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2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时一
知识点一 求椭圆中的最值问题
典例1、如图，椭圆的左、右焦点为，过的直线与椭圆相交于、 两点.
（1）若，且 求椭圆的离心率.
（2）若，求的最大值和最小值.
随堂练习：已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆E的离心率为，且通径长为1．
（1）求E的方程；（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值．
典例2、已知焦点在x轴的椭圆C：离心率e=，A是左顶点，E（2，0）
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若斜率不为0的直线l过点E，且与椭圆C相交于点P，Q两点，求三角形APQ面积的最大值
随堂练习：已知椭圆的中心在原点，焦点，且经过点．
（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上有一点P，另一焦点，求的面积的最大值．
典例3、椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.
随堂练习：已知椭圆经过点和点．
（1求椭圆的标准方程和离心率；
（2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点．
知识点二 求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数
典例4、已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．
（1）求双曲线的方程；（2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．
随堂练习：已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．
典例5、已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，
且，．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．
随堂练习：在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与
点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.
（1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
（2）曲线上一点P，点A B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.
典例6、已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为， 与双曲线交于A，两点，求的值．
随堂练习：已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程； （2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时一答案
典例1、答案：（1）；（2）最大值；最小值.
解:（1）， 因为。所以， 所以，
所以
（2）由于，得，则.
①若垂直于轴，则， 所以，
所以
②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为
由 得
，方程有两个不等的实数根.
设，.,
=
，所以当直线垂于轴时，取得最大值
当直线与轴重合时，取得最小值
随堂练习：答案：（1）；（2）2.
解:（1）依题意可知，解得 故椭圆的方程为．
（2）延长交E于点，由（1）可知，
设，设的方程为，由得，故．
设与的距离为d，则四边形的面积为S，
，
又因为，
当且仅当，即时，等号成立， 故四边形面积的最大值为2．
典例2、答案：（1）（2）
解:（1）∵∴，a=4， 椭圆的标准方程为；
（2）设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆方程得，
设P，Q，则
∴三角形APQ面积为：，
令
∵函数y=x+在上单调递增
∴当u=，即m=0时，三角形APQ的面积取最大值.
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）因为椭圆的焦点为且过，所以
所以，，所以椭圆方程为：；
（2）因为，
因为，
所以，此时P点位于短轴端点处
典例3、答案：（1）；（2）见解析
解: （1）对于，当时，，即，当，，即，
椭圆的方程为，
（2）证明：设直线，（）， 设，两点的坐标分别为，，则，
联立直线与椭圆得， 得，
，解得 ，，
， 直线 ，
令，得 ，
直线过定点
随堂练习：答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为 （2）证明见解析
解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则，
所以，椭圆的标准方程为，离心率为.
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，
联立可得， 可得，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
由已知，则
，
所以，，即，解得或.
当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意；
②当直线轴，则点、关于轴对称，所以，，，即点，
由已知可得， ，，由已知，
则，所以，，因为，解得，
此时直线的方程为，则直线过点. 综上所述，直线过定点.
典例4、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）不妨设 , 因为,
从而 故由 , 又因为, 所以 ,
又因为 在圆 上, 所以
所以双曲线的标准方程为：
（2）设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为
由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点,
当动直线的斜率不存在时, ,，,
当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 ,
故由
依题意，且 , 化简得 ,
故由 , 同理可求,,
所以 又因为原点到直线的距离,
所以,又由 所以,
故的面积是为定值,定值为
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）双曲线C：的焦点坐标为，其渐近线方程为，
所以焦点到其渐近线的距离为． 因为双曲线C的离心率为，
所以，解得， 所以双曲线C的标准方程为．
（2）设，， 联立，得，，
所以，．
由， 解得t＝1（负值舍去），
所以，． 直线l：，所以原点O到直线l的距离为，
， 所以△OAB的面积为．
典例5、答案：（1）；（2）.
解:（1）由已知，，，，
∵，则，∴，∴，
解得，，∴双曲线的方程为．
（2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、，
由，得， 则，解得①，
∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则，
，解得②，
由①、②得实数k的范围是.
由已知，∵B在A、Q之间，则，且，
∴，则，∴， 则，
∵，∴， 解得，又，∴．
故λ的取值范围是．
随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）证明：如图，由点与关于对称，
则，，故为定值.
由，
由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为8的双曲线，
设双曲线方程为 ，，
所以双曲线方程为；
（2）由题意知，分别为双曲线的渐近线
设，由，设.
，由于P点在双曲线上
又同理，设的倾斜角为，
则.
由函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时， ；
当时，； .
典例6、答案： （1） （2）6
解：（1）设所求双曲线方程为， 代入点得：，即，
双曲线方程为，即；
（2）由（1）知：，， 即直线的方程为，
设，， 联立，得，
满足，且，，
由弦长公式得.
随堂练习：答案： （1）；（2）证明见解析.
解:（1）设双曲线方程为 由题知
双曲线方程为：
（2）设直线l的方程为代入
整理得，设 所以：
由弦长公式得：
设AB的中点 则， 代入l得：
AB的垂直平分线方程为
令y=0得，即，所以：为定值.2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时二
知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例1、已知椭圆T：经过以下四个不同点中的某三个点：，，，．
（1）求椭圆T的方程；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到椭圆E．已知M，N两点的坐标分别为，，点F是直线上的一个动点，且直线，分别交椭圆E于G，H（G，H分别异于M，N点）两点，试判断直线是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
随堂练习：已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，为坐标原点，直线：与的两个交点和，构成一个面积为的菱形.
（1）求的方程；
（2）圆过，，交于点，，直线，分别交于另一点，.
①求的值； ②证明：直线过定点.
典例2、已知椭圆过点，椭圆的左、右顶点分别为，点P坐标为，成等差数列．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若对斜率存在的任意直线l与椭圆恒有M，N两个交点，且．证明：直线l过定点．
随堂练习：已知椭圆：过点，且点A到椭圆的右顶点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为坐标原点，直线：与交于M，N两点，记线段MN的中点为P，连接OP并延长交于点Q，直线交射线OP于点R，且，求证；直线过定点.
典例3、如图，已知椭圆：经过点，离心率为.点，以为直径作圆，过点M作相互垂直的两条直线，分别交椭圆与圆于点A，B和点N.
（1）求椭圆的标准方程； （2）当的面积最大时，求直线的方程.
随堂练习：已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程．
知识点二 求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数
典例4、已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.
（1）求双曲线的方程；（2）求证：面积为定值，并求出该定值.
典例5、已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线的方程；（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点 关于原点的对称点为点，求证：．
随堂练习：已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，的左 右焦点分
别为，，且到的一条渐近线的距离为1.
（1）求的标准方程；（2）若是与在第一象限的交点，与的另一个交点为P，与的另一个交点为，与的面积分别为，，求.
典例6、已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
（1）求圆心的轨迹方程（2）若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.
随堂练习：已知点，，动点满足直线的斜率与直线的斜率乘积为．当
时，点的轨迹为；当时点的轨迹为．
（1）求，的方程；
（2）是否存在过右焦点的直线，满足直线与交于，两点，直线与交于，两点，且？若存在，求所有满足条件的直线的斜率之积；若不存在，请说明理由，
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时二答案
典例1、答案：（1）；（2）直线恒过定点.
解:（1）由题意可得A，C一定在椭圆上，即①， 若B在椭圆上，则②，
由①②可得，不存在， 所以D在椭圆上，可得③，
由①③可得，， 所以椭圆的方程为：；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，
设E上的点为：，对应的点，由题意可得，， 所以，，
所以E的方程， 设，，， ，
所以直线的方程为：，直线的方程，
联立直线与椭圆的方程整理可得，
所以，，即，
联立直线NF与椭圆的方程：整理可得，
所以，即，
所以直线的斜率为：，
所以直线的方程为：，
整理可得，当，. 所以直线恒过定点．
随堂练习：答案：（1） （2）①②证明见解析
解：（1）因为直线：与的两个交点和，构成的四边形是菱形，
所以垂直平分，所以，.
设为直线与的一个交点，则菱形的面积为.
因为菱形的面积为，所以，解得，即.
将点代入，得，又因为，所以.
故的方程为.
（2）①由题意，得为圆的一条弦，且直线垂直平分该弦，
故直线经过圆心，所以为圆的直径，因此，即.
设，，则.
注意到，，则.
又因为，，所以.
②易知直线不可能平行于轴，则设直线的方程为（），，.
由得. ，（*）
，.①因为，，所以，
即， 即.
将①代入上式得，
化简得，解得，满足（*），
所以直线的方程为， 故直线过定点.
典例2、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由题意知：，， 成等差数列．可得：
解得： 又，，解得： 故椭圆标准方程为：
（2）设直线方程为
联立，化简得：
可得：，，
则有：
可得： 解得：或 故直线方程为：或
所以直线恒过点或
又因为直线l与椭圆恒有两个交点，故易知定点必在椭圆内，故直线l恒过点
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由题意得，，解得或（舍去）， 则椭圆的方程为
将代入：得，，解得， 则椭圆的方程为.
（2）设，，：，
联立，得，
由得，∴，∴.
由斜率公式可知，∴：，∴.
联立，得，即.
∵，∴，
∴，∴，此时满足，
则直线为：，则直线过定点.
典例3、答案：（1） （2）
解：（1）将点代入得，， 又，，得，
所以，，即.
（2）因为，设直线的方程为，设，，
联立，得， 且，则，，
则，且， 直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为， ∴，
∴面积，
当且仅当时，取到等号，此时， 所以直线的方程为.
随堂练习：答案： （1） （2）或.
解：（1）由题意知，， 又，∴，，
∴椭圆标准方程为.
（2）∵轴，∴， 设，则，∴，即，
∵，∴，∴，
∴，即，
设，，则，， ∴.
①当直线的斜率不存在时，的方程为，此时∴不符合条件.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立得.
得， ∴，即，解得.
故直线的方程为或.
典例4、答案：（1）；（2）证明见解析，面积为.
解:（1）设双曲线的焦距为，
由题意可得：，则双曲线的方程为；
（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为， 则消得，
，①
设与轴交于一点，，
，
双曲线两条渐近线方程为：，
联立，联立，
则（定值）.
典例5、答案：（1）；（2）证明见解析．
解：（1）由题意得，，
解得所以双曲线的方程为：
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，，
设，， 联立，整理可得
， 所以
所以
直线与双曲线右支有两个交点，所以
所以，设，
所以
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）双曲线的离心率为： 故椭圆的离心率为：
双曲线的一条渐近线方程为：
设的坐标为：，则，解得
又，解得， 故椭圆的标准方程为：
（2）联立方程组： 解得：，即点坐标为：
直线的斜率为： 则直线的方程为：
联立方程组： 解得：或
即点坐标为，点到的距离为
联立方程组： 解得：或
即点坐标为，点到的距离为 则，即
典例6、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）因为圆C与圆A、圆B外切， 设C点坐标，圆C半径为，
则，， 所以<4， 所以点C的轨迹是双曲线的一支，
又，，， 所以其轨迹方程为；
（2）设直线为，
联立，消去y得：， 所以，
设MN中点坐标为G，则，
所以，，
直线GP的方程为:， ，
所以， 所以=1.
随堂练习：答案： （1）C1：，C2： （2）存在，
解：（1）设，． 对于，由题可得， 整理得，
故的方程为． 对于由题可得，
整理得． 故的方程为．
（2）由（1）可得，，
的右焦点为，设，，，．
当直线的斜率不存在时，直线与无交点，不满足题意，故直线的斜率存在，
于是可设直线的方程为，
联立直线方程与椭圆方程可得，
恒成立， 由韦达定理：，．①
于是， 将①代人整理得．
同理其中，故．
因为，所以．
设，则即．
平方整理得， 因式分解得，
解得，，（舍去）， 即，．
于是所有满足条件的直线的斜率之积为．2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时三
知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例1、已知椭圆经过点和点．
（1）求椭圆的标准方程和离心率；
（2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点．
随堂练习：已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求该椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，过该点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，使得为定值？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由.
典例2、已知椭圆经过点，其右顶点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点、在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，证明直线经过定点．
随堂练习：已知F是椭圆的左焦点，焦距为4，且C过点．
（1）求C的方程；
（2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
典例3、已知为椭圆上任一点，，为椭圆的焦点，，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆的两交点为A，，线段的中点在直线上，为坐标
原点，当的面积等于时，求直线的方程．
随堂练习：已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程； （2）过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．
知识点二 根据双曲线的渐近线求标准方程,求双曲线中的弦长,由中点弦坐标或中点弦方程、
斜率求参数,根据韦达定理求参数
典例4、已知双曲线C的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2，焦距为，且点P（0，-1）到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A、B，交双曲线C的两条渐近线于点D、E（D在y轴左侧）.记和的面积分别为、，求的取值范围.
随堂练习：双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2．
（1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点． ①证明：；
②是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
典例5、已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1
与曲线E交于A,B两点,
(1)求k的取值范围;
(2)如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和的面积S．
典例6、已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线的标准方程与离心率；（2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．
随堂练习：在平面直角坐标系中中，已知双曲线的一条渐近线方程为，
过焦点垂直于实轴的弦长为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，且，若的面积为，求直线的方程.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时三答案
典例1、答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为 （2）证明见解析
解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则，
所以，椭圆的标准方程为，离心率为.
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
可得，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
由已知，则
，
所以，，即，解得或.
当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意；
②当直线轴，则点、关于轴对称，所以，，，即点，
由已知可得， ，，由已知，
则，所以，，因为，解得，
此时直线的方程为，则直线过点. 综上所述，直线过定点.
随堂练习：答案：（1） （2）存在，
解：（1），，椭圆，将代入可得，故，
椭圆方程为：；
（2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，，
联立方程可得：，
，，为常数，
代入韦达定理可知，即为常数，，故
且，直线l过定点
当直线l斜率为0时，可检验也成立，故存在定点.
典例2、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由题意可知，，将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，
因此，椭圆的方程为.
（2）证明：若轴，则点、关于轴对称，则直线与也关于轴对称，
从而直线与的斜率互为相反数，不合乎题意.
设直线方程为，设点、，
联立，可得，，可得，
由韦达定理可得，，因为，
整理可得，
即，化简得，
即，可得或.
当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意.
随堂练习：答案：（1） （2） 过定点，定点坐标为
解：（1）依题意， 由解得， 所以椭圆的方程为.
（2）由题意知，当其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为，此时直线为轴；
当的斜率都存在且不为时，设，
设，联立，整理得，
，，
则， 所以的中点，
同理由，可得的中点， 则，
所以直线的方程为，
化简得，
故直线恒过定点． 综上，直线过定点.
典例3、答案：（1） （2）或
解：（1）由椭圆定义得，，所以，故， 所以椭圆的方程为．
（2）设代入方程， 得
所以，， 所以，解得，
则式变为则，
底边上的高，所以的面积．
令，解得， 把，代入式，经检验，均满足，
此时直线的方程为或．
随堂练习：答案：（1）； （2）.
解：（1）由题意知，所以，， 所以，由椭圆定义知：，
则，， 故椭圆的方程为．
（2）①当直线轴时，令，可得，解得，
可取，，此时的面积，与题设矛盾，舍去．
②当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，代入椭圆方程得，
成立，
设，，则，，
可得． 又圆的半径，
∴的面积为， 化简得，解得，
∴， ∴圆的方程为．
典例4、答案： （1）；（2）.
解:（1）由，知，，，
故双曲线C的方程为或.
由点到渐近线的距离为，知双曲线方程为.
（2）设l：，，.
由可得；由可得.
由得，∴，.
∴.
由和的高相等，可， 由得，
所以，.
随堂练习：答案： （1）；（2）①见详解；②.
详解:（1）因为双曲线C的渐近线为y＝±2x， 由双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线，
渐近线的方程为，焦点F（±c，0）， 所以解得a＝1，b＝2，
所以双曲线的方程为；
（2）①由（1）知双曲线的方程为， 其渐近线的方程为y＝±2x，设直线l：y＝kx+2，
因为直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B，所以﹣2＜k＜2，
联立，得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以x1+x2＝，x1x2＝，
联立，解得x＝，y＝，则M（，），
联立，解得x＝，y＝，则N（，），
所以|AM|＝，|BM|＝，
所以|AM|2﹣|BN|2＝（1+k2）[（x1﹣）2﹣（x2+）2]
＝（1+k2）[（﹣x2﹣）2﹣（x2+）2]＝（1+k2）[（﹣﹣x2）2﹣（x2+）2]
＝（1+k2）[（+x2）2﹣（x2+）2]＝0， 所以|AM|＝|BN|．
②由共线，可得，
由①可得，
解得，所以符合题意， 所以直线的方程为.
典例5、答案：（1）；（2），面积为.
解：（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，
且，得， 故曲线的方程为；
设，由题意建立方程组，
消去，得，
又直线与双曲线左支交于两点，有，解得，
（2），
依题意得，整理后得，
∴或，但∴， 故直线的方程为，
设，由已知，得，
∴，
又， ∴点，
将点的坐标代入曲线的方程，得得，
但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，
∴，点的坐标为，到的距离为，
∴的面积.
典例6、答案： （1），离心率为 （2）
解：（1）由题意知焦点到渐近线的距离为， 则
因为一条渐近线方程为，所以， 又，解得，，
所以双曲线的标准方程为， 离心率为．
（2）设直线：，，， 联立
则， 所以，
由
解得或（舍去）， 所以，
：，令，得，
所以的面积为
随堂练习：答案： （1） （2）或
解：（1）过C的焦点垂直于实轴的弦长为6，将代入双曲线，得，则①，
又C的一条渐近线方程为，则②， 由①②解得，，
所以双曲线C的方程为．
（2）显然，当直线OA斜率为0或不存在时均不符合题意．
当直线OA斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则方程为．
联立，整理得，于是得
则，同理可得，
因为 整理得，解得．
即或 （满足）．
考虑到，只需分以下两种情形：
①当OA、OB的斜率为、时，
结合得或，
同理可得或，
于是由点、，据直线的两点式方程并化简可得AB方程，
同理可得AB的方程为或或．
②同理，当OA、OB的斜率为、时，
直线AB的方程为，或或或
综上，直线AB的方程为或2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时四
知识点一 椭圆中三角形（四边形）的面积,求椭圆中的最值问题,椭圆中的定值问题
典例1、已知椭圆的左右焦点为，且，直线过且与椭圆相交于两点，当是线段的中点时，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当线段的中点不在轴上时，设线段的中垂线与轴交于点，与轴交于点为椭圆的中心，记的面积为的面积为，当取得最大值时，求直线的方程．
随堂练习：已知椭圆：的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为
坐标原点，
（1）若的面积为，求椭圆的标准方程：
（2）过点作斜率的直线交椭圆于不同两点，，点在椭圆的内部，在椭圆上存在点，使，记四边形的面积为，求的最大值.
典例2、已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且.
（1）求椭圆与抛物线的方程；
（2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.
随堂练习：在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过点，且
是椭圆的内接三角形.
（1）若点为椭圆的上顶点，且原点为的垂心，求线段的长；
（2）若点为椭圆上的一动点，且原点为的重心，求原点到直线距离的最小值.
典例3、已知椭圆经过点，其右顶点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点、在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，证明直线经过定点．
随堂练习：已知F是椭圆的左焦点，焦距为4，且C过点．
（1）求C的方程；
（2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
知识点二 直线与抛物线交点相关问题,根据韦达定理求参数
典例4、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线l交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点.
（1）当x1+x2＝8时，求直线l的方程；（2）若过点P（2，0）且垂直于直线l的直线l'与抛物线C交于M，N两点，记△ABF与△MNF的面积分别为S1与S2，求S1S2的最小值.
随堂练习：已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与抛物线相交于、两点．
（1）若直线与抛物线的准线相交于点，且，求直线的方程；
（2）若直线不过原点，且，求的周长．
典例5、已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且．
（1）求抛物线C的方程；（2）直线FM与抛物线C交于A点，O为坐标原点，求面积．
随堂练习：已知抛物线的焦点为，O为坐标原点．
（1）求抛物线方程；（2）斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求的面积．
典例6、已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
（1）过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
（2）抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．
随堂练习：已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，为在动直线 上的投影，当为等边三角形时，其面积为.
（1）求抛物线的方程；（2）设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于A，两点，直线与线段交于点，试问：是否存在，使得和的面积相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时四答案
典例1、答案：（1） （2）
解：（1）由于，所以，则右焦点的坐标为，
当时，代入椭圆方程为 ，故当是线段的中点时，此时轴，
故，又，联立即可求解
解得，，， 椭圆的标准方程：；
（2）由线段的中点不在轴上可知直线有斜率且不为0，
设过椭圆的右焦点的直线的方程为，， 设，，，，
联立整理得：，
由韦达定理得，． ．
为线段的中点，则可得点，．
，
又直线的斜率为，直线的方程为：．
令得，，故 令得，,故
因此,
, 故
令 ， 故，记，
故当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，取最大值 ，故此时取最大值，
此时， 此时直线的方程为
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1），∴， ，，又，
解得，所以椭圆的标准方程为：.
（2），∴，椭圆，
令，直线l的方程为：，
联立方程组： ， 消去y得，
由韦达定理得，， 有 ，
因为：，所以， ，
将点Q坐标代入椭圆方程化简得： ，
而此时： . ，
而， O点到直线l的距离，
所以：，
因为点P在椭圆内部，所以 ，得， 又，所以
，当，即时等号成立. 所以的最大值是.
典例2、答案：（1）椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；（2）最大值为1.
解：（1）因为，所以不妨设的坐标为，的坐标为，
所以有：，∴，，
∴椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；
（2）由（1）可知：的坐标为：，
设直线的方程为：，到的距离为，则，
联立可得：，则，
，
当且仅当时取等号，故面积的最大值为1.
随堂练习：答案：（1）；（2）.
解：（1）设焦距为，由题意知：，
因此，椭圆的方程为：；
由题意知：，故轴，设，则，，
，解得：或，
，不重合，故，，故；
（2）设中点为，直线与椭圆交于，两点， 为的重心，则，
当斜率不存在时，点在轴上，所以此时点在长轴的端点处
由,则，则到直线的距离为1；
当斜率存在时，设：，，，
则，所以，
所以，即
也即
，则
，
则：，，代入式子得：，
设到直线的距离为，则 时，；
综上，原点到直线距离的最小值为.
典例3、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由题意可知，，将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，
因此，椭圆的方程为.
（2）证明：若轴，则点、关于轴对称，则直线与也关于轴对称，
从而直线与的斜率互为相反数，不合乎题意.
设直线方程为，设点、，
联立，可得，，可得，
由韦达定理可得，，
因为，
整理可得，
即，化简得，
即，可得或.
当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意.
综上所述，直线过定点．
随堂练习：答案：（1） （2）过定点，定点坐标为
解：（1）依题意， 由解得， 所以椭圆的方程为.
（2）由题意知，当其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为，此时直线为轴；
当的斜率都存在且不为时，设，
设，联立，整理得，
，，
则， 所以的中点，
同理由，可得的中点， 则，
所以直线的方程为，化简得，
故直线恒过定点． 综上，直线过定点.
典例4、答案：（1）x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；（2）12.
解:（1）直线l过定点P（2，0），在x轴上，且直线l与抛物线相交，则斜率一定不为0，
可设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣8＝0，
可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，所以x1+x2＝my1+2+my2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，
因为x1+x2＝8，所以4m2+4＝8，解得m＝±1，
所以直线l的方程为x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；
（2）设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程可得y2﹣4my﹣8＝0，
可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，则S1|PF||y1﹣y2|2，
因为直线MN与直线l垂直，且当m＝0时，直线l的方程为x＝2，此时直线l'的方程为x＝0，
但此时直线l'与抛物线C没有两个交点，所以不符题意，所以m≠0，所以直线l的斜率为，
因此直线MN的斜率为﹣m（m≠0），由点斜式方程可得直线l'的方程为y﹣0＝﹣m（x﹣2），
即mx+y﹣2m＝0， 联立抛物线的方程y2＝4x，消去y，可得m2x2﹣（4m2+4）x+4m2＝0，
设M（x3，y3），N（x4，y4），可得x3+x4，x3x4＝4，
则y3﹣y4＝m（2﹣x3）﹣m（2﹣x4）＝﹣m（x3﹣x4），
因此|y3﹣y4|＝|m||x3﹣x4|＝|m||m|，
所以S2|PF||y3﹣y4|1，
所以S1S2＝2444412，
当且仅当2m2即m＝±1时等号恒成立，所以S1S2的最小值为12.
随堂练习：答案： （1）；（2）.
解:（1）由抛物线可知，准线为，
设直线的方程为，则点的坐标为，
联立方程，消去后整理为，
又由，可得，
由点的坐标为，有，
解得或（舍去），故直线的方程为．
（2）设直线的方程为， 点、的坐标分别为，，
联立方程，消去后整理为， 可得，，
又由，可得． 又由，，
可得，
得（舍去）或．由，可得，，
所以，
， 故的周长为．
典例5、答案: （1） （2）
解：（1）， 又点在抛物线C上，
根据抛物线的定义，， 所以， 所以， 所以，
代入得，， 所以， 所以抛物线C：.
（2）根据题意，F坐标为， ， 所以直线.
联立和，所以，
所以 所以， 所以
随堂练习：答案： （1） （1）
解：（1），则由抛物线性质得， ∴，∴，
即抛物线的标准方程是.
（2）由题意得，抛物线的焦点为， ∴斜率为1的直线的方程为，，，
， 所以，，
∴ 原点到直线的距离为，
所以的面积
典例6、答案：（1） （2）
解：（1）由抛物线方程知：，为抛物线的通径，则，
，解得：， 抛物线的标准方程为：.
（2）为正三角形，，由抛物线对称性可知：轴，
设，则，解得：，，
，，解得：，，即的边长为.
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）由题意得：，由抛物线定义可知：此时，
过点F作FD⊥P Q于点D，由三线合一得：D为PQ中点，
且，可得： 所以抛物线方程为
（2）由题意得：当M为AB中点时，满足题意，
设，由得：直线斜率为，则可设直线：，
整理得：，联立得： ，
设， 则， 则， 由得直线OQ：，
联立直线OQ与直线l得：， 从而，可得：，解得：.2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时五
知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例1、已知椭圆过点，离心率为，过点作斜率为，的直线，，它们与椭圆的另一交点分别为，，且.
（1）求椭圆的方程； （2）证明：直线过定点.
随堂练习：已知椭圆的离心率，上顶点是，左 右焦点分别是，，若椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；（2）点和是椭圆上的两个动点，点，，不共线，直线和的斜率分别是和，若，求证直线经过定点，并求出该定点的坐标.
典例2、已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当椭圆和圆：.过点作直线和，且两直线的斜率之积等于，与圆相切于点，与椭圆相交于不同的两点，．
（i）求的取值范围； （ii）求面积的最大值．
随堂练习：已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，直线交椭圆C于P，Q两点，直线与
x轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
（1）求证：直线恒过定点；（2）设和的面积分别为，求的最大值.
典例3、在平面直角坐标系中，已知点，，过点的动直线与过点的动直线 的交点为P，，的斜率均存在且乘积为，设动点Р的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;（2）若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求的最大值.
随堂练习：对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆外一点，，是椭圆
的两条切线，则切点A，B所在直线的方程是，可利用此结论解答下列问题．
已知椭圆C：和点，过点P作椭圆C的两条切线，切点是A，B，记点A，B到
直线（O是坐标原点）的距离是，．
（1）当时，求线段的长； （2）求的最大值．
知识点二 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程,抛物线中的三角形或四边形面积问题
典例4、已知动点到定点的距离比到直线的距离小2，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设是轴上的点，曲线与直线交于，且的面积为，求点的坐标.
随堂练习：已知动点M到点的距离等于它到直线的距离，记动点M的轨迹为曲线C.
（1）求动点M的轨迹方程C；（2）已知，过点的直线l斜率存在且不为0，若l与曲线C有且只有一个公共点P，求的面积.
典例5、已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点．
（1）当l的倾斜角为时，若，求；（2）设点，且，求l的方程．
随堂练习：已知抛物线的焦点为，直线过点，且与抛物线交于、两点，．
（1）求的取值范围；（2）若，点的坐标为，直线与抛物线的另一个交点为，直线与抛物线的另一个交点为，直线与轴交于点，求的取值范围．
典例6、已知P为抛物线E：上任意一点，过点P作轴，垂足为O，点在抛物线上方（如图所示），且的最小值为9．
（1）求E的方程；（2）若直线与抛物线E相交于不同的两点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且为等边三角形，求m的值．
随堂练习：已知抛物线C：上的点到其焦点F的距离为2．
（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D在直线l：上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|最小时，求的值．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时五答案
典例1、答案：（1）；（2）证明见解析.
解:（1）由于，故， 所以.
又椭圆过点，故， 从而，，椭圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，不合题意，舍去.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得， 设，则.
又由 得：，
所以，化简得， 解得或（舍去）.
当时，直线过定点，符合要求.
综上可知，直线过定点.
随堂练习：答案：（1）；（2）直线过定点
解：（1）因为椭圆的离心率，椭圆经过点， 所以，又，
解得，，， 所以椭圆的方程为．
（2）证明：设直线的方程为，，，，，
联立，得，
所以，，
所以，，
所以，
解得， 所以直线过定点．
典例2、答案： （1） （2）（i）；（ii）
解：（1）由题意，，解得，，，所以椭圆的标准方程为.
（2）（i）由题意，两直线、的斜率均存在，且两直线的斜率之积为1，
设的斜率为，则的斜率为， 则直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
与圆相切于点，，化简得，
由得，，
，化简得，，
由得，，代入上式化简得，，
解得， 又，则，得，
所以的取值范围是.
（ii）设，，
由（1）可知，，，
又， 又原点到直线的距离，
面积，
设，则，由以及得，
所以当时，面积取最大值. 所以面积的最大值是.
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）依题意，，设，
直线方程为，由消去x并整理得：
，，则，
因在椭圆上，有，直线BP斜率，有，
则，即， 而
，
解得，此时，直线：恒过点，所以直线恒过定点.
由（1）知，，令，，
则，
令，函数在上单调递增，则当时，取得最小值，
所以当，即时，取得最大值.
典例3、答案：（1） （2）
解：（1）设点坐标为，
定点，，直线与直线的斜率之积为，
，
（2）设，，，则，，
所以
又，所以，又即，则直线：，
直线：，由，解得，即，
所以
令，则，所以
因为，当且仅当即时取等号，
所以的最大值为；
随堂练习：答案：（1）；（2）．
解:（1）当时，直线方程为，联立，得．
设，，则，．则．
（2）直线：，即，直线：．
设，，则，
记，则，
法一：常规换元法
令，，则
，当即时取得等号，则的最大值是．
法二：分离常数法
，显然时不取得最大值，
则，
当时取得等号，则的最大值是．
典例4、答案：（1） （2）或
解：依题意动点到定点的距离等于动点到直线的距离，
由抛物线的定义可知，动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为.
（2）联立方程，整理得,
设，则有, 于是,
设到直线的距离为，因为，
由点到直线的距离公式得,
又，所以， 于是，解得或.
故点的坐标为或.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）根据抛物线定义得动点M的轨迹为曲线..
（2）设过点的直线l为，将其与抛物线方程联立，
得，消去得：①，
因l与C有且只有一个公共点，则.
将代入①得，解得，代入直线l可得
则直线AP方程为：，则其与y轴交点为，则由图可得：
典例5、答案： （1） （2）或
解：（1）当l的倾斜角为时，l的斜率为1， 又，所以直线，
将代入，得，即，
设，，则，，
根据抛物线的几何性质可知，，，
因为， 可知，
， 所以．
（2）当轴时，，，，此时PA不垂直于PB．
当l不垂直于x轴时，设l的斜率为k，则直线，
将代入，得，即，．
设，，则，，
又，，，
所以，
即，
所以，化简有，解得，
所以l的方程为或．
随堂练习：答案： （1）（2）
解:（1）依题意，设直线为，
代入得，其判别式为， ∴．
设，为交点， ∴，．
∵焦点的坐标为， ∴，．
∵， ∴，
∴， ∴或．
∵成立． ∴．
（2）若，则，
设点，为直线、直线与抛物线的交点．
设直线为，代入得， ∴，∴，
同理可得， ∴点和的坐标分别为，．
又∵在直线上， ∴，共线，
∴， ∴．
∵，∴， ∴，设，
∴在时恒成立， ∴在单调递增，
∴的取值范围为．
典例6、答案：（1） 1、 （2）2、
解：（1）抛物线E：的焦点，准线方程为，
所以，故，
又因为的最小值为9，所的最小值为，
当且仅当点C，P，F三点共线时，取得最小值，
此时，解得， 故抛物线E的方程为；
（2）联立，消去x得，
直线与抛物线E相交于不同的两点A，B， ，得，
设，，则有，， 所以，
设线段AB的中点， 则，，即，
直线MN的斜率，直线MN的方程为：，
令，得，即， 所以，
，
又因为为等边三角形，所以， 所以，
解得，且满足， 故所求m的值为．
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）因为点，在抛物线C：上，所以，抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义得：，解得，即抛物线C的方程为；
（2）由题意可设，，， 因为，所以，即，
故，整理得， 设点，同理可得，
则直线AB方程为：， 令得，即点，
因为直线NF与直线AB垂直， 所以直线NF方程为：，
令得，即点， ∴，
当且仅当时，时上式等号成立， 联立，得，
∴，，，
， ∴．2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时六
知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例1、已知椭圆的长轴长为，且经过点.
（1）求C的方程；（2）过点斜率互为相反数的两条直线，分别交椭圆C于A，B两点（A，B在x轴同一侧）.求证：直线过定点，并求定点的坐标.
随堂练习：已知椭圆：过点，过右焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，且.
（1）求椭圆的标准方程； （2）点，在椭圆上，且.证明：直线恒过定点.
典例2、已知椭圆经过点和点．
（1）求椭圆的标准方程和离心率；
（2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点．
随堂练习：已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求该椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，过该点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，使得为定值？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由.
典例3、如图，已知椭圆：经过点，离心率为.点，以为直径作圆，过点M作相互垂直的两条直线，分别交椭圆与圆于点A，B和点N.
（1）求椭圆的标准方程； （2）当的面积最大时，求直线的方程.
随堂练习：已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程．
知识点二 求抛物线的切线方程,由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数,根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
典例4、如图，设为轴的正半轴上的任意一点，为坐标原点.过点作抛物线的两条弦和， 在轴的同侧.
（1）若为抛物线的焦点，，直线的斜率为，且直线和的倾斜角互补，求的值；
（2）若直线 分别与轴相交于点 ，求证：.
随堂练习：已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线上的投影.当为等边三角形时，其面积为.
（1）求抛物线的方程；（2）过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为，的中点，求面积的最小值.
典例5、已知抛物线，过其焦点F的直线与C相交于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，相交于点P．
（1）求点P的轨迹方程；（2）若PA，PB与x轴分别交于Q，R两点，令的面积为，四边形PRFQ面积为，求的最小值．
随堂练习：已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最大值为5.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值.
典例6、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，交y轴于P点，点N位于点M和点P之间.
（1）若，求直线l的斜率；（2）若，证明：为定值.
随堂练习：已知抛物线的焦点为．
（1）如图所示，线段为过点且与轴垂直的弦，动点在线段上，过点且斜率为1的直线 与抛物线交于两点，请问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（2）过焦点作直线与交于两点，分别过作抛物线的切线，已知两切线交于点，求证：直线 、的斜率成等差数列．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时六答案
典例1、答案：（1）；（2）证明见解析，.
解:（1）由题意得，得，所以椭圆方程为：，
将代入椭圆方程得：，解得， 故椭圆C的方程为
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，得.
设A，B的坐标分别为， 则，
且， 因为直线，斜率互为相反数，即，
所以，则， 即，
即， 所以，化简得，
所以直线的方程为， 故直线过定点
随堂练习：答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由已知得当时，， 又因为椭圆过点，则，
联立解得，故椭圆的标准方程为；
（2）证明设点，， 因为，即，
即.* 当直线的斜率存在时，设直线方程为.
代入椭圆方程消去得， ，，，
根据，.代入*整理， 得，
结合根与系数的关系可得，.
即， 当时，
直线方程为.过点，不符合条件.
当时，直线方程为， 故直线恒过定点.
当直线的斜率不存在时，令点， 此时，
又.可得（舍去）或. 当时，与点重合，与已知条件不符，
∴直线的斜率一定存在，故直线恒过定点.
典例2、答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为 （2）证明见解析
解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则，
所以，椭圆的标准方程为，离心率为.
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
可得，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
由已知，则
，
所以，，即，解得或.
当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意；
②当直线轴，则点、关于轴对称，所以，，，即点，
由已知可得， ，，由已知，
则，所以，，因为，解得，
此时直线的方程为，则直线过点. 综上所述，直线过定点.
随堂练习：答案：（1） （2）存在，
解：（1），，椭圆，将代入可得，故，
椭圆方程为：；
（2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，，
联立方程可得：，
，，为常数，
代入韦达定理可知，即为常数，，故
且，直线l过定点
当直线l斜率为0时，可检验也成立，故存在定点.
典例3、答案：（1） （2）
解：（1）将点代入得，， 又，，得，
所以，，即.
（2）因为，设直线的方程为，设，，
联立，得， 且，则，，
则，且， 直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为， ∴，
∴面积，
当且仅当时，取到等号，此时， 所以直线的方程为.
随堂练习：答案： （1） （2）或.
解：（1）由题意知，， 又，∴，，
∴椭圆标准方程为.
（2）∵轴，∴， 设，则，∴，即，
∵，∴，∴，
∴，即，
设，，则，， ∴.
①当直线的斜率不存在时，的方程为，此时∴不符合条件.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立得.
得， ∴，即，解得.
故直线的方程为或.
典例4、答案：（1） （2）证明见解析.
解：（1）根据题意，为抛物线的焦点，则，
由于直线的斜率为，故直线的方程为，
所以联立方程得， 设，则，
因为直线和的倾斜角互补，所以， 因为，所以，
所以，解得. 所以.
（2）设，直线的方程为，直线的方程为
设， 直线与抛物线联立得，
所以，，同理，直线与抛物线联立得，
所以，， 对于直线，由于，
所以，所以直线方程为，
故令得，即
同理得，，， 所以，
， 所以
随堂练习：答案：（1） ； （2）16.
解：（1）抛物线的焦点，准线，
为等边三角形，则有，而为在动直线上的投影，则，
由，解得，设，则点，
于是由得：，解得，
所以抛物线的方程为：.
（2）显然直线AB，CD都不与坐标轴垂直，设直线AB方程为：，则直线CD方程为：，
由消去x并整理得：，设，则，
于是得弦AB中点，，同理得，
因此，直角面积
，当且仅当，即时取“=”，
所以面积的最小值为16.
典例5、答案：（1） （2）2
解：（1）抛物线的焦点.由得，∴.
设，，，由导数的几何意义可得：，，
∴，即，同理．
又P在PA，PB上，则，所以．
∵直线AB过焦点F，∴．所以点P的轨迹方程是．
（2）由（1）知，，代入得， 则，
则，
P到AB的距离，所以，
∵，当时，得，
∴，∴，同理，．
由得，∴四边形PRFQ为矩形，
∵，∴，
∴，当且仅当时取等号．∴的最小值为2．
随堂练习：答案： （1） （2）32
解：（1）由题意知，，设圆上的点，则.
所以. 从而有.
因为，所以当时，.
又，解之得，因此. 抛物线C的方程为：.
（2）切点弦方程韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线C的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即
同理可知，直线PB的方程为，
由于点P为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、B的坐标满足方程， 所以，直线的方程为，
联立，可得， 由韦达定理可得，
所以， 点P到直线AB的距离为，
所以，，
∵，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
典例6、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）设，
因为过点的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率存在，且不为0，
设直线l为， 联立与得：，
则，， 因为，所以，
故，解得：，
当时，，此时，解得：，
直线l的斜率为，满足点N位于点M和点P之间，
当时，，此时，解得：，
直线l的斜率为，满足点N位于点M和点P之间，
综上：直线l的斜率为；
（2）设，
因为过点的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率不为0，
设直线l为，令得：，故，
联立与得：， 则，，
因为， 所以，，
解得：，， 所以，
故为定值-1.
随堂练习：答案： （1）是定值;定值为4. （2）证明见解析.
解：（1）依题意知 ，将 代入可得，
设，所以直线l的方程为 ，
联立方程 ，得： ,当不满足题意舍去，
则是定值.
（2）证明：依题意设直线的方程为； ，设点 ,
联立方程 得： ，， ，
又,点F坐标为,∴ ,
，，
，
所以直线 、的斜率成等差数列．2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时七
知识点一 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,求椭圆的切线方程,椭圆中三角形（四边形）的面积
典例1、已知椭圆，其离心率为，若，分别为C的左、右焦点，x轴上方一点P在椭圆C上，且满足，．
（1）求C的方程及点P的坐标；（2）过点P的直线l交C于另一点Q（点Q在第三象限），点M与点Q关于x轴对称，直线PM交x轴于点N，若的面积是的面积的2倍，求直线l的方程．
随堂练习：已知椭圆的内接正方形的面积为，且长轴长为4．
（1）求C的方程．（2）直线l经过点，且斜率大于零．过C的左焦点作直线l的垂线，垂足为A，过C的右焦点作直线l的垂线，垂足为B，试问在C内是否存在梯形，使得梯形的面积有最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
典例2、已知椭圆()的离心率为，其右焦点为F，点，且．
（1）求C的方程；
（2）过点P且斜率为()的直线l与椭圆C交于A、B两点，过A、B分别作y轴的垂线，垂足为M、N，直线AN与直线交于点E，证明：B、M、E三点共线．
随堂练习：已知椭圆C：过点，离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左右两个顶点分别为A，B．过点的直线与椭圆C交于M、N（不与A、B重合）两点，直线AM与直线交于点Q，证明：B、N、Q三点共线．
典例3、已知椭圆，左右焦点分别为，直线y=-x+1与椭圆相交于两点．
（1）求椭圆的焦点坐标及离心率；
（2）求的面积．
随堂练习：已知椭圆：的长轴长为4，左、右顶点分别为，，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）．
（1）求椭圆的方程及离心率； （2）求四边形面积的最大值；
知识点二 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,椭圆中的直线过定点问题
典例4、已知椭圆：（）的左右焦点为，，上、下端点为，.若从，，，中任选三点所构成的三角形均为面积等于2的直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过点作两条不重合且，斜率之和为2的直线分别与椭圆交于，，，四点，若线段，的中点分别为，，试问直线是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由.
随堂练习：已知椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与交于两点，证明：直线 经过定点，并求这个定点的坐标．
典例5、已知椭圆E经过点和点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆，直线l与圆C相切于，与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程.
随堂练习： 已知点B是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于
点P.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）直线与E交于点M，N，且，求m的值.
典例6、已知①如图，长为，宽为的矩形，以 为焦点的椭圆恰好过两点
②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若为椭圆上的点，，分别是椭圆的左右焦点，若，求的周长与面积.
随堂练习：已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，圆是的内切圆．当直线的倾斜角为时，直线与椭圆交于点．
（1）求椭圆的方程； （2）求圆周长的最大值．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时七答案
典例1、答案： （1）； （2）
解：（1）因为，所以，且．
又，所以，
即，即，所以，
又离心率，所以，，所以， 所以椭圆方程为．
（2）∵，又∵，∴，∴P点的坐标为．
依题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
由消去y整理，解得或，
所以Q点坐标为， 从而M点坐标为，
所以直线PM的方程为， 则N点的坐标为，
因为的面积是的面积的2倍，点Q在第三象限， 所以，
即，解得（舍负），
所以满足条件的直线l的方程为， 即：．
随堂练习：答案：（1） （2）存在；
解：（1）设C的内接正方形的一个端点坐标为， 则，解得，
则C的内接正方形的面积为，
即．又，所以，
代入，解得，故C的方程为．
（2）存在梯形，其面积的最大值为． 理由如下：设直线，．
因为直线l经过点，所以， 所以点到直线l的距离为，
点到直线l的距离为，
所以梯形的面积（为直线l的倾斜角），
所以， 当且仅当时，等号成立，
此时，直线，直线，
联立这两条直线的方程，解得， 因为，
所以点在C的内部. 同理可证：也在C的内部.
故在C内存在梯形，其面积的最大值为．
典例2、答案： （1）； （2）证明见解析﹒
解：（1）设()，由题意知，∴．
∵点，且，解得， ∴，，
因此C的方程为．
（2）由题意可知，直线l的方程为．
由得，
设，，则，．
∵轴，∴，∴直线，
令，得． ∵轴，∴．
∴
，
∴B，M，E三点共线．
随堂练习：答案： （1）； （2）证明见解析.
解：（1）由题意知，，， 所以，则，
所以椭圆C的方程为．
（2）由题知：l斜率不为零，设l为，，，
由得，，则，，
所以， ∴，直线AM的方程为，则，
∴，，
∴
，即， ∴N、B、Q三点共线．
典例3、答案： （1）焦点坐标为；离心率为 （2）
解：（1）椭圆知，该椭圆的焦点在 轴上，设焦距为，
由， 所以，所以焦点坐标为
离心率为：
（2）由直线y=-x+1与椭圆相交于两点，设
则消去得，，
所以
又到y=-x+1的距离为
所以的面积为：
随堂练习：答案： （1）； （2）
解：（1）由题意，得，解得， 所以椭圆方程为，
，，， 则离心率为.
（2）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，
代入椭圆的方程，得，，
又因为，， 所以四边形的面积,
当直线的斜率存在时，设的方程为，
设 ， 联立方程，消去，得，
由题意，可知恒成立， 则，，
四边形的面积
令，则四边形的面积，，
所以， 综上所述，四边形面积的最大值.
典例4、答案： （1） （2）直线过定点，且定点为
解：（1）解法一：从，，，中任选三点可构成四个三角形，
其中，.
为此仅需考虑，为面积等于2的直角三角形即可.
其中，.
因为为等腰三角形，故可得，即有：；
同时因为为等腰三角形，故可得，即有：；
综上可得：，，即可得椭圆的方程为.
解法二：由椭圆的对称性，结合已知条件可知从，，，中任选三点所构成的三角形，
均为等腰直角三角形，故四边形是面积为4的正方形，
又正方形的边长为，故，即
又正方形的对角线相等，所以，即
又因为，所以 从而椭圆的方程为.
（2）解法一：依题意，设直线的方程为：①
设直线的方程为：，
联立方程①与椭圆的方程可得
由韦达定理得， 根据中点公式可得：
则，即 同理可得：
从而直线的斜率为：
故直线的方程为：
因为，将代入上式可得：
故直线必过定点.
解法二：依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：①，
设直线的方程为：②， 设直线的方程为：，
联立方程②与椭圆的方程可得
由韦达定理得 根据中点公式可得：
同时点是直线和直线的交点，联立方程①②得
即可得， 整理得④
同理可得⑤
根据④⑤可以理解为，为关于的一元二次方程的两个根.
由韦达定理可得：，即可得：，
∴直线的方程为：，故直线必过定点.
随堂练习：答案： （1） （2）直线恒过定点，证明见解析
解：（1）由椭圆定义知：，解得：，
又离心率，，，
椭圆的标准方程为：.
（2）由（1）知：；
当直线斜率存在时，设，，，
由得：，
则，解得：， ，，
，，
即，
，
即，
整理可得：，或；
当时，直线恒过点，不合题意；
当时，直线，恒过定点；
当直线斜率不存在且恒过时，即，
由得：，，满足题意；
综上所述：直线恒过定点.
典例5、答案： （1） （2）或
解：（1）设椭圆E方程为，（t，且）
将点代入椭圆方程得到,
解得， 所以椭圆的标准方程为.
（2）不妨设直线l的方程为,
因为该直线与圆相切，所以， 所以，
将直线方程代入椭圆方程并消去x
得：，则,，
所以，
联立，解得，
即或， 则直线l的方程为或.
随堂练习：答案： （1），（2）.
解:
（1）由条件可得
所以动点P的轨迹E是以为焦点的椭圆，设其方程为
所以，所以 所以方程为
（2）设 联立可得
所以由得
因为 所以可解得
典例6、答案： （1）；（2），
解:（1）选择条件①：由已知可得点代入椭圆方程得：
故椭圆方程为：
选择条件②：
由题设可得如下示意图，易知：△为等腰三角形且，
∴，又，即， ∴，则，
∵，
∴椭圆定义知：动点到两定点的距离和为定值4，
∴的轨迹方程为.
（2）设 ， 则
在 中，根据余弦定理可得：
即
根据定义： 代入上式得： 故
且周长为：
随堂练习：答案：（1）；（2）．
解:（1）设椭圆的半焦距为，则，
当直线的倾斜角为时，直线的方程为，
又直线与椭圆交于点，，
将点代入椭圆方程得：
解得或（舍）， 椭圆的方程为
（2）设圆的半径为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，，
当直线的斜率存在时，设为，直线的方程为，
设， 由得
，
又
综上， 当时，圆的周长取得最大值．2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时八
知识点一 根据a、b、c求椭圆标准方程,椭圆中的定值问题
典例1、如图，已知椭圆分别是长轴的左、右两个端点，是右焦点．椭圆
C过点，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线上有两个点，且，连接交椭圆C于另一点P（不同于点），证明：三点共线．
随堂练习：已知椭圆：（）过点，且焦距与长轴之比为.设，为椭圆的左 右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线：相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：直线与的斜率之积为定值；
（3）判断三点，，是否共线，并证明你的结论.
典例2、已知椭圆，由E的上 下顶点，左 右焦点构成一个边长为的正方形.
（1）求E的方程；（2）过E的右焦点F做相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程.
随堂练习：已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆的离心率与抛物线的方程；（2）过焦点的动直线与抛物线交于，两点，从原点作直线的垂线，垂足为，求动点的轨迹方程；（3）点为椭圆上的点，设直线与平行，且直线与椭圆交于，两点，若的面积为1，求直线的方程．
典例3、椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
随堂练习：已知椭圆的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为 （为坐标原点），求椭圆的标准方程．
知识点二 根据a、b、c求椭圆标准方程,根据韦达定理求参数,根据弦长求参数
典例4、已知椭圆与的离心率相同，过的右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆、的交点从上到下依次为、、、，且，求的值．
随堂练习：已知①如图，长为，宽为的矩形，以 为焦点的椭圆恰好过
两点②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若直线被椭圆截得的弦长等于短轴长，求的值.
典例5、已知椭圆，过点．
（1）求C的方程；
（2）若不过点的直线l与C交于M，N两点，且满足，试探究：l是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
随堂练习：已知为椭圆上一点，上、下顶点分别为、，右顶点为，
且.
（1）求椭圆的方程；
（2）点为椭圆上异于顶点的一动点，直线与交于点，直线交轴于点.求证：直线 过定点.
典例6、已知直线经过椭圆的右焦点，且椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）以椭圆的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为，试判断的周长是否为定值．若是，求出该定值．
随堂练习：已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，点是椭圆的右焦点，且点
在椭圆上，直线与椭圆交于A，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，求的面积；
（3）对，的周长是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时八答案
典例1、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由题意可知：，
， 椭圆C的方程为；
（2）证明：设，
由于，因此，，
直线的斜率为， 直线的方程为，
代入椭圆方程得：，
整理得：，
设，
代入直线的方程得，
直线的斜率为，
直线的斜率为， ，
所以三点共线．
随堂练习：答案： （1）；（2）定值为，证明见解析；
（3），，三点共线，证明见解析.
解:（1）由题知：， 所以椭圆：.
（2）由题知：，存在，且不为零，设，，，
则，即. .
所以直线与的斜率之积为定值.
（3），，三点共线，证明如下：
设直线：，则直线：，
将代入直线，得：，，
，设直线：，
，
设，则，解得，
所以，即，
所以，，
所以， 为公共点，所以，，三点共线.
典例2、答案： （1） （2）与的方程分别为：，
解：（1）由已知，，，所以E的方程为.
（2）又题意中，，
①若或斜率不存在，易知，不符合题意；
②若斜率存在，设，和的方程联立得：
，，，
，
设，同理可得，
所以
解得，，所以与的方程分别为：，，
随堂练习：答案： （1）离心率为；抛物线的方程为
（2） （3）
解：（1）因，，故，从而椭圆的离心率为．
且椭圆的右焦点坐标为．
于是由椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，得，即．
从而抛物线的方程为．
（2）设动点的坐标为，由条件，且点，在直线上，可得．
于是． 即．
故动点的轨迹方程为：．
（3）由于，设直线方程为，，．
由得，故．
则． 又点到直线的距离，
故由，
解得，从而．因此，直线的方程为．
典例3、答案： （1） （2）
解：（1），
离心率为.
（2）由（1）可知椭圆的方程为，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由题知椭圆上顶点的坐标为，左、右顶点的坐标分别为、，
所以，即，
又，所以，所以椭圆的离心率.
（2）设、，联立得，
所以，可得，，，
所以，
又原点到直线的距离，所以，
解得，因此，椭圆的方程为．
典例4、答案： （1）；（2）．
解:（1）设椭圆的方程为，焦距为，
将代入的方程可得，解得.
由题意得，解得，因此的方程为；
（2）设、、、，
由，得（或），
与、相交，只需当时，，解得.
当时，，
由韦达定理可得，所以，与的中点相同， 所以，，
即，
整理可得，解得，满足条件.
随堂练习：答案： （1）;（2）.
解: （1）选①：由已知，将代入椭圆方程得： 故椭圆方程为：
选②：由题设可得如下示意图，易知：△为等腰三角形且，
∴，又，即， ∴，则，
∵，
∴椭圆定义知：动点到两定点的距离和为定值4，
∴的轨迹方程为.
（2）联立与椭圆方程可得：，且，
若交点为，则，，
∴直线被椭圆截得的弦长为，而短轴长为2，
∴，解得.
典例5、答案：（1） （2）直线过定点
解：（1）由题意，，解得， 所以椭圆C的标准方程为．
（2）因为，两边平方，化简整理得，
易知直线l的斜率存在，设其方程为，其中．
由，得，
，
设，则，
所以
，
所以，
即，
因为，所以，
所以，
得，解得，满足，
所以直线l的方程为：，即直线过定点
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）因为为椭圆上一点，所以.
因为，所以，整理得，解得或.
当时，，与矛盾.所以，.
椭圆的方程为.
（2）设直线的斜率为，则.
因为， 由解得，.
因为，所以，整理得，
所以，.
所以，所以.
令，得.
所以，
所以.
所以. 所以直线过定点.
典例6、答案： （1） （2）周长是定值，且定值为4
解：（1）因为经过椭圆的右焦点，令，则，所以椭圆的右焦点为，可得：，
又，可得：，由，所以，
∴椭圆的标准方程为 ；
（2）设直线的方程为，
由得：，
所以，
设，，则：，
所以
.
因为直线与圆相切，所以，即，
所以，
因为，
又， 所以， 同理.
所以，
即的周长是定值，且定值为4．
随堂练习：答案： （1） （2） （3）是，定值为8，证明见解析
解：（1）长轴长是焦距的2倍，则，则，
∴椭圆为，代入点得，解得.
∴椭圆的方程为.
（2），则直线为，过椭圆左焦点，右焦点为.
设，由得，∴，
，.
∴. ∴.
（3）的周长为定值，理由如下： 直线l恒过椭圆左焦点，
由椭圆定义可知的周长为.2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时九
知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,椭圆中三角形（四边形）的面积
典例1、已知椭圆，分别为的右顶点、下顶点．
（1）过作直线的垂线，分别交椭圆于点，若，求椭圆离心率；
（2）设，，直线过点的两条相互垂直的直线，直线与圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，求面积的最大值．
随堂练习：已知椭圆的左焦点为F，上顶点为B，M为的中点，且．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线，l与椭圆有唯一公共点N，与y轴的正半轴相交．若点P满足，且四边形的面积为，求椭圆的方程．
典例2、已知A B为椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足，设直线AP BP AQ BQ的斜率分别为k1 k2 k3 k4.
（1）求证：点P Q O三点共线；
（2）当a=2，b=时，若点P Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为，求△BPQ的面积S；
（3）若F1 F2分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF1PF2，求k12+k22+k32+k42的值.
随堂练习：已知椭圆：，四点，，，中恰有
三个点在椭圆上，，是椭圆上的两动点，设直线，的斜率分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，三点共线，求的值.
典例3、已知椭圆：的短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点为椭圆的上顶点，过点作互相垂直的两条直线（的斜率为正数）和，直线与以短轴为直径的圆和椭圆分别相交于点，，直线与圆和椭圆分别相交于点，，且的面积是面积的倍，求直线和的方程．
随堂练习：设椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，是坐标原点，分别过点，作，的平行线，两平行线的交点刚好在椭圆上，已知，的面积为，求直线的方程．
知识点二 根据椭圆过的点求标准方程,求椭圆中的参数及范围,根据韦达定理求参数
典例4、已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
随堂练习：已知椭圆过两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）F为椭圆C的右焦点，直线l交椭圆C于P，Q（均不与点A重合）两点，记直线AP，AQ，l的斜率分别为k1，，，若，求△FPQ的周长．
典例5、已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
随堂练习：设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆
截得的线段长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.
典例6、已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，
且AF⊥MF．
（1）求C的方程；
（2）设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．
随堂练习：已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．
（1）求动点的轨迹的方程.
（2）动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在 轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时九答案
典例1、答案： （1）； （2）.
解：（1）由题意得：，， 故可设直线的方程为，
联立方程组，解得， 同理：直线的方程为，
联立方程组，解得：，
因为，可得， 即，
整理得：，即， 故椭圆离心率
（2）由，，可得椭圆的方程为：，
当直线的斜率不存在时，直线与椭圆相切于点，不合题意；
当直线的斜率为0时，此时可得，
当直线的斜率存在且不为0时，设直线方程为：，
则点到直线的距离，
根据圆的弦长公式，可得
因为，所以直线的方程为，
联立方程组，解得， 即，
可得， 所以
设，则， 则，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，由于， 故面积的最大值为.
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）为直角三角形，M为的中点，
所以，，又，所以，
，所以， 所以椭圆离心率为.
（2）由题意可设直线方程为：，
联立，得，
又l与椭圆有唯一公共点N，故，即，即，
又所在直线方程为：，所以直线与l的距离为，
四边形的面积为：，
解得：，故椭圆的方程为：
典例2、答案： （1）证明见解析；（2）；（3）8.
解：（1）证明：因为A，B为椭圆与双曲线的公共点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B动点，
又因为，
所以，即 所以点P，Q，O三点共线.
（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线PQ的方程为
联立，解得x=±，y=±， 所以P(，)，
同理，解得x=±，y=±， 解得Q(，)，
则|PQ|=3﹣， 又因为a=2，b=，
联立，解得B(±2，0)， 所以点B到直线PQ的距离d=，
则.
（3）因为，设，， 所以，
因为，所以 又， ，
因为QF1PF2， 所以|OF1|=λ|OF2|， 所以λ2=，
所以= =，
所以：
同理(k3+k4)2=4， 而k1k2=， 又x12=a2+y12， 所以k1k2=，
同理k3k4=﹣， 所以k12+k22+k32+k42=8.
典例3、答案： （1） （2），或，
解：（1）根据题意可得解得 椭圆的标准方程
（2）圆 设，则
设，，，
则，同理可得：，，
∵的面积是面积的倍，则
代入整理得：
联立方程，得或，即，同理
联立方程，得或，即，同理
代入可得：，解得或
当时，直线，；
当时，直线，
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以．①
又椭圆经过点，所以．②
结合，③由①②③，解得． 故椭圆的标准方程是．
（2）①当直线的斜率不存在时，不妨设，
根据对称性知两平行线的交点在轴上，又交点刚好在椭圆上，
所以交点为长轴端点，则满足条件的直线的方程是．
此时点或；
直线的斜率不存在不成立
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
将直线代入椭圆方程得，
则， ， ．
不妨设两平行线的交点为点，则，故点的坐标为．
因为点刚好在椭圆上，所以，
即． 此时，
则．
设点到直线的距离为，则．
所以，
即，解之得：或，
当时，，当时，（舍），所以，直线的方程
典例4、答案： （1） （2）证明见解析，定值为
解：（1）由已知设椭圆方程为：，
代入，得， 故椭圆方程为.
（2）设直线，
由
得：， ，
又，
故
，
由，得，
故或，
①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，
此时，符合题意.
所以的周长为定值.
随堂练习：答案： （1） （2）8
解：（1）将，B（，）代入椭圆C：中，
，解得， 故椭圆C方程为；
（2）设直线，
由，
得 ，
又，
故
由k，得，得，
故或．
①当时，直线l，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线l，过定点，即直线l过左焦点，此时，符合题意．
所以△FPO的周长为．
典例5、答案：（1） （2）不存在，理由见解析
解：（1）由题意可得，解得，. 故椭圆C的标准方程为.
（2）设，，.
联立，整理得，
则，解得，
从而，.
因为M是线段PQ的中点，所以，
则，故.
直线的方程为，即.
令，得，则，
所以
因为，所以，解得.
因为，所以不存在满足条件的.
随堂练习：答案： （1）；（2）.
解：（1）由题意可得，，当时，，
所以得：， 解得， 所以椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可知，，，，
过点且斜率为的直线方程为，
联立方程，可得，
设，， 则，，
故，
又，， ，，
所以
， 整理可得，解得.
典例6、答案：（1） （2）过定点；证明过程见详解
解：（1）设点，其中，则，
因为椭圆过点，则， 将点的坐标代入椭圆的方程得，
所以，解得， 因此椭圆的标准方程为；
（2）设点， 则，所以直线的垂线的斜率为，
由题可知，故直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以直线的方程为，
即，
因为，所以，
所以，
所以， 所以直线过定点．
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）圆的圆心为，半径为，
依题意得， 则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，，， 所以动点的轨迹的方程为.
（2）设直线的方程为，，，
则由得，
由根与系数的关系得①，
由题意，两点不在轴上，所以，，，
又点，， 所以，，由得，
从而由已知得，即②，
又，③，
将③代入②得，
将①代入上式并整理得： ．
，
整理得， ，直线的方程为，
故直线恒过定点.2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十
知识点一 求椭圆中的最值问题
典例1、已知椭圆：经过点，且短轴的两个端点与右焦点构成等边三角形.
（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线交椭圆于 两点，求的取值范围.
随堂练习：已知椭圆，经过拋物线的焦点的直线与交于 两点，在点处的切线交于两点，如图.
（1）当直线垂直轴时，，求的准线方程；
（2）若三角形的重心在轴上，且，求的取值范围.
典例2、椭圆的方程为，过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点，椭圆的右焦点为，已知，椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，，求证：为定值．
随堂练习：已知椭圆的焦距为2，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P为椭圆C上异于顶点的任意一点，点M、N分别与点P关于原点、y轴对称．连接MN与x轴交于点E，并延长PE交椭圆C于点Q．试问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
典例3、已知椭圆：（）的左右焦点为，，上、下端点为，.若从，，，中任选三点所构成的三角形均为面积等于2的直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过点作两条不重合且，斜率之和为2的直线分别与椭圆交于，，，四点，若线段，的中点分别为，，试问直线是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由.
随堂练习：已知椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与交于两点，证明：直线 经过定点，并求这个定点的坐标．
知识点二 根据a、b、c求椭圆标准方程,根据韦达定理求参数,根据弦长求参数
典例4、已知椭圆：过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线被椭圆截得的弦长为，求的值.
随堂练习：已知椭圆的离心率为，上顶点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．
典例5、已知椭圆：，，为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，
且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线：，过点的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线分别交直线、直线于、两点，求最小值.
随堂练习：已知椭圆的焦点在轴，且右焦点到左顶点的距离为．
（1）求椭圆的方程和焦点的坐标；
（2）与轴不垂直且不重合的直线与椭圆相交于不同的，两点，直线与轴的交点为，点 关于轴的对称点为．
①求面积的最大值； ②当面积取得最大值时，求证：．
典例6、已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点A在椭圆C上，，，过与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点，且，求线段MN所在的直线方程．
随堂练习：设椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，点在椭
圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交E于A，B两点和P，Q两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十答案
典例1、答案： （1） （2）
解：（1）由题意，椭圆短轴的两个端点与右焦点构成等边三角形 故，
即椭圆：，代入 可得
故椭圆的方程为：
（2）分以下两种情况讨论：
①若直线与轴重合，则；
②若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，
联立，消去可得， 则恒成立，
由韦达定理可得，，
由弦长公式可得，
，则，所以，.
综上所述，的取值范围是.
随堂练习：答案：（1）x=-1； （2）
解：（1）由知，， 当直线PF垂直于x轴时，由，得，
有， 所以的准线方程为：，即；
（2）由题意知，，设直线，，
则，，
，
由，即直线PB的斜率为，
所以直线PB的方程为：，即，
，
，又G为的重心，且G在x轴上，故，
所以，又，所以，
整理，得，解得，
①，令，则，
所以①式②，
令，则， 所以②式，
故的取值范围为.
典例2、答案： （1） （2）证明见解析
解（1）依题可知：，，
所以，即， 解得
又∵椭圆过点，则 联立 可得，
椭圆的标准方程为．
（2）设点、，，
由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为，
联立，可得，
由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点，
由韦达定理可得，，
，，，
得，，
，，
．
随堂练习：答案： （1）； （2）是定值，且定值为．
解：（1）由已知，， 所以， 解得，椭圆方程为；
（2）设，，则，，所以，,
直线方程为，代入椭圆方程得，
显然是此方程的一个解，另一解为，
而，即为点的横纵坐标，
,
所以． 所以为定值．
典例3、答案： （1） （2）直线过定点，且定点为
解：（1）解法一：从，，，中任选三点可构成四个三角形，
其中，.
为此仅需考虑，为面积等于2的直角三角形即可.
其中，.
因为为等腰三角形，故可得，即有：；
同时因为为等腰三角形，故可得，即有：；
综上可得：，，即可得椭圆的方程为.
解法二：由椭圆的对称性，结合已知条件可知从，，，中任选三点所构成的三角形，
均为等腰直角三角形，故四边形是面积为4的正方形，
又正方形的边长为，故，即
又正方形的对角线相等，所以，即
又因为，所以 从而椭圆的方程为.
（2）解法一：依题意，设直线的方程为：①
设直线的方程为：，
联立方程①与椭圆的方程可得 由韦达定理得，
根据中点公式可得：
则，即 同理可得：
从而直线的斜率为：
故直线的方程为：
因为，将代入上式可得：
故直线必过定点.
解法二：依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：①，
设直线的方程为：②， 设直线的方程为：，
联立方程②与椭圆的方程可得
由韦达定理得
根据中点公式可得：
同时点是直线和直线的交点，联立方程①②得
即可得， 整理得④
同理可得⑤
根据④⑤可以理解为，为关于的一元二次方程的两个根.
由韦达定理可得：，即可得：，
∴直线的方程为：，故直线必过定点.
随堂练习：答案： （1） （2）直线恒过定点，证明见解析
解：（1）由椭圆定义知：，解得：，
又离心率，，， 椭圆的标准方程为：.
（2）由（1）知：；
当直线斜率存在时，设，，，
由得：，
则，解得：， ，，
，，
即，
， 即，
整理可得：，或；
当时，直线恒过点，不合题意；
当时，直线，恒过定点；
当直线斜率不存在且恒过时，即，
由得：，，满足题意；
综上所述：直线恒过定点.
典例4、答案： （1）； （2）.
解：（1）依题意得，因离心率为，则椭圆半焦距，于是得，
所以椭圆E的方程为.
（2）设直线与椭圆E的交点为(，)，(，)，
由消去y并整理得：， 解得，
依题意，即，
整理得：，即，解得，即，
所以的值是.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由离心率，则，
又上顶点，知，又，可知，，
∴椭圆E的方程为；
（2）设直线l：，设，，
则，整理得：，
，即， ∴，，
∴，
即，解得：或（舍去） ∴
典例5、答案： （1） （2）4
解：（1）设，则，所以，即.
，则由椭圆定义，
，则，故椭圆的标准方程为；
（2）由题意直线的斜率必定不为零，于是可设直线：，
联立方程得，
设，，由题意，，
由韦达定理，，
则，，
，，，
又
，
当且仅当即时取等号.
随堂练习：答案：（1）椭圆方程为焦点坐标分别为，；（2）①；②证明见解析．
解:（1）因为，所以． 又，所以．
所以椭圆方程为焦点坐标分别为，．
（2）（ⅰ）方法一：
设，，， 所以，．
联立得．
，，，即．
点到直线的距离为．
所以
． 当且仅当即时等号成立．
（ⅱ）因为．
而 所以，所以．
方法二：
（ⅰ）设直线（）， 所以，．
联立方程化简得．
所以．
所以．
点到的距离为：．
．
当且仅当，即等号成立．
（ⅱ） ．
因为， 所以．
典例6、答案：（1） （2）或
解：（1）由，得，已知，，
由椭圆定义，解得，则， ∴，
∴椭圆C的方程为；
（2）设直线l的方程为，，，
联立整理得，
则，， ∴．
又，则．
∵，∴， ∴，整理得，
解得或， 则或，
故直线MN的方程为或．
随堂练习：答案： （1） （2）0
解：（1）由已知椭圆的左、右焦点分别为，，∴，
方法一： 由题意得，解得， ∴椭圆的方程为；
方法二： 由，
则，又，得， ∴椭圆的方程为；
（2）设，，
由，消去得：
设，
由题意，
从而
同理，又
所以，即，又
故，直线的斜率与直线的斜率之和为0．2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十一
知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的定值问题
典例1、已知椭圆：，，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，，证明，斜率之积为定值．
随堂练习：已知椭圆经过点 ，离心率为，过点的直线l与椭圆C
交于不同的两点M，N.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AM和直线AN的斜率分别为和 ，求证：为定值
典例2、已知椭圆的焦距为，且过点
（1）求椭圆的方程；（2）若点是椭圆的上顶点，点在以为直径的圆上，延长 交椭圆于点，的最大值.
随堂练习：如图，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，过抛物线焦点F且
斜率不为0的直线l与抛物线交于A，B两点，连接交椭圆E于点C，连接交椭圆E于点D，记直线的斜率分别为．
（1）求点P的坐标并确定当为常数时的值；（2）求取最大值时直线l的方程．
典例3、已知椭圆，过点．
（1）求C的方程；
（2）若不过点的直线l与C交于M，N两点，且满足，试探究：l是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
随堂练习：已知为椭圆上一点，上、下顶点分别为、，右顶点为，
且.
（1）求椭圆的方程；
（2）点为椭圆上异于顶点的一动点，直线与交于点，直线交轴于点.求证：直线
过定点.
知识点二 过圆上一点的圆的切线方程,根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆中的最值问题
典例4、已知椭圆的左右焦点分别为．过点的直线与椭圆交
于两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为．
（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．
随堂练习：已知椭圆经过两点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，且直线与以线段为直径的圆交于另一点 （异于点），求的最大值.
典例5、已知椭圆的离心率为，左顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆在第一象限的交点为，过点A的直线与椭圆交于点，若，且（为原点），求的值.
随堂练习：已知椭圆的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且、、成等比数列，求的值.
典例6、已知椭圆：的左 右焦点分别为 ，焦距为2，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点是椭圆上一点，为轴上一点，，设直线与椭圆交于， 两点，若直线，关于直线对称，求直线的斜率.
随堂练习：已知椭圆：经过点且离心率为，，是椭圆的两个焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，直线与椭圆交于另一点，点满足：轴且，求证：是定值．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十一答案
典例1、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由题意得，故椭圆为，
又点在上，所以，得，，
故椭圆的方程即为；
（2）由已知直线过，设的方程为，
联立两个方程得，消去得：，
得，
设，，则，（*），
因为，故，
将（*）代入上式，可得：，
∴直线与斜率之积为定值．
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由题意椭圆经过点 ，离心率为，
可得，解得， 故椭圆C的方程为
（2）由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，
由，可得，
由于直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，
则，解得，
设,则，
，
故
， 即为定值.
典例2、答案：（1）；（2）.
解：（1）根据题意，椭圆的焦距为，且过点， 可知，，则，
，， 所以椭圆的方程为；
（2）可得，，则，则以为直径的圆，圆心为，半径为，
以为直径的圆方程为， 即：，
点，由于延长交椭圆于点，则点在直线上，
可知直线的斜率存在，且， 则设直线的方程为，设，
联立直线和圆的方程，得， 解得：，
可得，
联立直线和椭圆的方程，得， 解得：，
可得， 则，
可知，设上式为， 即有，，
，即为， 解得：， 则的最大值为.
随堂练习：答案： （1）， （2）
解：（1）由得． 设直线l的方程为．
由得，由韦达定理得．
又，同理可得，
则
所以当时，为常数．
（2）由（1）知，．
设直线的方程分别为．
由得，
由韦达定理得，解得，
代入直线的方程得，同理可得．
又由（1）知，，得．
所以
．
所以，令，
则，当且仅当时，等号成立，
此时直线l的方程为．
典例3、答案： （1） （2）直线过定点
解：（1）由题意，，解得， 所以椭圆C的标准方程为．
因为，两边平方，化简整理得，
易知直线l的斜率存在，设其方程为，其中．
由，得，
，
设，则，
所以
，
所以，
即，
因为，所以，
所以，
得，解得，满足，
所以直线l的方程为：，即直线过定点
随堂练习：答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）因为为椭圆上一点，所以.
因为，所以，整理得，解得或.
当时，，与矛盾.所以，. 椭圆的方程为.
（2）设直线的斜率为，则. 因为，
由解得，.
因为，所以，整理得，
所以，.
所以，所以.
令，得.
所以， 所以.
所以.
所以直线过定点.
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）由题， 由椭圆定义，的周长为，所以
所以椭圆的方程为.
（2）当轴时，MN与x轴重合，不符合题意，
当直线与轴重合时，，所以；
当直线斜率存在且不为0时，设
，
由韦达定理
所以
同理 所以
综上所述，的取值范围是.
随堂练习：答案： （1）（2）最大值为
解:（1）椭圆过点，
，解得： 椭圆的标准方程为
（2）由题易知直线的斜率不为，可设：
由得：，则
设，，则，
又，以为直径的圆的圆心坐标为，半径为
故圆心到直线的距离为
，即
（当且仅当，即时取等号）
当时，直线与椭圆有交点，满足题意，且 的最大值为
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）由题意得， 故，
所以， 所以椭圆的方程为；
（2）设直线与椭圆得另一个交点为，
设， 因为， 则直线的方程为，
联立，消整理得， 则，
所以，则，
所以，
联立，消整理得，
则， 所以，
因为， 所以，
解得， 又， 所以.
随堂练习：答案： （1）；（2）.
解:（1）由已知，即有，由已知条件可得，解得，
因此，椭圆的方程为；
（2）由（1）得直线的方程为，联立，
消去可得，解得，则，
依题意且，
因为、、成等比数列，则，则.
当时，则有，该方程无解；
当时，则，解得，
所以，解得，
所以，当、、成等比数列时，.
典例6、答案：（1） （2）
解：（1）依题意可得，又， 所以，，.
所以；
（2）因为，所以是的中点. 结合轴，
所以轴，所以，则，解得，因为，
所以，所以. 因为直线、关于直线对称.
所以、的倾斜角互补，所以，
显然直线的斜率存在，设：，由，
得，由得.
设， ，则，，
由， 整理得，
所以，即
若，则，
所以直线的方程为，此时，直线过点，舍去.
所以，即， 所以直线的斜率为.
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由题意可得， 由椭圆经过点，可得，
又，解方程得，，，
所以椭圆的方程为；
（2）证明：由题意可得，，
设，，，则，
由，可得，
；
直线的方程为,得，与椭圆方程联立，
可得，
所以， 即有，
所以．
所以，是定值．2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十二
知识点一 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,椭圆中的直线过定点问题
典例1、已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，
且AF⊥MF．
（1）求C的方程；
（2）设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．
随堂练习：已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．
（1）求动点的轨迹的方程.
（2）动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在 轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点．
典例2、已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
随堂练习：已知椭圆的左 右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为
的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.
典例3、如图，已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；（2）过左焦点且斜率为正的直线与椭圆交于、两点，过点、
分别作与直线垂直的直线，交轴于、两点，求的最小值.
知识点二 根据椭圆过的点求标准方程,根据韦达定理求参数
典例4、已知椭圆，其长轴长为短轴长的倍，且两焦点距离为2，点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线交椭圆于M N两点，O为坐标原点，求面积的最大值，并求此时直线的方程；
（3）已知斜率为k的直线l交椭圆于A B两点，直线 分别交椭圆于C D，且直线过点，求k的值.
随堂练习：已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设，直线l与椭圆C交于两点，且，当（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．
典例5、已知椭圆的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及的最大值．
随堂练习：已知焦点在轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点（不与定点
重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证直线经过定点；
（3）求的面积的最大值
典例6、在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆C上一点N到距离的最大值为4，过点的直线交椭圆C于点A、B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围.
随堂练习：已知M，N分别是x轴，y轴上的动点，且，动点P满足，设点P
的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）直线与曲线C交于A，B两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合），斜率为k的直线经过点G，与曲线C交于E，F两点．若的值与G的位置无关，求k的值．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十二答案
典例1、答案： （1） （2）过定点；证明过程见详解
解：（1）设点，其中，则，
因为椭圆过点，则，
将点的坐标代入椭圆的方程得， 所以，解得，
因此椭圆的标准方程为；
（2）设点， 则，所以直线的垂线的斜率为，
由题可知，故直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以直线的方程为，
即，
因为，所以， 所以，
所以， 所以直线过定点．
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）圆的圆心为，半径为，
依题意得， 则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，，， 所以动点的轨迹的方程为.
（2）设直线的方程为，，，
则由得，
由根与系数的关系得①，
由题意，两点不在轴上，所以，，，
又点，， 所以，，由得，
从而由已知得，即②，
又，③，
将③代入②得，
将①代入上式并整理得：．
，
整理得， ，直线的方程为， 故直线恒过定点.
典例2、答案： （1） （2）证明见解析，定值为
解：（1）由已知设椭圆方程为：，
代入，得， 故椭圆方程为.
（2）设直线，
由
得：，，
又，
故
，
由，得，
故或，
①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，
此时，符合题意.
所以的周长为定值.
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析，定值为
解：（1）由题意，，，故过且斜率为的直线的方程为，
令，得，由题意可得，解得，．
求椭圆的方程为；
（2）证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线，
，，，， 联立，得．
，， 由，得，
，
，
直线的方程为，令，解得，
则，，同理可得，，
典例3、答案：（1）；（2）最小值是.
解:（1）由题意，解得，因此，椭圆的标准方程为；
（2）设点、，设直线的方程为，
由得，，
由韦达定理可得，，
直线的方程为，令得，
同理， 所以，
令，则，
当且仅当时，即当时，取最小值.
典例4、答案： （1）； （2）面积的最大值为，直线的方程为： 或； （3）
解：（1）由题知，其长轴长为短轴长的倍，且两焦点距离为2
则，，又 解得：，
椭圆的方程为：
（2）由椭圆的方程知，当过点P的直线斜率不存在时，直线与椭圆无交点，
所以直线的斜率存在，设过点P的直线的斜率为
则直线的方程为：，，
由（1）可得椭圆的方程为：
联立直线方程与椭圆方程：得：
解得：，即 ，
设点到直线的距离为，则
令且得：，
当且仅当，即时取等号 此时，，即
所以面积的最大值为
直线的方程为：或
（3）设，，由题意知，直线的斜率不为，
则直线的方程为：
由（1）知椭圆方程为
联立直线与椭圆的方程：， 得
所以 即
所以 同理可得：，
设，则 即
化简得： 即 所以直线l的斜率为
随堂练习：答案： （1）； （2）或
解：（1）因为椭圆过点，且离心率为，
所以，解得， 所以椭圆的方程为；
（2）显然，直线的斜率存在，
①当时，可设直线的方程为由可设，
则，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时直线的方程为；
②当时，可设直线的方程为即，，
联立，消去整理得，
由，得（*），则有，
于是可得的中点为即，
因为，所以，化简得，
结合（*）可得解得，
又到直线的距离为
所以， 即，
所以，当时，取最大值，
此时由可得，直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或.
典例5、答案：（1） （2）横坐标的取值范围为，的最大值为2
解：（1）由题意，可得，，得，解得：．
椭圆C的标准方程为．
（2）解法1：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为，
同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
∵线段MN的中点坐标为， ∴圆的方程为．
令，则．
∵，∴， ∴．
∵这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解， ∴，解得．
设交点坐标分别为，，则．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法2：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为，
同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
若以MN为直径的圆与x轴相交，则，
即，即．
∵， ∴，代入得到，解得．
该圆的直径为；
圆心到x轴的距离为；
该圆在x轴上截得的弦长为．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法3：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为 同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
∴．
圆心到x轴的距离为．
若该圆与x轴相交，则，即．
∵，∴，∴，解得．
该圆在x轴上截得的弦长为．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法4：记点D的坐标为（2，0），点H的坐标为（4，0），设点P的坐标为，
点M的坐标为，点N的坐标为．
由已知可得点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴AP的直线方程为，BP的直线方程为．
令，分别可得，．
∴点M的坐标为，点N的坐标为．
若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，
∵， ∴．
．
∵， ∴，代入得到，
∴． ∴．∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法5：设直线OP与交于点T．
∵轴， ∴有，．
∴，，即T是MN的中点．
又设点P的坐标为，则直线OP方程为．
令，得，∴点T的坐标为．
而，若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，
则，即．
∵，∴， ∴，解得或．
∵，∴， ∴．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
随堂练习：答案：（1）；（2）；（3）．
解:（1）设椭圆（）的离心率为，
可知，又因为，所以．
由定点在椭圆上可得，故，．
所以椭圆的方程为．
（2）当直线与轴垂直时，设（），则．
由题意得：，即．所以直线的方程为．
当直线不与轴垂直时，可设直线为，，，
将代入得．
所以，．
由直线与的斜率之和为1可得①，
将和代入①，
并整理得②，
将，代入②， 并整理得，
分解因式可得，
因为直线：不经过点，所以，故．
所以直线的方程为，经过定点． 综上所述，直线经过定点．
（3）由（2）可得：，．
因为坐标原点到直线的距离为，
所以的面积（）．
令，则，且，
当且仅当，即时，的面积取得最大值．
典例6、答案： （1）；（2）或.
解:（1）椭圆C的半焦距c，，即，
则椭圆方程为，即，设，
则，
当时，有最大值，即，解得， ，
故椭圆方程是；
（2）设，，，直线AB的方程为，
由，整理得，
则，解得，，，
因且，则，
于是有，化简，得，
则，即， 所以，
由得，则，，
而点P在椭圆上，即，化简得，
从而有，而，
于是得，解得或，
故实数t的取值范围为或.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设，，则．
设，则，．
由题意，得解得
所以，化简得，
即曲线C的方程为．
（2）由题意并结合（1）易知（不妨设点A在第一象限内），，．
设点，其中，则，，
所以．
因为斜率为k的直线经过点G，所以直线的方程为．
将直线的方程代入曲线C的方程化简、整理，
得：．
设，，则，，
所以
，
所以．
因为的值与m的值无关，
所以，解得．2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十三
知识点一 双曲线定义的理解,根据a、b、c求双曲线的标准方程,等轴双曲线,双曲线中的定值问题
典例1、已知双曲线的方程为.
（1）直线与双曲线的一支有两个不同的交点，求的取值范围；
（2）过双曲线上一点的直线分别交两条渐近线于两点，且是线段的中点，求证：为常数.
随堂练习：已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线
与直线平行.
（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线 的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.
典例2、已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
（1）求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程；（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值．
随堂练习：已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的
右焦点到的渐近线的距离为．
（1）求与的方程；（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．
典例3、已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，
且，．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．
随堂练习：在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与
点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.
（1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
（2）曲线上一点P，点A B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.
知识点二 抛物线的焦半径公式,根据抛物线上的点求标准方程,抛物线中的参数范围问题,抛物线中的定值问题
典例4、已知抛物线，点F为其焦点，且点F到其准线l的距离为4.
（1）求抛物线T的方程；
（2）设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点的直线m与抛物线T交于B，C两点.记直线AB，AC的斜率分别为，，若，求直线m的方程.
随堂练习：已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在第一象限且为抛物线C上一点，点N
（5，0）在点F右侧，且△MNF恰为等边三角形．
（1）求C的方程；
（2）若直线l：x＝ky+m与C交于A，B两点，∠AOB＝120°（其中O为坐标原点），求实数m的取值范围．
典例5、已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
（1）求p的值和抛物线的焦点坐标；
（2）设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
随堂练习：已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点 在线段上，且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十三答案
典例1、答案： （1）； （2），证明见解析.
解：（1）直线与双曲线即
联立得即
由题意得有两个同号根，则满足 即，即
解得：
双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线为
则，所以的中点
又因为点在双曲线上，即 即，即.
随堂练习：答案： （1） （2）是，2
解：（1）设双曲线的焦距为，
由题意可得：，则， 则双曲线的方程为.
（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为，则， 消得：，
则，可得：①
设与轴交点为， 则，
∵双曲线两条渐近线方程为：，
联立，解得，即， 同理可得：，
则（定值）.
典例2、答案：（1）双曲线C的方程为，离心率，渐近线方程为 （2）
解：（1）因为双曲线C与有相同的渐近线，
所以可设双曲线C的方程为，
代入，得，得，故双曲线C的方程为，
所以，，，故离心率， 渐近线方程为．
（2）联立直线AB与双曲线C的方程，得，
整理得， ．
设，，则AB的中点坐标为，
由根与系数的关系得，，，
所以AB的中点坐标为，
又点在圆上，所以， 所以．
随堂练习：答案： （1）， （2）
解：（1）由题意可得，则． 因为的渐近线方程为，即，
椭圆的右焦点为，由题意可得，，解得，
故椭圆的方程为，双曲线的方程为．
（2）设直线的倾斜角为， 所以，直线的斜率为，
所以直线的方程为， 联立得，则，
设、，则，， 所以,
联立可得，，
设点、，则，，
所以，，故．
典例3、答案：（1）；（2）.
解:（1）由已知，，，，
∵，则，∴，∴，
解得，，∴双曲线的方程为．
（2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、，
由，得， 则，解得①，
∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则，
，解得②，
由①、②得实数k的范围是.
由已知，∵B在A、Q之间，则，且，
∴，则，∴， 则，
∵，∴， 解得，又，∴．
故λ的取值范围是．
随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）证明：如图，由点与关于对称，
则，，故为定值.
由，
由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为8的双曲线，
设双曲线方程为 ，，
所以双曲线方程为；
（2）由题意知，分别为双曲线的渐近线
设，由，设.
，由于P点在双曲线上
又同理，设的倾斜角为，
则.
由函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时， ；
当时，； .
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）因为点F到其准线l的距离为4， 所以， 所以抛物线T的方程为；
（2）若直线的斜率不存在时则与题意不符，
故直线的斜率必存在，不妨设直线的方程为，
将直线和抛物线联立，，
则，
所以直线m的方程为.
随堂练习：答案：（1）；（2）.
解：（1）由题意知，， 由抛物线的定义可知，
则由，得， 所以抛物线的方程为．
（2）设，，，，
由，得， ， 则，
所以，，
因为，
所以
，
所以且，
所以，解得， 即的取值范围为．
典例5、答案：（1）； （2）
解：（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以；
（2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设．
（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则．
由得，
因为，所以， 即，所以，
因为，所以； 因为，所以，
即，所以，
所以因为，所以①．
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设．
由得，所以，
且，所以（*），
因为，所以，即，
所以， 所以，得，
因为，所以，
即，所以，
所以
则
所以，得，
所以②，
代入（*）得，，所以③，
由②得，所以④，
所以，所以，⑤
由④，⑤知，
综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是．
随堂练习：答案： （1） （2）或
解：（1）易知点是抛物线的焦点，，
依题意，
所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4，
设该椭圆的方程为， 则，
， 故点的轨迹的方程为.
（2）易知直线1的斜率存在，
设直线1：，
由得：，
，
即①又，
故，将，代，
得：，
将②代入①，得：，
即， 即，即，
且，
即的取值范围为或.2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十四
知识点一 根据双曲线的渐近线求标准方程,求双曲线中的弦长,由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数,根据韦达定理求参数
典例1、已知双曲线的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
（1）求双曲线C的方程；（2）设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值．
随堂练习：已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线
C交于M，N两点，且.
（1）求C的方程；（2）过点的直线与双曲线C的左 右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
典例2、以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线切于点．
（1）求双曲线的离心率及方程；（2）点分别是双曲线的左、右顶点，过右焦点作一条斜率为的直线，与双曲线交于点，记直线的斜率分别为，．求的值．
随堂练习：已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且点，，三
个点中有且仅有两点在双曲线上．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线交双曲线于轴右侧两个不同点的，连接分别交直线于点．若直线 与直线的斜率互为相反数，证明：为定值．
典例3、已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.
（1）求双曲线的方程；（2）求证：面积为定值，并求出该定值.
知识点二 抛物线的焦半径公式,根据抛物线上的点求标准方程,抛物线中的参数范围问题,抛物线中的定值问题
典例4、已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上．
（1）若，求抛物线的标准方程；
（2）若直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，且满足，原点到直线 的距离不小于，求的取值范围．
随堂练习：已知抛物线的焦点到准线的距离为1.
（1）求C的方程；
（2）已知点在C上，且线段AB的中垂线l的斜率为，求l在y轴上的截距的取值范围.
典例5、已知抛物线，点为其焦点，点、在抛物线上，且直线过点，
.
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点、和、，点、分别为、的中点，求面积的最小值.
随堂练习：已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；
（1）求抛物线C的方程；
（2）过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十四答案
典例1、答案： （1） （2）1
解：（1）由题意可得，渐近线的方程为， 设，则有，即，
因为点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
所以，
又离心率，即，所以，所以，，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知，，设直线的方程为，
联立，得， 所以，
若，，则，，
所以|， 所以，
所以的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
整理得，所以， 则，所以．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由题意得，解得 故C的方程为.
（2）显然直线率存在，设直线的方程为，，，
联立，得，
因为与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，
故， 解得， 此时有.
，，
由，解得，同理可得，所以.
因为，故. 因为，故，
故实数的取值范围是.
典例2答案：（1）离心率为，方程为； （2）．
解：（1）双曲线的渐近线为，
所以圆与切于点，．①
设，则，即，② 又，③
由①②③解得，，， 所以双曲线的离心率为，方程为．
（2）因为，，，
设的方程为，，，
由，消去整理得，
所以且解得，
所以，， ，，
． 故的值为．
随堂练习：答案： （1）； （2）证明见解析.
解：（1）由题意知：不可能同时在双曲线上；
若在双曲线上，则双曲线焦点在轴上，可设为，，
解得：，双曲线方程为；
若在双曲线上，则双曲线焦点在轴上，可设为，，方程组无解；
综上所述：双曲线的标准方程为.
（2）由题意知：直线，即直线斜率存在，可设，，，
由得：，
且，即且；
，，
直线与直线的斜率互为相反数，，
即，
化简得：，
整理可得：，即；
当时，，则，恒过点，与已知矛盾，舍去；
当，即时，直线直线，即，，
，即； 要证为定值，即证为定值，
即证为定值，
，，即为定值.
典例3、答案：（1）；（2）证明见解析，面积为.
解:（1）设双曲线的焦距为，
由题意可得：，则双曲线的方程为；
（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为， 则消得，
，①
设与轴交于一点，，
，
双曲线两条渐近线方程为：，
联立，联立，
则（定值）.
典例4、答案： （1）或； （2）.
解：（1）由题意及抛物线的定义得：，
又因为点在抛物线上，所以，
由 可得或，
所以抛物线的标准方程为或．
（2）设，， 联立消去可得：，
则，，
因为，
所以，
所以，可得，
由原点到直线的距离不小于，可得，解得或，
因为，所以不成立，所以，
因为在上单调递增，
所以，所以， 即的取值范围为．
随堂练习：答案： （1）； （2）.
解：（1）因抛物线的焦点到准线的距离为1，则p=1， 所以C的方程为.
（2）依题意，设直线l的方程为，直线AB的方程为y=2x+m，
设， 由消去x得：，
由题意知，得，
设线段AB的中点为，则，再由，可得，
又点N在直线l上，则，于是，从而有，
所以l在y轴上的截距的取值范围为.
典例5、答案： （1）； （2）16.
解：（1）过点、分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、，
易知，，
因为，则，则点为的中点，
连接，则为的中位线，所以，，则，
所以，点在线段的垂直平分线上，则点的横坐标为，
，解得，所以，抛物线的标准方程为.
（2）因为，若直线、分别与两坐标轴垂直，
则直线、中有一条与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线、的斜率均存在且不为，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，得，则，
设、，则，
设，则，则，所以，
同理可得， 故，
，因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故面积的最小值为.
随堂练习：答案： （1）； （2）.
解：（1）依题意得： ∴，∴，
所求抛物线的方程为；
（2）抛物线的方程为，即∴，
设，，则切线PA，PB的斜率分别为，.
所以切线PA：，
∴，又，，
同理可得切线PB的方程为，
因为切线PA，PB均过点，所以，，
所以，为方程的两组解.
所以直线AB的方程为.
联立方程，消去x整理得，
∴，∴.
∴，
由抛物线定义可知，， 所以
∵ ，
∴
令 ∴原式，
即原式的最大值.2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十五
知识点一 抛物线的焦半径公式,根据抛物线上的点求标准方程,抛物线中的参数范围问题,抛物线中的定值问题
典例1、如图，抛物线的焦点为F，点A为抛物线上的一动点，直线AF交抛物线
于另一点B，当直线的斜率为1时，线段的中点的横坐标为2．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过B与轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，求N的纵坐标的取值范围．
随堂练习：如图，已知过点，圆心C在抛物线上运动，若MN为在x轴上截得的弦，设，，
当C运动时，是否变化？证明你的结论．
求的最大值，并求出取最大值时值及此时方程．
典例2、设点，动圆经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点F的直线交曲线E于A，B两点，另一条与直线平行的直线交x轴于点M，交y轴于点N，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，求点M的横坐标．
随堂练习：已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为．
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）设斜率为的直线过点且与抛物线交于不同的两点、，若且，求斜率的取值范围．
知识点二 双曲线定义的理解,根据a、b、c求双曲线的标准方程,等轴双曲线,双曲线中的定值问题
典例3、在平面直角坐标系中，动点M到点的距离等于点M到直线的距离的倍，记动点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；（2）已知直线与曲线C交于A，B两点，曲线C上恰有两点P，Q满足，问是否为定值 若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由.
随堂练习：已知双曲线的离心率为，左 右顶点分别为M，N，点满足
（1）求双曲线C的方程；（2）过点P的直线l与双曲线C交于A，B两点，直线OP与直线AN交于点D.设直线MB，MD的斜率分别为，求证：为定值.
典例4、已知抛物线：（）的焦点为，为上的动点，为在动直线（）上的投影.当为等边三角形时，其面积为.
（1）求的方程；（2）设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与交于点.试问：是否存在，使得为的中点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
典例5、已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双
曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.
（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知过点的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且
的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程.
随堂练习:已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1
与曲线E交于A,B两点,
(1)求k的取值范围;
(2)如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和的面积S．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十五答案
典例1、答案： （1）；（2），，．
解：（1）设直线AF的方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),
则，. ∴,,
设M(x0，y0),则x1+x2=2x0,∴x0=pk,
∵当k=1时x0=2,∴p=2, 则抛物线的方程为
（2）设，，，．
由题知不垂直于轴，可设直线
由消去得， 故，所以．
又直线的斜率为，故直线的斜率为，
从而的直线，直线，
由解得的纵坐标是，其中，
或． 综上，点的纵坐标的取值范围是，，．
随堂练习：答案： （1）不变（2）最大值为，圆C方程为：
解：设，方程为
与联立
得
在抛物线上 ，代入
得为定值 不变
由可设、，
，
当且仅当时取等号，即 圆方程为
当时，为∠ANx--∠AMx，又
同理，时，仍可得
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）由题意，点P到点F的距离等于到直线的距离，
所以点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， ,
故曲线E的方程是.
（2）显然，直线不与x轴重合，设直线的方程为，
与E联立得：
设，则 则，，
即中点C坐标为，
由题意△NAB是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
故，过C与垂直的直线，其方程为，
令，得，故点N坐标为，
又， 故，
令，则，由，解得，
即，解得 又直线的方程为，
令，得到点M横坐标为.
随堂练习：答案： （1）抛物线方程为，点的坐标为 （2）
解：（1）由抛物线定义可知，得，所以，抛物线方程为，
将点的坐标代入抛物线方程得，所以，点的坐标为.
（2）直线的方程为，设点、，
联立整理得，，可得或，
由韦达定理可得，，
又，即，所以，，
因为，，则，
又，
令，所以，，
由双勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数，
当时，，
同理可知，当时，，
又因为或，所以，的取值范围是.
典例3、答案：（1） （2）是定值，
解:（1）设，由题意得，化简得
（2）存在. 设，，
联立直线与双曲线方程，有
由韦达定理，有 ，
法一：注意到上式当时，上式恒成立，即过定点和
经检验两点恰在双曲线C上，且不与A，B重合，故为定值，该定值为
法二：联立直线与双曲线方程，有……（1）
（1）式两边平方，有，即……（2）
注意到，是此方程的两个增根，故含有因式，记为代入（2），有 即
即 即
解得，代回（1）有或
经检验直线不过这两点，故上述两点为P，Q，为定值，该定值为
随堂练习：答案： （1）； （2）证明见解析.
解：（1）由题意知，又， 所以，
由，可得， 又，所以，故，
所以双曲线的方程为；
（2）因为，
若直线l的斜率不存在，则l与双曲线C仅有一个公共点， 不合题意，故l的斜率存在，
设l：， 联立得：，
设， 则.
因为，故，①
又， 所以，②
联立①②，解得，
于是
所以为定值.
典例4、答案： （1）； （2）存在，，理由见解析.
解：（1）设，， 因为为等边三角形时，其面积为，
所以，解得，即，
由抛物线定义可知，y=t为抛物线的准线，
由题意可知，所以， 所以的方程；
（2）设，则在动直线上的投影， 当时，，
由可得，所以切线的斜率为，
设，，线段的中点，
由，可得， 所以，
整理可得：，即，所以，
可得，又因为，
所以当时，，此时三点共线，满足为的中点，
综上，存在，使得点为的中点恒成立，.
典例5、答案： （1） （2）或
解：（1）由在双曲线C上，得， 由TP垂直x轴于点P，得，
则由到双曲线C的渐近线的距离为2， 得，得，
联立和， 解得，， 即双曲线C的标准方程为.
（2）由题意，， 当直线无斜率时，直线方程为，则、，
则为等腰三角形，若的外接圆的圆心Q在y轴上，
则，而，，， 不符合题意（舍）；
当直线存在斜率时，设直线方程为，
联立，得， 即
设直线l与双曲线C的右支相交于、，
则， 解得，即或；
则，， 从而，
则线段AB的中点， 且.
由题意设， 易知Q在线段AB的垂直平分线上，因此，
得，即， 连接QP，QA，QM，因此.
由勾股定理可得，，
又，则，
化简得，得（舍去），
因此直线l的方程为， 即或.
随堂练习：答案：（1）；（2），面积为.
解：（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，
且，得， 故曲线的方程为；
设，由题意建立方程组，
消去，得，
又直线与双曲线左支交于两点，有，解得，
（2），
依题意得，整理后得，
∴或，但∴， 故直线的方程为，
设，由已知，得，
∴，
又， ∴点，
将点的坐标代入曲线的方程，得得，
但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，
∴，点的坐标为，到的距离为，
∴的面积.

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