，．
则，，
，， ．
所以，随机变量的分布列如下表所示：
．
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，期望为
解：（1）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件，
“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件,
由于事 件、相互独立，且，
所以选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率为.
（2）由题意，随机变量可能的取值为0，1，2，3，
可得，，
，，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
P
所以随机变量的数学期望 .
典例4、答案： （1）分布列见解析，数学期望为 （2）
解：（1）的可能取值是，
， ， ， ，
故的分布列是
故数学期望为， 故的数学期望是．
（2）时，表示箱子中装有2个红球2个白球， 则甲获胜的概率，
时，表示箱子中装有2个红球3个白球， 甲获胜的概率，
时，表示箱子中装有2个红球4个白球， 甲获胜的概率，
时，表示箱子中装有2个红球5个白球， 甲获胜的概率，
故甲获胜的概率
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析；期望为
解：（1）由题意，知高三年级胜高二年级的概率为．
设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P，
则．
（2）由题意可知，3，4，5，
则， ，
， ，
故X的分布列为
X 2 3 4 5
P
．
典例5、答案： （1） （2）分布列答案见解析，数学期望：
解：（1）设小王与小张比赛小王获胜记为事件A，小马与小张比赛小张获胜记为事件B，
小马与小王比赛小马获胜记为事件C，且A，B，C相互独立.
则
设“比赛完3局时，三人各胜1局”记为事件M，
则
（2）X的可能取值为1，2
则X的分布列为
X 1 2
P
则
随堂练习：答案： (1)；(2)分布列见解析，均值为1125元.
解:(1)事件A=“第一关闯关成功且获得公益基金为零”， A1=“第一关闯关成功第二关闯关失败”， A2=“前两关闯关成功第三关闯关失败”，
显然A1与A2互斥，且A=A1+A2，
，
，
所以该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率为；
(2)该嘉宾获得的公益基金总金额为随机变量，的可能值为0，1000，3000，6000，
， ，
， ，
所以的分布列为：
0 1000 3000 6000
的均值为：(元)
典例6、答案：（1）答案见解析
（2）有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关
解：（1）由题意分析可得：签约企业共200家，线上销售时间不少于8小时的企业有100家，
那么线上销售时间不足8小时的企业有100家，每天的销售额不足30万元的企业占，
共有家.
（22）完成列联表如下：
销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计
线上销售时间不少于8小时 75 25 100
线上销售时间不足8小时 45 55 100
合计 120 80 200
由题意，得，计算得， 由于，
故有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.
随堂练习：答案： （1）答案见解析 （2）没有的把握认为运动方式与年龄有关
解： （1）依题意可得30岁以下的有人，则30岁以上的有人，
所以列联表如下表所示：
有氧运动为主 无氧运动为主 总计
30岁以下 18 12 30
30岁及以上 24 6 30
总计 42 18 60
（2）由题意，，所以没有的把握认为运动方式与年龄有关.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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