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第7部分第7节《向量法求空间角》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
3．平面α的一个法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n＝(2,2,1)，则平面α与平面β夹角的正切值为(　　)
A. B. C. D.
【知识归纳】
1．异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ .
2．直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则
sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝ .
3．平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ .
【题型展示】
题型一　异面直线所成的角
例1　(1)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
(2)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
跟踪训练1　(1)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ(0<λ<1)，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为______．
(2)有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________．
题型二　直线与平面所成的角
例2　如图，在六面体PACBD中，△PAB是等边三角形，平面PAB与平面ABD所成角为30°，PC＝AB＝AD＝BD＝AC＝BC＝4.
(1)证明：AB⊥PD；
(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面PAB所成角的正切值的最大值．
跟踪训练2　在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
(1)证明：BD⊥PA；[切入点：由等腰梯形ABCD的性质求BD长]
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
题型三　平面与平面的夹角
例3　如图，AC，BD为圆柱OO′底面⊙O的两条直径，PA为圆柱OO′的一条母线，且AP＝AC.
(1)证明：AB⊥PD；
(2)若∠AOD＝，求平面DPC与平面PCB夹角的正弦值．
跟踪训练3　如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且AC＝BC＝2ED＝2，DC＝DB＝.
(1)求证：平面ABE⊥平面ABC；
(2)求平面ABE与平面BEC夹角的余弦值．
基础夯实
1.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM.
(1)求BC；
(2)求二面角A－PM－B的正弦值.
2.如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求平面CPB与平面APB夹角的余弦值.
3.在三棱锥A－BCD中，已知CB＝CD＝，BD＝2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO＝2，E为AC的中点.
(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；
(2)若点F在BC上，满足BF＝BC，设平面DEF与平面CDE夹角的大小为θ，求sin θ的值.
4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°.
(1)证明：AB⊥B1C；
(2)若B1C＝2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.
5．如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．
(1)证明：OE∥平面PAC；
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求平面AEC与平面AEB夹角的正弦值．
6.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
7．如图①，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图②，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.
(1)证明：OD⊥平面PAQ；
(2)若BE＝2AE，求平面CBQ与平面ABQ夹角的余弦值．
8.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．
优化提升
9.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，F为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AFC；
(2)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
①∠ABC＝；
②BD＝AC；
③PC与平面ABCD所成角的大小为.
若PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，且________，求平面ACF与平面ACD夹角的余弦值．
11.如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(3)若平面EBD与平面FBD夹角的余弦值为，求线段CF的长.
12.如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点.
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求平面MAB与平面DAB夹角的余弦值.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．C　2.A　3.D
【知识归纳】
1.
2.
3.
【题型展示】
例1 (1)A
(2)C
跟踪训练1 (1)　(2)
例2 (1)证明　取AB的中点M，连接PM，DM，如图，
因为PA＝PB，DA＝DB，所以PM⊥AB，DM⊥AB，且PM∩DM＝M，PM，DM 平面PDM，
所以AB⊥平面PMD，
又PD 平面PMD，所以AB⊥PD.
(2)解　连接CM，则CM⊥AB，由AC＝BC＝2，PA＝PB＝AB＝4，可得CM＝2，
PM＝2，
于是CM2＋PM2＝16＝PC2，
所以PM⊥CM，
又PM⊥AB，AB∩CM＝M，MC，AB 平面ABC，所以PM⊥平面ABC，
以M为原点，MC，MB，MP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则M(0,0,0)，C(2,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)，
由题意知∠CMD＝120°，
可得D(－1,0，)，
平面PAB的一个法向量为
n＝(1,0,0)，
设＝λ＝λ(－1，－2，)，
λ∈[0,1]，
则＝＋
＝(－2－λ，2－2λ，λ)，
设CE与平面PAB所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝
，
令2＋λ＝t，t∈[2,3]，则λ＝t－2，
所以sin θ＝
＝，
令f(t)＝－＋8，t∈[2,3]，由对称轴＝知，当＝，
即λ＝时，f(t)min＝，
则(sin θ)max＝＝，
于是(tan θ)max＝2.
所以直线CE与平面PAB所成角的正切值的最大值为2.
例3 (1)证明　∵AC，BD为圆柱OO′底面⊙O的两条直径，
∴∠BAD＝90°，∴AB⊥AD，
∵PA为圆柱OO′的一条母线，
∴PA⊥AB，
∵PA∩AD＝A，
PA，AD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，
∴AB⊥PD.
(2)解　以C为坐标原点，分别以CD，CB，过C的母线所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AP＝AC＝4，则BC＝2，AB＝2，CD＝2，
则D(2，0,0)，B(0,2,0)，
P(2，2,4)，C(0,0,0)，
∴＝(2，0,0)，＝(0,2,0)，＝(2，2,4)，
设平面PBC的法向量为
n＝(x，y，z)，
则
令x＝2，则y＝0，z＝－，
∴n＝(2,0，－)，
设平面PDC的法向量为
m＝(a，b，c)，
则
令b＝2，则a＝0，c＝－1，
∴m＝(0,2，－1)，
设平面DPC与平面PCB的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈n，m〉|＝＝＝，
∴平面DPC与平面PCB夹角的正弦值为＝.
跟踪训练3 (1)证明　取BC的中点M，AB的中点N，连接DM，MN，EN.
∴MN∥AC，
MN＝AC，
又DE∥AC，DE＝AC，
∴DE∥MN，DE＝MN，
∴四边形MNED是平行四边形，
∴EN∥DM，EN＝DM，
又AC⊥平面BCD，AC 平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BCD，
∵DC＝DB，∴DM⊥BC，
又平面ABC∩平面BCD＝BC，
DM 平面BCD，
∴DM⊥平面ABC，
∴EN⊥平面ABC，
又EN 平面ABE，
∴平面ABE⊥平面ABC.
(2)解　由(1)知，AC⊥BC，EN∥DM且EN＝DM，EN⊥平面ABC，平面ABE⊥平面ABC，
以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，连接CN，
则A(2,0,0)，B(0,2,0)，N(1,1,0)，E(1,1，)，
则＝(0,2,0)，＝(1,1,0)，
＝(1,1，)，
设平面BCE的法向量为
n＝(x，y，z)，
则
取z＝，则
∴n＝(－2,0，)，
又AC＝BC，则CN⊥AB，
又平面ABC∩平面ABE＝AB，
CN 平面ABC，
∴CN⊥平面ABE，即＝(1,1,0)为平面ABE的一个法向量，
设平面ABE与平面BEC的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，
∴平面ABE与平面BEC夹角的余弦值为.
基础夯实
1.
解　(1)因为PD⊥平面ABCD，AD，DC 平面ABCD，
所以PD⊥AD，PD⊥DC.
在矩形ABCD中，AD⊥DC，故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
设BC＝t，则A(t，0，0)，B(t，1，0)，
M，P(0，0，1)，
所以＝(t，1，－1)，＝.
因为PB⊥AM，
所以·＝－＋1＝0，
得t＝(t＝－舍去)，
所以BC＝.
(2)由(1)可得＝(－，0，1)，＝，＝，＝(，1，－1).
设平面APM的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令x1＝，则z1＝2，y1＝1，所以平面APM的一个法向量为n1＝(，1，2).
设平面PMB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
得x2＝0，令y2＝1，则z2＝1，所以平面PMB的一个法向量为n2＝(0，1，1).
cos〈n1，n2〉＝＝＝，
所以二面角A－PM－B的正弦值为
＝.
2.
(1)证明　由AB是圆的直径，得AC⊥BC.
由PA垂直于圆所在的平面，
得PA⊥平面ABC.
由BC 平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
又因为BC 平面PBC，
据面面垂直判定定理，平面PAC⊥平面PBC.
(2)解　过点C作CM∥AP，由(1)知CM⊥平面ABC.
如图所示，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
在直角三角形ABC中，AB＝2，AC＝1，所以BC＝.
又PA＝1，所以A(0，1，0)，B(，0，0)，
P(0，1，1).
故＝(，0，0)，＝(0，1，1).
设平面CPB的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则∴
不妨令y1＝1，则z1＝－1，故n1＝(0，1，－1).
设平面APB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
由同理可得n2＝(1，，0).
于是|cos〈n1，n2〉|＝
＝＝.
∴平面CPB与平面APB夹角的余弦值为.
3.
解　(1)如图，连接OC，因为CB＝CD，O为BD的中点，所以CO⊥BD.
又AO⊥平面BCD，OB，OC 平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC.
以{，，}为基底，建立空间直角坐标系O－xyz.
因为BD＝2，CB＝CD＝，AO＝2，
所以B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C(0，2，0)，
A(0，0，2).
因为E为AC的中点，所以E(0，1，1)，
所以＝(1，0，－2)，＝(1，1，1)，
所以|cos〈，〉|＝
＝＝.
因此，直线AB与DE所成角的余弦值为.
(2)因为点F在BC上，BF＝BC，
＝(－1，2，0)，
所以＝＝.
又＝(2，0，0)，
故＝＋＝.
设n1＝(x1，y1，z1)为平面DEF的一个法向量，
则即
取x1＝2，得y1＝－7，z1＝5，
所以n1＝(2，－7，5).
设n2＝(x2，y2，z2)为平面DEC的一个法向量，又＝(1，2，0)，
则即
取x2＝2，得y2＝－1，z2＝－1，
所以n2＝(2，－1，－1).
故|cos θ|＝＝＝.
所以sin θ＝＝.
4.
(1)证明　连接AB1，在△ABB1中，AB＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°，
由余弦定理得，AB＝AB2＋BB－2AB·BB1·cos∠ABB1＝3，
∴AB1＝，∴BB＝AB2＋AB，
∴AB1⊥AB.
又△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC，
∴AC⊥AB.∵AC∩AB1＝A，
∴AB⊥平面AB1C.
又B1C 平面AB1C，∴AB⊥B1C.
(2)解　∵AB1＝，AB＝AC＝1，B1C＝2，
∴B1C2＝AB＋AC2，∴AB1⊥AC.
如图，以A为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B1(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，
∴＝(－1，0，)，＝(－1，1，0).
设平面BCB1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由得令z＝1，得x＝y＝，
∴平面BCB1的一个法向量为n＝(，，1).
∵＝＋＝＋＝(0，1，0)＋(－1，0，)＝(－1，1，)，
∴cos〈，n〉＝＝＝，
∴AC1与平面BCB1所成角的正弦值为.
5．(1)证明　如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.
因为PA＝PB，所以PD⊥AB.
因为PO为三棱锥P－ABC的高，
所以PO⊥平面ABC.
因为AB 平面ABC，
所以PO⊥AB.
又PO，PD 平面POD，且PO∩PD＝P，
所以AB⊥平面POD.
因为OD 平面POD，
所以AB⊥OD，
又AB⊥AC，AB，OD，AC 平面ABC，所以OD∥AC.
因为OD 平面PAC，
AC 平面PAC，
所以OD∥平面PAC.
因为D，E分别为BA，BP的中点，
所以DE∥PA.
因为DE 平面PAC，
PA 平面PAC，
所以DE∥平面PAC.
又OD，DE 平面ODE，
OD∩DE＝D，
所以平面ODE∥平面PAC.
又OE 平面ODE，
所以OE∥平面PAC.
(2)解　连接OA，因为PO⊥平面ABC，OA，OB 平面ABC，
所以PO⊥OA，PO⊥OB，
所以OA＝OB＝
＝＝4.
易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，
所以OD＝OAsin 30°＝4×＝2，
AB＝2AD＝2OAcos 30°＝2×4×＝4.
又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，
所以在Rt△ABC中，AC＝ABtan 60°＝4×＝12.
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0,0,0)，B(4，0,0)，
C(0,12,0)，
P(2，2,3)，E，
所以＝，
＝(4，0,0)，＝(0,12,0)．
设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
令z＝2，则n＝(－1,0,2)．
设平面AEB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则
即
令z1＝2，则m＝(0，－3,2)，
设平面AEC与平面AEB的夹角为θ，
所以cos θ＝|cos〈n，m〉|
＝＝.
则sin θ＝＝，
所以平面AEC与平面AEB夹角的正弦值为.
6．(1)证明　由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，
PF∩EF＝F，PF，EF 平面PEF，
所以BF⊥平面PEF.
又BF 平面ABFD，
所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)解　如图，作PH⊥EF，
垂足为H.
由(1)得PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BF＝1，由(1)可得DE⊥PE.
又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.
又PF＝1，EF＝2，
所以PE⊥PF，
所以PH＝，EH＝.
则H(0,0,0)，P，
D，
＝，＝.
又为平面ABFD的一个法向量，
设DP与平面ABFD所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈，〉|
＝＝＝.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
7．(1)证明　由题设知OA，OB，OO1两两垂直，
∴以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AQ的长为m，则O(0,0,0)，A(6,0,0)，B(0,6,0)，C(0,3,6)，D(3,0,6)，Q(6，m,0)．
∵点P为BC的中点，
∴P，
∴＝(3,0,6)，＝(0，m,0)，
＝.
∵·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，
即OD⊥AQ，OD⊥PQ，
又AQ∩PQ＝Q，
AQ，PQ 平面PAQ，
∴OD⊥平面PAQ.
(2)解　∵BE＝2AE，AQ∥OB，
∴AQ＝OB＝3，
则Q(6,3,0)，∴＝(－6,3,0)，
＝(0，－3,6)．
设平面CBQ的法向量为n1＝(x，y，z)，
由
得
令z＝1，
则y＝2，x＝1，n1＝(1,2,1)．
易得平面ABQ的一个法向量为n2＝(0,0,1)．
设平面CBQ与平面ABQ的夹角为θ，
则cos θ＝＝，
即平面CBQ与平面ABQ夹角的余弦值为.
8．(1)证明　因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
因为PA⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，
所以PA⊥BD.
又因为AC∩PA＝A，AC，PA 平面PAC，所以BD⊥平面PAC.
(2)解　设AC∩BD＝O.
因为∠BAD＝60°，
PA＝AB＝2，
所以BO＝1，
AO＝CO＝.
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，－，2)，
A(0，－，0)，B(1,0,0)，
C(0，，0)．
所以＝(1，，－2)，
＝(0,2，0)．
设PB与AC所成的角为θ，则
cos θ＝＝
＝，
即PB与AC所成角的余弦值为.
优化提升
9．(1)证明　在正方形ABCD中，
AD∥BC，
因为AD 平面PBC，
BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC，
又因为AD 平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，
所以AD∥l，
因为在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，
所以AD⊥DC，所以l⊥DC，
且PD⊥平面ABCD，所以AD⊥PD，所以l⊥PD，
因为DC∩PD＝D，
所以l⊥平面PDC.
(2)解　以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，如图建立空间直角坐标系D－xyz，
因为PD＝AD＝1，则有D(0,0,0)，C(0,1,0)，
A(1,0,0)，P(0,0,1)，B(1，1,0)，
设Q(m,0,1)，
则有＝(0,1,0)，＝(m,0,1)，＝(1,1，－1)，
设平面QCD的法向量为
n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则z＝－m，
所以平面QCD的一个法向量为
n＝(1,0，－m)，
则cos〈n，〉＝
＝.
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，
所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于
|cos〈n，〉|＝
＝·
＝·
≤·≤·＝，
当且仅当m＝1时取等号，
所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.
10．(1)证明　连接BD交AC于点O，因为ABCD是菱形，所以O为BD的中点．连接OF.因为F为PD的中点，所以OF为△PBD的中位线，所以OF∥PB.
因为OF 平面AFC，
PB 平面AFC，
所以PB∥平面AFC.
(2)解　过O作∥，以O为原点，，，为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
选条件①：∠ABC＝.
在菱形 ABCD 中，AC⊥BD.
因为AB＝AP＝2，
所以OB＝OD＝2sin ＝，
OA＝OC＝2cos ＝1，
所以O(0,0,0)，A(0，－1,0)，
C(0,1,0)，F.
所以＝，
＝(0,2,0)．
设平面ACF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
不妨令x＝2，则n＝(2,0，)，
显然m＝(0,0,1)为平面ACD的一个法向量．
设平面ACF与平面ACD的夹角为θ，
所以cos θ＝|cos〈m，n〉|
＝＝＝.
选条件②：BD＝AC.
在菱形ABCD 中，BD＝AC，
所以OB＝OC，
所以BC＝＝2OC.
因为AB＝AP＝2，
所以OA＝OC＝1，OB＝OD＝.
所以O(0,0,0)，A(0，－1,0)，
C(0,1,0)，F.
所以＝，
＝(0,2,0)．
设平面ACF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
不妨令x＝2，则n＝(2,0，)．
显然m＝(0,0,1)为平面ACD的一个法向量．
设平面ACF与平面ACD的夹角为θ，
所以cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝.
选条件③：PC与平面ABCD所成的角为.
因为PA⊥平面ABCD，所以∠PCA为PC与平面ABCD所成的角，
即∠PCA＝.
在Rt△PAC中，由∠PCA＝，
可得PA＝CA＝2.
所以OA＝OC＝1，OB＝OD＝.
所以O(0,0,0)，A(0，－1,0)，
C(0,1,0)，F.
所以＝，
＝(0,2,0)．
设平面ACF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
不妨令x＝2，则n＝(2,0，)．
显然m＝(0,0,1)为平面ACD的一个法向量．
设平面ACF与平面ACD的夹角为θ，
所以cos θ＝|cos〈m，n〉|
＝＝＝.
11.
解　依题意，建立以A为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2).
设CF＝h(h>0)，则F(1，2，h).
(1)证明　依题意，＝(1，0，0)是平面ADE的一个法向量，
又＝(0，2，h)，可得·＝0，
又因为直线BF 平面ADE，
所以BF∥平面ADE.
(2)依题意，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(－1，－2，2).
设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，
则即
不妨令z＝1，可得n ＝(2，2，1).
因此有cos〈，n〉＝＝－.
所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.
(3)设m＝(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量，
则即
不妨令y1＝1，可得m ＝.
又n＝(2，2，1)为平面BDE的一个法向量，
故由题意，
有|cos〈m，n〉|＝＝＝.
解得h＝.经检验，符合题意.
所以，线段CF的长为.
12.
(1)证明　取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD.
由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD.
又BC＝AD，所以EF綉BC，
所以四边形BCEF是平行四边形，
则CE∥BF.
又BF 平面PAB，CE 平面PAB，
故CE∥平面PAB.
(2)解　由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则
A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，
＝(1，0，－)，＝(1，0，0).
设M(x，y，z)(0＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－).
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n＝(0，0，1)是底面ABCD的法向量，
所以|cos〈，n〉|＝sin 45°，
＝，
即(x－1)2＋y2－z2＝0.①
又M在棱PC上，设＝λ，则
x＝λ，y＝1，z＝－λ.②
由①，②解得(舍去)，
所以M，
从而＝.
设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则
即
所以可取m＝(0，－，2).
于是|cos〈m，n〉|＝＝.
因此平面MAB与平面DAB夹角的余弦值为.第7部分第8节《空间距离及立体几何中的探索问题》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　)
A. B．2 C. D.
2．已知直线l经过点A(2,3,1)且向量n＝()为l的一个单位方向向量，则点P(4,3,2)到l的距离为________．
3．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．
【知识归纳】
1．点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝ .
2．点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ＝＝＝ .
【题型展示】
题型一　空间距离
例1　(1)空间中有三点P(1，－2，－2)，M(2，－3,1)，N(3，－2,2)，则点P到直线MN的距离为(　　)
A．2 B．2 C．3 D．2
(2)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，BC＝AB＝AA1＝2，BC1＝2，M为线段AB上的动点．
①证明：BC1⊥CM；
②若E为A1C1的中点，求点A1到平面BCE的距离．
跟踪训练1　(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则△D1GF的面积为________．
(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
①证明：D1E⊥A1D；
②当E为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离．
题型二　立体几何中的探索性问题
例2　如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是等边三角形，平面ABB1A1⊥平面ABC，A1B⊥AB，AC＝2，∠A1AB＝60°，O为AC的中点．
(1)求证：AC⊥平面A1BO；
(2)试问线段CC1上是否存在点P，使得平面POB与平面A1OB夹角的余弦值为，若存在，请计算的值；若不存在，请说明理由．
跟踪训练2　如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，请说明理由．
基础夯实
1.如图1，在直角梯形ABCD中，E，F分别为AB的三等分点，FG∥BC，ED∥BC，AB⊥BC，BC⊥DC，AB＝3，BC＝2，若沿着FG，ED折叠，使得点A和点B重合，如图2所示，连接GC，BD.
(1)求证：平面GBD⊥平面BCDE；
(2)求平面BGC与平面DGC夹角的余弦值.
2.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45°，点E是CD边的中点，将△DAE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且PB＝2.
(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；
(2)求点E到平面PAB的距离.
3.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，PD＝DC＝BC＝2PA＝2AB＝2，PD⊥DC.
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)设＝λ(0＜λ＜1) ，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为时，求λ的值.
4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，M，N分别为CD，BB1的中点，求异面直线MN与A1B的距离.
5.如图所示，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．
(1)求证：平面BEF⊥平面PAC；
(2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．
6．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点．
(1)求证：BM⊥AB1；
(2)若直线AB1与平面BCM所成的角为，求点A1到平面BCM的距离．
7.已知空间几何体ABCDE中，△ABC，△ECD是全等的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD.
(1)若BD＝BC，求证：BC⊥ED；
(2)探索A，B，D，E四点是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由．
8.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点．
(1)求点N到直线AB的距离；
(2)求点C1到平面ABN的距离．
优化提升
9.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BD和BB1的中点，P为棱C1D1上的动点．
(1)是否存在点P，使得PE⊥平面EFC？若存在，求出满足条件时C1P的长度并证明；若不存在，请说明理由；
(2)当C1P为何值时，平面BCC1B1与平面PEF夹角的正弦值最小．
10.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.△PBC是等腰三角形，且PB＝PC＝3.在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3.
(1)求证：AB∥平面PCD；
(2)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值；
(3)棱BC上是否存在点Q到平面PBA的距离为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
11.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且＝.
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求平面FAE与平面PAE夹角的余弦值；
(3)设点G在PB上，且＝.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.
12.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.
(1)求证：PD⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)在棱PA上是否存在点M；使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．A　2.　3.
【知识归纳】
1.
2.
【题型展示】
例1 (1)A
(2)①证明　因为AB⊥平面BB1C1C，C1B 平面BB1C1C，所以AB⊥C1B，
在△BCC1中，BC＝2，BC1＝2，CC1＝AA1＝4，所以BC2＋BC＝CC，所以CB⊥C1B.
因为AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，所以C1B⊥平面ABC.
又因为CM 平面ABC，
所以C1B⊥CM.
②解　由①知，AB⊥C1B，BC⊥C1B，AB⊥BC，
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则B(0,0,0)，
C(2,0,0)，C1(0，2，0)，A1(－2，2，4)，E(－1,2，2)，
＝(2,0,0), ＝(－1,2，2)，
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
令y＝，则n＝(0，，－3)．
又因为＝(4，－2，－4)，
故点A1到平面BCE的距离
d＝
＝.
跟踪训练1 (1)
例2 (1)证明　∵△ABC是等边三角形，O是AC的中点，
∴AC⊥OB，
∵平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，A1B⊥AB，
∴A1B⊥平面ABC，
∵AC 平面ABC，∴A1B⊥AC，
∵AC⊥OB，A1B∩OB＝B，A1B，OB 平面A1BO，∴AC⊥平面A1BO.
(2)解　存在，线段CC1的中点P满足题意．
理由如下：
∵A1B⊥平面ABC，OB⊥AC，
以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x轴、y轴，过点O作Oz∥A1B，以Oz所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，A(1,0,0)，A1(0，，2)，＝(0，，0)，＝(－1，，2)，
设＝t＝t＝(－t，t,2t)，0≤t≤1，
则＝＋＝(－1－t，t,2t)，
易知平面A1OB的一个法向量为n＝(1,0,0)，设平面POB的法向量为m＝(x，y，z)，
则
取x＝2t，则m＝(2t,0，t＋1)，
由题意得|cos〈n，m〉|＝＝＝，
∵0≤t≤1，∴解得t＝＝，
∴线段CC1上存在点P，使得平面POB与平面A1OB夹角的余弦值为，此时＝.
跟踪训练2 (1)证明　如图，连接BD交AC于点O，连接SO.
由题意知，SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，
以OB，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设底面边长为a，
则高SO＝a，
于是S，D，C.
于是＝，
＝.
则·＝0，所以⊥，
故OC⊥SD，从而AC⊥SD.
(2)解　由题设知，平面PAC的一个法向量为＝，平面DAC的一个法向量为
＝.
设平面PAC与平面DAC的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝，
所以平面PAC与平面DAC夹角的大小为30°.
(3)解　假设在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
由(2)知是平面PAC的一个法向量，
且＝，
＝.
设＝t(0≤t≤1)，
因为B，C，
所以＝，
则＝＋＝＋t
＝.
由·＝0，
得－＋0＋a2t＝0，
解得t＝，
当SE∶EC＝2∶1时，⊥.
由于BE 平面PAC，故BE∥平面PAC.
因此在棱SC上存在点E，使BE∥平面PAC，此时SE∶EC＝2∶1.
基础夯实
1.
(1)证明　取BD，BE的中点，分别记为O，M，连接GO，OM，MF.
则OM∥DE且OM＝DE.又因为GF∥DE且GF＝DE，
所以GF∥OM且GF＝OM，故四边形OGFM为平行四边形，
故GO∥FM.因为M为EB的中点，
△BEF为等边三角形，故FM⊥EB，
易知平面EFB⊥平面BCDE，
又平面EFB∩平面BCDE＝BE，故FM⊥平面BCDE，
因此GO⊥平面BCDE.又GO 平面GBD，
故平面GBD⊥平面BCDE.
(2)解　建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，1，0)，
C(0，1，2)，D(0，0，2)，G，
则＝(0，－1，0)，＝，＝(0，0，－2).
设平面DGC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
令x1＝1，得m＝.
设平面BGC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则即
令x2＝1，得n＝(1，，0).
则|cos〈m，n〉|＝＝，
故平面BGC与平面DGC夹角的余弦值为.
2.
(1)证明　在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45°，点E是CD边的中点，将△DAE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且PB＝2，
∴AE＝＝2，
∴AE⊥AB.∵AB2＋PA2＝PB2，∴AB⊥PA.
∵AE∩PA＝A，AE，PA 平面PAE，
∴AB⊥平面PAE，∵AB 平面ABCE，
∴平面PAE⊥平面ABCE.
(2)解　∵AE＝2，DE＝2，PA＝2，
∴PA2＝AE2＋PE2，∴AE⊥PE.
∵AB⊥平面PAE，AB∥CE，
∴CE⊥平面PAE，∴EA，EC，EP两两垂直，
以E为原点，EA，EC，EP分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
则E(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，P(0，0，2)，
＝(0，0，－2)，＝(2，0，－2)，＝(2，4，－2).
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1，0，1)，
∴点E到平面PAB的距离d＝＝＝.
3.
(1)证明　因为四边形ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，所以AD⊥DC.
因为PD⊥DC，PD∩AD＝D，所以CD⊥平面PAD.
又因为PA 平面PAD，所以CD⊥PA.
取CD的中点E，连接BE，
在Rt△BCE中，BC＝2，CE＝1，可得BE＝，所以AD＝.
又PD＝2PA＝2，所以PA2＋AD2＝PD2，所以PA⊥AD，
又AD∩CD＝D，所以PA⊥平面ABCD.
(2)解　以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则B(1，0，0)，D(0，，0)，P(0，0，1)，
所以＝(－1，0，1)，＝(－1，，0).
设平面PBD的法向量m＝(x，y，z)，
由
令y＝1，得m＝(，1，).
设M(x0，y0，z0)，由＝λ(0＜λ＜1)，得(x0－1，y0，z0)＝λ(－1，，0)，
所以M(1－λ，λ，0)，所以＝(0，0，1)，＝(1－λ，λ，0).
设平面PAM的法向量n＝(x1，y1，z1)，
由得
令x1＝λ，得平面PAM的一个法向量为
n＝(λ，λ－1，0).
设平面PAM与平面PBD夹角的平面角为θ，
则有cos θ＝＝＝＝，解得λ＝0或λ＝.
因为0＜λ＜1，所以λ＝.
4.
解　以A为原点，以AD，AB，AA1为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图.
则M(3，2，0)，N(0，4，1)，A1(0，0，2)，B(0，4，0)，
即＝(－3，2，1)，＝(0，4，－2).
设MN，A1B公垂线的方向向量为
n＝(x，y，z)，
则有
令y＝1，则z＝2，x＝，
即n＝，|n|＝.
又＝(－3，－2，2)在n上的射影的长度为
d＝＝＝＝.
即异面直线MN与A1B的距离为.
5．(1)证明　∵△ABC是正三角形，E为AC的中点，
∴BE⊥AC.
又PA⊥平面ABC，BE 平面ABC，∴PA⊥BE.
∵PA∩AC＝A，
PA，AC 平面PAC，
∴BE⊥平面PAC.
∵BE 平面BEF，
∴平面BEF⊥平面PAC.
(2)解　存在．
由(1)及已知得PA⊥BE，
PA⊥AC，
∵点E，F分别为AC，PC的中点，
∴EF∥PA，
∴EF⊥BE，EF⊥AC.
又BE⊥AC，
∴EB，EC，EF两两垂直．
以E为坐标原点，以EB，EC，EF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0，－2,0)，P(0，－2,2)，
B(2，0,0)，C(0,2,0)，
＝(－2，－2,2)，
＝(2，2,0)．
设＝λ＝(－2λ，－2λ，2λ)，
λ∈[0,1]，
∴＝＋＝(2(1－λ)，
2(1－λ)，2λ)，
＝(－2，2,0)，＝(0,4，－2)，
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则y＝，z＝2，
∴n＝(1，，2)．
由已知得＝，
即＝，
解得λ＝或λ＝(舍去)，
故λ＝，∴存在满足条件的点G，点G为PB的中点．
6．(1)证明　∵AA1⊥平面ABC，AB，AC 平面ABC，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，而AB⊥AC，故建立如图所示的空间直角坐标系，设A1M＝a，a∈[0,1]，
则A(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,0,1)，M(0，a,1)，
＝(－1，a,1)，＝(1,0,1)，
∵·＝0，∴⊥，∴BM⊥AB1.
(2)解　设平面BCM的法向量n＝(x，y，z)，
由(1)知＝(－1，a,1)，＝(－1,1,0)，＝(1,0,1)，
∴
取x＝1，得n＝(1,1,1－a)，
∵直线AB1与平面BCM所成的角为，
∴sin ＝＝＝，
解得a＝，∴n＝，
∵＝(1,0，－1),
∴点A1到平面BCM的距离d＝＝＝.
7．(1)证明　∵△ABC，△ECD是全等的正三角形，∴CD＝BC，
∵BD＝BC，
∴BD2＝BC2＋DC2，∴BC⊥DC，
∵平面ECD⊥平面BCD，且平面ECD∩平面BCD＝CD，
∴BC⊥平面ECD，
∵DE 平面ECD，∴BC⊥ED.
(2)解　A，B，D，E四点共面．
理由如下，
如图，分别取BC，DC的中点M，N，连接AM，EN，MN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AM⊥BC，AM＝BC，
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，
∴AM⊥平面BCD，
同理EN⊥平面BCD，
且EN＝CD ＝BC，
∴AM∥EN，且AM＝EN，
∴四边形AMNE是矩形，
∴AE∥MN，又MN∥BD，
∴AE∥BD，∴A，B，D，E四点共面．
8．解　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，2,0)，
C(0,4,0)，C1(0,4,4)，
∵N是CC1的中点，
∴N(0,4,2)．
(1)＝(0,4,2)，＝(2，2,0)，
则||＝2，
||＝4.
设点N到直线AB的距离为d1，
则d1＝＝＝4.
(2)设平面ABN的法向量为n＝(x，y，z)，
则由n⊥，n⊥，
得
令z＝2，则y＝－1，x＝，
即n＝.
易知＝(0,0，－2)，
设点C1到平面ABN的距离为d2，
则d2＝＝＝.
优化提升
9．解　建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意设点
P(0，t,2)，
0≤t≤2，
则E(1,1,0)，
F(2,2,1)，
C(0,2,0)，
(1)＝(1,1－t，－2)，
＝(1,1,1)，＝(2,0,1)，
设平面CEF的法向量为
m＝(x，y，z)，
则
令x＝1，得z＝－2，y＝1，
∴m＝(1,1，－2)，
若存在满足题意的点P，
则∥m，
∴＝1，∴t＝0，满足0≤t≤2，即P与D1重合时，PE⊥平面EFC，此时C1P＝2.
(2)易知平面BCC1B1的法向量为
n＝(0,1,0)，
设平面PEF的法向量为
r＝(x0，y0，z0)，
又＝(2,2－t，－1)，
＝(1，1－t，－2)，
∴
令y0＝1，则x0＝－1，z0＝－，
∴r＝，
设平面BCC1B1与平面PEF的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈n，r〉|
＝
＝，0≤t≤2，
∴当t＝时，(cos θ)max＝，
(sin θ)min＝.
此时C1P＝2－＝.
10．(1)证明　∵AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，
∴AB∥平面PDC.
(2)解　∵ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，
DC＝3，
∴BC＝＝2，又PB＝PC＝3，∴点P到直线BC的距离为＝2，
∵平面PBC⊥平面ABCD，
∴点P到平面ABCD的距离为2.
以D为原点，以DA，DC及平面ABCD过D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系(图略)．
∴A(4,0,0)，B(4,5,0)，C(0,3,0)，
P(2,4,2)，
∴＝(2,1，－2)，＝(0,5,0)，＝(4,2,0)，
设平面APB的法向量为
m＝(x1，y1，z1)，
平面PBC的法向量为
n＝(x2，y2，z2)，
则
令x1＝1，x2＝1可得m＝(1,0,1)，
n＝(1，－2,0)，
设平面APB与平面PBC的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝
＝＝.
∴平面APB与平面PBC夹角的余弦值为.
(3)解　假设棱BC上存在点Q到平面PBA的距离为，
设＝λ＝λ(4,2,0)
＝(4λ，2λ，0)，λ∈[0,1]，
∴Q(4λ，2λ＋3,0)，
∴＝(4λ－4,2λ＋3,0)，
由(2)知平面PBA的一个法向量为
m＝(1,0,1)，
∴点Q到平面PBA的距离
d＝＝＝，
∴|4λ－4|＝，∴λ＝1－，
∴棱BC上存在点Q到平面PBA的距离为，
＝1－.
11.
(1)证明　因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD.
又因为AD⊥CD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.
(2)解　过点A作AD的垂线交BC于点M.
因为PA⊥平面ABCD，AM，AD 平面ABCD，
所以PA⊥AM，PA⊥AD.
建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(2，－1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).
因为E为PD的中点，
所以E(0，1，1)，
所以＝(0，1，1)，＝(2，2，－2)，＝(0，0，2)，
所以＝＝，
所以＝＋＝.
设平面FAE的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
令z＝1，则y＝－1，x＝－1.
于是n＝(－1，－1，1).
又因为平面PAE的一个法向量为p＝(1，0，0)，
所以cos〈n，p〉＝＝－.
由题知，平面FAE与平面PAE夹角的余弦值为.
(3)解　直线AG在平面AEF内，理由如下：
因为点G在PB上，且＝，＝(2，－1，－2)，
所以＝＝，
所以＝＋＝.
由(2)知，平面AEF的一个法向量n＝(－1，－1，1)，
所以·n＝－＋＋＝0.
又点A∈平面AEF，所以直线AG在平面AEF内.
12.
(1)证明　∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB 平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD.
∵PD 平面PAD，∴AB⊥PD.
又PA⊥PD，PA∩AB＝A.
∴PD⊥平面PAB.
(2)解　取AD中点O，连接CO，PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.
又∵PO 平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD.
∵CO 平面ABCD，∴PO⊥CO.
∵AC＝CD，∴CO⊥AD.
以O为原点建立如图所示空间直角坐标系.
易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，－1，0)，C(2，0，0).
则＝(1，1，－1)，＝(0，－1，－1)，
＝(2，0，－1)，＝(－2，－1，0).
设n＝(x0，y0，1)为平面PDC的一个法向量.
由得
解得即n＝.
设PB与平面PCD的夹角为θ.
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝
＝＝.
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
(3)解　设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0，1]使得＝λ，因此点M(0，1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ).
因为BM 平面PCD，所以BM∥平面PCD，
当且仅当·n＝0，即(－1，－λ，λ)·＝0，解得λ＝，所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时＝.第7部分第9节《空间动态问题》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【题型展示】
题型一　空间位置关系的判定
例1　(1)(多选)已知等边△ABC的边长为6，M，N分别为边AB，AC的中点，将△AMN沿MN折起至△A′MN，在四棱锥A′－MNCB中，下列说法正确的是(　　)
A．直线MN∥平面A′BC
B．当四棱锥A′－MNCB体积最大时，平面A′MN⊥平面MNCB
C．在折起过程中存在某个位置使BN⊥平面A′NC
D．当四棱锥A′－MNCB体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为
(2)已知P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点(不与顶点重合)，则下列结论错误的是(　　)
A．AB⊥PQ
B．平面BPQ∥平面ADD1A1
C．四面体ABPQ的体积为定值
D．AP∥平面CDD1C1
跟踪训练1　如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论一定成立的是(　　)
A．三棱锥A－A1PD的体积大小与点P的位置有关
B．A1P与平面ACD1相交
C．平面PDB1⊥平面A1BC1
D．AP⊥D1C
题型二　轨迹问题
例2　(1)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为________．
(2)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为底面正方形ABCD内的一动点，若△APC1的面积S＝，则动点P的轨迹是(　　)
A．圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
跟踪训练2　(1)已知动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的表面上运动，且PA＝r(0＜r＜)，记点P的轨迹长度为f(r)，则f(1)＋f() ＝________.
(2)如图，斜线段AB与平面α所成的角为，B为斜足．平面α上的动点P满足∠PAB＝，则点P的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
题型三　最值、范围问题
例3　(1)在三棱锥P－ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝3.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为________．
(2)如图所示，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起，使平面ACD′⊥平面ACB，则此时空间四面体ABCD′体积的最大值为(　　)
A. B. C．1 D.
跟踪训练3　(1)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，P是底面A1B1C1D1上一点．若AP∥平面BEF，则AP长度的最小值是________，最大值是________．
(2)在四面体ABCD中，若AD＝DB＝AC＝CB＝1，则四面体ABCD体积的最大值是(　　)
A. B. C. D.
优化提升
1.已知正四面体D－ABC，点E，F分别为棱CD，AC的中点，点M为线段EF上的动点，设EM＝x，则下列说法正确的是(　　)
A．直线DA与直线MB所成的角随x的增大而增大
B．直线DA与直线MB所成的角随x的增大而减小
C．直线DM与平面ABD所成的角随x的增大而增大
D．直线DM与平面ABD所成的角随x的增大而减小
2．点P为棱长是2的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为(　　)
A．π B．2π C．4π D．2π
3．在空间直角坐标系Oxyz中，正四面体P－ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是(　　)
A．[－1，＋1] B．[1,3]
C．[－1,2] D．[1，＋1]
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为(　　)
A. B．1 C．2 D.
5.如图，在四棱锥P－ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，且AB＝，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当AN＋MN取最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥外接球的表面积为(　　)
A. B. C. D.
6．(多选)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的是(　　)
A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆
B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π
C．若点N到直线BB1与到直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线
D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为椭圆
7．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱DD1，BB1上的动点(异于所在棱的端点)．则下列结论正确的是(　　)
A．在点F运动的过程中，直线FC1可能与AE平行
B．直线AC1与EF必然异面
C．设直线AE，AF分别与平面A1B1C1D1相交于点P，Q，则点C1可能在直线PQ上
D．设直线AE，AF分别与平面A1B1C1D1相交于点P，Q，则点C1一定不在直线PQ上
8．(多选)如图，在等腰Rt△ABC中，BC＝2，∠C＝90°，D，E分别是线段AB，AC上异于端点的动点，且DE∥BC，现将△ADE沿直线DE折起至△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCED，当D从B滑动到A的过程中，下列选项中正确的是(　　)
A．∠A′DB的大小不会发生变化
B．二面角A′－BD－C的平面角的大小不会发生变化
C．三棱锥A′－EBC的体积先变小再变大
D．A′B与DE所成的角先变大后变小
9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点D是AB上的动点．下列结论正确的是______．(填序号)
①AC⊥BC1；
②存在点D，使得AC1∥平面CDB1；
③不存在点D，使得平面CDB1⊥平面AA1B1B；
④三棱锥A1－CDB1的体积是定值．
10．在三棱锥A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直且长度均为6，定长为l(l＜4)的线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动(含边界)，若线段MN的中点P的轨迹的面积为，则l的值为________.
参考答案：
基础摸查
【题型展示】
例1 (1)AB
(2)C
跟踪训练1 C
例2 (1)
(2)D
跟踪训练2 (1)3π
(2)B
例3 (1)
(2)A
跟踪训练3 (1)　
(2)A
优化提升
1．D
2．C
3．A
4．D
5．B
6．AC
7．AC
8．AB
9．①②④
10．2第7部分第1节《基本立体图形、简单几何体的表面积与体积》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm
2．下列说法正确的是(　　)
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
3．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是(　　)
A．四棱台 B．四棱锥
C．四棱柱 D．三棱柱
【知识归纳】
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相 且____ 多边形 互相 且_____
侧棱 相交于 但不一定相等 延长线交于_____
侧面形状
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等， 于底面 相交于____ 延长线交于____
轴截面
侧面展开图
2.直观图
(1)画法：常用 ．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面 ．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 ，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的 ．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝____ S圆锥侧＝____ S圆台侧＝________
4．柱、锥、台、球的表面积和体积
名称几何体　　 表面积 体积
柱体 S表＝S侧＋2S底 V＝_____
锥体 S表＝S侧＋S底 V＝Sh
台体 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S表＝_____ V＝πR3
常用结论：
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．
2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S
【题型展示】
题型一　基本立体图形
命题点1　结构特征
例1　(多选)下列说法中不正确的是(　　)
A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台
B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
命题点2　直观图
例2　已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，则原四边形OABC的面积为(　　)
A. B．3 C．4 D．5
命题点3　展开图
例3　如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为(　　)
A．12 cm B．13 cm
C. cm D．15 cm
跟踪训练1　(1)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为(　　)
A．4＋4 B．4＋4
C．8 D．8
(2)已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为(　　)
A. B. C. D.
(3)(多选)下列命题中不正确的是(　　)
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
C．不存在每个面都是直角三角形的四面体
D．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
题型二　表面积与体积
命题点1　表面积
例4　(1)已知三棱锥的三条侧棱长均为2，有两个侧面是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为(　　)
A．4＋3＋ B．4＋＋2
C．4＋＋ D．4＋2＋
(2)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(　　)
A．8π B．4π C．8 D．4
命题点2　体积
例5　(1)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为(　　)
A. B. C．4 D．6
(2)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为(　　)
A．20＋12 B．28
C. D.
跟踪训练2　(1)在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7 cm，底面边长为7 cm(数据为笔筒的外观数据)，用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为(　　)
A．120 cm2 B．162.7 cm2
C．785.4 cm2 D．1 570.8 cm2
(2)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(<10 mm)，中雨(10 mm－25 mm)，大雨(25 mm－50 mm)，暴雨(50 mm－100 mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级(　　)
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
基础夯实
1.下列说法中，正确的是(　　)
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形
C.正方体的所有棱长都相等
D.棱柱的所有棱长都相等
2.一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为(　　)
A.2 cm2 B.2 cm2
C.4 cm2 D.8 cm2
3.现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为(　　)
A.3π B. C. D.π
4．已知圆锥的侧面展开图为一个面积为2π的半圆，则该圆锥的高为(　　)
A. B．1 C. D.
5.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为(　　)
A．12 B．16
C．24 D．24
6．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　)
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3
C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
7.如图，在正四棱锥P－ABCD中，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则棱锥A－B1CD1与棱锥P－ABCD的体积之比是(　　)
A．1∶4 B．3∶8 C．1∶2 D．2∶3
8.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为(　　)
A. B. C. D.
9.已知三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠ABC＝，SB＝4，SC＝2，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S－ABC的体积是(　　)
A.4 B.6 C.4 D.6
10.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，点E为AB上的动点，则D1E＋CE的最小值为(　　)
A.2 B.
C.＋1 D.2＋
11．若圆锥的母线长为2，侧面展开图的面积为6π，则该圆锥的体积是(　　)
A.π B．3π C．3π D．9π
12.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图(图中虚线分别与x′轴、y′轴平行)，则原图形△AOB的面积是(　　)
A．8 B．16
C．32 D．64
13.在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　)
A.π B.2π C.3π D.4π
14.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　)
A.64π B.48π C.36π D.32π
15.(多选)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为米，则(　　)
A．正四棱锥的底面边长为6米
B．正四棱锥的底面边长为3米
C．正四棱锥的侧面积为24平方米
D．正四棱锥的侧面积为12平方米
16．(多选)下列说法不正确的是(　　)
A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
17.(多选)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是(　　)
A.圆面
B.矩形面
C.梯形面
D.椭圆面或部分椭圆面
18.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3.
19.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为________，圆柱的表面积与球的表面积之比为________.
20.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g.
21.如图，在六面体ABC－FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，FE∥GD，∠FGD＝90°，AB＝BC＝BG＝2，GD＝2BC，四边形AEDC是菱形，则六面体ABC－FEDG的体积为________．
22．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且AC＝3AB＝3BD，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是________．
23.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，点M，N分别为棱AA1，CC1的中点，则棱锥B－AMNC的体积为________．
24.某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成．已知正四棱柱的底面边长为3 cm，这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为 ________，体积为 ________cm3.
优化提升
25．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落处，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是(　　)
A．15π B．36π C．45π D．48π
26．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则等于(　　)
A. B．2 C. D.
27.碳70(C70)是一种碳原子族，可高效杀死癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环(正五边形面)和六元环(正六边形面)组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为(　　)
C70分子结构图
A.12 B.25 C.30 D.36
28.(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是(　　)
A.AE∥平面C1BD
B.四面体ACEF的体积不为定值
C.三棱锥A－BEF的体积为定值
D.四面体ACDF的体积为定值
29．(多选)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列判断正确的是(　　)
A．直三棱柱的侧面积是4＋2
B．直三棱柱的体积是
C．三棱锥E－AA1O的体积为定值
D．AE＋EC1的最小值为2
30.若E，F是三棱柱ABC－A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，则四棱锥A－BEFC的体积为________.
31.在半径为15的球O内有一个底面边长为12的内接正三棱锥A－BCD，则此正三棱锥的体积为________.
32．如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为16 cm2的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为________cm3.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．B　2.D　3.C
【知识归纳】
1．(1)平行　全等　平行　相似
平行且相等　一点　一点
平行四边形　三角形　梯形
(2)垂直　一点　一点　矩形
等腰三角形　等腰梯形　圆　矩形　扇形　扇环
2．(1)斜二测画法　(2)①垂直
②分别平行于坐标轴　不变　一半
3．2πrl　πrl　π(r1＋r2)l
4．Sh　4πR2
【题型展示】
例1 ABC
例2 B
例3 C
跟踪训练1 (1)B　(2)C　(3)ACD
例4 (1)C
(2)A
例5 (1)B
(2)D
跟踪训练2 (1)C　(2)B
基础夯实
1.C
2.B
3.D
4.D　
5.A
6．C
7．A
8.A
9.C
10.B
11．B　
12.C　
13.B
14.A
15．AC
16.ABC　
17.ABD
18.12－
19.　
20.118.8
21．8　
22.2
23.V
24．8　18
优化提升
25．C
26．C
27.B
28.ACD
29．ACD
30.
31.864或216
32.第7部分第2节《球的切、接问题》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【题型展示】
题型一　定义法
例1　(1)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．100π B．128π
C．144π D．192π
(2)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝45°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积是(　　)
A．14π B．16π C．18π D．20π
跟踪训练1　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)
A. B．2 C. D．3
题型二　补形法
例2　(1)如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________．
(2)在正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O－DEF，则该三棱锥的外接球半径R与内切球半径r的比值为(　　)
A.2 B．4 C．2 D.
跟踪训练2　(1)已知三棱锥P－ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA＝3，PB＝PC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
(2)在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为(　　)
A.π B．2π C．3π D．4π
题型三　截面法
例3　(1)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为(　　)
A.，4 B.，3
C．6π，4 D.，3
(2)四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的表面上，△PAD是等边三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，则球O的表面积为(　　)
A．12π B．16π C．20π D．32π
跟踪训练3　(1)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为(　　)
A．3π B．4π C．9π D．12π
(2)半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是(　　)
A．1＋ B.＋ C.＋ D.＋
优化提升
1．已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上，则该球体的体积为(　　)
A.π B．4π C．8π D．12π
2．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为(　　)
A.π B.π C．4π D．8π
3．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(　　)
A．6 B．12 C．18 D．24
4．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为(　　)
A．π B．2π C．3π D．4π
5.已知在三棱锥P－ABC中，AC＝，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，则其外接球体积为(　　)
A. B．4π C. D．4π
6．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　)
A. B. C. D.
7．(多选)已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2，点D为AB的中点，过点D作球O的截面，则截面的面积可以是(　　)
A. B．π C．9π D．13π
8．(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为－1，则下列说法中正确的是(　　)
A．正方体的外接球的表面积为12π
B．正方体的内切球的体积为
C．正方体的棱长为2
D．线段MN的最大值为2
9．在三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝2，AC＝2，BD＝4，BD⊥平面ABC，则三棱锥D－ABC外接球的表面积为________．
10．已知在三棱锥P－ABC中，AB＝4，BC＝3，PA＝AC＝5，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为________．
11．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
12.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，表面积为S1，球O的体积为V2，表面积为S2，则＝________，＝________.
参考答案：
基础摸查
【题型展示】
例1 (1)A
(2)D
跟踪训练1 C
例2 (1)　6π
(2)C
跟踪训练2 (1)34π
(2)A
例3 (1)D
(2)B
跟踪训练3 (1)B
(2)D
优化提升
1．B　
2.A　
3.C　
4.C
5．A
6．C　
7.BCD　
8．ABC
9.32π
10.50π
11．π
12．　第7部分第3节《空间点、直线、平面之间的位置关系》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
2．(多选)如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是(　　)
A．BM与ED平行
B．CN与BM成60°角
C．CN与BE是异面直线
D．DM与BN是异面直线
3. 如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
【知识归纳】
1．基本事实1：过 的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线 ．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
直线与平面 相交 个
平行 个
在平面内 个
平面与平面 平行 个
相交 个
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 ．
6．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围： .
常用结论：
1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
【题型展示】
题型一　基本事实的应用
例1　如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过(　　)
A．点A
B．点B
C．点C但不过点M
D．点C和点M
跟踪训练1　(1)已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
(2)如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点．
①证明：四边形BCHG是平行四边形；
②C，D，F，E四点是否共面？为什么？
题型二　空间位置关系的判断
命题点1　空间位置关系的判断
例2　(1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
(2)(多选)下列推断中，正确的是(　　)
A．M∈α，M∈β，α∩β＝l M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．l α，A∈l A α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线 α，β重合
命题点2　异面直线所成的角
例3　(1)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，E为BB1上一点，平面AEC1将三棱柱分为上、下体积相等的两部分，则AE与B1C1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
(2)如图所示，圆柱O1O2的底面半径为1，高为2，AB是一条母线，BD是圆O1的直径，C是上底面圆周上一点，∠CBD＝30°，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
跟踪训练2　(1)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为(　　)
A. B. C. D.
(2)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是(　　)
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线AM与DD1是异面直线
(3)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
题型三　空间几何体的切割(截面)问题
例4　(1)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°，以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
(2)(多选)用一个平面α截正方体，把正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是(　　)
A．这两部分的表面积一定不相等
B．截面不会是三角形
C．截面不会是五边形
D．截面可以是正六边形
跟踪训练3　(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．
(2)(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上(异于端点)，则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形(截面)可能是(　　)
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
基础夯实
1．若直线上有两个点在平面外，则(　　)
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
2.给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行.
其中正确命题的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
3．已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足a α，b β，c γ，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系(　　)
A．两两垂直 B．两两平行
C．两两相交 D．两两异面
4．在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是的中点，F是AB的中点，则(　　)
A．AE＝CF，AC与EF是共面直线
B．AE≠CF，AC与EF是共面直线
C．AE＝CF，AC与EF是异面直线
D．AE≠CF，AC与EF是异面直线
5.如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于4，E，F 分别是棱AD，BC 的中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α 去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为(　　)
A．3 B．4
C．4 D．6
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A. B. C. D.
7.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)
A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c
8.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为(　　)
A. B. C. D.
9．(多选)下列命题中不正确的是(　　)
A．空间四点共面，则其中必有三点共线
B．空间四点不共面，则其中任意三点不共线
C．空间四点中有三点共线，则此四点不共面
D．空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面
10.(多选)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(　　)
11.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)
A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1共面
C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面
12.(多选)如图，已知二面角A－BD－C的大小为，G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别在AD，AB上，＝＝，且AC⊥平面BCD，则以下说法正确的是(　　)
A.E，F，G，H四点共面
B.FG∥平面ADC
C.若直线FG，HE交于点P，则P，A，C三点共线
D.若△ABD的面积为6，则△BCD的面积为3
13.如图为四棱锥A－DEFG的侧面展开图(点G1，G2重合为点G)，其中AD＝AF，G1D＝G2F.E是线段DF的中点，请写出四棱锥A－DEFG中一对一定相互垂直的异面直线________．(填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形)
14. 如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这两个四棱柱的表面相交的交线段总长度为________．
15.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
16.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cos θ＝________.
17.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________.
18.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
19.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.
(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.
20. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
21. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：
(1)三棱锥P－ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
优化提升
22. 如图，E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，C1D1的中点，若AB＝6，则过A，E，F三点的截面的面积为(　　)
A．9
B．18
C.
D.
23.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为棱AB，A1D1，C1D1的中点，经过E，F，G三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为(　　)
A. B. C.1 D.2
24．(多选)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝，AD＝BC＝AC＝BD＝，则(　　)
A．AB⊥CD
B．三棱锥A－BCD的体积为
C．三棱锥A－BCD外接球半径为
D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为
25．如图，AB和CD是异面直线，AB＝CD＝3，E，F分别为线段AD，BC上的点，且＝＝，EF＝，则AB与CD所成角的大小为________．
26．已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB＝2，AC＝2，BC＝4，则：
(1)球O的表面积为________；
(2)若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是________．
27．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为2，AB⊥BC，AB＝BC＝2，过AB，BB1的中点E，F作平面α与平面AA1C1C垂直，则平面α与该直三棱柱所得截面的周长为 ________.
28.已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，AB＝2，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是________.
29.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，E为AB的中点，PE⊥平面ABCD.
(1)若△PAB为等边三角形，求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的正切值.
30. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点．
(1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；
(2)若PC＝2，求三棱锥P－ACE的体积．
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．C　2.BD
3．(1)AC＝BD
(2)AC＝BD且AC⊥BD
【知识归纳】
1．不在一条直线上　两个点　一条
平行
2．相交　平行
3．相交　平行　任何
4．a∩α＝A　1　a∥α　0　a α　无数
α∥β　0　α∩β＝l　无数
5．相等或互补
6．(2)
【题型展示】
例1 D
跟踪训练1 (1)证明　(1)如图所示，连接B1D1.
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE 平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，
同理，M∈平面B1BCC1.
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.
所以DE，BF，CC1三线交于一点．
(2)①证明　由题设知，因为G，H分别为FA，FD的中点，所以GH∥AD且GH＝AD，
又BC∥AD且BC＝AD，
故GH∥BC且GH＝BC，
所以四边形BCHG是平行四边形．
②解　C，D，F，E四点共面．
理由如下：
由BE∥AF且BE＝AF，G是FA的中点知BE∥GF且BE＝GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF∥BG.
由①知BG∥CH，所以EF∥CH.
故EC，FH共面．
又点D在直线FH上，
所以C，D，F，E四点共面．
例2 (1)D　(2)ABD
例3 (1)A
(2)C　
跟踪训练2 (1)D
(2)CD　
(3)A
例4 (1)
(2)BCD
跟踪训练3 (1)
(2)ABD
基础夯实
1．D　
2.B
3.B　
4.D
5．B
6．D
7.C
8.A
9.ACD　
10.BD
11.ABC
12.ACD
13．AE，DF(或AE，DG或AE，GF或AG，DF)
14．8
15.4
16.
17.
18.(1)证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綉AD.又BC綉AD，
∴GH綉BC.
∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)解　共面.∵BE綉AF，G是FA的中点，
∴BE綉FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面.
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.
19.解　(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，
所以四棱锥O－ABCD的体积
V＝×4×2＝.
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，
∴ME∥OC，
则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝，EM＝，MD＝，
∵()2＋()2＝()2，
即DE2＋EM2＝MD2，
∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，
∴tan∠EMD＝＝＝.
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.
20．证明　(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD.
在△BCD中，＝＝，
所以GH∥BD，
所以EF∥GH.
所以E，F，G，H四点共面．
(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG 平面ABC，
所以P∈平面ABC.
同理P∈平面ADC.
所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，
所以P，A，C三点共线．
21．解　(1)S△ABC＝×2×2
＝2，
三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.
(2)如图，取PB的中点E，
连接DE，AE，
则ED∥BC，
所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，
cos∠ADE＝＝＝.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.
优化提升
22．C
23.B
24．ABD
25．60°
26．(1)52π　(2)4π
27．3＋
28.2π
29.解　(1)∵正方形ABCD的边长为4，且△PAB为等边三角形，E为AB的中点，
∴PE＝PB·sin∠PBE＝AB·sin 60°＝2，
又PE⊥平面ABCD，
∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝×42×2＝.
(2)∵AD∥BC，
∴∠PCB即PC与AD所成的角.
如图，连接EF，∵PE⊥平面ABCD，EF，BC 平面ABCD，
∴PE⊥EF，PE⊥BC，
又PF与平面ABCD所成角为45°，
即∠PFE＝45°，
∴PE＝EF·tan ∠PFE＝4，
∴PB＝＝＝2.
又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE，AB 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
又PB 平面PAB，∴BC⊥PB，
∴tan ∠PCB＝＝，
∴PC与AD所成角的正切值为.
30．解　(1)存在．当G为PA的中点时满足条件．
如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线，
所以GE∥AB.
又AB∥DC，
所以GE∥DC，
所以G，E，C，D四点共面．
(2)因为E是PB的中点，
所以VP－ACE＝VB－ACE＝VP－ACB.
因为AD⊥DC，AB∥DC，
所以AC＝，CB＝，
故由题易知AC⊥BC，
所以S△ABC＝AC·BC
＝××＝1，
VP－ACB＝PC·S△ABC＝，
所以VP－ACE＝.第7部分第4节《空间直线、平面的平行》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．(多选)已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是(　　)
A．若l∥m，l∥β，则m∥β或m β
B．若α∥β，m α，l β，则m∥l
C．若m⊥α，l⊥m，则l∥α
D．若m∥α，m β，α∩β＝l，则m∥l
2．平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
3. 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．
【知识归纳】
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与______________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面________，那么该直线与交线平行 a∥b
2．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的两条______________与另一个平面平行，那么这两个平面平行 β∥α
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面________，那么两条________平行 a∥b
常用结论：
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
4．若α∥β，a α，则a∥β.
【题型展示】
题型一　直线与平面平行的判定与性质
命题点1　直线与平面平行的性质
例1　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
命题点2　直线与平面平行的判定
例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD, PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．
求证：BE∥平面PAD.
跟踪训练1　如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l.证明：
(1)DF∥平面PBE；
(2)DF∥l.
题型二　平面与平面平行的判定与性质
例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
跟踪训练2　如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，证明：B1D1∥l.
题型三　平行关系的综合应用
例4　如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.
跟踪训练3　如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
基础夯实
1. 如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(　　)
A．EF∥PA
B．EF∥PB
C．EF∥PC
D．以上均有可能
2.如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交
C.AC在此平面内 D.平行或相交
3.下列命题中正确的是(　　)
A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，则b∥α
4．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.
可以填入的条件有(　　)
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则(　　)
A．MF∥EB
B．A1B1∥NE
C．四边形MNEF为平行四边形
D．四边形MNEF为梯形
6．已知三条互不相同的直线l，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：
①若l与m为异面直线，l α，m β，则α∥β；
②若α∥β，l α，m β，则l∥m；
③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
7. 在如图所示的三棱柱ABC －A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
8.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有(　　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.1条或2条
9.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且＝＝，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则＝(　　)
A. B. C. D.
10.(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是(　　)
A.没有水的部分始终呈棱柱形
B.水面EFGH所在四边形的面积为定值
C.随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行
D.当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值
11．(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是(　　)
12.(多选)已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线.给出下列命题，其中正确的命题是(　　)
A.若l上两点到α的距离相等，则l∥α
B.若l⊥α，l∥β，则α⊥β
C.若α∥β，l β，且l∥α，则l∥β
D.若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n
13.如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝2 cm，DE＝4 cm，EF＝3 cm，则AC的长为________cm.
14. 如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________．
15.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.
可以填入的条件有________(填序号).
16.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.
17.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
18.已知在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q为PC的中点.
(1)求证：BQ∥平面PAD；
(2)若PD＝3，BC＝，BC⊥BD，试在线段PC上确定一点S，使得三棱锥S－BCD的体积为.
19.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求点C到平面C1DE的距离.
20.如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
21．如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知BC∥AD，BP⊥AD，垂足为P，将△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，连接AD，AC，M为棱AD的中点，连接CM.
试分别在BP，CD上确定点E，F，使平面MEF∥平面ABC.
优化提升
22. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，直线PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为(　　)
A. B．2
C．2 D．2
23. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是(　　)
A.[] B.[]
C.[] D．[，]
24. (多选)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是(　　)
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行
D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值
25.(多选)《九章算术·商功》记载了一个古代数学名词“堑堵”.即两底面为直角三角形的直棱柱，亦即长方体的斜截平分体.如图所示，堑堵(即直三棱柱)ABC－DEF中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AD＝4，G是FC的中点，则下列说法正确的是(　　)
A.BE与AG的夹角为
B.平面ABC内存在直线平行于平面AEG
C.三角形AGE为直角三角形
D.点D到平面AGE的距离为
26.(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P是线段BC1上的一动点，则下列说法中正确的是(　　)
A.A1P∥平面AD1C
B.A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值是
C.A1P＋PC的最小值为
D.以A为球心，为半径的球面与侧面DCC1D1的交线长是
27. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1与截面AD1C的位置关系是________，A1B与平面DD1C1C的位置关系是________．
28．如图，在四面体ABCD中，M，N分别是平面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
29.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.
(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.
30. 如图，矩形ABCD所在平面与以BC为直径的圆所在平面垂直，O为BC中点，M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，AB＝1，BC＝2.
(1)求异面直线AO与CM所成角的余弦值；
(2)设点P是线段AM上的点，且满足AP＝λPM，若直线CM∥平面BPD，求实数λ的值．
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．AD　2.D　3.平行四边形
【知识归纳】
1．此平面内　a α　b α　a∥b　相交
a∥α　a β　α∩β＝b
2．相交直线　a β　b β　a∩b＝P　a∥α　b∥α　相交　交线　α∥β
α∩γ＝a　β∩γ＝b
【题型展示】
例1 证明　如图所示，连接AC交BD于点O，
连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥OM，
又OM 平面BMD，
PA 平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又PA 平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
例2 证明　方法一　如图，取PD的中点F，连接EF，FA.
由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF∥CD，且EF＝CD＝2.
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
∴AB綉EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴BE∥AF.
又AF 平面PAD，BE 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
方法二　如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，
∵AB∥CD，
AB＝2，CD＝4，
∴＝＝，
即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，
又BE 平面PAD，PH 平面PAD，∴BE∥平面PAD.
方法三　如图，取CD的中点H，连接BH，HE，
∵E为PC的中点，∴EH∥PD，
又EH 平面PAD，
PD 平面PAD，
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB綉DH，
∴四边形ABHD为平行四边形，
∴BH∥AD，
又AD 平面PAD，
BH 平面PAD，
∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH＝H，BH，
EH 平面BHE，
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE 平面BHE，
∴BE∥平面PAD.
跟踪训练1 证明　(1)取PB中点G，连接FG，EG，
因为点F为PC的中点，
所以FG∥BC，
FG＝BC，
因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，
所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，
所以DF∥GE，因为DF 平面PBE，GE 平面PBE，
所以DF∥平面PBE；
(2)由(1)知DF∥平面PBE，
又DF 平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，
所以DF∥l.
例3 证明　(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，
∴平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，
∴由面面平行的性质定理得
BC∥GH.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵EF 平面BCHG，
BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，
AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，
GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，
EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
跟踪训练2 证明　(1)由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1，
所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以BD∥B1D1.
又BD 平面CD1B1，
B1D1 平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C.
又A1B 平面CD1B1，
D1C 平面CD1B1,
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面CD1B1＝l，
平面ABCD∩平面A1BD＝BD，
所以l∥BD，
又B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
例4 解　如图，在平面PCD内，过点E作EG∥CD交PD于点G，连接AG，
在AB上取点F，使AF＝EG，
因为EG∥CD∥AF，EG＝AF，
所以四边形FEGA为平行四边形，所以EF∥AG.
又AG 平面PAD，EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD.
所以点F即为所求的点．
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.
所以PC2＝BC2＋PB2
＝BC2＋AB2＋PA2.
设PA＝x，则PC＝，
由PB·BC＝PC·BE，
得·a＝·a，
所以x＝a，即PA＝a，
所以PC＝a.
又CE＝＝a，
所以＝，所以＝＝，
即GE＝CD＝a，
所以AF＝a.
故点F是AB上靠近B点的一个三等分点．
跟踪训练3 解　(1)当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，
∴点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.
又OD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.
∴当＝1时，
BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1
＝OD1.
因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.
∴＝，＝.
又＝1，∴＝1，即＝1.
基础夯实
1．B　
2.A
3.D
4.C
5．D
6.C　
7.B　
8.C
9.B
10.AD
11．AC
12.BC
13.　
14.矩形
15.①或③
16.①④
17.Q为CC1的中点
18.(1)证明　取PD的中点G，连接AG，GQ，
因为Q为PC的中点，所以GQ∥DC，且GQ＝DC，
又因为AB∥DC，DC＝2AB，所以GQ∥AB，GQ＝AB，
所以四边形ABQG是平行四边形，
所以BQ∥AG，
又BQ 平面PAD，AG 平面PAD，所以BQ∥平面PAD.
(2)解　因为在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DC＝2AB，
所以点B在线段CD的垂直平分线上，
又因为BC＝，BC⊥BD，
所以BD＝BC＝，
所以△BCD的面积S＝××＝1.
设点S到平面ABCD的距离为h，
所以×1×h＝，所以h＝2，
又PD⊥平面ABCD，PD＝3，
所以点S在线段PC上靠近点P的三等分点处.
19.(1)证明　如图，连接B1C，ME.
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME＝B1C.
又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.
由题设知A1B1綉DC，
可得B1C綉A1D，故ME綉ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，
所以MN∥ED.
又MN 平面C1DE，DE 平面C1DE，
所以MN∥平面C1DE.
(2)解　过点C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C 平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，
故DE⊥CH.所以CH⊥平面C1DE，
故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.
由已知可得CE＝1，C1C＝4，
所以C1E＝，故CH＝.
从而点C到平面C1DE的距离为.
20．证明　(1)如图，设DF与GN的交点为O，连接AE，则AE必过点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE 平面DMF，MO 平面DMF，所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE 平面MNG，
GN 平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
又MN 平面MNG，
BD 平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE，BD 平面BDE，
DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
21．解　E，F分别为BP，CD的中点时，可使平面MEF∥平面ABC，
证明如下：
如图，取BP的中点E，CD的中点F，
连接ME，MF，EF.
∵M，F分别为AD，CD的中点，
∴MF∥AC.
∵MF 平面ABC，AC 平面ABC，∴MF∥平面ABC，
又E为BP的中点，且四边形PBCD为梯形，
∴EF∥BC.
∵EF 平面ABC，BC 平面ABC，∴EF∥平面ABC，
∵MF∩EF＝F，
MF，EF 平面MEF，
∴平面MEF∥平面ABC.
优化提升
22．C
23．B
24．ACD
25.BC
26.ACD
27．相交　平行
28．平面ABC，平面ABD
29.(1)证明　连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1，
因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以＝＝，
又因为＝＝，
所以＝＝，
所以PQ∥MD1.
又MD1 平面A1D1DA，
PQ 平面A1D1DA，
故PQ∥平面A1D1DA.
(2)解　当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.
如图，证明：
因为＝，
即＝，故＝.所以PR∥DA.
又DA 平面A1D1DA，PR 平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，
又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，
所以平面PRQ∥平面A1D1DA.
30．解　(1)取AD中点N，连接CN，MN，OM，ON，如图，
因为ABCD为矩形，O，N分别为BC，AD中点，
所以AO∥CN，
所以∠MCN(或其补角)就是异面直线AO与CM所成角，
因为平面ABCD⊥平面BCM，平面ABCD∩平面BCM＝BC，
在矩形ABCD中，NO⊥BC，NO 平面ABCD，
所以NO⊥平面BCM，
又OM 平面BCM，所以NO⊥OM，
在△MON中，∠MON＝90°，OM＝NO＝1，
所以MN＝，
又M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，
所以CM＝1，
在△MCN中，CN＝，
由余弦定理的推论可得cos∠MCN＝＝，
所以异面直线AO与CM所成角的余弦值为.
(2)如图，连接PB，PD，连接BD交AC于点Q，连接PQ，
因为直线CM∥平面BPD，直线CM 平面ACM，平面BPD∩平面ACM＝PQ，
所以CM∥PQ，
因为矩形ABCD的对角线交点Q为AC中点，
所以PQ为△AMC的中位线，
所以P为AM中点，AP＝PM，
又AP＝λPM，
所以λ的值为1.第7部分第5节《空间直线、平面的垂直》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1. 如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EFG中必有(　　)
A．SG⊥△EFG所在平面
B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面
D．GD⊥△SEF所在平面
2．(多选)下列命题中不正确的是(　　)
A．如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a
B．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β
C．如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．
【知识归纳】
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α内的 直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果一条直线与一个平面内的__________垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的________所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是________．
(2)范围：________.
3．二面角
(1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作 的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范围： ．
4．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果一个平面过另一个平面的________，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的________，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
常用结论：
1．三垂线定理
平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
2．三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
【题型展示】
题型一　直线与平面垂直的判定与性质
例1　(1)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题________．
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱CD，A1D1的中点．
(1)求证：AB1⊥BF；
(2)求证：AE⊥BF；
(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．
跟踪训练1　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C.
①若点D是AC的中点，且DA＝DB，证明：AB⊥CC1.
②已知B1C1＝2，B1C＝2，求△BCC1的周长．
题型二　平面与平面垂直的判定与性质
例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥平面ABCD；
(2)平面BEF∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
跟踪训练2　如图所示，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD且AB＝1，PA＝AD＝PD＝2，E为PD的中点．
(1)求证：平面PCD⊥平面ACE；
(2)求点B到平面ACE的距离．
题型三　垂直关系的综合应用
例3　如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝2，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且PM与平面ABC所成角的正切值为，求二面角M－PA－C的平面角的余弦值．
跟踪训练3　如图，已知ABCD－A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，点P是AD1上的动点．
(1)试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并证明你的结论；
(2)当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成的角的余弦值；
(3)求PB1与平面AA1D1D所成的角的正切值的最大值．
基础夯实
1.已知α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是(　　)
A.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B.若a⊥α，b⊥α，则a∥b
C.若a∥α，b∥α，则a∥b
D.若a∥α，a∥β，则α∥β
2.已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l⊥α的是(　　)
A.l⊥m，l⊥n，m α，n α
B.l⊥m，m∥α
C.α⊥β，l∥β
D.l∥m，m⊥α
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，B1C的中点，则EF与平面ABCD所成角的正切值为(　　)
A.2 B. C. D.
4.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
5.如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．BP⊥AC B．PD⊥平面ABCD
C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD
6. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
7.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M为BC的中点，则下列说法不正确的是(　　)
A.A1M⊥BD
B.A1M∥平面CC1D1D
C.A1M⊥AB1
D.A1M⊥平面ABC1D1
8.(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则(　　)
A.A，M，N，B四点共面
B.平面ADM⊥平面CDD1C1
C.直线BN与B1M所成的角为60°
D.BN∥平面ADM
9．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　)
10．(多选)若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题错误的是(　　)
A．若m β，α⊥β，则m⊥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
11．(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则下列说法正确的是(　　)
A．AB＝AD
B．AB与平面AB1C1D所成的角为30°
C．AC＝CB1
D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
12．(多选)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P l，则下列命题中是真命题的为(　　)
A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内
C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
13.已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β(填所选条件的序号)
14.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，AA1＝3，AA1⊥AC，D为A1C1的中点，BD＝3，则二面角A1－AC－B的正切值为________.
15.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________.
16. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足条件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可)．
17．在矩形ABCD中，AB①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；
②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；
③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．
其中正确结论的序号是________．
18.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点．
(1)求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
19．如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若AC＝BC＝PA，求二面角A－PB－C的平面角的大小．
20.如图，平面ABCD⊥平面ABE，且四边形ABCD为正方形，AE＝2AB＝2，∠BAE＝60°，F为AC的中点.
(1)求证：AC⊥平面BEF；
(2)求直线AD与平面ACE所成的角的正弦值.
21.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为四边形，△ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD.
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)若二面角C－PB－D的平面角的余弦值为，求PD的长.
优化提升
22．刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图1解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体．
在如图2所示由正方体ABCD－A1B1C1D1得到的堑堵ABC－A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点，A1B中点，A1C中点时，分别形成的四面体P－ABC中，鳖臑的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
23. 如图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MP＝MC，则点M的轨迹为(　　)
24.(多选)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是(　　)
25.(多选)棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点.下列说法正确的是(　　)
A.P点在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC体积不变
B.Q点在直线EF上运动时，直线GQ始终与平面AA1C1C平行
C.平面B1BD⊥平面ACD1
D.三棱锥D－EFG的体积为
26．(多选)如图所示，一张A4纸的长、宽分别为2a,2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题正确的是(　　)
A．该多面体是四棱锥
B．平面BAD⊥平面BCD
C．平面BAC⊥平面ACD
D．该多面体外接球的表面积为πa2
27．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列说法正确的是(　　)
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．三棱锥P－A1C1D的体积为定值
C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
28. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4，沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，则二面角A′－FD－C的平面角的余弦值为________．
29．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是________.
30.如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形.侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点.
(1)求证：AF∥平面SEC；
(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．A　2.ABD　3.7
【知识归纳】
1．(1)任意一条　(2)两条相交直线
m α　n α　m∩n＝P　l⊥m
l⊥n　a⊥α　b⊥α
2．(1)射影　90°　0°　(2)
3．(1)两个半平面　(2)垂直于棱l
(3)[0，π]
4．(1)直二面角　(2)垂线　a α
a⊥β　交线　α⊥β　α∩β＝a
l⊥a　l β
【题型展示】
例1 (1)②③ ①(或①③ ②)
(2)(1)证明　如图，连接A1B，则AB1⊥A1B，
因为A1F⊥平面ABB1A1，AB1 平面ABB1A1，
所以A1F⊥AB1，
又A1B∩A1F＝A1，
所以AB1⊥平面A1BF.又BF 平面A1BF，所以AB1⊥BF.
(2)证明　如图，取棱AD的中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，
因为AB＝DA，AG＝DE，∠BAG＝∠ADE，所以△BAG≌△ADE，所以∠ABG＝∠DAE.
所以AE⊥BG.又因为BG∩FG＝G，所以AE⊥平面BFG.
又BF 平面BFG，所以AE⊥BF.
(3)解　存在．如图，取棱CC1的中点P，即为所求．连接EP，AP，C1D，
因为EP∥C1D，C1D∥AB1，
所以EP∥AB1.
由(1)知AB1⊥BF，所以BF⊥EP.
又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，
所以BF⊥平面AEP.
跟踪训练1 ①证明　∵点B1在底面ABC内的射影是点C，
∴B1C⊥平面ABC，
∵AB 平面ABC，∴B1C⊥AB.
在△ABC中，DA＝DB＝DC，
∴BC⊥AB，
∵BC∩B1C＝C，BC，
B1C 平面BCC1B1，
∴AB⊥平面BCC1B1，
∵CC1 平面BCC1B1，∴AB⊥CC1.
②解　如图，延长BC至点E，使BC＝CE，
连接C1E，则B1C1綉CE，四边形B1CEC1为平行四边形，
则C1E綉B1C.
由①知B1C⊥平面ABC，
∴C1E⊥平面ABC，
∵CE，BE 平面ABC，
∴C1E⊥CE，C1E⊥BE，
∵C1E＝B1C＝2，
CE＝BC＝B1C1＝2，BE＝4，
∴CC1＝＝4，
BC1＝＝2，
∴△BCC1的周长为
2＋4＋2＝6＋2.
例2 证明　(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，
∴PA⊥平面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD∥BE，
∵BE 平面PAD，AD 平面PAD，∴BE∥平面PAD，
∵E和F分别是CD和PC的中点，∴EF∥PD，
∵EF 平面PAD，PD 平面PAD，∴EF∥平面PAD，
∵BE∩EF＝E，BE，
EF 平面BEF，
∴平面BEF∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD，
∴平行四边形ABED是矩形，
∴BE⊥CD，AD⊥CD，
由①知PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，
∴CD⊥EF，又∵BE∩EF＝E，
∴CD⊥平面BEF，
∵CD 平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.
跟踪训练2 (1)证明　由PA＝AD＝PD，E为PD的中点，可得AE⊥PD，
因为CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD 平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，
而AE 平面PAD，所以CD⊥AE，
由CD∩PD＝D，则AE⊥平面PCD，
又AE 平面ACE，所以平面PCD⊥平面ACE.
(2)解　如图，连接BD，与AC交于O，则O为BD的中点，
所以点D到平面ACE的距离即为点B到平面ACE的距离．
由平面PCD⊥平面ACE，过D作DM⊥CE，垂足为M，
则DM⊥平面ACE，则DM为点D到平面ACE的距离．
由CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，
又CD＝DE＝1，
所以DM＝CE＝，
即点B到平面ACE的距离为.
例3 (1)证明　方法一　如图，连接OB.
∵AB＝BC＝2，AC＝2，
∴AB2＋BC2＝AC2，
即△ABC是直角三角形，
又O为AC的中点，
∴OA＝OB＝OC，
又∵PA＝PB＝PC，
∴△POA≌△POB≌△POC，
∴∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°.
∴PO⊥AC，PO⊥OB，
∵OB∩AC＝O，OB，
AC 平面ABC，
∴PO⊥平面ABC.
方法二　如图，连接OB，
∵PA＝PC，O为AC的中点，PA＝PB＝PC＝AC＝2，
∴PO⊥AC，PO＝，
又∵AB＝BC＝2，
∴AB⊥BC，BO＝，
∴PO2＋OB2＝PB2，
∴PO⊥OB，
∵OB∩AC＝O，OB，
AC 平面ABC，
∴PO⊥平面ABC.
(2)解　由(1)知，PO⊥平面ABC，
∴OM为PM在平面ABC上的射影，
∴∠PMO为PM与平面ABC所成角，
∵tan∠PMO＝＝＝，
∴OM＝1，
在△ABC和△OMC中，由正弦定理可得MC＝1，
∴M为BC的中点．
如图，作ME⊥AC交AC于E，
则E为OC的中点，作EF⊥PA交PA于F，
连接MF，
∴MF⊥PA，
∴∠MFE即为所求二面角M－PA－C的平面角，ME＝，
EF＝AE＝××2＝，
MF＝＝，
∴cos∠MFE＝＝，
故二面角M－PA－C的平面角的余弦值为.
跟踪训练3 解　(1)是．∵BA⊥平面AA1D1D，BA 平面BPA，
∴平面BPA⊥平面AA1D1D，
∴无论点P在AD1上的任何位置，都有平面BPA⊥平面AA1D1D.
(2)过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E，如图，
则PE∥AA1，
∴∠B1PE(或其补角)是异面直线AA1与B1P所成的角．
在Rt△AA1D1中，
∵∠AD1A1＝60°，
∴∠A1AD1＝30°，
∴A1B1＝A1D1＝AD1＝2，
∴A1E＝A1D1＝1，
AA1＝A1D1＝2，
∴PE＝AA1＝，
B1E＝＝，
∴在Rt△B1PE中，
B1P＝＝2，
cos∠B1PE＝＝＝.
∴异面直线AA1与B1P所成的角的余弦值为.
(3)由(1)知，B1A1⊥平面AA1D1D，
∴∠B1PA1是PB1与平面AA1D1D所成的角，
∴tan∠B1PA1＝＝，
∴当A1P最小时，tan∠B1PA1最大，
这时A1P⊥AD1，
A1P＝＝，
得tan∠B1PA1＝，
即PB1与平面AA1D1D所成的角的正切值的最大值为.
基础夯实
1.B
2.D
3.D
4.A
5.B　
6.A　
7.ABD
8.BC
9.BD
10．ABD
11．AD
12．ACD　
13.(3)(5)　(2)(5)
14.－
15.
16．②(或③)
17．②
18．(1)证明　在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，
所以BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG 平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.
(2)证明　如图，连接PG，因为△PAD为正三角形，G为线段AD的中点，
所以PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，又PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB.
因为PB 平面PGB，
所以AD⊥PB.
(3)解　能，当F为线段PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：
如图，取线段PC的中点F，连接DE，EF，DF.
在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.
而FE 平面DEF，DE 平面DEF，EF∩DE＝E，PB 平面PGB，GB 平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB.
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG 平面PAD，PG⊥AD，
所以PG⊥平面ABCD.
又PG 平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD.
19．(1)证明　如图，作AD⊥PC交PC于点D，
因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，
AD 平面PAC，
所以AD⊥平面PBC，
又BC 平面PBC，所以AD⊥BC，
又因为PA⊥平面ABC，
BC 平面ABC，
所以PA⊥BC，
又PA，AD 平面PAC，PA∩AD＝A，
所以BC⊥平面PAC.
(2)解　如图，作AD⊥PC交PC于点D，DE⊥PB交PB于点E，
连接AE，
由(1)知AD⊥平面PBC，
因为PB 平面PBC，则AD⊥PB，
又AD，DE 平面ADE，AD∩DE＝D，
所以PB⊥平面ADE，
因为AE 平面ADE，
所以PB⊥AE，
则∠AED即为二面角A－PB－C的平面角．
又DE 平面PBC，则AD⊥DE，
不妨设AC＝BC＝PA＝1，
则PC＝，AD＝＝，
又由(1)知BC⊥平面PAC，
因为AC 平面PAC，
所以BC⊥AC，
所以AB＝，PA⊥平面ABC，
又AB 平面ABC，
则PA⊥AB，则PB＝，
AE＝＝，
则sin∠AED＝＝＝，
由图知二面角A－PB－C的平面角为锐角，
所以∠AED＝，
即二面角A－PB－C的平面角的大小为.
20.(1)证明　因为AE＝2AB＝2，∠BAE＝60°，
由余弦定理得
BE＝＝，
所以AB2＋BE2＝AE2，所以BE⊥AB.
由于平面ABCD⊥平面ABE，且两个平面相交于AB，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又因为AC⊥BF，BE∩BF＝B，BE，BF 平面BEF，
所以AC⊥平面BEF.
(2)解　根据VD－ACE＝VE－ACD，S△ACD＝，AC＝，EA＝EC＝2，则S△ACE＝.
因为VD－ACE＝VE－ACD，设D到平面ACE的距离为h，
则·S△ACE·h＝·S△ACD·BE，
解得h＝.
设直线AD与平面ACE所成的角为θ，
则sin θ＝＝.
所以直线AD与平面ACE所成的角的正弦值为.
21.(1)证明　如图所示，E为BD的中点，连接AE，△ABD是正三角形，则AE⊥BD.
∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AE 平面ABCD，
故AE⊥平面PBD.
∵PD 平面PBD，故AE⊥PD.
∵PD⊥AB，AE∩AB＝A，AE，AB 平面ABCD，
故PD⊥平面ABCD.
(2)解　如图所示，过点E作EF⊥PB于点F，连接CF.
∵BC⊥CD，BC＝CD，E为BD的中点，故EC⊥BD，
故EC⊥平面PBD，∴CE⊥PB.
又EF⊥PB，∴PB⊥平面CEF，
∴CF⊥PB，
故∠EFC为二面角C－PB－D的平面角.
∵cos∠EFC＝，
故tan∠EFC＝，又EC＝1，故EF＝，
sin∠PBD＝＝，tan∠PBD＝，
即＝，则PD＝1.
优化提升
22．C
23．A
24.BC
25.ABC
26．BC
27．ABD
28.
29．(0,1]
30.(1)证明　取SC的中点G，连接FG，EG，
∵F，G分别是SB，SC的中点，
∴FG∥BC，FG＝BC，
∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，
∴AE∥BC，AE＝BC，
∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE是平行四边形，
∴AF∥EG，又AF 平面SEC，EG 平面SEC，∴AF∥平面SEC.
(2)证明　∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，
∴SE⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，
∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE 平面SEC，
∴AD⊥平面SEC，又EG 平面SEC，
∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，
∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，
又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，
又FG∩SB＝F，FG 平面SBC，SB 平面SBC，
∴AF⊥平面SBC，又AF 平面ASB，
∴平面ASB⊥平面CSB.
(3)解　存在点M满足题意.
假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，
连接MO，BE，则BD⊥OM，
∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，
∴BE＝，SE＝，BD＝2OB＝2，SD＝2，SE⊥AD，
∵侧面SAD⊥底面ABCD，
侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE 平面SAD，
∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，
∴SB＝＝，
∴cos∠SBD＝＝，
∴＝，∴BM＝，∴＝.第7部分第6节《空间向量的概念与运算》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
2. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b－c D．－a－b＋c
3．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.
【知识归纳】
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有__________和________的量
相等向量 方向________且模________的向量
相反向量 长度________而方向________的向量
共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相________或______的向量
共面向量 平行于________________的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________________．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝______.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝________________．
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
数量积 a·b
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)
模 |a|
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝______________
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l α l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m＝0
常用结论：
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线 ＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面 ＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
【题型展示】
题型一　空间向量的线性运算
例1　(1)在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A.a＋b＋c
B.a－b＋c
C.a＋b－c
D．－a＋b＋c
(2)在空间四边形ABCD中，＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　)
A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)
跟踪训练1　(1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
①化简－－＝________；
②用，，表示，则＝________.
(2)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　)
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
题型二　空间向量基本定理及其应用
例2　(1)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若，共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
(2)下列命题正确的是(　　)
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0
D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc
跟踪训练2 (1)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且满足＝x＋y＋(1－x－y)，则||的最小值是(　　)
A. B. C. D.
(2)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝6－4＋λ，则λ等于(　　)
A．2 B．－2 C．1 D．－1
题型三　空间向量数量积及其应用
例3　(1)已知点O为空间直角坐标系的原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是______．
(2)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
①求线段AC1的长；
②求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
③求证：AA1⊥BD.
跟踪训练3　(1)()在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则·等于(　　)
A. B. C. D.
(2)()已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)．
①求〈，〉；
②求在上的投影向量．
题型四　向量法证明平行、垂直
例4 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD.
跟踪训练4　如图所示，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
基础夯实
1.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A. B.2 C. D.1
2.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.－a－b＋c D.a－b＋c
3. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝1，则·等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D.
4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A．(1，－1,1) B.()
C.() D.()
5. 如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，则CD的长为(　　)
A．2 B．3 C．2 D．4
6．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于(　　)
A．－6 B．6 C．－4 D．4
7.已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
8.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)
A. B.
C.1 D.
9.已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　)
A.9 B.－9 C.－3 D.3
10.(多选)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则(　　)
A.与是共线向量
B.的单位向量是(1，1，0)
C.与夹角的余弦值是－
D.平面ABC的一个法向量是(1，－2，5)
11．(多选)已知空间向量a＝(2，－2,1)，b＝(3,0,4)，则下列说法正确的是(　　)
A．向量c＝(－8,5,6)与a，b垂直
B．向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面
C．若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则其所成角的余弦值为
D．向量a在向量b上的投影向量为(6,0,8)
12．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有(　　)
A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b
B．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
C．若，，是空间的一组基底，且＝＋＋，则A，B，C，D四点共面
D．若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，则a，b，c也是空间的一组基底
13．已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝(2,3,3)．若l⊥α，则a＋b＝________.
14．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝， ＝.则VA与平面PMN的位置关系是________．
15.若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________.
16.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________.
17.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________.
18.如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1).判断向量是否与向量，共面.
19.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝，BC＝4.
(1)求证：BD⊥PC.
(2)设点E在棱PC上，＝λ，若DE∥平面PAB，求λ的值.
20．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
21. 如图，四棱锥P －ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：
(1)PB∥平面EFH；
(2)PD⊥平面AHF.
优化提升
22．已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F满足＝λ(0＜λ＜1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为(　　)
A. B. C. D.
23.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论不正确的是(　　)
A．当＝2时，B1，P，D三点共线
B．当⊥时，⊥
C．当＝3时，D1P∥平面BDC1
D．当＝5时，A1C⊥平面D1AP
24.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　)
A.(1，1，1) 　　 B.()
C.() 　　 D.()
25．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是(　　)
A．MN⊥A1M
B．MN⊥平面D1MC
C．线段BN长度的最大值为
D．三棱锥C1－A1D1M体积不变
26.如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，＝，＝2，AC1与平面EFG交于点M，则＝________.
27．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，＝λ，且AB1⊥MN，则λ的值为________．
28．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos∠EAF＝________，EF＝________.
29.如图，在三棱锥P－ABC 中，·＝·＝·＝0，||2＝||2＝4||2.
(1)求证：AB⊥平面PAC；
(2)若M 为线段PC 上的点，设＝λ，当λ 为何值时，直线PC⊥平面MAB
30.如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．B　2.C　3.10
【知识归纳】
1．大小　方向　相同　相等　相等
相反　平行　重合　同一个平面
2．(1)a＝λb　(2)唯一　xa＋yb
(3)xa＋yb＋zc
3．(1)|a||b|cos〈a，b〉
(2)a1b1＋a2b2＋a3b3
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
　
【题型展示】
例1 (1)D
(2)B
跟踪训练1 (1)①　②＋＋
(2)B
例2 (1)CD　(2)C
跟踪训练2 (1)C
(2)B
例3 (1)
(2)①解　设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，
c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.
因为＝＋＋＝a＋b＋c，
所以||＝|a＋b＋c|＝
＝
＝＝，
所以线段AC1的长为.
②解　因为＝a＋b＋c，＝b－c，
所以·＝(a＋b＋c)·(b－c)
＝a·b－a·c＋b2－c2
＝0＋1＋1－4＝－2，
||＝|b－c|＝
＝
＝＝，
设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝
＝＝，
即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.
③证明　由①知＝c，＝b－a，
所以·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，
即·＝0，
所以AA1⊥BD.
跟踪训练3 (1)D
(2)解　①因为A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)，
所以＝(0,3,3)，＝(2，－2,0)．
因为·＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，
||＝3，||＝2，
所以cos〈，〉＝
＝＝－，
故〈，〉＝.
②因为＝(2,1,3)，＝(0,3,3)，
所以·＝0＋1×3＋3×3
＝12.
因为||＝3，||＝，
所以cos〈，〉＝＝＝，
所以在上的投影向量为
||cos〈，〉＝××＝＝(0,2,2)．
例4证明　以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4)．
设BA＝a，则A(a,0,0)，G.
(1)因为＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，
所以·＝0，·＝0.
所以⊥，⊥，
即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，BA，BD 平面ABD，所以B1D⊥平面ABD.
因为B1D 平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD.
(2)方法一　因为＝，＝(0,1,1)，＝(0,2，－2)，
所以·＝0，·＝0.
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.
因为EG∩EF＝E，EG，EF 平面EGF，所以B1D⊥平面EGF.
又由(1)知B1D⊥平面ABD，
所以平面EGF∥平面ABD.
方法二　因为＝，
所以＝－，∴GF∥BA，
又GF 平面ABD，AB 平面ABD，
所以GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD，
又GF∩EF＝F，GF，EF 平面EGF，
所以平面EGF∥平面ABD.
跟踪训练4 (1)证明　以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，
则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)．
故＝(0,1,1)，＝.
因为·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
所以⊥，即B1E⊥AD1.
(2)解　存在满足要求的点P，
假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，
使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)，
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．
＝(a,0,1)，＝.
因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，
得
取x＝1，则y＝－，z＝－a，
故n＝.
要使DP∥平面B1AE，只需n⊥，
则－az0＝0，解得z0＝.
所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.
基础夯实
1.A
2.A
3.A　
4.B　
5.B
6．D　
7.D
8.D
9.B
10.CD
11．BC
12.ACD　
13．2　
14.VA∥平面PMN
15.－3
16.垂直
17.0
18.解　∵＝k，＝k，
∴＝＋＋＝k＋＋k＝k(＋)＋＝k(＋)＋＝k＋＝－k＝－k(＋)＝(1－k)－k，
∴由共面向量定理知向量与向量，共面.
19.解　如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA，DF，DP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，，0)，D(0，0，0)，C(－3，，0).
设PD＝a，则P(0，0，a)，
(1)证明　＝(－1，－，0)，＝(－3，，－a)，
因为·＝3－3＝0，
所以BD⊥PC.
(2)由题意知，＝(0，，0)，＝(0，0，a)，＝(1，0，－a)，＝(－3，，－a).
因为＝λ，所以＝(－3λ，λ，－aλ)，
＝＋＝(0，0，a)＋(－3λ，λ，－aλ)＝(－3λ，λ，a－aλ).
设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，
则即
令z＝1，得x＝a，所以n＝(a，0，1).
因为DE∥平面PAB，所以·n＝0，
所以－3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0.
因为a≠0，所以λ＝.
20．解　(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝
＝5.
(2)令＝t (t∈R)，
＝(1，－1，－2)，
所以＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)
＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
若⊥b，则·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.
因此存在点E，使得⊥b，此时点E的坐标为.
21．证明　(1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点，∴PB∥EH.
∵PB 平面EFH，且EH 平面EFH，∴PB∥平面EFH.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，
D(0,2,0)，
P(0,0,2)，
F(0,1,1)，
H(1,0,0)．
＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，
＝(0,1,1)，
∴·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，
·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.
∴⊥，⊥，
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF＝A，且AH，AF 平面AHF，∴PD⊥平面AHF.
优化提升
22．C
23．B
24.C
25．ACD
26.
27．15
28.　
29．(1)证明　因为·＝·＝·＝0，
所以PA⊥AB，AB⊥AC，
因为PA∩AC＝A，
PA，AC 平面PAC，
所以AB⊥平面PAC.
(2)解　当M为PC的中点，即λ＝时，直线PC⊥平面MAB.
如图，以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系Axyz.
由||2＝||2＝4||2可得PA＝AC＝2AB.
设AP＝2，则P(0,0,2)，A(0,0,0)，
C(2,0,0)，B(0,1,0)，M(1,0,1)．
＝(2,0，－2)，＝(1,0,1)，
＝(－1,1，－1)．
·＝2×1＋0×0＋(－2)×1
＝0，
所以⊥，
即PC⊥AM.
·＝2×(－1)＋0×1＋(－2)×(－1)＝0，
所以⊥，即PC⊥BM.
又因为AM∩BM＝M，AM，BM 平面MAB，
所以PC⊥平面MAB.
故当λ＝时，PC⊥平面MAB.
30.(1)证明　设BD与AC交于点O，
则BD⊥AC.连接A1O，
在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，
所以A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3，
所以AO2＋A1O2＝AA，所以A1O⊥AO.
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
A1O 平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABCD.
以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，
D(－，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，).
由于＝(－2，0，0)，＝(0，1，)，·＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0，
所以⊥，即BD⊥AA1.
(2)解　假设在直线CC1上存在点P，
使BP∥平面DA1C1，
设＝λ，P(x，y，z)，
则(x，y－1，z)＝λ(0，1，)，
从而有P(0，1＋λ，λ)，
＝(－，1＋λ，λ).
又＝(0，2，0)，＝(，0，)，
设平面DA1C1的一个法向量为
n3＝(x3，y3，z3)，
则
则取n3＝(1，0，－1).
因为BP∥平面DA1C1，所以n3⊥，
即n3·＝－－λ＝0，解得λ＝－1，
即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1.

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