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数列专题一
知识点一 累加法求数列通项,由递推关系证明等比数列,求等比数列前n项和
典例1、已知数列{an}，{bn}满足a1=b1=1，是公差为1的等差数列，是公差为2的等差数列．
（1）若b2=2，求{an}，{bn}的通项公式；
（2）若，，证明：．
随堂练习：已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求数列的前项和．
典例2、设数列满足，且．等差数列的公差d大于0．已知，且成等比数列．
（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
随堂练习：已知等差数列满足，，数列满足，．
（1）求，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
典例3、设数列的前项和为，，，数列中，，，，…，，…是首项、公差均为2的等差数列.
（1）求数列、的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
随堂练习：已知数列中，，当时，，记．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：．
知识点二 由Sn求通项公式,裂项相消法求和
典例4、已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求证：数列的前项和．
随堂练习：已知数列的前项和为，且．
1、求的通项公式；
2、设数列的前项和为，证明：．
典例5、已知数列的前n项和为，，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
随堂练习：已知是数列的前n项和，，且．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
典例6、已知数列的前n项和为，已知，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
随堂练习：已知各项都是正数的数列的前项和为，，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足：，，数列的前项和，求证：；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.
数列专题一答案
典例1、答案： （1）； （2）证明见解析
解：（1）因为是公差为1的等差数列， 所以，
即，且， 所以，
累加得， 所以， 则；
（2）因为， 累加得，
所以， 则， 则，
令， 且，
所以，且，所以， 所以，
且，
从而，
所以，
当时，时，， 所以．
随堂练习：答案： （1）. （2）.
解：（1）由题意数列满足，
则 .
（2）由（1）可得， 故，
所以，
故
典例2、答案：（1）证明见解析， （2）
解：（1）证明：因为， 所以，
又， 所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列，
则，
当则
，n=1成立 所以；
（2）由，得，
又成等比数列，使用，
即，解得（舍去）， 所以，
则，
所以.
随堂练习：答案：（1），； （2）.
解：（1）设数列的公差为，由题可得，解得， 故；
因为满足，，
故当时，，
故，符合该式，所以；
（2）由题可得，设的前项和为，
则，
故
则
即，故.
故数列的前项和为.
典例3、答案： （1），. （2）
解：（1）当时，由可得：；
当时，由①，②
则得： 所以.
因为，，所以数列为等比数列，所以.
因为，，，…，，…是首项、公差均为2的等差数列，
所以，，，……，
累加得：，
所以.n=1成立 综上所述：，.
（2）
所以数列的前项和
所以.
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由题意得， 所以，即．
当时，
．
当时，也符合． 综上，．
（2）证明：由（1）得， 当时；
当时，，
故当时，
． 综上，．
典例4、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）当时，．
当时，， 则，
当时，满足上式，则．
（2）由（1）可得，
则．
∵∴ 所以.
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由题意，当时，，
当时，由得，
两式相减，得，又，
故数列的通项公式为.
（2）依题意，得，
则， 所以.
典例5、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）因为，， 所以，
所以，所以，
又，也成立， 所以的通项公式．
（2）证明：由（1）知，
所以，
所以．
因为，所以，所以，所以，．
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）当时，可得．
当时，，
所以， 所以，所以．
因为，所以，
时也符合，故．
（2）证明：由（1）知， 所以，
所以．
因为，所以．得证
典例6、答案：（1）；（2）证明见解析.
解:（1）因为，所以，
故，即，
又因为，所以，
故为首项为2，公差为2的等差数列，即，即.
（2）由（1）得，当时，，
所以
，故得证.
随堂练习：答案：（1）；（2）证明见解析；（3）.
解:（1）时，，解得或（舍去）
当时，
化简得：
，
数列是以为首项，为公差的等差数列，.
（2）证明：，
，
，
数列的前项和
（3）由已知条件参数分离可得（）
当且仅当即时，有最大值， .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）人教A版数学--数列专题二
知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,错位相减法求和,
分组（并项）法求和
典例1、已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和；
（3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.
随堂练习：已知数列{}的前n项和满足：．
（1）求数列{}的前3项；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）求数列的前n项和．
典例2、已知数列中，．
（1）证明：数列和数列都为等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前n项和．
随堂练习：在数列中，，
（1）设，求证：；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和.
典例3、已知等差数列的公差，它的前项和为，若=70，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）中的第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来的顺序排成一个新数列，求的前n项和.
（3）已知数列，，若数列的前项和为，求证：.
随堂练习：已知数列的前项和，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和；
（3）若存在，使得成立，求实数的最小值．
知识点二 等差数列通项公式的基本量计算,裂项相消法求和,累乘法求数列通项
典例4、已知数列的前项和为，且满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）-若数列的前项和为，求证：
随堂练习：已知为等差数列，.
（1）求的通项公式；
（2）若为的前项和，求.
典例5、已知数列的前项和为，，且．数列为等比数列，．
（1）求和的通项公式；
（2）设 ，数列的前项和为，求的最小值．
随堂练习：已知正项数列满足，且，设.
（1）求证：数列为等比数列并求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求数列的前项和.
典例6、已知数列的前项和满足，，．
（1）求的通项公式；
（2）数列，，满足，，且，求数列的前项和．
随堂练习：已知数列，前n项和为，对任意的正整数n，都有恒成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知关于n的不等式…对一切恒成立，求实数a的取值范围；
（3）已知 ，数列的前n项和为，试比较与的大小并证明．
人教A版数学--数列专题二答案
典例1、答案：（） （2） （3）最大值为，最小值为
解：（1）因为点在函数的图像上，所以，
又数列是等差数列，所以，
即所以，
；
（2）解法1：，
==，
解法2：， ①
， ②
①-② 得 ， ；
（3）
记的前n项和为，
则=，
当n为奇数时随着n的增大而减小，可得，
当n为偶数时随着n的增大而增大，可得，
所以的最大值为，最小值为.
随堂练习：答案： （1）；（2）证明见解析； （3）.
解：（1）当时，有：；
当时，有：；
当时，有：；
综上可知；
（2）由已知得：时，，
化简得：
上式可化为：
故数列{}是以为首项，公比为2的等比数列.
（3）由（2）知，∴，
∴
当n为偶数时，=
令，
①
②
则①②得
，
∴，=，
所以.
当n为奇数时，，
，
所以.
综上，.
典例2、答案： （1）证明见解析. （2） （3）.
解：（1）由得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
由得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，
则， 所以
，
也符合上式， 所以.
（3），
令， ，
两式相减得 ，
所以.
所以.
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）； （3）.
解：（1）由条件可知：，， ，
，；
（2）由第（1）问可知，，
当时，， 当时，， 当时，，
当时，，
以上各式相加，得，
，，，即；
（3）由第（1）、（2）问知，，，则，
设数列的通项公式，前项和为，
，
两式相减，得，
，
数列的前项和.
典例3、答案： （）1（） （2） （3）证明见解析.
解：（1）解：因为数列是等差数列， 所以，．
依题意，有，即 解得，．
所以数列的通项公式为（）．
（2）由题意：，
∴
（3）证明：由（1）可得．所以，
．
因为，所以．
因为，所以数列是递增数列．
所以．所以．
随堂练习：答案： （1） （2） （3）
解：（1）当时，，
当时，， 两式相减并化简得（），
当时，上式也符合， 所以.
（2）数列满足，，
则，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，
所以，
设数列满足，且前项和为，
,,
两式相减得，
所以.
设数列满足，则的前项和，
所以.
（3）依题意，存在，使得成立，
，则只需求的最小值.
，
当或时，取得最小值为. 所以的最小值为.
典例4、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由已知，时，，
与已知条件作差得： 所以，
所以,n=1成立
（2）证明：因为，
所
.得证.
随堂练习：答案：（1）； （2）.
解：（1）∵. ∴，
∴， ∴；
当时，满足上式， 所以；
（2）由（1）可得，
∴.
典例5、答案： （1）；，；（2）.
解:（1）
即有，
上式对也成立，则；
为公比设为的等比数列，，．
可得，，则，即，，；
（2），
前项和为，
， 即，可得递增，则的最小值为．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）因为， 所以，
因为， 所以，
所以，且，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，即，
即，可得，，
所以时，，
即， 而此时时，，
所以；
（2）由（1），所以，
所以
所以
.
典例6、答案： （1）； （2）
解：（1）由题意知，，
两式相减得，， 故，，
两式相减得，
即，可知数列为等差数列，
又，则，解得，
又因为，所以，等差数列的公差，故．
（2）由题易知，又因为，
所以，
由累乘法可得：，，，，
所以，，因为，所以，，
当时，也符合，所以，，则，
．
随堂练习：答案：（1）；（2）；（3），证明见解析．
解:（1）由题意，因为2Sn=（n+1）an， 当n≥2时，2Sn-1=nan-1，
两式相减2an=（n+1）an-nan-1，可得（n-1）an=nan-1（n≥2），
又a1=1≠0，则an≠0，所以，
可得， 累乘得n≥2时，，
n=1时，a1=1也满足上式， 所以数列的通项公式为an=n．
（2）设，
则=
=，
所以f（n）在n≥3，n∈N*上单调递减， 所以，即．
（3），
则Tn=c1+c2+c3+…+cn=
=
所以．
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知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,错位相减法求和,
分组（并项）法求和
典例1、已知为等差数列，为等比数列，．
（1）求和的通项公式；
（2）记的前项和为，求证：；
（3）对任意的正整数，设求数列的前项和．
随堂练习：已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足
．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；
（3），求数列的前项和．
典例2、在等差数列中，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和；
（3）记，数列的前n项和为，若对任意的，，都有，求正整数k的最小值．
随堂练习：已知数列中，，，，数列的前n项和为Sn.
（1）求的通项公式；
（2）已知，
（i）求数列前n项和Tn；
（ii）证明：当时，.
典例3、已知数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）若数列，，求前项和.
随堂练习：已知等差数列的前项和为，公差为1，且满足．数列是首项为2的等比
数列，公比不为1，且、、成等差数列，其前项和为．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求正整数的值；
（3）记，求数列的前项和．
知识点二 等差数列通项公式的基本量计算,写出等比数列的通项公式,求等比数列前n项和,
分组（并项）法求和
典例4、已知数列是等差数列，记为的前n项和，是等比数列，．
（1）求；
（2）记，求数列的前2n项和．
随堂练习：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
典例5、已知数列，，，数列为等比数列，满足，且，，成等差数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记数列满足：，求数列的前项和.
随堂练习：已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，
．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若设的前项和为，求．
典例6、已知等比数列的前n项和为，且满足，数列满足：，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列的通项，求数列的前n项和．
随堂练习：已知正项数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前50项和．
人教A版数学--数列专题三答案
典例1、答案：（1），；（2）证明见解析；（3）.
解: (1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1. 从而的通项公式为.
由， 又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(2)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而， 所以.
(3)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
随堂练习：答案： （1），； （2）； （3）．
解：（1）依题有,因为，解得：
．数列是等差数列,设其公差为,，解得：.
（2）数列与数列都是递增数列, ,
,,
新数列的前50项和为:.
（3）∵，
设 ,
，
，
两式相减有
,
∴. ∴
.
.
典例2、答案：（1） （2） （3）9
解：（1）设公差为，则，解得，
所以；
（2）由题意，所以，
；
（3）由（1），
，，
相减得，
，由，得，
令，则，
设， 则，
当时，，
当时，，即，
当时，，
，，， 所以当时，，当时，，
当时，递减，当时，递增，
，，， 因此当时，，当时，，
所以满足的的最小值是9，即的最大值是9．
随堂练习：答案： （1） （2）（i）Tn；（ii）证明见解析
解：（1）由题意可知，数列的奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，
偶数项构成的数列是首项为2，公差为4的等差数列.
当n为奇数时，；
当n为偶数时，
（2）（i），
，
；
（ii）， ，则；
（时等号成立） 当时，
设，
；
综上，当时，.
典例3、答案：（1） （2） （3）
解：（1）当时，，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，可得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故.
（2），所以，， 所以，，
上述两个等式作差得，
因此，.
（3）由题意可得，，
所以，
.
随堂练习：答案：（1），； （2）4； （3）.
解：（1）依题意，，解得，则，
设数列的公比为q，因，，成等差数列，则，
有，而，解得，，
所以数列和的通项公式分别为：，.
（2）由（1）知，，，，
依题意，，整理得，而，解得，
所以正整数n的值是4.
（3）由（1）知，
令数列的前n项和为，数列的前n项和为，
则，
于是得，
两式相减得：，
因此，，
，
数列的前项和.
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）由题意得，所以①，
又是等比数列， 所以，
因为，所以②，
又，故由①②联立解得，
又是等差数列，所以 为定值，即为定值，
故为等比数列，首项，公比， 所以的通项公式为．
（2）由（1）得，
所以，
即是以1为首项，4为公差的等差数列，
令，则，
记的前n项和为， 所以，
数列数列的前2n项和为．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设公差为，则，即，
因为，，成等比数列，所以，
即，整理得，
因为所以，代入，解得， 所以.
（2）,
所以
.
典例5、答案： （1）， （2）
解：（1）由题意，，，，令得，又数列为等比数列，
所以，即数列为公比为等比数列.
所以由可得即，
数列是首项为，公差为的等差数列，
数列的通项公式：.
由，，成等差数列，得：，，，有.
（2）由（1）知，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，
偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列.
.
随堂练习：答案： （1）； （2）
解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，
或是正项等比数列， ， ．
（2）由（1）知， ，
．
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）设数列的公比为q，
因为，即，得，解得或，
当时，，不合题意，舍去，所以，
由，解得，所以，
对于，因为①，
当时，，则，
当时，②，
由①－②得，即，
又，也适合上式，故，，
采用累乘法求通项得， 所以．
（2）由（1）可得：，则，
则数列的前n项和，
①当为偶数，时，
采用分组求和：，
， 所以；
②当为奇数，且时，为偶数，由（1）中结论得，
此时，
当时，，也适合上式， 所以.
综上所述，．
随堂练习：答案：（1） （2）2150
解：（1）依题意， 当时，，解得，
由， 当时，有，
作差得：， 所以，
因为， 所以，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以.
（2）由（1）得，， 又，同时， 所以
所以
．
所以的前50项和为2150．
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知识点一 数列新定义
典例1、对于数列，若存在正数，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．
（1）已知，，且，若数列和满足：，且，；
①若，求的取值范围；
②求证：数列是“拟等比数列”；
（2）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求的取值范围（请用、表示）．
随堂练习：已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令 ，并将数列称为的“生成数列”．
（1）若，求数列的前项和；
（2）设数列的“生成数列”为，求证：；
（3）若是等比数列，证明：存在正整数，当时， 是等比数列．
典例2、已知数列：，，…，，其中是给定的正整数，且.令，，，，，.这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值.
（1）若数列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；
（2）若数列是首项为1，公比为的等比数列，且，求的值；
（3）若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求的所有可能值（用表示）.
随堂练习：已知无穷数列满足：①；②（；
；）.设为所能取到的最大值，并记数列.
（1）若，写出一个符合条件的数列A的通项公式；
（2）若，求的值；
（3）若，求数列的前100项和.
典例3、对于序列，实施变换T得序列，记作；对继续实施变换T得序列，记作．最后得到的序列只有一个数，记作．
（1）若序列为1，2，3，求；
（2）若序列为1，2，…，n，求；
（3）若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作，若序列B为序列的一个排列，请问：是的什么条件？请说明理由．
随堂练习：若数列满足，则称为E数列.记
.
（1）写出一个满足，且的E数列；
（2）若，，证明E数列是递减数列的充要条件是；
（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由.
知识点二 等差数列通项公式的基本量计算,等差数列前n项和的基本量计算,等比中项的应用,
数列不等式能成立（有解）问题
典例4、设等差数列的前n项和为，数列是首项为1公比为的等比数列，其前n项和为，且，对任意恒成立.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
随堂练习：已知数列的前项和为，且满足．设
，数列的前项和为．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
典例5、设首项为a的等比数列的前项和为，若等差数列的前三项恰为，，.
（1）求数列，的通项公式；（用字母a表示）
（2）令，若对恒成立，求实数a的取值范围.
随堂练习：已知数列和，记，分别为和的前项和，为的前项积，且满
足，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
典例6、若数列的前n项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，其前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
随堂练习：已知数列的前项和为，，数列满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
人教A版数学--数列专题四答案
典例1、答案：（1）①；②证明见解析 （2）
解：（1）①因为，，且，，，所以，的取值范围是；
②由题意可得， 则，即，
假设当时，，
则当时，，即，
所以，对任意的，，
所以，，，
即存在，使得， 所以，数列是“拟等比数列”.
（2）因为，，，
即，所以，
即，且有，
因为，则，所以，，
又因为数列是“拟等比数列”，故存在，使得，且数列为单调递减数列.
①当时，此时， 所以，，
因为，则，
因为数列在时单调递减，故， 而；
②当时，，则，
由，则，
因为数列在时单调递减，故.
由①②可得，即的取值范围是.
随堂练习：答案：（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析.
解：（1）因为，所以． 所以，
所以， ， 所以，
因为， 所以数列是等比数列， 所以数列的前项和为：；
（2）由题意可知，， 所以，
所以．所以 ， 所以，
由“生成数列”的定义可得， 所以．
累加可得.
（3）由题意知．由（2）可知．
① 当时，得，即， 所以， 所以.
即为公比等于1的等比数列，
②当时，令，则.
当时，显然．
若，则，与矛盾, 所以，即.
取，当时， ，显然是等比数列,
综上，存在正整数，使得时，是等比数列.
典例2、答案： （1），； （2）； （3）所有可能值为.
解：（1）由题设，，，，则，
，，，则， 所以，.
（2）若数列任意两项均不相等，
当时； 当且时，，
又，， 此时；
综上，，故，不合要求；
要使，即存在且使，即，
又，则， 当，则，不合要求；
当，则，满足题设； 综上，.
（3）由题设数列单调递增且，
由（2）知：，
根据题设定义，存在且，，
则，
由比数列中个项大，，同理， 所以；
又至少比数列中一项小，，同理，
所以；
综上，.
令数列，下证各值均可取到，
ⅰ、当，而数列递增，
，且，
此时，，，
则；
ⅱ、当时，，则，
当且时，令，则，
所以，，
此时；
ⅲ、给定，
令()且()，
则()，()，
又数列递增，，
()，()，
所以，
此时且，
故， 综上，.
随堂练习：答案： （1）； （2）； （3）.
解：（1）；
（2） 因为，所以，所以或. 因此.
当时， 且同时成立，此时.
当时，
且同时成立，此时矛盾. 综上，.
（3）因为， 所以. 所以.
由知，. 事实上，当时，
与同时成立， 所以，从而.
猜想数列：1，2，4，5，7，8，，
即数列由不能被3整除的正整数从小到大排列组成，且满足数A：的两条性质.
下面用数学归纳法证明.
①当时结论成立. ②假设时结论成立，则当时，
当时，此时，
由于； ；
上面各式均成立，此时有.
当时，此时， 由于；
；
上面各式均成立，此时有.
综上，数列是由不能被3整除的正整数从小到大排列组成.
数列的前100项和为：.
典例3、答案： （1） （2） （3）充分不必要条件
解：（1）序列为1，2，3，，，，即8，．
（2）时，
时，．
时，，
时，，，
取时，，
取时，①，
则②，
①②得，
所以． 由序列为1，2，，，可得．
（3）序列为序列，2，，的一个排列，．而反之不成立．
例如取序列为：，，，2，1，满足．
因此是的充分不必要条件．
随堂练习：答案：（1）0,1,2,1,0（或 0,1,0,1,0）（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.
解：（1）（或 ）
（2）必要性：因为数列是递减数列， 所以 ，
所以是首项为，公差为的等差数列， 所以；
充分性：由于，，…，，
所以，即，
因为，所以， 所以数列是递减数列.
综上，结论得证． 令， 则．
（3）因为，，……,，
所以
因为，所以为偶数，
所以为偶数．
所以要使，必须使为偶数，即整除，亦即或．
当时， 数列的项满足，，时，
有，； 当时，
数列的项满足，，，时，
有，． 当，时，不能被整除，
所以对任意给定的整数,不存在数列使得，．
典例4、答案： （1）， （2）
解：（1）设等差数列的首项为，公差为则
由，得即
由①得，由②得，由③得，
所以数列的通项公式为， 所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，所以，
①
②
②-①得： 化简得：，
又因为，即
即，
（i）当时，，所以；
（ii）当时，，
令，则
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
当时，取得最小值为
，即, 所以的取值范围是.
随堂练习：答案： （1）证明见解析；（2）.
解：（1）因为，① 所以，②
②-①得，． 所以，
又， 即．
在①中，令得，，
又，所以． 所以，即．
所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可得，， 所以，
所以时，．
当时，适合上式， 所以．
所以， 所以．
令，得，即恒成立．
令，则．
当时，， 所以，解得， 故实数的取值范围为．
典例5、答案： （1）， （2）
解：（1）设等比数列的公比为，依题意有，故，
所以，即，解得， 所以，
又，所以公差， 所以；
（2）， 令，则，
，
所以， 所以，
由题意，对都有，即恒成立，
令，则时，
故时，数列递减，又，故，
所以，即的取值范围为.
随堂练习：答案： （1）， （2）
解：（1）时，①，②， ①-②得，
当时，③，④， ③÷④得.
由上可得，即，化简得.
当时，，，两式相等得，.
故，因此且，故. 综上，.
（2）， ⑤ ⑥
⑤－⑥得：，，
将代入得， 化简得，
因在单调递增，故的最小值为－4，故.
典例6、答案： （1）；（2）.
解：（1）因为，所以， 当，时，
所以， 所以数列为等比数列，首项为，公比为2，
所以，则；
（2）因为，所以，
由（1）， 所以恒成立，
当n为偶数时，恒成立，所以，
设，由于，
所以，当时，， 所以，
当n为奇数时，，若n=1，则有，
若，则有， 令，由于，
所以，综上，.
随堂练习：答案：（1），；（2）.
解:（1）当时，，∴，
当时，由
得，即，
∴数列是公差为2的等差数列， ∵，∴.
由条件得，， ∴，即数列是公比为2的等比数列， ∴.
（2），设数列的前项和为，则，
∴， ∴，，
∴， 由得， 累加得，
即， ∴， ∴，
令，则，
∴， ∴， ∴.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）人教A版数学--数列专题五
知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,等差数列前n项和的基本量计算,等比中项的应用,
数列不等式能成立（有解）问题
典例1、已知数列中，，且满足．
（1）求的值；
（2）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（3）若恒成立，求实数的取值范围．
随堂练习：已知等差数列中，公差，，是与的等比中项，设数列的前项和为，满足.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
典例2、已知数列、满足，，，﹒
（1）求证：为等差数列，并求通项公式；
（2）若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．
随堂练习：已知数列满足，（为非零常数），且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若数列满足，且；
（i）求数列的通项公式；
（ii）若对任意正整数i，，都成立，求实数的取值范围.
典例3、已知数列的前项和为，，数列满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
随堂练习：已知数列满足：，，，且；等比数列满足：，
，，且．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．
知识点二 数列新定义
典例4、从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为的一个无穷递增子列．已知数列是正实数组成的无穷数列，且满足．
（1）若，，写出数列前项的所有可能情况；
（2）求证：数列存在无穷递增子列；
（3）求证：对于任意实数，都存在，使得．
随堂练习：给定正整数m，数列，且.对数列A进行T
操作，得到数列.
（1）若，，，，求数列；
（2）若m为偶数，，且，求数列各项和的最大值；
（3）若m为奇数，探索“数列为常数列”的充要条件，并给出证明.
典例5、已知数列为无穷递增数列，且．定义： 数列：表示满足的所有i中最大的一个．数列：表示满足的所有i中最小的一个（，2，3…）
（1）若数列是斐波那契数列，即，，（，2，3，…），请直接写出，的值；
（2）若数列是公比为整数的等比数列，且满足且，求公比q，并求出此时，的值；
（3）若数列是公差为d的等差数列，求所有可能的d，使得，都是等差数列．
随堂练习：对于数列，，…，，定义变换，将数列变换成数列，，…，
，，记，，．对于数列，，…，与，，…，，定义．若数列，，…，满足，则称数列为数列．
（1）若，写出，并求；
（2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由：
（3）若数列满足，求数列A的个数．
典例6、已知数列为有限数列，满足，则称满足性质.
（1）判断数列和是否具有性质，请说明理由；
（2）若，公比为的等比数列，项数为12，具有性质，求的取值范围；
（3）若是的一个排列符合都具有性质，求所有满足条件的数列.
随堂练习：已知数列，给出两个性质：①对于任意的，存在，当时，都有成立；②对于任意的，存在，当时，都有成立．
（1）已知数列满足性质①，且，，试写出的值；
（2）已知数列的通项公式为，证明：数列满足性质①；
（3）若数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在且唯一.证明：数列 是等差数列．
人教A版数学--数列专题五答案
典例1、答案：（1） （2）证明见解析； （3）
解：（1）由题意得：
（2）为常数
数列是首项为2，公差为1的等差数列
（3）
令，
当时，，递增 当时，，递减
当或n=3时，有最大值
随堂练习：答案： （1）， （2）
解：（1）∵ 则，解得或（舍去）
∴. 又∵，
当时，，则，
当时，，则，即，
则数列是以首项，公比为的等比数列，
∴.
（2）， ，
两式相减得：
∴
∵对任意的恒成立，即对任意的恒成立
①当是奇数时，任意的'恒成立 ∴对任意的恒成立
②当是偶数时，对任意的恒成立 ∴对任意的恒成立
令，对任意的恒成立 ∴为递增数列
①当是奇数时，则，即 ②当是偶数时，则 ∴.
典例2、答案： （1）证明见解析；. （2）.
解：（1）∵，，两边同除以得： ，从而，，
是首项为1，公差为1的等差数列，， ∴；
（2）由，，
∴，∴， ∴，
∴， ，
两式相减得，，
∴ ＝，
中每一项，为递增数列，∴，
∵，∴， ， .
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）
解：（1）由 可得
即，
因此是以为首项，为公比的等比数列.
（2）（i）因为
所以由可得
因此
即
（ii）当n为奇数时，单调递减，得；
当n为偶数时，单调递增，得；
因为，所以，
因此的最大值为，最小值为，
因为对任意正整数i，，都成立，所以，即
解得.
典例3、答案： （1），；（2）.
详解:（1）当时，，∴，
当时，由
得：，即，
∴数列是公差为2的等差数列，
∵，∴. 由条件得，，
∴，即数列是公比为2的等比数列， ∴.
（2），设数列的前项和为，则，
∴，
∴，， ∴，
由得， 累加得，
即， ∴， ∴，
令，则，
∴，
∴， ∴.
随堂练习：答案：（1）（），（）， （2）
解：（1）由两边同除得：，
两边同除得：， 则，
所以
，（）
所以，又符合， 故（），
（2）由得：，解得：， 所以（）.
∵， ∴ ①
∴ ②
由①-②得：，
∴.
则，由得：
，
因为 所以当为偶数时，；当为奇数时，.
故 所以，即，
故的取值范围是.
典例4、答案： （1）、、、或、、、或、、、（2）证明见解析 （3）证明见解析
解：（1）由已知，即，可得或.
当时，由，即，因为，可得；
当时，由，即，因为，可得或.
因此，若，，
写出数列前项的所有可能情况为：、、、或、、、或、、、.
（2）证明：对于数列中的任意一项，
由已知得，或，即或．
若，则由可得；
若，则，此时，即．
设集合，、，且，
，，，，，，
则数列是数列一个无穷递增子列．
（3）证明：考察数列和．
①当或时，显然成立；
②当时，设，由（2）可知．
如果，那么，或，于是总有，
此时；
如果，那么，或，于是总有，
此时．
综上，当且时总有． 所以，
所以，，，，
叠加得，．
令，解得，
即存在，（其中表示不超过的最大整数），
使得． 又因为是的子列，令，则．
由①②可知，对于任意实数，都存在，使得．
随堂练习：答案： （1） （2） （3），证明见解析
解：（1）由题意时，，，，由，知，
所以，，，， 故.
（2）记数列的所有项和为S，
因为，且，所以，
则，故.
当，或，时取到等号，
所以当，或，时，
S取到最大值，为.
“数列为常数列”的充要条件是（）
证明如下：先证充分性：当（）时，，
所以为常数列； 再证必要性：当为常数列时，记，
设中有x个，则必有个，
将数列的所有项相加得：，由，且m为奇数，
所以，
所以，由得：，所以，
所以.
典例5、答案： （1）, （2）,, （3）
解：（1）数列是斐波那契数列,则的项分别是
当时,则;当时,则,当时,则;当时,
则
以此类推,可知当时,表示满足的所有i中最大的一个,
所以,表示满足的所有i中最小的一个,所以
（2）因为数列是公比为整数的等比数列,故公比
当时,的项为,表示满足的所有i中最大的一个,所以,
同理;表示满足的所有i中最小的一个,所以,同理,符合题意.
当时,的项为,表示满足的所有i中最大的一个，不符合,当时,的项增长的更快速,此时,故不符合题意.综上,,,
（3）由数列是公差为d的等差数列,且单调递增,所以,又因为,
设数列,的公差分别为,则
则,
当时,满足
由于是任意正整数,故可知
同理可知当时,满足
由于是任意正整数,故可知,综上可知,又因为,
所以可以是任意一个正整数.故
随堂练习：答案： （）1；；（2）不存在适合题意的数列；（3）.
解：（1）由， 可得，
， ∴；
（2）∵，
由数列A为数列，所以，
对于数列，，…，中相邻的两项，
令，若，则，若，则，
记中有个，有个，则，
因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同，
故不存在适合题意的数列；
（3）首先证明，
对于数列，，…，，有，，…，，，
，，…，，，，，…，，，
，，…，，，，，…，，，
∵，
，
∴， 故，
其次，由数列为数列可知，， 解得，
这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次，
若数列中的个数为个，此时数列有个，所以数列的个数为个.
典例6、答案：（）1满足，不满足 （2） （3）共4个满足，分别是：和和和
解：（1）对于第一个数列有，满足题意，该数列满足性质
对于第二个数列有不满足题意，该数列不满足性质.
（2）由题意可得， 两边平方得：
整理得：
当时，得， 此时关于恒成立，
所以等价于时，所以， 所以或者，所以取.
当时，得， 此时关于恒成立，
所以等价于时，所以， 所以，所以取.
当时，得.
当为奇数的时候，得，因为，故显然成立
当为偶数的时候，得，因为，故显然不成立，
故当时，矛盾，舍去.
当时，得. 当为奇数的时候，得，显然成立，
当为偶数的时候，要使恒成立，
所以等价于时，所以，
所以或者，所以取. 综上可得，.
（3）设，，
因为， 故， 所以可以取或者，
若，，则， 故或（舍，因为），
所以（舍，因为）.
若，，则， 故（舍，因为），或
所以（舍，因为）.
所以均不能同时使，都具有性质.
当时，即有， 故，故，
故有数列：满足题意.
当时，则且，故，
故有数列：满足题意.
当时，， 故，故，
故有数列：满足题意.
当时，则且， 故，
故有数列：满足题意. 故满足题意的数列只有上面四种.
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 （3）证明见解析
解：（1）因为数列满足性质①，且，所以，所以，
又因为，即，所以，同理可得：.
（2）因为数列的通项公式为，所以，对于任意的，令，则，
.
又，则，即.
又，所以， 即对于任意的.
所以，对于任意的，令，则当时，都有成立，
所以，数列满足性质①.
（3）由题意，数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在,
即对于任意的，存在，当时，都有成立，
所以，当时，， 即.
对于任意的,有，
对于任意的,有,
，
又当时，同时满足性质①②的存在且唯一,
所以，当时，, 所以，满足条件的数列是等差数列.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）人教A版数学--数列专题六
知识点一 由递推数列研究数列的有关性质,由递推关系证明数列是等差数列,数列新定义
典例1、已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设．
（1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合;
（2）若具有性质,证明:;
（3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值．
随堂练习：已知数列满足，，数列的前项和记为.
（1）写出的最大值和最小值；
（2）若，求的值；
（3）是否存在数列，使得？如果存在，写出此时的值；如果不存在，说明理由.
典例2、已知为实数，数列满足.
（1）当和时，分别写出数列的前5项；
（2）证明：当时，存在正整数，使得；
（3）当时，是否存在实数及正整数，使得数列的前项和？若存在，求出实数及正整数的值；若不存在，请说明理由.
随堂练习：已知数列满足：，且.记集合.
（1）若，写出集合的所有元素；
（2）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（3）求集合的元素个数的最大值.
典例3、已知数列的首项，其中，令集合，．
（1）若是数列中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；
（2）求证：；
（3）当时，求集合中元素个数的最大值．
随堂练习：已知无穷数列满足公式，设.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）给定整数，是否存在这样的实数，使数列满足：
①数列的前项都不为零；
②数列中从第项起，每一项都是零.
若存在，请将所有这样的实数从小到大排列形成数列，并写出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.
知识点二 利用定义求等差数列通项公式,由递推关系证明数列是等差数列,反证法证明,
利用an与sn关系求通项或项
典例4、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
随堂练习：已知数列满足：，，记数列，
（1）证明数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在数列的不同项使之称为等差数列？若存在，请求出这样的不同项；若不存在，请说明理由．
典例5、设数列的前项和为，且，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：为定值；
（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.
随堂练习：已知数列的前项和满足，数列的前项和满足且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和;
(3)数列中是否存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列 若存在，求出，， 的关系；若不存在，请说明理由.
典例6、已知等比数列的前项和为，，．数列的前项和为，且，．
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，是否存在不同的正整数，，（其中，， 成等差数列），使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的，，的值；若不存在，说明理由．
随堂练习：若数列的前项和为，且满足等式.
（1）求数列的通项公式；
（2）能否在数列中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；
（3）令，记函数的图像在轴上截得的线段长为，
设，求，并证明：.
人教A版数学--数列专题六
典例1、答案：（1）不具有性质,具有性质, （2）证明见解析 （3）
解：（1）解:由题知, 即
因为, 所以不具有性质,
由于, 即
因为 故具有性质,
因为
故;
（2）“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,
假设两个元素均不在中, 则有
不妨设, 若, 则由,
可得, 与矛盾, 故, 同理,
从而, 所以,
与具有性质矛盾, 所以假设不成立,即;
（3）设
规定时,, 时,,
则, 所以,
考虑数列, ,
由题设可知,他们均具有性质, 设中元素个数最小值为,
所以, 所以,
由(2)知,从而,
当时,令,
当时,令,
此时均有, 所以中元素个数的最小值为.
随堂练习：答案：（1），； （2）0； （3）不存在，理由见解析.
解：（1）因为，， 所以，解得或，
当时，由，解得或，
当时，由，解得，
所以或或，
所以最大值为，最小值为.
（2）当时，，则或，
此时由知，不满足，舍去；
当时，，则或，
满足，不满足，舍去；
当时，由，得或，
由知满足题意，当时，不满足题意，
综上， 或，或，
所以或或， 故.
（3）由，可得为整数，，
所以，
则，
所以，
若存在数列，使得，则， 又为整数，所以方程无解，
故不存在数列，使得.
典例2、答案： （1）当时，当时，
（2）证明见解析； （3）存在，与，
解：（1）当时，
当时，
当时，，
在数列中直到第一个小于等于的项出现之前，
数列是以为首项，为公差的递减的等差数列 即
当足够大时，总可以找到，则存在正整数，使得
（i）若，令，则存在正整数，使得
（ii）若，，则
令，则存在正整数，使得
综上所述，则存在正整数，使得.
（3）①当时，
当时， 当时，
令，而此时为奇数，成立，
又不成立，所以存在正整数，使得.
②当时， 所以数列的周期为，
当时，
当时，
当时，
当时， 所以
所以或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数，使得
③当时，
，当时，
综上所述，当与，时，.
随堂练习：答案： （1） （2）见解析 （3）5
解：（1）若，则，，，
，故中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2. 故.
（2）设， 若，则，因互质，故为3的倍数；
若，则即，因互质， 故为3的倍数，
依次类推，有均为3的倍数.
当时，我们用数学归纳法证明：也是3的倍数.
当时，若，则，故为3的倍数；
若，则，故为3的倍数，
设当时，是3的倍数即为3的倍数，
若，则，故为3的倍数；
若，则，因为3的倍数，故为3的倍数，
故当时，是3的倍数也成立，
由数学归纳法可得是3的倍数成立，
综上，的所有元素都是3的倍数.
（3）当，则，，，，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为1；
当时，的元素个数不超过为5，
综上，的元素个数的最大值为5.
典例3、答案：（1）27，9，3；8，9，3；6，2，3 （2）证明见解析 （3）21
解：（1）是数列中首次为1的项，又，；
或，即或2；同理或，当时，
即或8，当时，或1（不合题意，舍去）；
所以，满足条件的数列的前三项为： 27，9，3；或8，9，3；或6，2，3．
（2）若被3除余1，则由已知可得，，；
若被3除余2，则由已知可得，，；
若被3除余0，则由已知可得，； 所以，
所以
所以，对于数列中的任意一项，若“，则”．
因为，所以． 所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）
若，则，；若，则，，若，，
由递推关系易得．
（3）集合中元素个数的最大值为21．
由已知递推关系可推得数列满足：
当时，总有成立，其中，，，．
下面考虑当时，数列中大于3的各项：
按逆序排列各项，构成的数列记为，由（1）可得或9，
由（2）的证明过程可知数列的项满足：
，且当是3的倍数时，若使最小，需使，
所以，满足最小的数列中，或7，且，
所以，所以数列是首项为或的公比为3的等比数列，
所以或，即或，
因为，所以，当时，的最大值是6，
所以，所以集合中元素个数的最大值为21．
随堂练习：答案：（1）（2）（3）存在这样的，，理由见解析
解：（1）因为，所以；
（2）因为，
（i）当时，，所以， 此时，若，则；
若，则.
（ii）当时，，所以，此时，若，则；
若，则. 综上所述， ；
（3）存在这样的， 因为，由（2）可知，
（i）当时，，所以，
（ii）当时，，所以，
以此类推，，
所以数列的通项公式为.
典例4、答案：(1) . (2)见证明
解：(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以.
(2)证明：(反证法)假设存在三项按原来顺序成等差数列，
记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，则，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①
又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.
所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析．
解：（1）由已知 ，
，
所以 是 为首项，为公比的等比数列
（2）由（1）得 所以

（3）假设存在 满足题意成等差数列，
代入得 ，
所以，即 ，左偶右奇不可能成立．
所以假设不成立，这样三项不存在
典例5、答案：（1）（2）证明见解析（3）数列中不存在三项成等差数列，证明见解析.
解:（1）1°当时,,解得.
2°当时,,即.
因为,所以,从而数列是以2为首项,2为公比的等比数列, 所以.
（2）因为,所以, 故数列是以4为首项,4为公比的等比数列,
从而, 而, 所以.
（3）不存在.理由如下.
假设中存在三项成等差数列,不妨设第m,n,k（）项成等差数列,
则,即.
因为,且m,n,,所以.
令（）,则,显然在上是增函数,
所以,即,
所以,
所以,其左边为负数,右边为正数,故矛盾,
所以数列中不存在三项成等差数列.
随堂练习：答案：(1) ； (2) (3) 不存在不同的三项，，，使之成等差数列.理由见解析
解:(1)当时，.
，① 当时，.②
①-②得，，
，故成等比数列，公比， 又，.
，， 数列是一个首项为，公差为的等差数列，
，，
当时，， 且满足， .
（2），
.① .②
①-②，得.
.
（3）且，.
假设存在不同的三项，，，恰好构成等差数列，则，
即，化简得.
两边同除以，得.（*）
不妨设，则，则，且，，与（*）矛盾.
不存在不同的三项，，，使之成等差数列.
典例6、答案：（1），；（2）不存在，理由见解析.
解:（1）因为数列为等比数列，设首项为，公比为，
由题意可知，所以， 所以，
由②可得，即，所以或2，
因为，所以，所以， 所以，
由，可得，
所以数列为等差数列，首项为，公差为1，
故，则，
当时，， 当时，也适合上式， 故．
（2）由，可得，
所以，
所以，
假设存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），
使得，，成等比数列，
则有， 所以，
则，即，
因为，所以，即，
所以，所以，
则，所以，则， 所以，即，
所以，这与已知的，，互不相等矛盾，
故不存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），
使得，，成等比数列．
随堂练习：答案：（1）；（2）不存在，理由见解析；（3），证明见解析.
解: （1）当时，，则，
当时，，则，
∴是首项为，公比为的等比数列， ∴，.
（2）若，有成等差数列，则，
∴，即，整理有，又，
∴，故，与矛盾，
故数列中找不到三项，它们按原来的顺序构成等差数列.
（3）由（1）知：，则，
又，
∴
∴，得证.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）人教A版数学--数列专题七
知识点一 根据规律填写数列中的某项,数列求和的其他方法,数列新定义
典例1、对于项数为的有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.
（1）若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；
（2）设是的控制数列，满足（为常数，）.证明：.
（3）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.
随堂练习：给定整数()，设集合，记集合．
（1）若，求集合；
（2）若构成以为首项，()为公差的等差数列，求证：集合中的元素个数为；
（3）若构成以为首项，为公比的等比数列，求集合中元素的个数及所有元素之和．
典例2、设，为正整数，一个正整数数列，，…，满足，对，定义集合，数列，，…，中的（）是集合中元素的个数.
（1）若数列，，…，为5,3,3,2,1,1，写出数列，，…，；
（2）若，，，，…，为公比为的等比数列，求；
（3）对，定义集合，令是集合中元素的个数.求证：对，均有.
随堂练习：已知数列的各项均为正整数，设集合，记
的元素个数为.
（1）①若数列：，，，，求集合，并写出的值；
②若数列：，，，，且，，求数列和集合；
（2）若是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；
（3）请你判断是否存在最大值，并说明理由.
典例3、对于项数为m（且）的有穷正整数数列，记，即为中的最小值，设由组成的数列称为的“新型数列”.
（1）若数列为2019，2020，2019，2018，2017，请写出的“新型数列”的所有项；
（2）若数列满足，且其对应的“新型数列”项数，求的所有项的和；
（3）若数列的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的及其对应的“新型数列”.
随堂练习：设数列（）的各项均为正整数，且.若对任意，存
在正整数使得，则称数列具有性质.
（1）判断数列与数列是否具有性质；（只需写出结论）
（2）若数列具有性质，且，，，求的最小值；
（3）若集合，且（任意，）.
求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.
知识点二 利用定义求等差数列通项公式,裂项相消法求和,利用an与sn关系求通项或项
典例4、已知数列是等差数列，其前n项和为，，，数列满足( 且)，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
随堂练习：已知等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且，求数列的前n项的和.
典例5、已知数列的首项，其前n项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，且，求n.
随堂练习：已知数列的前项和，数列满足.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求满足的的最大值.
典例6、在“①，，；②，；③”三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答． 已知等差数列的前n项和为，且__________．
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前n项和为，求证：．
随堂练习：已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：已知，___________，是否存在正整数，使得数列的前项和？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
人教A版数学--数列专题七答案
典例1、答案： （1）答案见解析； （2）证明见解析； （3）。
解：（1）由题意，，，，，
所以数列有六种可能：；；；；；．
（2）因为，，所以，
所以控制数列是不减的数列，
是的控制数列，满足，是常数，所以，
即数列也是不减的数列，，
那么若时都有，则，
若，则，若，则，
又，由数学归纳法思想可得对，都有；
（3）设的控制数列是，由（2）知是不减的数列，必有一项等于，
当是数列中间某项时，不可能是等差数列， 所以或，
若，则（），是等差数列，
此时只要，是的任意排列均可．共个，
，而时，数列中必有，否则不可能是等差数列，
由此有，即就是，只有一种排列，
综上，的个数是．
随堂练习：答案：（1）（2）见解析（3）
解:（1）因为， 当时，
∴．
(2) 因为构成以为首项，()为公差的等差数列，
所以有()，以及()．
此时，集合中的元素有以下大小关系：．
因此，集合中含有个元素．
(3)由题设，． 设集合，．
①先证中的元素个数为，即从集合中任取两个元素，它们的和互不相同．
不妨设，于是． 显然．
假设，可得，即．
因为，，所以，又，
于是，等式不成立．
因此，． 同理可证．
②再证．
不妨设，于是． 显然，．
假设，可得，即，
因为，所以，又，于是，等式不成立．
因此，． 由①②，得，且．
此时，集合中的元素个数为．
集合中所有元素的和为．
典例2、答案：（1）数列，，…，是6,4,3,1,1. （2） （3）
解: （1）解：数列，，…，是6,4,3,1,1.
（2）由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，
因此数列，，…，为，，…，2
下面证明
假设数列中有个，个，…，个2，个1，显然
所以.
由题意可得，，
，…，，…，.
所以 故
即
（3）对，表示，，…，中大于等于的个数
由已知得，，…，一共有项，每一项都大于等于1，
故，由于 故
由于，故当时， 即.
接下来证明对，
，则，即1,2，…，，从而 故，
从而1,2，…，，故，从而，故有
设，即，根据集合的定义，有.
由知，1,2，…，，由的定义可得，
而由，故 因此，对，
随堂练习：答案： （1）①；②数列：，，，，；
（2）证明见解析； （3）不存在，证明见解析.
【试题解析】 分析:
解：（1）因为，，，，，，
所以集合，.
因为：，，，，且，所以，，均不相等，
所以，，都是集合中的元素，因为，
所以，可得：，， 所以数列：，，，，.
（2）充分性：是递增数列，若为等差数列，则，
设的公差为，，当时，，
所以，所以，故充分性成立.
必要性：若是递增数列，，则为等差数列，
因为是递增数列，所以，
所以，且互不相等， 所以，
又因为， 所以且互不相等，
所以，，，，
所以，所以为等差数列，必要性成立.
所以若是递增数列，“”的充要条件是“为等差数列”.
（3）假设存在最大值为，即中有个元素，
分别为，且，
不妨设，其中且与均是正整数，
则，且也是正整数，所以，
所以中有个元素，与假设中有个元素矛盾，
所以假设不成立，所以不存在最大值.
典例3、答案：（1）数列为2019，2019，2019，2018，2017（2）（3）满足题意的数列：.所以对应的“新型数列”分别为：.
解：（1）数列为2019，2019，2019，2018，2017；
（2）由已知得：当时，关于n递减；当时，关于n递减，
又时，关于n递减. ，.
又，. 共21项且各项分别与中各项相同，
其和为 .
（3）先不妨设数列单调递增， 当时，，，
，此时无解，不满足题意；
当时，由 得，
，又，，代入原式得.
当时，， 而，矛盾，
所以不存在满足题意的数列.
综上，满足题意的数列：.
所以对应的“新型数列”分别为：.
随堂练习：答案（1）数列不具有性质；数列具有性质（2）的最小值为（3）证明见解析
解: （1）数列不具有性质；数列具有性质.
（2）由题可知，，，，， 所以.
若，因为且，所以.
同理，
因为数列各项均为正整数，所以.所以数列前三项为.
因为数列具有性质，只可能为之一，而又因为， 所以.
同理，有. 此时数列为.
但数列中不存在使得，所以该数列不具有性质. 所以.
当时，取.（构造数列不唯一）
经验证，此数列具有性质. 所以，的最小值为.
（3）反证法：假设结论不成立，即对任意都有：若正整数，则.
否则，存在满足：存在，使得，此时，从中取出：
当时，是一个具有性质的数列；
当时，是一个具有性质的数列；
当时，是一个具有性质的数列.
（i）由题意可知，这个集合中至少有一个集合的元素个数不少于个，
不妨设此集合为，从中取出个数，记为，且.
令集合.
由假设，对任意，，所以.
（ii）在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，
从中取出个数，记为，且.
令集合.
由假设.对任意，存在使得.
所以对任意，，
由假设，所以，所以，所以.
（iii）在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，
从中取出个数，记为，且.
令集合.
由假设.对任意，存在使得.
所以对任意，，
同样，由假设可得，所以，所以.
（iv）类似地，在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，
从中取出个数，记为，且， 则.
（v）同样，在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，
从中取出个数，记为，且，同理可得.
（vi）由假设可得.
同上可知，，
而又因为，所以，矛盾.所以假设不成立. 所以原命题得证.
典例4、答案： （1），； （2）.
解：（1）设等差数列公差为d， ∵，∴，
∵公差，∴.
由得，即，
∴数列是首项为，公比为2的等比数列，∴；
（2）∵，∴，
随堂练习：答案： （1）；（2）.
解: （1）设数列的首项为，公差为，且.
则由题意，得， 解之得或（舍）， ∴.
（2）由 得：；；；；
以上等式左右相加得，
又，∴， 当时，也满足上式，
.
∴
.
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）由得，
从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以；
（2）由（1）得
，
由得 又，所以.
随堂练习：答案：（1）证明见解析，；（2）的最大值为.
解:（1）. 当时，，解得；
当时，由，可得，
上述两式相减得，即，
等式的两边同时乘以，得，即，
所以，且，
所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，
即，；
（2）由（1）可
，
所以，，
由可得，即，. 因此，正整数的最大值为.
典例6、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）若选择①，因为，，，， 解得，，
设公差为d，则有，， 解得，， 所以．
若选择②，设公差为d，， 即，
结合，解得，， 所以．
若选择③，当时，； 当时，，
当时亦满足上式， 所以．
（2）证明：由（1）得，
所以，
因为，（），所以， 所以．
随堂练习：答案： （1） （2）答案见解析
解：（1）设等比数列的公比为，由得：，，又，
因此有，即，解得，(舍去)，则，
所以数列的通项公式.
（2）若选①：设等差数列公差为d，则，，解得，
于是得：，，
则有，
由，解得，而为正整数，则的最小值为，
所以存在正整数满足要求，的最小值为.
若选②：设等差数列公差为d，则，，解得，
于是得，，
则有，
由，解得，而为正整数，则的最小值为，
所以存在正整数满足要求，的最小值为.
若选③：设等差数列公差为d，则，，解得，
于是得：，，
，
令，得，显然数列()是递减的，
当时，，当时，，
即由得，则的最小值为
所以存在正整数满足要求，的最小值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）人教A版数学--数列专题八
知识点一 等差数列的单调性,等比数列通项公式的基本量计算,求等比数列中的最大（小）项,
数列新定义
典例1、设数集满足：①任意，有；②任意x，，有或，则称数集具有性质.
（1）判断数集和是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集且具有性质.
（i）当时，求证：，，…，是等差数列；
（ii）当，，…，不是等差数列时，求的最大值.
随堂练习：已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P；
①；②对任意的、，与至少有一个是数列中的项．
（1）分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由；
（2）若数列具有性质，求证：；
（3）若数列具有性质，且不是等比数列，求的值．
典例2、对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称 为“数列”．
（1）若数列的通项公式为的通项公式为，分别判断是否为“数列”，并说明理由；
（2）已知数列为等差数列，
①若是“数列，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”．
随堂练习：已知为正整数数列，满足．记．定义A的伴随数
列如下：①； ②，其中．
（1）若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列；
（2）当时，若，求证：；
（3）当时，若，求证：．
典例3、已知数列：，，…，满足：（，2，…，，），从中选取第项、第项、…、第项（，）称数列，，…，为的长度为的子列.记为所有子列的个数.例如：0，0，1，其.
（1）设数列：1，1，0，0，写出的长度为3的全部子列，并求；
（2）设数列：，，…，，：，，…，，：，，…，，判断，，的大小，并说明理由；
（3）对于给定的正整数，（），若数列：，，…，满足：，求的最小值.
随堂练习：若项数为且的有穷数列满足：，则称数列具
有“性质”．
（1）判断下列数列是否具有“性质”，并说明理由； ①1，2，4，3；②2，4，8，16．
（2）设，2，，，若数列具有“性质”，且各项互不相同．求证：“数列为等差数列”的充要条件是“数列为常数列”；
（3）已知数列具有“性质”．若存在数列，使得数列是连续个正整数1，2，，的一个排列，且，求的所有可能的值．
知识点一 利用定义求等差数列通项公式,由递推关系证明数列是等差数列,裂项相消法求和
典例4、设是公差不为0的等差数列，，是，的等比中项.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
随堂练习：已知数列各项均为正数，且.
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求的取值范围.
典例5、记为数列的前项和，已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，记，求数列的前项和．
随堂练习：数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列．
（2）若，求数列的前项和．
典例6、已知正项数列的前项和为，且，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和，求证：.
随堂练习：已知数列满足
（1）证明：数列为等差数列：
（2）设数列满足，求数列的前项和.
人教A版数学--数列专题八答案
典例1、答案： （1）数集不具有性质，数集具有性质，证明见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）4
解：（1）证明：对于数集，，，所以数集不具有性质，
对于数集，任意，，所以数集具有性质.
（2）（i）当时，数集具有性质，
，所以，即，因为，
则，又因为，所以，
则，因为，
所以得，，，
因为，所以，则，
又因为，所以或，因为，
所以(舍去)，即，，
所以，即当时，，，…，是等差数列.
（ii）若数集且具有性质，
按照(1)推导的方式得出一般结论，具体如下：因为，
所以，即，
因为，
所以①，所以，，
因为，
所以，即，
因为，
根据， 分两种情况：
第一种情况为，，…，，
第二种情况为，，
先考虑第二种情况，与题意矛盾，
，与题意矛盾，
所以只能为第一种情况，可得②，
由①-②，得， 即，
即当时，，，…，是等差数列，
当时，，所以，即，
由前面得出，所以，，
当成立时，，，，不是等差数列， 所以的最大值为4.
随堂练习：答案：（1）数列、、、不具有性质，数列、、、不具有性质，见解析
（2）证明见解析 （3）
解：（1）对于数列、、、，因为，，
所以，数列、、、不具有性质；
对于数列、、、，当时，，，
所以，数列、、、不具有性质.
（2）证明：因为，
因为，则为数列中的项，所以，，
设且，因为，则不是数列中的项，
所以，为数列中的项，
因为， 所以，，，，，
上述等式全部相乘可得，因此，.
（3）解：当时，由（2）可知，
由题意可得，这与数列是等比数列矛盾；
当时，由（1）可知，数列、、、具有性质；
当时，由（2）可知，，①
当时，，所以，不是数列中的项，
因为，，
所以，，，，，所以，，
因为，所以，，，
所以，，，所以，，②
由①②可得，这与数列不是等比数列矛盾，不合题意.
综上所述，.
典例2、答案： （1）是“数列”，不是“数列”；（2）①9,10,12,16；②证明见解析．
解：（1），对任意的，，，，，
取，则，∴是“数列”，
，对任意的，，，，
为偶数，而为奇数，因此不存在
使得，∴不是“数列”；
（2）数列为等差数列，
①若是“数列，，且，，， ，
对任意的，，，，
，由题意存在，使得，
即，显然，
所以，，
，所以是8的正约数，即，2，4，8，
时，，；
时，，；
时，，；
时，，．
综上，的可能值为9，10，12，16；
②若对任意，存在，使得成立， 所以存在，，，
设公差为，则，， ，
对任意的，，，，
，取，则，
所以是“数列”．
随堂练习：答案：（1）； （2）见解析； （3）见解析.
解：（1）因为数列A：4，3，2，1，， 所以.
因为， 所以，，，
，. 故数列A的伴随数列为.
（2）当时，，显然有；
当时，只要证明. 用反证法，假设，
则，从而，矛盾. 所以.
再根据为正整数，可知. 故当时，.
当时，，有，此时，命题成立；
（3）当时，由（2）的结论，中至少有两个1，
现假设中共有个1，即 则.
因为若，则，矛盾. 所以.
根据的定义可知，，， ，
以此类推可知一直有，再由后面，可知；
另一方面与奇偶性相同，所以.
典例3、答案：（1）6 （2） （3）
解：（1）由的定义以及， 可得：的长度为3的子列为：，有2个，
的长度为的子列有个，的长度为的子列有个， 所以.
（2） 理由如下：
若是的一个子列，
则为的一个子列.
若与是的两个不同子列，
则与也是的两个不同子列.
所以. 同理， 所以.
同理 所以有
（3）由已知可得，数列中恰有个1，个0.
令， 下证：.
由于，
所以的子列中含有个0，个1 的子列有且仅有1 个，
设为：.
因为数列的含有个0，个1的子列至少有一个， 所以.
数列中， 不含有0的子列有个，
含有1个0的子列有k个， 含有2个0的子列有个，，
含有个0的子列有个， 所以.
所以的最小值为.
随堂练习：答案： （1）数列1，2，4，3不具有“性质M”；数列2，4，8，16具有“性质M”
（2）证明见解析 （3）或5
解：（1），该数列不具有“性质”；
，该数列具有“性质”；
（2）证明：充分性，若数列是常数列，则，
即，或
又数列且各项互不相同，，数列为等差数列；
必要性，若数列为等差数列，则，即，数列为常数列；
（3）数列是连续个正整数1，2，，的一个排列，当时，，
，不符合题意；
当时，数列3，2，4，1满足，，符合题意；当时，
数列2，3，4，5，1满足，符合题意；
当时，令，2，，，则，
且，的取值有以下三种可能
①，②，③，
当时，，
由（2）知，，，是公差为1或的等差数列，
若公差为1时，由得或，，不合题意，不合题意；
若公差为，同上述方法可得不符合题意；
当满足②，③时，同理可证不符合题意，
故：或5．
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）设的公差为，因为，是，的等比中项，
所以，所以.
因为，所以，故.
（2）因为，
所以.
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）因为，所以
所以，
因为各项均为正数，， 所以，
所以数列是首项为4，公差为4的等差数列，
， 所以数列的通项公式为.
（2）因为 所以，
则，
因为，故， 所以，又，所以，
所以的取值范围为.
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）当且时，，
，
整理可得：，，
数列是公差为的等差数列.
（2）由（1）得：，
， .
随堂练习：答案： （1）见解析 （2）
解：（1）证明：因为， 所以，又，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）由（1）得，
，
则
.
典例6、答案： （1） （2）见解析
解：（1）当时，，所以，
由， 得， 两式相减得，
又，所以，
所以数列的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列，
又， 所以数列是以为首项为公差的等差数列， 所以；
（2）， 则，
所以，
所以.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）方法1：由，
两边同除以得，，（）为常数，
∴数列为等差数列，首项，公差为1，
方法2：由得，
∴（）为常数，
∴数列为等差数列，首项，公差为1. 由，∴，
（2）方法1：，
则.
方法2：，
则.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）人教A版数学--数列专题九
知识点一 裂项相消法求和,利用an与sn关系求通项或项
典例1、已知数列的前项和为，满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
随堂练习：设数列的前n项积为，且.
（1）求证数列是等差数列；
（2）设，求数列的前n项和.
典例2、已知数列{}满足
（1）求证：数列是等差数列；
（2）记，求数列{·}的前2022项和；
随堂练习：已知数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
典例3、已知数列{an}和{bn}，a1＝2，，，
（1）证明：是等比数列；
（2）若，求数列的前n项和Sn.
随堂练习：已知数列的前n项和为，其中，满足．
（1）证明数列为等比数列；
（2）求数列的前n项和．
知识点二 确定数列中的最大（小）项,利用an与sn关系求通项或项
典例4、已知数列的前项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的最小项的值.
随堂练习：已知数列的前项和．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，试问：数列是否有最大项、最小项，若有，分别指出第几项最大、最小；若没有，试说明理由．
典例5、是数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列中最小的项.
随堂练习：设数列的前项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的最小值及相应的n的值.
典例6、数列满足，且（）．
（1）求；
（2）求数列的通项公式；
（3）令，求数列的最大值与最小值．
随堂练习：已知数列的前项和为,且满足,数列的前项和为,且满足
,其中N*.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是公差不为零的等差数列.
①求实数的值.
②若≤对任意的N*恒成立,求的取值范围.
人教A版数学--数列专题九答案
典例1、答案： （1）； （2）.
解：（1）因为，所以， 两式相减得，
即，即，
又，，故，
因此，数列是每项都是1的常数列，从而.
（2）因为，所以， 从而，
因此.
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）因为数列的前n项积为，且，
∴当n=1时，，则，.
当n≥2时，，∴，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）知数列，则由得，
所以，
所以.
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）依题设可得
∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，
∴， ∴
（2）由（1）可得，
∴，
∴
随堂练习：答案： （1）
（2）当时，；当时，
解：（1）证明：，变形为：，，
∴数列是等比数列，首项为6，公比为3.
∴，
变形为：，，
∴， ∴
（2）由（1）得，
∴当时，数列的前项和
.
当时，数列的前项和
.
典例3、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）∵，，
∴，，
又，，解得，，
∴是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，则，
∴，
∴ .
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）．
解: （1）由可得，
因为，所以 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列
（2）根据（1）可得：，
所以，
所以，
所以．
典例4、答案：（1）；（2）.
解: （1），，则， 即，
当时，；
当时，；
经检验适合，
（2）由（1）知： ，， ，
当时，，
当时，；当时，；
又，，当时，有最小值.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）第1595项最小，无最大项
解：（1）因为数列的前项和，
当时，，
当时，，
因为当时也满足，故.
故为常数，故是等差数列
（2）由（1），故，
则
，
因为，故令可解得或，
即，，，
因为，，
故数列有最小项为第1595项，又随着的增大一直增大无最大值，
故数列第1595项最小，无最大项
典例5、答案：（1）；（2）.
解: （1）对任意的，由得，
两式相减得， 因此，数列的通项公式为；
（2）由（1）得，则.
当时，，即，；
当时，，即，.所以，数列的最小项为.
随堂练习：答案： （1）；（2）最小值，或9.
解: （1）∵，则，
两式相减得：，即，
验：由且知：符合， ∴.
∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，则.
（2），则，
∴时，；时，；时，，即：
∴当或9时，数列取得最小值.
典例6、答案：（1），，；（2）；
（3）数列的最大值为，最小值为.
解: （1）当时，有，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
（2）当时，①， 又②，
②式减①式可得：，即，
由（1）知当时，上式不成立，
所以是以从第二项开始，公比为的等比数列，
所以.
（3）当时，，
当时，，
当时，且递减，，
当时，且递减，， 又，
综上所述，数列的最大值为，最小值为.
随堂练习：答案：（1）；（2）①；②≤≤.
解: （1）由可得，
作差得， 化简可得，
又时 所以数列是以首项，为公比的等比数列, 所以.
(2) 设数列是以首项，为公差的等差数列,
则,,
由可得,
对任意恒成立,
可得,解之得或者(舍去) 所以，
（3）因为≤恒成立，
①当为偶数时，≤，
令， 则
当≥3时，；当≤2时，；
又因为， 所以 ， 所以，≤，
② 当为奇数时，≥，
令， 则，
当≥3时，；当≤2时，；
因为， 所以 ，
所以，≥， 综上所述：≤≤，
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知识点一 等比中项的应用,裂项相消法求和,分组（并项）法求和,等差数列通项公式的基本量计算
典例1、记为数列的前项和，已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，记，求数列的前项和．
随堂练习：已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
典例2、已知等差数列是单调递增数列，，且，，成等比数列，是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前项和，求.
随堂练习：已知数列的前项和为，，，．
（1）求；
（2）设是数列的前项和，求．
典例3、已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
随堂练习：已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和．
知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,由递推关系证明等比数列,裂项相消法求和
典例4、已知数列满足.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若__________，求数列的前项和.
（在①；②；③这三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解）
随堂练习：已知数列的首项为1，前项和为，且满足______.
①，；②；③. 从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：
（1）求； （2）求数列的前项和.
典例5、在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答．
问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______．
（1）求； （2）若，求数列的前项和．
注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．
随堂练习：设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且满足______________．
条件①：；条件②：；条件③：．
请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列的前n项和．
参考公式：．
典例6、在①数列的前n项和；②且，，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
（1）已知数列满足__________，求的通项公式；
（2）已知正项等比数列满足，，求数列的前n项和．
随堂练习：已知为等差数列的前项和，且，___________.在①，，成等比数列，②，③数列为等差数列，这三个条件中任选一个填入横线，使得条件完整，并解答：
（1）求； （2）若，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
人教A版数学--数列专题十答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）当且时，，
整理可得：，，
数列是公差为的等差数列.
（2）由（1）得：，
，
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设等差数列的公差为，则，解得：，
.
（2）由（1）得：，
典例2、答案： （1）； （2）.
解：（1）设的公差为，则
∴，∵，∴，
∴的通项公式为.
（2）由（1）得，
.
随堂练习：答案： （1）； （2）.
解：（1）由题，可得，
又知，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以，即．
（2）由（1）可得，
∴．
典例3、答案： （1）， （2）
解：（1）由题意，当时，，
当时，由， 可得，
两式相减， 可得，
化简整理，得， 也满足上式，
数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
，．
（2）由（1），可得，
则
．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）∵，，成等差数列，
∴， ∴，
设数列的公差为， ∴， ∴，
∵，解得：，
∵， ∴，，
∴；
（2）∵，
∴数列的前n项和为．
典例4、答案： （1） （2）答案见解析
解：（1）∵，则，即
故数列是首项和公差都为2的等差数列， ∴，即
（2）选①：
∵，
∴.
选②：
∵，则有：
当时，；
当时，； ∴.
选③：
∵，
∴.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）选①
因为，所以当为奇数时，；
同理，当为偶数时，. 所以.
选②
因为，（*）所以当时，，（**）
（*）-（**），得，即，
所以数列是首项为1的常数列， 所以.
选③
因为，所以，
所以数列是首项为的常数列，
所以，所以当时，.
当时，也符合上式.所以.
（2）由（1）得，，
所以
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）方法1：选①和③
，整理得，
设等差数列的公差为， 则有：，
整理得,，解得，
又由，可得，解得，故，所以，
方法2：选①和②
，，所以，，
设等差数列的公差为，则有，
化简得，解得，，则，
方法3：选②和③，
，可得，，
设等差数列的公差为，则有，得到方程，解得，
故，所以等差数列的通项公式为：.
（2），
随堂练习：答案： （1）； （2）证明见解析.
解：（1）若选择条件①：因为，所以，又，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列．
所以，所以．
若选择条件②：因为，所以．
当时，，整理得，，
所以， 累乘得，，
当时，，符合上式， 所以．
若选择条件③：因为，所以，即，
所以，所以数列为常数列，
又，所以，即．
（2）由（1）知：，结合参考公式
可得
所以
所以
.
典例6、答案： （1）； （2）.
解：（1）若选①：数列的前n项和.
当时，，
当时，，上式仍成立， ∴的通项公式为．
若选②：且，.
由可得，所以是和的等差中项，
所以是等差数列.
设公差为，则由，可得，所以.
所以的通项公式为．
（2）设的公比为. 由（1）知，
又，所以， 即，又，所以，
所以，的通项公式为.
则，
所以
．
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）设等差数列的公差为
选择①：由题意得，
故，解得， 所以.
选择②：由题意得，即
解得， 所以.
选择③：由题意得，
故，解得， 所以.
（2）由当为奇数时，，得数列的前项中奇数项的和为
，
由当为偶数时，，
得数列的前项中偶数项的和为：
，
故.
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知识点一 判断等差数列,写出等比数列的通项公式,求等比数列前n项和,分组（并项）法求和
典例1、已知数列，，为数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明为等差数列，并求数列的前项和.
随堂练习：已知数列满足，，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记在区间上，的项数为，求数列的前m项和.
典例2、设各项均为正数的数列的前n项和为，满足对任意，都．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列的前n项和．
随堂练习：设数列满足，且.
（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
典例3、已知正项数列的前n项和为，且，数列满足．
（1）求数列的前n项和，并证明，，是等差数列；
（2）设，求数列的前n项和．
随堂练习：已知数列，，且对任意，都有.
（1）设，判断数是否为等差数列或等比数列；
（2）若，，求数列的前项的和.
知识点一 累加法求数列通项,含绝对值的等差数列前n项和,由递推关系证明等比数列
典例4、已知在前n项和为的等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前20项和．
随堂练习：已知等差数列的前项和为，，，．
（1）求的通项公式
（2）设，求数列的前项之和．
典例5、已知是数列的前项和，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求.
随堂练习：已知等差数列的公差为，数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）请直接写出的结果.
典例6、在等比数列中，，公比，且，又有4是和的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前21项和．
随堂练习：在数列中，，，且满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）设是数列的前项和，求.
人教A版数学--数列专题十一答案
典例1、答案： （1） （2）证明见解析，
解：（1）当， 所以，
当， 即，
所以 所以；
（2）当， 所以，
因为， 所以，
所以是， 所以， 所以，
令，
则=-1+，
，
.
随堂练习：答案： （1），； （2）前m项和为，.
解：（1）由题意知：为等差数列，设其公差为d，
由，得，又，
∴，则.
（2）由题及（1）得，，
∴.
典例2、答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）证明：当时，，，所以.
当时，有，，
两式相减得，
所以，则，
两式相减得，即，
因为数列各项均为正数，所以有，
又时，则，即，整理可得，
解得或（舍去），
所以，满足.
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得，，所以.
所以，当为偶数时，.
当为偶数时，
；
当为奇数时，.
综上所述，.
随堂练习：答案： （1）证明见解析，; （2） .
解：（1）由已知得， 即，
是以 4 为首项， 2 为公差的等差数列.
，
当时，,
当时，也满足上式，所以;
（2）,
当为偶数时，
当为奇数时，
,
所以 .
典例3、答案：（1），证明见解析； （2）．
解：（1）①，，
当时，，∴或(舍)，
当时，②，
①－②：，∴，
∵，∴，
∴是以2为首项，2为公差的等差数列，∴，，
∴数列是首项为－2，公比为2的等比数列，
∴．
（2）∵，
∴，，成等差数列； ，
当n为偶数时，
．
当n为奇数时，
．
综上可知．
随堂练习：答案：（1）答案见解析；（2）.
解:（1）由，得，，
所以，数列是等差数列.
当的公差为零时，，数列是等差数列，不是等比数列；
当的公差不为零时，，数列既是等差数列也是等比数列；
（2）若，由（1）知，
所以数列是等差数列，且首项为，公差为，.
则，.
.
典例4、答案： （1）； （2）.
解：（1）由，则，
由，则，
所以，即，故， 则.
（2）由（1）知：，可得，即，故时，
所以.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设等差数列的公差为，
则由已知可得：，解得，
所以.
（2）因为，，
所以.
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）
当时，，
当时，，
也符合上式，所以，
（2）因为，所以时，；时，，
当时，，
当时，
.
综上：
随堂练习：答案： （1） （2） （3）
解：（1）为等差数列，，
得到公差，进而得到，
（2），
所以
令，得，又，
，整理得，
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）因为，可得，即，
又因为，所以，
因为4是和的等比中项，所以，
即与是方程的两个根，且，
所以，即，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）由，可得，则，
则数列的前项和为，
当时，，所以；
当时，，
所以.
随堂练习：答案：（1）； （2）.
解：（1）由可得是等差数列，且公差，
所以.
（2）由，可得的前项和，
当时，，
，
当时，，此时，
所以
，
综上所述：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）人教A版数学--数列专题十二
知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,求等差数列前n项和,裂项相消法求和
典例1、在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知为等差数列的前n项和，若________．
（1）求；
（2）记，已知数列的前n项和，求证：
随堂练习：在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答．问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______．
（1）求；（2）若，求数列的前项和．
注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．
典例2、在①且，②且，③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题:已知数列的前项和为，且______
（1）求数列的通项公式:
（2）求证：.
随堂练习：设数列的前项和为，已知，__________.
（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.
从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都选，则按所写的第1个评分）：①数列是以为公差的等差数列；②.
典例3、已知的前n项和为，，且满足______，现有以下条件：
①；②；③
请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的前n项和，并证明：．
随堂练习：已知等差数列与正项等比数列，满足，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成求解.若______，求数列的前项和.（注：若多选，以选①评分）
知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,错位相减法求和
典例4、已知为数列的前项和,．
（1）证明:数列为等比数列;
（2）求数列的前项和．
随堂练习：已知数列中，，且满足.
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
典例5、已知数列的前n项和为．
（1）记，证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n．
随堂练习：已知数列中，，数列的前项和为满足.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
典例6、对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数．
（1）定义在R上的函数满足：对任意，，都有，且；又数列满足．
（Ⅰ）求证：是数列的母函数； （Ⅱ）求数列的前n项和．
（2）已知是数列的母函数，且．若数列的前n项和为，求证：．
随堂练习：已知数列
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）若，求数列的前项和．
人教A版数学--数列专题十二答案
典例1、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）选择条件①：设等差数列的公差为d，
则，解得， 故；
选择条件②：，
当时，，即，
当时，，也适合上式，故；
选择条件③：设等差数列的公差为，则，
解得、或、（不合题意），故．
（2）证明：因为，所以，
故，得证.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）方法1：选①和③
，整理得，
设等差数列的公差为，则有，
整理得,，解得，
又由，可得，解得，故，所以，
方法2：选①和②
，，所以，，
设等差数列的公差为，则有，
化简得，解得，，则，
方法3：选②和③，
，可得，，
设等差数列的公差为，则有，得到方程，解得，
故，所以等差数列的通项公式为：.
（2），
典例2、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）选择①
当时，， ，
两式作差得：， 整理得，
所以为常数列，因此， 所以.
选择②
得，
两式相减得，即数列为隔项等差数列，且公差为，
当时，，又，则，
当为偶数时，，
当为奇数时，， 综合得：；
选择③
又，得. 当时，，
两式相减得：，即.
又因为，所以，故为公差为1的等差数列，
得.
（2）证明：由（1）可得
所以
因为 所以
因此.
随堂练习：答案： （1）选择①②，都有； （2）证明见解析.
解：（1）若选择①数列是以为公差的等差数列，显然其首项为
故，故；
当时，，
当时，，满足. 故的通项公式为；
若选择②
即，整理得：
故，即数列是首项为，公差为的等差数列，
与选择①相同，故的通项公式为.
（2）根据（1）中所求可得：，则
故
又，故可得.
典例3、答案： （1）； （2）；证明见解析.
解：（1）若选择条件①：因为，
当时，， 两式相减得，
所以当时，当n＝1时符合， ∴；
若选择条件②：因为，
当时， 两式相减得，，
∴是首项为2，公比为2的等比数列， ∴；
若选择条件③：∵，
∴时，， 两式相减得，
当n＝1时，，可得，， ∴时成立，
∴是首项为2，公比为2的等比数列， ∴；
（2）由（1）可知，
则， 所以，
因为， 所以各项均为正数， 所以，
又因为， 所以．
随堂练习：答案： （1）， （2）见解析
解：（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，
由已知得，则，解得，
所以，；
（2）选①，则有
即.
选②，则有，设数列的前项和为，
，，
两式相减，，
解得.
选③，则由，
即.
典例4、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明:由题知, ,
解得:故,
由, 可得,,
两式相减可得: ,,
所以,, 所以,,
所以数列是以6为首项,2为公比的等比数列;
（2）由(1)得数列是以6为首项,2为公比的等比数列, 所以,
故, 则,
设,其前n项和为,
则①, ②,
①-②可得: ,
所以,
所以,
综上:.
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）
解：（1），
数列是以为首项，以5为公比的等比数列.
，
（2） ，
即①， ②，
由①②得： ，
， 化简得：.
典例5、答案： （1）证明过程见解析，； （2）；n为5．
解：（1）由，得，
即，
． 即， 又，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
；
（2）由（1）知．
，①
，②
①-②，得
，
， ，
因为 所以，所以是递增数列，
，
使不等式成立的最大正整数n为5．
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）当时，，；
当时，，
则，
又满足，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得：，则，；
，
则，
，
.
典例6、答案： （1）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）； （2）证明见解析.
解：（1）（Ⅰ）由题知，
且．
是数列的母函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：是首项和公差均为2的等差数列，故．
①
②
两式相减得： ；
（2）由题知：，．，
，从而是以为首项，
为公比的等比数列．
又．
故当时，
．
随堂练习：答案： （1）见解析 （2）
解：（1）证明：因为，所以，即，
又， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）得，
， 则， ，
两式相减得， 所以．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）人教A版数学--数列专题十三
知识点一 写出等比数列的通项公式,由递推关系证明等比数列,求等比数列前n项和,
分组（并项）法求和
典例1、在数列中，，数列的前项和为．
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求．
随堂练习：已知数列各项均为正数，且
（1）求的通项公式；
（2）设，求．
典例2、已知数列的前n项和分别是，若
（1）求的通项公式；
（2）定义，记，求数列的前n项和．
随堂练习：已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，求数列的前n项和为．
典例3、数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前20项和．
随堂练习：已知数列满足，
（1）令，求，及的通项公式；
（2）求数列的前2n项和.
知识点一等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,数列不等式能成立（有解）
典例4、已知数列的前n项和为，正项等比数列的首项为，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求使不等式成立的所有正整数n组成的集合．
随堂练习：已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
（1）若，求；
（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
典例5、已知数列的首项，且满足N*）．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若＜100，求满足条件的最大正整数n．
随堂练习：已知数列和满足，，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的正整数的值.
典例6、已知等差数列的公差为，前项和为，且．
（1）求数列的通项公式和；
（2）若数列的通项公式为，记数列的前项和为，若存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围．
随堂练习：已知是公差不为0的等差数列，为其前n项和，，.
（1）数列的通项公式；
（2）试求所有的正整数m，使得为数列中的项.
人教A版数学--数列专题十三答案
典例1、答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）因为，所以
即数列是以首项为，公比为的等比数列
故，即
（2）
随堂练习：答案： （1）； （2）20.
解：（1）由得：，而，
因此，即数列是首项，
公差的等差数列，，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，则有，
所以.
典例2、答案：（1）， （2）
解：（1）由，可得
所以是以为首项，以为公比的等比数列
所以，即
又，所以
所以
（2）满足上式，所以
由
当时，；当时，
所以，所以
当时，
当时，
综上，
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）当时，，则，令，则，
又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，从而；
（2）因为，
所以
．
典例3、答案： （1） （2）
解：（1），两式相除得：，
当时，
，
当时，
，
综上所述，的通项公式为：
（2）由（1）知：
数列的前20项和：
随堂练习：答案： （1），， （2）
解：（1）由题意得，，，，，
，，，
当时，，
又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）由（1）知，所以，
所以
.
典例4、答案： （1）, （2）
解：（1）因为数列的前n项和为， 所以当时，；
当时，，
满足上式，故.
所以，从而,化为，
又因为数列为正项等比数列且，设公比为，且，
又，解得或（舍），从而.
（2）不等式转化为，即，
记，，
当时，，从而单调递减，所以.
因此使不等式成立的所有正整数组成的集合为.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）因为， 所以，
所以，又， 所以， 所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
， ，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又 所以
典例5、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）， ，
又，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，，
，
若，则，
令，所以在上单调递增，
且， 所以满足条件的最大正整数．
随堂练习：答案： （1），；（2）或.
详解:（1）对任意的，，则，且，
所以，数列是等比数列，且首项和公比均为，
故，，
因为，
所以，；
（2）设数列的前项和为，
则，
所以，，
上式下式，得，
所以，，
，
则，
由可得，
整理可得，解得， 因为，故或.
典例6、答案： （1）， （2）
解：（1）为等差数列，且，，即，
又公差，．，
所以，．
（2），，
，①
，②
①②得
，
，， ，
，且， 时，，
又，时，，
存在，使得对任意，总有成立．
，， 实数的取值范围为.
随堂练习：答案： （1）； （2）.
解：（1）由题设，，可得，
所以.
（2）由（1）知：，
若使为数列中的项，则必须为整数且m为正整数，
因此得或，
当时，，而是数列的最小项，故不符合题意，舍去；
当时，，符合题意， 所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）人教A版数学--数列专题十四
知识点一等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,数列不等式能成立（有解）
典例1、已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn－－，a1＝－1.
（1）求证：{2nSn＋2n}是等差数列；
（2）若{an}中，只有三项满足，求实数λ的取值范围.
随堂练习：设数列的前n项和为．数列为等比数列，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的最小值．
典例2、在数列中，已知，()．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记，数列的前n项和为，求使得的整数n的最小值．
随堂练习：已知数列中，.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.
典例3、已知数列的前n项和，数列满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，数列的前n项和为，求满足的n的最大值．
随堂练习：已知单调递减的等比数列满足，且是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求满足不等式成立的所有正整数，组成的有序实数对．
知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应用,
利用an与sn关系求通项或项
典例4、已知数列的前n项和.
（1）求的通项公式．
（2）的前多少项和最大？
（3）设，求数列的前n项和.
随堂练习：已知数列满足，设.
（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和的最小值.
典例5、已知数列的前项和为，点在直线上．
（1）求数列的前项和，以及数列通项公式；
（2）若数列满足：，设数列的前项和为，求的最小值．
随堂练习：已知等差数列的前n项和为.
（1）若数列为等差数列，且，求；
（2）若，求公差d的取值范围.
典例6、已知数列的前项和为，，______.指出、、…中哪一项最大，并说明理由.从①，，②是和的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
随堂练习：已知正项数列的前n项和为，，当且时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）请判断是否存在三个互不相等的正整数p，q，r成等差数列，使得，，也成等差数列.
人教A版数学--数列专题十四答案
典例1、答案：（1）证明见解析；（2）．
解:（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵， 所以，是以为首项，以为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，， ∴．
当时，，
∵，所以，的通项公式为．
∴，，，，，．
当时，，即，
也就是说，数列从第项起，是递减数列．
所以，实数的取值范围是．
随堂练习：答案： （1） （2）4
解：（1）由题意得： 设数列的公比为．由，得
，即
成等差数列
，即，解得，或（舍去）
．
（2）由，当时，，两式相减得，，
对也成立 所以
设
当n为奇数时，可递减数列，所以
当n为偶数时，为递增数列，所以
所以的最小值为4．
典例2、答案： （1）证明见解析；（2）10．
解:（1）证明：由，得，从而，
∴，又， 故数列为等比数列；
（2）解：由（1）得，故，
∴，
，
令，则，解得，
∵， ∴．
故使得的整数n的最小值为10；
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）最小值为.
解: （1）由得：，即
，即有数列是常数数列；
（2）由（1）知：
即，
当为偶数时，，显然无解；
当为奇数时，，令，解得：，
结合为奇数得：的最小值为 所以的最小值为
典例3、答案：（1）证明见解析；（2）n的最大值为4．
解:（1）证明：∵，
∴当时，，即，
当时，，则，整理得，
∵，即．
当时，，又 ∴数列是首项和公差均为1的等差数列．
（2）由（1）得， ∴．
∴
∴
由，得，故， ∴n的最大值为4．
随堂练习：答案：（1）；
（2）正整数m，n组成的有序实数对为(1，1)，(2，1)，(2，2).
解：（1）依题意，有，代入，
得，解得，所以，
设等比数列的公比为q，则， 解得或.
又单调递减，所以，，于是．
（2）由（1）知，，所以．
则
因为，所以又，
所以，所以m=1，2．
当m=1时，由，解得n=1；
当m=2时，由，解得n=1，2．
综上，满足不等式的所有正整数m，n组成的有序实数对为(1，1)，(2，1)，(2，2)．
典例4、答案：（1） （2）前16项或前17项的和最大 （3）
解：（1）因为，当时，
当时，所以，
经检验当时也成立，所以；
（2）令，即，所以，
故数列的前17项大于或等于零．
又，故数列的前16项或前17项的和最大．
（3）由（2）知，当时，；
当时，，
所以当时，．
当时，
．
故．
随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）因为，所以，由，
所以，且，
所以数列以为首项，以1为公差的等差数列， 所以；
（2）由（1）可知，所以，
所以当或时取得最小值，且
典例5、答案：（1），， （2）-15
解：（1），则， 当时，；当时，；
而，∴，.
（2），当时，，当时，，
故.
随堂练习：答案：（1）；（2）或.
解: （1）∵数列为等差数列，设其公差为，
∴， ∴，
∴当时，
当时也应成立，此时，故
此时，.
（2）∵为等差数列，首项为，
∴，，
∴， ∴，
整理得，，
上述方程对有解，故， ∴.
典例6、答案： ①②均能得到最大.
解: 因为，故， 故.
当时，即，
所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，
所以，故，也即是
故，所以为等差数列.
若选①，
因为，，故，
故，，故最大.
若选②，则，故，解得，
故，故，故最大.
随堂练习：答案： （1）；（2）不存在.
解：（1）当且时，有，可得，
由，满足该式，
可得当时，有，平方后可得
当且时，有
可化为 有
由，有，可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
有 故数列的通项公式为
（2）由题意有
又由（1）可知
有
由，有，，有
可得
故不存在三个互不相等的正整数p，q，r成等差数列，使得，，也成等差数列.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）人教A版数学--数列高考复习专题十五
知识点一 由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应用,
利用an与sn关系求通项或项
典例1、已知数列的各项为正数，其前项和满足，设．
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的最大值．
随堂练习：已知数列的前项和公式为
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和的最小值．
典例2、已知数列的前项和为.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的最大值及取得最大值时的值.
随堂练习：已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足.
（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，是的前项和，已知对于都成立，求的取值范围.
知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应用,
利用an与sn关系求通项或项
典例3、已知数列的前项和为.
（1）求出的通项公式；
（2）求数列前n项和最小时n的取值
随堂练习：记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
典例4、设等比数列的公比，且满足，，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的前n项和 的最大值.
随堂练习：公差非零的等差数列的前n项和为，若是，的等比中项，．
（1）求；
（2）数列为等差数列，，数列的公差为，数列的前n项和为，是否存在最大或者最小值？如果存在求出最大或者最小值，如果不存在请说明理由．
典例5、已知等比数列的各项均为正数，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的最大项.
随堂练习：在数列{an}中，（n∈N*），.
（1）求；
（2）设为的前n项和，求的最小值．
典例6、已知数列的前n项积.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前n项为，求的最小值.
随堂练习：已知正项数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）求证：数列是等差数列.
（3）令，问数列的前多少项的和最小？最小值是多少？
典例7、设数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和的最大值及此时的值；
（3）求数列的前项和．
随堂练习：在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，
并解答．设等差数列的前n项和为，且,．
（1）求的最小值；
（2）若数列满足____________，求数列的前10项和．
人教A版数学--数列高考复习专题十五答案
典例1、答案： （1）证明见解析，；（2）.
解：（1）当时，，∴
当时，，即
∴，∴，∴
∴，所以是等差数列，
（2），，∵，∴是等差数列
∴，当时，
随堂练习：答案： （1）； （2）当或时，的值最小，值为.
解：（1）当时，，
当时，=
经检验，满足此式，所以
（2）由（1）可知，数列为等差数列，
设，得，
当或时，的值最小，值为.
典例2、答案： （1）证明见解析；（2）前16项或前17项和最大，最大值为.
解：（1）证明：当时，，
又当时，，满足，
故的通项公式为，
∴.
故数列是以32为首项，为公差的等差数列；
（2）令，即，解得，
故数列的前16项或前17项和最大，
此时.
随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）或
解（1）∵，∴，
∵∴，∴，
∴，又由，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列；
所以，∴，
当时，，
当时，，
当时，上式也符合，所以.
（2），时，，，，，，
∴或5时，，∴或.
典例3、答案：（1）；（2）当或时，数列前n项和取得最小值.
解:（1）因为， 所以当时，；
当时，；
显然是，也满足， 所以；
(2) 因为，
所以数列为等差数列，其前n项和
又，所以当或时，取得最小值.
随堂练习：答案：（1） （2），最小值为
解：（1）因为，且，，成等比数列，所以，
即，解得 即
（2）
当或时，有最小值
典例4、答案：（1）；（2）49.
解:（1）由题意，等比数列满足，，，成等差数列，
可得，两式相减得，即，
代入，可得，
解得或（舍），
所以，所以数列的通项公式为.
（2）对任意正整数n，均成立，
当时，可得，
当时，
两式相减得，
由（1）知，所以当时，，
当时也满足此式，数列为等差数列，
故数列的前n项和，
所以当时，数列的前n项和的最大值为49.
随堂练习：答案： （1）60 （2）存在最大值66
解：（1）记等差数列的公差为，
由题知，整理得
因为 所以可解得 所以
（2）由（1）可知
因为数列的公差为， 所以
因为的对称轴为，
所以当时，有最大值
典例5、答案： （1）； （2）.
解：（1）设等比数列的公比为，
由得，，解得：，
；
（2）；
当取3或4时，取得最大项.
随堂练习：答案： （1）
（2）当n为偶数时，取得最小值为－242；当n为奇数时，取最小值为－243
解：（1）∵（n∈N*），① ②
②－①得，.
又∵a2＋a1＝2－44，a1＝－23， ∴a2＝－19， 同理得，a3＝－21，a4＝－17.
故a1，a3，a5，…是以为首项，2为公差的等差数列，
a2，a4，a6，…是以为首项，2为公差的等差数列．
从而
（2）当n为偶数时，
故当n＝22时，Sn取得最小值为－242.
当n为奇数时，
.
故当n＝21或n＝23时，Sn取得最小值－243.
综上所述：当n为偶数时，Sn取得最小值为－242；当n为奇数时，Sn取最小值为－243.
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）.
当时，；
当时，，也符合. 故的通项公式为.
（2）， ，
是以为首项，2为公差的等差数列，
， 当时，的最小值为.
随堂练习：答案： （1），；（2）证明见解析；
（3）数列的前9或前10项的和最小，最小值为
解：（1）由已知得，，，；
，，
化简得，，又由已知得，，
（2）由题意得，，①
令，得，② 得，，
化简得，，进而得到，
，又由为正项数列得，，
故有，，所以，，故数列是等差数列，
由（1）得，，所以，
（3）由（2）得，，明显地，为等差数列，设的前项和为，
故有，，
根据二次函数的性质，的对称轴为，因为为正整数，
明显地，取或时，有最小值，
故最小值为，，所以，数列的前9或前10项的和最小，最小值为.
典例7、答案：（1）； （2）当，取得最大值； （3）.
解:（1）由题意知，，
所以 所以，
当时，符合通项公式， 所以数列的通项公式为；
（2）由（1）可得，由等差数列的求和公式，
可得
∴当，取得最大值，且；
（3）由（1）知，令，为的前项和，则，
∴
．
随堂练习：答案： （1） （2）答案见解析
解：（1）由题，，，所以，
则， 所以当时，的最小值为.
（2）设数列的前项和为，
选①，由（1），，令，即, 所以，
所以；
选②，由（1），，
所以；
选③，由（1），，，
所以
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