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解三角形专题一
知识点 正弦定理解三角形,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形
典例1、内角，、、对应的边分别为、、，且，
（1）求； （2）若，求的面积．
典例2、在中，内角对应的边分别为，，向量
与向量互相垂直.
（1）求的面积； （2）若，求的值.
典例3、在中，角所对的边分别为平分，交于点，已知，.
（1）求的面积； （2）若的中点为，求的长.
典例4、如图，在中，，，，点M N是边AB上的两点，.
（1）求的面积； （2）当，求MN的长.
典例5、已知△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，
且.
（1）求边a； （2）当时，求△的面积.
典例6、如图，在四边形中，.
（1）求的长； （2）若，求的面积.
解三角形专题一答案
典例1、答案： （1） （2）
解：（1）因为，，，，
所以，所以，又
所以，，所以
（2）因为，所以，又，所以，所以为锐角，
所以，所以，
所以
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）因为，解得，
因为，所以，.
有因为，所以，
所以的面积.
（2），
所以.
典例3、答案：（1）； （2）.
解：（1）在中，，，
由余弦定理得：，即，
，则，
在中，，由正弦定理得：，
又，
则，即有，，
所以的面积.
（2）由（1）知，，所以.
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）由正弦定理得：，，则
因为，则或（不合题意，舍去），
则
的面积为
（2）在中，，，
由余弦定理可得
则有，所以
在直角中，，
，则
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）由余弦定理可知，，
即，整理得， 解得，
（2）在△中，，，，
由余弦定理可得，，
∴, ∴， ∴.
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）因为，
所以
由余弦定理得：，
所以.
（2）由正弦定理得，
所以，
故，，
则为锐角，，
所以
，
所以的面积为
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）解三角形专题二
知识点 二倍角的正弦公式,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形
典例1、在中，角的对边分别为，.
（1）求角； （2）若，面积，求△的周长.
典例2、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求B； （2）若，的面积为，求的周长．
典例3、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，
且
（1）求A； （2）若，的面积为，求的周长．
典例4、已知的内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的周长.
典例5、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A的大小；
（2）若AD为的平分线，且，，求的周长.
典例6、在中，角A，，的对边分别是，，，且向量和向量
互相垂直．
（1）求角的大小；
（2）若外接圆的半径是1，面积是，求的周长．
解三角形专题二答案
典例1、答案： （1）； （2）
解：（1）在中，∵，
∴由正弦定理可得．
又∵，，
∴． 整理得．
∵，∴，．∴．
（2）∵，∴，
即， 亦即．
又由余弦定理知，∴．
∴．∴．
∴的周长为．
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）由正弦定理得：，
即，
因为， 所以
因为， 所以， 故，
因为， 所以
（2）由面积公式得：，解得：，
由余弦定理得：
将，代入，求得：，
故的周长为
典例3、答案： （1）； （2）.
解：（1）由，则，
由正弦定理得：，
在中，故，即，
因为，所以；
（2）由余弦定理得，即，可得，
又，得，则，即，
所以的周长为
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）由，
利用正弦定理可得，化为，
所以，，，.
（2），且，所以，，
由余弦定理可得，
所以，，解得，
因此，周长为.
典例5、答案：（1） （2）
解：（1）∵，由正弦定理可得，
即，
化简得，
又∵在中，， ∴，即，
∴，结合，可知.
（2）∵AD为的平分线，，∴，
又∵，，
∴， ∴，，
∴，
∴， ∴的周长为.
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）因为，互相垂直，所以， 则．
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）∵，则
因为，所以．
即，则，
因此，即．
故的周长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）解三角形专题三
知识点 二倍角的正弦公式,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形
典例1、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角C的值；
（2）若2a+b=6，且的面积为，求的周长.
随堂练习：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
典例2、在中，内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
随堂练习：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求B；
（2）若，面积为，求周长.
典例3、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求A；
（2）若点D在BC边上，AD平分BAC，且，求的周长．
随堂练习：在中，
（1）求角A的大小
（2）若BC边上的中线，且，求的周长
解三角形专题三答案
典例1、答案： （1） （2）6或
解：（1）∵， 则
∵ ∴，即
∵，则 ∴
（2）∵△ABC的面积为，则 ∴
根据题意得，则或
若，则△ABC为等边三角形，的周长为6；
若，则，即，的周长为
∴的周长为6或
随堂练习：答案： （1）； （2）.
解：（1）由及正弦定理得，
∴，∵，∴，
∵，∴.
（2）由（1）及已知得，∴，
由余弦定理知，
∴，∴，
∴△ABC的周长为.
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）因为，
由正弦定理
又，，所以，所以.
（2）因为，所以，
又，所以，，
由余弦定理可得，所以.
所以的周长为.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）因为，由正弦定理：，
得，
又∵，∴，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴，即.
（2）由题意知，∴
由余弦定理得，又∵，，
∴
∴，故，
所以的周长.
典例3、答案： （1） （2）
解：（1）由正弦定理得，
在中，，
化简为，又，
，又 ；
（2）依题意得， 即，
由余弦定理得，
，解得
的周长为.
随堂练习：答案： （1）； （2）.
解：（1）由已知，
由正弦定理得：， 由余弦定理得：，
在中，因为， 所以；
（2）由，得①，
由（1）知，即②，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③，
由①②③，得，
所以，
所以的周长.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）解三角形专题四
知识点 正弦定理解三角形,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形
典例1、如图，在中，，，，点D在边BC上，且．
（1）求AD； （2）求的面积．
随堂练习：如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB＝6，，
，点D在边BC上，且∠ADC＝60°．
（1）求cosB与△ABC的面积； （2）求线段AD的长．
典例2、在中，，，分别是角，，的对边．若，，．
（1）求的长； （2）求的面积．
随堂练习：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，
（1）求a；
（2）若，D是线段BC上一点（不包括端点），且AD⊥AC，求△ABD的面积．
典例3、已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，函数 图象的一条对称轴的方程为，角C为函数的零点.
（1）若，求面积的最大值；
（2）若D为BC边上一点，且的面积为8，角B为锐角，，，求AC的长.
随堂练习：在中，角、、所对的边分别为，，，已知．
（1）若，，若为的中点，求线段的长；
（2）若，求面积的最大值．
解三角形专题四答案
典例1、答案： （1） （2）
解：（1）由题意得．
在中，由正弦定理，得
（2）由余弦定理，
得，解得．
因为，所以， 所以．
故的面积为．
随堂练习：答案： （1）； （2）4
解：（1）根据题意得：，则
∴△ABC的面积
（2）∵∠ADC＝60°，则
在△ABD中由正弦定理，可得
典例2、答案： （1）4 （2）
解：（1）因为，，
所以，
又， 所以，
在中，由余弦定理得
整理可得， 解得或（舍去），即的长为4．
（2）因为，，，
所以，
所以
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由及正弦定理得：，
∴，即，
∴，．
（2）如图，在△ABC由正弦定理得， 即，
解得，
∵ ∴，
∴，．
∵，
∴，
显然C为锐角，由易求得，
又∵， ∴，
∴．
典例3、答案： （1） （2）
解：（1）由题意，函数，其中.
因为为函数图象的一条对称轴，所以，
所以，解得，所以，
因为，，可得，
在中，根据余弦定理得，
又因为，所以，当且仅当时取等号，
所以的面积.
（2）因为的面积为，所以，解得，
因为，所以，
在中，根据余弦定理得，可得，
在中，可得，
所以，所以，
在中，根据正弦定理得，
可得，解得.
随堂练习：答案： （1）； （2）.
解：（1）， ，
根据余弦定理可知，， 解得，
为的中点，则为边的中线，设长度为x，
,
,
， ，
解得， 即线段的长度为．
（2）由余弦定理可得：，
即，当且仅当时取到等号，
则．
则面积最大值为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）解三角形专题五
知识点 正弦定理,三角形面积公式,余弦定理
典例1、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若，求的面积．
随堂练习：在中，分别为角所对的边.已知，，.
（1）求的值； （2）求的面积.
典例2、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，点D在线段AC上，且，，.
（1）求角B的大小； （2）求的面积.
随堂练习：在中，角所对的边分别为，且，的
中线长为．
（1）证明：；（2）求的面积最大值．
典例3、的内角A，B，C所对的边分别为．
（1）求A的大小；
（2）M为内一点，的延长线交于点D，___________，求的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题．
①M为的重心，； ②M为的内心，；
③M为的外心，．
随堂练习：在平面四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3．
（1）若cos∠CBD＝，求；
（2）记四边形ABCD的面积为,求的最大值．
解三角形专题五答案
典例1、答案： （1） （2）
解：（1）由可得，，
显然，， ∴
又 ∴
（2）由（1）知，，
又，有正弦定理可得，，
∴，为直角三角形，
∴
随堂练习：答案：（1）2 （2）
解：（1）在中，因为，所以，
因为，所以，
由正弦定理可得.
（2）由得，，
由，得，
所以，
因此，的面积.
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）根据， 由正弦定理得，
∴，又∴，
即，又 ∴，∴.
（2）设，由得，即，
两边平方得，即，
可得.所以.
故的面积.
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）证明：左边，
∴，又， ∴
（2）法一：（角化边）如图，设为中点，设，，
因为，所以，
所以，在中，由余弦定理得：，
所以，
所以，，
所以，当，即时，有最大值，
所以， 的面积最大值为.
法二：（边化角）
由，，过点作，垂足为， 所以，
所以，，即，
又因为，即，
所以， 所以
所以的面积，
当且仅当时，等号成立，
所以，的面积最大值为.
典例3、答案： （1） （2）答案见解析
解：（1）∵，∴，即
由正弦定理得，，即，
∵，∴，∴，
又，∴，∴
（2）设外接圆半径为，则根据正弦定理得，，
若选①：∵M为该三角形的重心，则D为线段的中点且，
又，∴，
即， 又由余弦定理得，即，解得，∴；
若选②：∵M为的内心，∴，
由得，
∵，∴，即，
由余弦定理可得，即，∴，
即，∵，∴， ∴．
若选③：M为的外心，则为外接圆半径，
，与所给条件矛盾，故不能选③.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）如图，，设，，
得，整理得，，，
解得，又由，则有，
故，解得，
（2）在中，设，由，可得，在中，
由余弦定理可得，，可得，，
四边形ABCD的面积为，得
.
当且仅当时，即时，等号成立，此时的最大值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）解三角形专题六
知识点 正弦定理解三角形,正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用,
余弦定理解三角形
典例1、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；（2）若______，，求b的值．
在①，②sinA＝3sinB，这两个条件中，任选一个，补充在问题中，并加以解答．
随堂练习：从①；②；③中任选两个作为条件，另一个作为（1）小题证明的结论．
已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，________．
（1）证明：________；（2）求的面积．
注：若选不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
典例2、在①，②，③．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在中，角，，所对的边分别为，，，且 ．
（1）求角的大小；（2）若的面积等于，求的周长的最小值．
随堂练习：在①，②这两个条件中任选一
个，补充到下面问题中，并解答问题.
在中，内角，，的对边长分别为，，，且___________.
（1）求角的大小；
（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围.
(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)
典例3、在①，其中为角的平分线的长（与交于点），②
，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，______.
（1）求角的大小；（2）若，，为的重心，求的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
随堂练习：在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，D为AC边上的一点，，且______，求的面积．
①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．
解三角形专题六答案
典例1、答案： （1）； （2）选条件①，b＝3或b＝4；选条件②，b＝2.
解：（1）已知，所以
由余弦定理，所以
因为，所以；
（2）由（1）知
因为，，即，
选条件①，，则，， 解得b＝3或b＝4；
选条件②，由可得a＝3b， 所以，解得b＝2．
随堂练习：答案： （1）答案见解析 （2）
解：（1）由正弦定理得， 所以，
又， 所以，
整理得， 故．
若选①③作为条件，②作为证明结论．
由得，
由正弦定理得， 所以，
所以， 故．
若选②③作为条件，①作为证明结论．
由得， 由正弦定理得，
又，所以，
因为，所以，
由正弦定理得，所以， 又，故．
（2）由（1）知，，两边平方得，
由余弦定理得，所以， 所以，
解得或（舍去）．
故的面积．
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）选择①时，由正弦定理角化边可得，
化简，由余弦定理可得,
因为， 所以.
选择②时，由正弦定理将边化角可得
即，
因为， 所以， 所以，
因为， 所以.
选择③时，由正弦定理可得，
因为，所以,
即，即，
因为， 所以
因为，所以 所以
（2）由面积公式,,
因为，当且仅当时，取等号，所以的最小值为4，
由余弦定理得，
所以，所以，
当且仅当时，取等号，此时的最小值为，
所以当且仅当时，取得最小值
即周长最小值为.
随堂练习：答案：（1）；（2）.
解：（1）选条件①.
因为， 所以，
根据正弦定理得，， 由余弦定理得，，
因为是的内角， 所以.
选条件②， 因为，由余弦定理，
整理得， 由余弦定理得，，
因为是的内角， 所以.
（2）因为，为锐角三角形，
所以， 解得.
在中，，
所以，
即， 由可得，，
所以， 所以.
典例3、答案：（1）；（2）.
解:（1）方案一：选条件①.
由题意可得，∴.
∵为的平分线，，
，即
又，∴，即，
∵，∴， ∴，∴.
方案二：选条件②.
由已知结合正弦定理得，
由余弦定理得，
∵，∴.
方案三：选条件③.
由正弦定理得，，
又，∴，
∴，
∴，
易知， ∴，∵，∴.
（2）在中，由余弦定理可得，，
∴，∴.
延长交于点，
∵为的重心，∴为的中点，且.
在中，由余弦定理可得，，
∴，∴.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由正弦定理知：
又：
代入上式可得：
，则 故有：
又，则 故的大小为：
（2）若选①： 由BD平分得：
则有：，即
在中，由余弦定理可得：
又，则有：
联立 可得：
解得：（舍去） 故
若选②：
可得：，
，可得：
在中，由余弦定理可得：，即
联立 解得： 故
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）解三角形专题七
知识点 利用三角恒等变换判断三角形的形状,余弦定理解三角形,证明三角形中的恒等式或不等式
典例1、如图，在四边形ABCD中，为钝角，且．
（1）求的大小；
（2），，BD平分，且的面积为，求边CD的长．
随堂练习：已知的内角所对的对边分别为，周长为，且．
（1）求的值； （2）若的面积为，求角的大小．
典例2、在中，.
（1）求； （2）求边上的中线.
随堂练习：如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且.
（1）求； （2）求的周长.
典例3、如图，四边形中，，，设.
（1）若面积是面积的4倍，求；
（2）若，求.
随堂练习：中，已知．
（1）求； （2）记边上的中线为．求和的长度．
解三角形专题七答案
典例1、答案：（1） （2）
解：（1）由条件可得 ，由正弦定理得 ,
由题意， ；
（2）在 中，由余弦定理得： ，
，解得BC=4，
由题意， ，， ，
在 中，
由余弦定理得： ，
； 综上，， .
随堂练习：答案： （1）1 （2）
解：（1）因为三角形周长为，所以，
因为，所以由正弦定理可得，
所以 解得．
（2）由的面积得，
由（1），由余弦定理得：
又 所以
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）因为，，故，
所以，解得，
故，故.
（2）如图所示，是中点，连接，
，，，
故，解得，即边上的中线为.
随堂练习：答案： （1）； （2）30.
解：（1）在中，，，，
由正弦定理可得，故，
因为是锐角三角形，所以 .
（2）由（1）得，所以.
在中，，，，
所以
所以的周长为.
典例3、答案：（1）（2）
解: （1）设，则，，，
由题意， 则，所以.
（2）由正弦定理，中，，即①
中，，即②
①÷②得：，化简得：，所以.
随堂练习：答案：（1）1、 （2）
解：（1）依题意， ，
,
由于，所以.
（2）由三角形的面积公式得，
由余弦定理得.
由两边平方并化简得：，
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）解三角形专题八
知识点 三角恒等变换的化简问题,正弦定理边角互化的应用,余弦定理边角互化的应用
典例1、在中，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
（1）求； （2）若的面积为，求的周长．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
随堂练习：在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，____________．
（1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长．
典例2、已知内角所对的边分别为，面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），
求：（1）求角的大小；（2）求边中线长的最小值.
条件①：;
条件②：.
随堂练习：下面给出有关的四个论断：①；②；③或；④. 以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若______，则_______（用序号表示）并给出证明过程：
典例3、在△中，内角对应的边分别为，请在①；
②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题：
（1）求角的大小；
（2）已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求△的面积.
随堂练习：设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有
（1）求角的大小；
（2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使唯一确定，并求 的面积．
条件①：边上的高为； 条件②：，； 条件③：，．
解三角形专题八答案
典例1、答案： （1）； （2）.
解：（1）选①：
，
因为，所以，因此有，
因为，所以；
选②：由
，
因为， 所以；
（2）因为的面积为，
所以有，而，解得：，
由余弦定理可知：，
所以的周长为.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）若选①，
因为，
所以，
所以，即，
所以.
因为，所以. 又因为，所以.
若选②，
因为，
所以，即，
所以. 因为，所以.
若选③，
因为，所以，
所以， 所以.
因为，所以. 又因为，所以.
（2）因为，所以.
因为，
所以，即， 所以，即的周长为.
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）选条件①：,
因为中，所以，
由正弦定理可得，
即，， 又,所以.
选条件②：
由余弦定理可得即，
由正弦定理可得，
因为，所以，所以，即，
又,所以.
（2）由（1）知，的面积为，所以，解得，
由平面向量可知，
所以
，
当且仅当时取等号， 故边中线的最小值为.
随堂练习：答案： 见解析
解: 方案一：如果①②③，则④；
证明：由②得，得，即；
由①，得，且，得；
由③或，不仿取，联立，得，；
余弦定理：，得，④成立；
方案二：如果①②④，则③；
证明：由②得，得，即；
由①，得，且，得；
由④，且，得；
从而，；
得或，得或，③成立；
方案三：如果①③④，则②；
证明：由①，得，
由③或，不仿取，得，即；
由④，且，，得，
从而；
同时，得，得或，
当时，得，由余弦定理得：，且，得，
即；即，②成立；
当时，得，由余弦定理得：，
且，得，
即不成立；即不成立，②不成立；
方案四：如果②③④，则①；
证明：由②得，得，即；
由④，且，得；
由③或，不妨取，代入， 即，得，；
从而得，，①成立；
典例3、答案： （1）； （2）.
解：（1）选①，因为，
所以，得，
即，
由正弦定理得：，
因为，所以()，所以．
选②，因为，所以，()
得，
即，
，
所以()，所以．
选③，因为，所以，
，
，
，，
，即，
因为，所以，所以．
（2）在△中，由余弦定理，则，那么；
由角平分线定理,则,
那么.
随堂练习：答案： （1） （2）答案见解析.
解：（1）由题，因.
则，因A为三角形内角，所以A.
（2）若选择①，设边上的高为，
则，得.因题目条件不足，故无法唯一确定.
若选择②，由正弦定理及（1），
有.因，
又题目条件不足，故无法判断B为钝角还是锐角，则无法唯一确定.
若选择③，由正弦定理，及，
则.又由余弦定理及（1），
有， 得，.
此时唯一确定，.
综上选择③时，唯一确定，此时的面积为
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知识点 三角恒等变换的化简问题,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形,
数量积的运算律
典例1、如图，在凸四边形中，，，的面积．
（1）求线段的长度； （2）若，求的值．
随堂练习：已知分别为三个内角的对边，且满足：.
（1）求； （2）若，且，求的面积.
典例2、已知四边形中，与交于点，．
（1）若，，求；
（2）若，，求的面积．
随堂练习：在中，角所对的边为，且.
（1）若，求面积；
（2）若，求
典例3、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足
（1）设，，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求的值；
（2）若为锐角三角形，，求面积的取值范围．
随堂练习：在中，角的对边分别为，
已知：.
（1）求角的大小；
（2）若，点满足，求的面积；
（3）若，且外接圆半径为2，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围.
解三角形专题九答案
典例1、答案：（1） （2）14
解：（1）因为，则， 解得
∵ ,则∴．
在中，．则
（2）因为，所以，
∵∴
随堂练习：答案： （1）；（2）.
解:（1）因为，所以，
因为，所以，
又，所以，所以，
因为，所以，所以， 所以即；
（2）因为，，
所以，
又在中，由余弦定理得，所以，
所以，所以.
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）在中，由正弦定理得，
即，解得，
因为为钝角，所以，即；
（2）因为是中点，所以，
平方得，
由余弦定理得，
代入上式有，即，
解得， 所以，
即，
所以．
随堂练习：答案： （1）；（2）.
解:（1）由已知，
由正弦定理，， 由余弦定理，，
， ，
， 面积.
（2）由已知，，
，
， ，
即，①
， ，②
①-②得，
. 由正弦定理，.
典例3、答案：（1）； （2）.
解：（1），由正弦定理得：
所以，
因为，所以， 所以，即，
因为，所以，
因为，，由余弦定理得：，
因为，所以，
其中， 所以，
因为点E为线段BD的中点，所以，
由题意得：， 所以.
（2）由（1）知：，又，
由正弦定理得：，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得：，
则，，， 故，
面积为
故面积的取值范围是.
随堂练习：答案： （1），（2），（3）
解: （1）因为，
所以由正弦定理和余弦定理得，
化简得，
所以由余弦定理得，， 因为，所以，
（2）由余弦定理得，，
所以，即，
所以，因为，所以，
因为，
所以，
所以的面积为，
（3）由，利用余弦定理得，得，
所以三角形为等边三角形， 所以，，,
所以,
所以,
所以
因为，所以，
所以的取值范围为
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知识点 三角恒等变换的化简问题,正弦定理边角互化的应用,余弦定理解三角形,
基本不等式求和的最小值
典例1、在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B；
（2）若D为AC的中点，且，求 ABC面积的最大值.
随堂练习：在锐角中，分别为角所对的边，，且的面积．
（1）若，求； （2）求的最大值．
典例2、在中，已知角所对的边分别为，，向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）当取得最大值时，求角的大小和的面积．
随堂练习：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．
（1）求角C；
（2）已知边上的点P满足，求线段的长度取最大值时的面积．
典例3、在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且；
（1）求的值；
（2）若，当取得最大值时，求的面积．
随堂练习：在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）求取值范围；
（3）如图所示，当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，求面积的最大值．
解三角形专题十答案
典例1、答案：（1） （2）
解：（1）因为， 所以
即， 由余弦定理，得
∵，∴ ∵，∴；
（2）解法一：∵， ∴，
∴，即，
∵， ∴，
∴，当且仅当时取等号，
故ABC面积的最大值为；
解法二：在ABD中，由余弦定理，得，
即①
在CBD中，由余弦定理，得，
即
∵， ∴②
①+②得③
在ABC中，由余弦定理，得，即，
代入③中，整理得，
∵，∴
∴，当且仅当时取等号
故ABC面积的最大值为4
解法三：如图，
过C作AB的平行线交BD的延长线于点E，
∵，D为AC的中点， ∴，，，，
在BCE中，由余弦定理，得，
即，整理得，
∵，∴，
∴，当且仅当时取等号
故ABC面积的最大值为4.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1），解得：；
，，，
由余弦定理得：，解得：.
（2），即，
由正弦定理得：，
，
，
；
，，，
则当时，取得最小值，的最大值为.
典例2、答案： （1） （2）；
解：（1），
，，，
，.
，
，，
当，即时，取得最大值；
在中，由正弦定理得：；
，
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由，得，
即
由正弦定理得：，
因为，，所以．
因为，所以．
在中，由正弦定理得：．
所以．
由及，可得，在中，
由余弦定理可得：
．
．
所以，当且仅当即时，取最大值.
所以，取最大值时，，，，
，
典例3、答案： （1） （2）
解：（1）由，
因为，可得，
所以，
整理得，即， 所以．
（2）由，知，
又由
因为，所以，
当且仅当时取等号，此时，
因为，故，所以．
随堂练习：答案： （1） （2） （3）
解：（1）因为，
所以在中，由余弦定理得，
又，所以；
（2）由（1）得，，得，
所以
由，所以，
所以的取值范围是；
（3）当取得最大值时，，解得；
令，，， 则，∴；
又，
∴，
∴．
∴
，
当时等号成立； ∴面积的最大值为．
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