资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 整式的加减
（易错点、重难点、常考点专项练习）
经典题型一：单项式和多项式的判定
【经典例题1-1】下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
根据几个单项式的和叫做多项式分析判断．
【详解】解：根据多项式的定义可知：①；
②0是单项式；
③是单项式；
④不是多项式；
⑤是多项式；
⑥不是多项式，
故多项式的个数是2个．
故选：B．
【经典例题1-2】整式，，，，，中，多项式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查的是多项式，掌握多项式的定义是解本题的关键．根据定义判断即可．
【详解】解：多项式有，，，共3个
故选：B．
【经典例题1-3】式子，，，，，，中，多项式有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】D
【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫作多项式．根据多项式的定义逐个判断即可．
【详解】解：依题意，，，是多项式，
∴多项式有3个，
故选：D．
【经典例题1-4】在，5，，，，，中，单项式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了的单项式的概念，掌握单项式的判断方法是解题关键．单项式是指由数字或字母乘积的形式，单独的一个数字或字母也是单项式，由此即可获得答案．
【详解】解：在式子：，5，，，，，中，
单项式有，5，，共计3个．
故选：C．
【经典例题1-5】在代数式， ， 、， ，中，单项式的个数是（ ）
A．个 B． 个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】此题主要考查了单项式的识别，根据由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式逐一排除即可，正确理解单项式的定义是解题的关键．
【详解】解：单项式有： 、， ，共个，
故选：．
【经典例题1-6】下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】本题考查了单项式的判断，熟练掌握单项式的概念是解题的关键：只含有数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，注意：（1） 是数字，不是字母；（2）分母上含有字母的不是单项式；（3）单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面，当一个单项式的系数是或时通常省略不写．
根据单项式的概念逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：在代数式，，，，，中，单项式有：
，，，，共个，
故选：．
经典题型二：单（多）项式的次数和系数
【经典例题2-1】下列说法中正确的是（ ）
A．多项式是二次二项式 B．单项式的系数、次数都是1
C．多项式的次数是7 D．单项式的系数为，次数为3
【答案】B
【分析】本题考查了单项式，多项式的系数，次数，理解并掌握单项式系数，次数的确定方法是解题的关键．
单项式中的数字因数是系数，所有字母的指数和是次数，多项式的次数是次数最高项的次数，由此即可求解．
【详解】解：A、多项式是一次二项式，原选项错误，不符合题意；
B、单项式的系数、次数都是1，正确，符合题意；
C、多项式的次数是6，原选项错误，不符合题意；
D、单项式的系数为，次数为3，原选项错误，不符合题意；
故选：B ．
【经典例题2-2】下列结论正确的是（ ）
A．单项式的系数是1，次数是4
B．的次数是6
C．单项式的系数是，次数是4
D．多项式是二次三项式
【答案】D
【分析】根据单项式的基本概念，多项式的命名方式解答即可．
本题考查了整式的基本概念，正确理解单项式，多项式的基本概念是解题的关键．
【详解】解：A. 单项式的系数是，次数是3，错误，不符合题意；
B. 的次数是4，错误，不符合题意；
C. 单项式的系数是，次数是3，错误，不符合题意；
D. 多项式是二次三项式，正确，符合题意；
故选D．
【经典例题2-3】对于多项式，下列说法错误的是（ ）
A．多项式的次数是2 B．最高次项的系数是6
C．多项式的常数项是5 D．多项式的项分别是，，5
【答案】D
【分析】本题考查了与多项式相关的概念：多项式的次数、项、常数项及项的系数，几个单项式的和叫做多项式，组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数；根据这些知识去判断即可．
【详解】解：多项式的项分别是，，5，常数项是5，次数是2，最高次项的系数是6，故前三个选项都正确，选项D错误；
故选：D．
【经典例题2-4】下列的说法中，正确的是（ ）
A．单项式的系数是 B．单项式的系数是
C．是五次三项式 D．与是同类项
【答案】B
【分析】本题考查了单项式和多项式．单项式中的数字部分是单项式的系数，是数字不是字母；多项式是几个单项式的和，多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，组成多项式的每一个单项式叫做多项式的一个项．
【详解】解：A选项：单项式的系数是，故A选项错误；
B选项：单项式的数字部分是，所以单项式系数是，故B选项正确；
C选项：多项式次数最高的项的次数是，所以是二次三项式，不是五次三项式，故C选项错误；
D选项：与所含字母相同，但是的指数不相同，所以不是同类项，故D选项错误．
故选：B．
【经典例题2-5】下列结论中正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的系数是，次数是
C．单项式的次数是，没有系数 D．多项式是三次三项式
【答案】D
【分析】本题考查了单项式和多项式，根据单项式的系数和次数的定义、多项式的次数和项数的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：、单项式的系数是，次数是，该选项结论错误，不合题意；
、单项式的系数是，次数是，该选项结论错误，不合题意；
、单项式的次数是，系数是，该选项结论错误，不合题意；
、多项式是三次三项式，该选项结论正确，符合题意；
故选：．
【经典例题2-6】下列说法正确的有几个（ ）
①多项式的项数及次数分别是3，3；②系数是，次数是2次；③多项式的项是，，，；④是整式
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查多项式的项数和次数，单项式的系数和次数，整式的定义．单项式中所有字母指数的和是单项式的次数．根据多项式的项数和次数判断①；根据单项式的系数和次数判断②；根据多项式的项判断③；根据整式的定义判断④．
【详解】解：①多项式的项数及次数分别是3，4，原说法错误；
②系数是，次数是3次，原说法错误；
③多项式的项是，，，，原说法错误；
④是整式，原说法正确；
故选：A．
经典题型三：多项式系数、指数中字母求值
【经典例题3-1】已知是关于x，y的三次二项式，那么的值是( )
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】此题主要考查了多项式．利用多项式的次数与项数得到，然后求解即可．
【详解】解：∵是关于x，y的三次二项式
∴
∴．
故选：A．
【经典例题3-2】若多项式是关于，的三次三项式，则有理数的值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【分析】此题主要考查了多项式．直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案．
【详解】解：∵多项式是关于x，y的三次三项式，
∴，
∴．
故选：A．
【经典例题3-3】若代数式是关于，的三次二项式，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了多项式的项数，次数，整式的加减运算，理解并掌握多项式的项数，次数的计算方法是解题的关键．
先确定最高次数的项为三次，可得，运用合并同类项的方法进行计算，确定为二项，由此即可求解．
【详解】解：代数式是关于，的三次二项式，
∴原式
∴，
解得，，
当时，原式，
∴，
解得，；
当时，原式，
∴，
解得，；
∴的值为2，
故选：C ．
【经典例题3-4】若是关于、的三次二项式，则、的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】此题考查了多项式的概念，根据多项式的项数：“多项式中单项式的个数”，次数：“最高项的次数”，进行求值即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，；
故选B．
【经典例题3-5】如果是关于a的二次三项式，那么m、n满足的条件是（ ）
A． B．
C．，n为大于3的整数 D．
【答案】D
【分析】根据二次三项式的定义，可知多项式的最高次数是二次，共有三项，据此列出n的关系式，从而确定m、n满足的条件．
【详解】解：∵多项式是关于a的二次三项式，
∴且，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次三项式的定义：一个多项式含有几项，是几次就叫几次几项式．注意一个多项式含有哪一项时，哪一项的系数就不等于0．
经典题型四：将多项式按某个字母升幂或降幂排列
【经典例题4-1】已知多项式是五次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同．
(1)求、的值；
(2)把这个多项式按的降幂排列．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了多项式，多项式的升幂排列或降幂排列，熟练掌握几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数是解题的关键．
（1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得；
（2）按x的指数从大到小排列即可．
【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式，
∴，
解得：，
∵单项式的次数与该多项式的次数相同，
∴，即，
解得：；
（2）解：由（1）得该多项式为，
∴把这个多项式按的降幂排列为．
【经典例题4-2】将多项式按要求重新排列：
(1)按a的升幂排列；
(2)按b的降幂排列．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．
（1）按照a的指数从小到大排列即可；
（2）按照b的指数从大到小排列即可；
【详解】（1）解：按a的升幂排列为：．
（2）解：按b的降幂排列为：．
【经典例题4-3】已知关于的多项式是二次三项式．
(1)______，______；
(2)将这个多项式按的降幂排列；
(3)求当时，这个多项式的值．
【答案】(1)5；2
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了多项式次数和项的定义，降幂排列多项式，代数式求值：
（1）几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得，则；
（2）根据（1）所求把原多项式按照x的次数从高到低排列即可；
（3）直接把代入（2）所求多项式中求解即可．
【详解】（1）解：∵关于的多项式是二次三项式，
∴，
∴，
故答案为：5；2；
（2）解：由（1）得原多项式为，
将这个多项式按的降幂排列为；
（3）解：当时，．
【经典例题4-4】已知多项式．
(1)将其重新排列为，则该排列方式是按照x的__________（填“升幂”或“降幂”）排列的；
(2)将多项式按照y的降幂重新排列；
(3)将多项式按照y的升幂重新排列．
【答案】(1)升幂
(2)
(3)
【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式升幂、降幂排序的定义．
（1）根据升幂排列和降幂排列的定义，观察字母x、y的指数即可求解；
（2）先分清多项式的各项，然后按多项式中y的降幂排列的定义排列；
（3）先分清多项式的各项，然后按多项式中y的升幂排列的定义排列．
【详解】（1）解：将其重新排列为，则该排列方式是按照x的升幂排列的，
故答案为：升幂；
（2）解：多项式按照y的降幂重新排列为；
（3）解：多项式按照y的升幂重新排列为．
【经典例题4-5】已知多项式是六次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同．
(1)求，的值；
(2)把这个多项式按的降幂排列．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了多项式和单项式的次数，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式次数的定义．
根据单项式的次数和多项式的次数求出、的值即可；
将多项式按降幂排列即可．
【详解】（1）解：多项式是六次四项式，
，
解得：，
单项式的次数与这个多项式的次数相同，
，
解得：．
（2）解：将多项式按降幂排列为．
【经典例题4-6】已知多项式是关于、的四次三项式．
(1)求和的值；
(2)将这个多项式按字母的降幂排列，并直接写出它的常数项．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．
（1）根据多项式为四次多项式，求出与的值即可；
（2）把多项式按字母降幂顺序排列即可．
【详解】（1）解：由多项式是关于，的四次三项式，
得到，，
解得：，；
（2）根据（1）得：，常数项为：．
经典题型五：整式的判断
【经典例题5-1】把下列各式分别填在相应的大括号里：
4，，，，，，，
单项式：{ …}；
多项式：{ …}；
整式：{ …}
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了整式的分类，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义．根据整式的分类，单项式和多项式的定义进行判断即可．
【详解】解：单项式：4，；
多项式：，，，；
整式：4，，，，，．
【经典例题5-2】已知代数式：①，② ，③，④，⑤，⑥，⑦．其中：
(1)属于单项式的有 ；（填序号）
(2)属于多项式的有 ；（填序号）
(3)属于整式的有 ．（填序号）
【答案】(1)①②⑥
(2)③⑤
(3)①②③⑤⑥
【分析】本题主要考查了单项式、多项式、整式，掌握这三个定义的意义，是数字而不是字母是解题的关键．
（1）根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式进行判断；
（2）根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式进行判断；
（3）根据整式的定义：单项式和多项式统称为整式进行判断．
【详解】（1）解：属于单项式的有：①，② ，⑥，
故答案为：①②⑥；
（2）属于多项式的有：③，⑤，
故答案为：③⑤；
（3）属于整式的有：①，② ，③，⑤，⑥，
故答案为：①②③⑤⑥．
【经典例题5-3】（1）下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？，0，，，，，，．
（2）写出的项．
【答案】（1）单项式：，0，，， ；多项式：，，；
（2） ，，b．
【分析】（1）本题主要考查整式的有关概念及分类，注意区分单项式与多项式的概念是解答本题的关键．
（2）本题主要考查多项式的有关概念，根据“多项式中每个单项式叫做多项式的项”解答即可．
【详解】解：“由数字或字母组成的式子叫做单项式，特别的，单独的一个数字或字母也是单项式．”；“几个单项式的和叫做多项式．”
根据单项式和多项式的定义：
（2）多项式，
有三项分别为、、．
【经典例题5-4】把下列代数式的序号填入相应的横线上：
①；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．
(1)单项式：_______；
(2)多项式：_______；
(3)整式：_______；
(4)二项式：_______．
【答案】(1)④⑤⑩
(2)①③⑥
(3)①③④⑤⑥⑩
(4)③⑥
【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解．
【详解】（1）解：单项式：④⑤⑩，
故答案为：④⑤⑩；
（2）多项式：①③⑥，
故答案为：①③⑥；
（3）整式：①③④⑤⑥⑩，
故答案为：①③④⑤⑥⑩；
（4）二项式：③⑥，
故答案为：③⑥；
【点睛】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式．
【经典例题5-5】对下列式子进行分类．
．
单项式：（ ）；
多项式：（ ）；
整式：（ ）．
【答案】，，，；，，；，，，，，，
【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式． 多项式：若干个单项式的代数和组成的式子．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式．
【详解】单项式：（，，，）
多项式：（，，）
是整式：（，，，，，，）
【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，熟练掌握相关的概念是解题的关键．
【经典例题5-6】把下列式子按单项式，多项式，整式，二项式进行分类：（只写序号）
①；②；③；④；⑤0；
⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．
【答案】单项式：④⑤；多项式：①③⑥⑩；整式：①③④⑤⑥⑩；二项式：③⑥⑩．
【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式。 多项式：若干个单项式的代数和组成的式子。 多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。 不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式。二项式是只有两项的多项式，即两个单项式的和．
【详解】解：单项式：，0
多项式：，，，
整式：，，，0，，
二项式：，，
，，是分式；是不等式，都不属于整式；
故答案为：单项式：④⑤；多项式：①③⑥⑩；整式：①③④⑤⑥⑩；二项式：③⑥⑩．
【点睛】本题考查整式、单项式、多项式、二项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断．
经典题型六：数字类规律探索
【经典例题6-1】已知整数、、、、…，满足下列条件：，，，，…，依次类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题意归纳出一般规律是解题关键．依次计算出，观察发现当为偶数时，，，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
……
观察发现，当为偶数时，，，
，
，
故选：A．
【经典例题6-2】观察下列算式：
，，，，，，，，…
根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘方，先根据已知条件，找出题中个位数出现的规律，即可求出的末位数字，根据题意找出规律是解题的关键．
【详解】解：，，，，
，，，，
，
可 以看出个位数按照、、、的顺序循环出现，
，
是第个循环的最后一个数，
的个位数是
故答案为： ．
【经典例题6-3】观察以下等式：
①，
② （ ），
③ （ ），
…
探究：
(1)观察等式①②③的规律，并将等式补充完整；
(2)请直接写出第n个等式： ；
(3)计算：．
【答案】(1)②，2；③，3；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据所给式子直接计算即可；
（2）根据（1）所求总结出，即可求出．
（3）根据题意，变形为以此类推即可求出；
本题主要考查了数字类的规律探索，总结出是解题的关键．
【详解】（1）解：①，
②，
③，
故答案为：②，2；③，3；
（2）由（1）可得规律为：（n为大于1的正整数），
故答案为：；
（3）
．．．
．
【经典例题6-4】仔细观察下列三组数：
第一组：，，，，，……
第二组：，，，，，……
第三组：，，，，，……
解答下列问题：
(1)第一组的第8个数是 ；
(2)如果第二组的第个数是，写出第一组的第个数是 ；
(3)取每组数的第10个数，计算它们的和．
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】本题主要考查了数字类规律探索，根据题意确定各组数字变化规律是解题关键．
（1）观察数字变化规律，可知第一组的数的绝对值为相应序数的平方，第奇数个数是正数，第偶数个数是负数；第二组的数为第一组相应的数减去1；第三组的数为第二组相应的数的倍，根据此规律求解即可；
（2）根据规律写出即可；
（3）分别求出第10个数，然后相加计算即可得解．
【详解】（1）解：根据题意，第一组中第8个数是．
故答案为：；
（2）如果第二组的第个数是，写出第一组的第个数是．
故答案为：；
（3）结合题意，可知第三组的第个数是，
则第三组的第10个数是，
结合（2），可知第一组第10个数为，
第二组第10个数为，
，
所以，取每组数的第10个数，计算它们的和为1．
经典题型七：图形类规律探索
【经典例题7-1】如图①是一个水平摆放的小正方体木块，图②，③是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第7个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）
A．92 B．91 C．90 D．89
【答案】B
【分析】本题考查的是图形规律的探究．根据前几层的图形变化规律，推出第n个正方体的个数，从而即可得解．
【详解】解：经分析，可知：第1个的正方体个数为，
第2个的正方体个数为，
第3个的正方体个数为，
……
第n个的个数为：，
∴第4个的个数为：13，
第5个的个数为：17，
第6个的个数为：21，
第7个的个数为：25，
∴第7个叠放的图形中，小正方体木块总数应是．
故选：B．
【经典例题7-2】观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2024应标在（ ）
A．第506个正方形的右上角 B．第506个正方形的左上角
C．第507个正方形的右上角 D．第507个正方形的左上角
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知每个正方形都有4个数，则可确定数2024应标在第507个正方形上，再由每个正方形中左上角的数最大即可得到答案．
【详解】解：观察可知每个正方形都有4个数，
∵，
∴数2024应标在第507个正方形上，
∵每个正方形中左上角的数最大，
∴数2024应标在第507个正方形的左上角，
故选：D．
【经典例题7-3】观察如图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第6个点阵中的点的个数s为（ ）
A．25 B．23 C．20 D．21
【答案】D
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
找出前四个图形中点的个数的规律，进而求解即可．
【详解】解：∵第1个点阵中的点的个数，
第2个点阵中的点的个数，
第3个点阵中的点的个数，
第4个点阵中的点的个数，
…
∴第6个点阵中的点的个数．
故选择：D．
【经典例题7-4】用黑白两种颜色的正六边形地砖按下图所示的规律，拼成若干个图案，按此规律，第14个图案中有白色地砖 块．
【答案】
【分析】本题考查图形的变化类问题，根据图形分析可得规律：每增加一个黑色六边形，则需增加个白色六边形，即可得：第个图案中共有个白色六边形，然后代入即可.
【详解】解：根据题意分析可得：其中左边第一个黑色六边形与个白色六边形相邻，
即每增加一个黑色六边形，则需增加个白色六边形，
则第个图案中共有白色六边形个，
故第个图案中有白色地面砖块，
当时，，
故答案为： ．
【经典例题7-5】下列是用火柴棒拼出的一列图形．
仔细观察，找出规律，解答下列各题：
(1)第3个图中共有________根火柴；第4个图中共有________根火柴：第6个图中共有________根火柴；
(2)第n个图形中共有________根火柴；（用含n的式子表示）
(3)第2021个图形中共有多少根火柴？
【答案】(1)10；13；19
(2)
(3)共有6064根火柴
【分析】本题考查了规律型－图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
（1）观察图形发现规律：每个图形比前一个图形多3根火柴，进而求解；
（2）根据每个图形比前一个图形多3根火柴，总结规律即可；
（3）将代入（2）中代数式求解即可．
【详解】（1）解：第1个图中，火柴的根数是；
第2个图中，火柴的根数是；
第3个图中，火柴的根数是；
……
∴第6个图中，火柴的根数是；
即第6个图中共有19根火柴；
故答案为：10；13；19；
（2）解：由（1）可得第n个图形中火柴有根，
故答案为：；
（3）解：当时，，
所以第2021个图形中共有6064根火柴
【经典例题7-6】下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有4个⊙，第2个图形中一共有7个⊙，第3个图形中一共有10个⊙， ，按此规律排列．
(1)第5个图形中一共有_______个⊙；
(2)第100个图形中一共有_______个⊙；
(3)想一想：第n个图形中一共有多少个⊙？（用含n的代数式表示）
【答案】(1)16
(2)301
(3)
【分析】本题主要考查了图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的从而得出数字规律．
（1）观察图形可知后面一个图形比前面一个图形多3个⊙，据此规律求解即可．
（2）根根据（1）的规律求解即可；
（3）根根据（1）的规律求解即可．
【详解】（1）解：第1个图形中一共有个⊙，
第2个图形中一共有个⊙，
第3个图形中一共有个⊙，
第4个图形中一共有个⊙，
以此类推，第n个图形中一共有个⊙，
∴第5个图形中一共有个⊙，
故答案为：；
（2）解：由（2）可得第100个图形中一共有个⊙，
故答案为：；
（3）解：由（1）得第n个图形中一共有个⊙．
经典题型八：已知同类项求指数中字母或代数式的值
【经典例题8-1】若与的和仍是一个单项式，则m、n的值分别是（ ）
A．1、 B．1、2 C．1、 D．1、1
【答案】A
【分析】本题考查了同类项的定义，掌握两个相同是解题关键．含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项．根据与的和仍是一个单项式，得出与是同类项，再根据同类项的定义得出答案即可．
【详解】解：∵与的和仍是一个单项式，
∴与是同类项，
∴，，
解得：，．
故选：A．
【经典例题8-2】若是关于，的五次三项式，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了多项式的定义，得出关于的等式是解题关键．直接利用多项式的概念得出关于的等式求出即可．
【详解】解：是关于、的五次三项式，
，，
解得：．
故答案为：．
【经典例题8-3】若与是同类项，则 ．
【答案】
【分析】根据同类项的定义可得，，求出m，n的值代入计算即可．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：．
【经典例题8-4】若单项式与是同类项，求代数式的值．
【答案】1
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，同类项的定义，熟知整式的加减计算是解题的关键．
再根据同类项的定义求出a、b的值，然后代入求值计算即可．
【详解】解：单项式与是同类项，
依题意得，，
，
．
【经典例题8-5】已知与是同类项，求多项式的值．
【答案】
【分析】本题主要考查同类项，根据同类项的定义，得，把多项式合并同类项，把代入到合并同类项后的式子进行计算即可．
【详解】解：由同类项的定义，得，
解得．
当时，
原式．
【经典例题8-6】如果单项式与是关于x，y的单项式，且它们是同类项．
(1)求的值．
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)0
(2)0
【分析】本题考查了同类项的定义，合并同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键．同类项定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式．
（1）先根据同类项的定义求出a、b的值，再根据有理数的乘方的定义计算即可；
（2）根据合并同类项法则可得，又xy≠0，得2m﹣5n＝0，再根据有理数的乘方的定义计算即可．
【详解】（1）解：单项式与是关于x，y的单项式，且它们是同类项，
，，
解得，，
；
（2）解：，，，
，
又，
，
．
经典题型九：去（添）括号
【经典例题9-1】下列去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可．
【详解】解：A、，原式错误，不符合题意；
B、，原式正确，符合题意；
C、，原式错误，不符合题意；
D、，原式错误，不符合题意；
故选：B．
【经典例题9-2】下列各式中与多项式相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了去括号，掌握去括号法则是解答本题的关键．
去括号法则：如果括号前是“”号，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号前是“”号，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
【经典例题9-3】下列去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了去括号的知识，熟记去括号法则是解题的关键．
括号前是“”，去括号后括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，去括号后括号内的各项都改变符号，据此判断．
【详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意；
B、，故该项正确，符合题意；
C、，故该项不正确，不符合题意；
D、，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
【经典例题9-4】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了去括号法则与添括号法则，熟练掌握去括号及添括号的法则是关键．去括号法则：当括号前是“+”号时，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“－”号时，去掉括号和前面的“－”号，括号内各项的符号都要变号．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．结合各选项进行判断即可．
【详解】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D． ，故不正确；
故选C．
【经典例题9-5】下列去括号正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查去括号，掌握去括号法则是解题关键．去括号法则“括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的各项都变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的各项都不变号”．
【详解】解：，
所以A选项符合题意；
B选项不符合题意；
C选项不符合题意；
D选项不符合题意．
故选：A．
【经典例题9-6】下列各式去括号或添括号运算正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了去括号与添括号，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据去括号或添括号法则逐项求解判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
经典题型十：整式的化简求值
【经典例题10-1】先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】本题主要考查了整式化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键，给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算；根据整式的加减运算法则化简代入求值即可．
【详解】解：原式
当，时，原式．
【经典例题10-2】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，；
(3)，其中，．
【答案】(1)；
(2)，
(3)，12
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．
（1）根据加法交换律把同类项交换在一起，然后合并同类项，再把代入化简后的式子进行计算即可；
（2）根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把，的值代入化简后的式子进行计算即可；
（3）根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把，的值代入化简后的式子进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
，
当时，原式；
（2）解：
，
当，时。原式；
（3）解：
，
当，时，原式．
【经典例题10-3】先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】本题考查了整式的加减 化简求值，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键．先去括号、合并同类项进行化简，再将，代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式．
【经典例题10-4】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)；其中，．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，准确计算．
（1）先根据整式加减运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
（2）先根据整式加减运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】（1）解：
当时，
原式
．
（2）解：
当，时，
原式
．
【经典例题10-5】先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值， 先去括号，然后合并同类项，最后代入数值计算即可．
【详解】解：原式
当，时，
原式
【经典例题10-6】先化简，再求值．
(1)已知：，，化简；
(2)，其中，．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式的化简求值：
（1）根据整式的加减计算法则求解即可；
（2）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：
，
当，时，原式．
经典题型十一：整式加减中无关题型
【经典例题11-1】已知代数式，．
(1)先化简，再求值：当时，求的值．
(2)若的值与的取值无关，求的值．
【答案】(1)；19
(2)
【分析】本题主要考查了整式的化简求值；
（1）把，代入进行化简，最后把代入化简后的式子进行计算即可；
（2）根据的值与的取值无关和（1）中所求，列出关于y的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：
，
当时，；
（2）解：由（1）可知：
∵的值与的取值无关，
∴，
解得：．
【经典例题11-2】已知多项式 ．
(1)先化简，再求值，其中 ，；
(2)若多项式与字母的取值无关，求的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（）根据去括号，合并同类项得到最简结果，把 ，代入计算即可求出值；
（）化简的结果变形后，根据与字母的取值无关，确定出的值即可；
此题考查了整式的加减，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
当把，时，
原式
；
（2）解：由（）得化简后为，
∵多项式与字母的取值无关，
∴，
∴．
【经典例题11-3】已知多项式的值与字母的取值无关．
(1)求，的值；
(2)求多项式的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减法则是解题的关键；
（1）先化简代数式，再根据多项式的值与字母的取值无关，即可得到含项的系数等于，即可得出，的值；
（2）化简多项式，再把，，代入计算即可．
【详解】（1）原式，
因为多项式的值与字母的取值无关，
所以，，
所以，
（2）解：当，时，；
【经典例题11-4】（1）先化简，再求值：，其中，；
（2）已知代数式，．
①求；
②当取何值时，的值与的取值无关．
【答案】（1），；（2）①，②
【分析】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可；
（2）①先去括号，再合并同类项即可；②根据的值与的取值无关，即含的项的系数为，由此计算即可．
【详解】解：（1）
当，时，
原式；
（2）①，，
；
②
的值与的取值无关，
，
．
【经典例题11-5】，．
(1)当时，求的值；
(2)若代数式的值与的取值无关，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用去括号的法则去掉括号后，合并同类项，得，再利用非负数的意义求得，的值，最后将，值代入运算即可；
（2）根据代数式的值与的取值无关，可知的系数为0，可求出的值，进而求解．
此题考查了整式的加减－化简求值，无关型问题，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴
，
，
∵，，
∴，，
∴，，
∴原式
；
（2）解：依题意，，
∵代数式的值与的取值无关，
∴，
解得，
∴的值为．
【经典例题11-6】已知，，的结果与字母的取值无关．
(1)求，的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了整式的加减与化简求值；
（1）先计算，根据题意的结果与字母的取值无关，令和的系数为，即可求解；
（2）先计算，然后根据偶次幂以及绝对值的意义求得的值，代入化简结果进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
因为的结果与字母a的取值无关．
所以，，所以，
（2）∵，，又
∴，，，，
当，时
原式
经典题型十二：整式加减的应用
【经典例题12-1】小颖为妈妈准备了一份生日礼物，礼物外包装盒为长方体形状，长、宽、高分别为a、b、c（），小颖决定在包装盒外用丝带打包装饰，她发现，可以用如图所示的三种打包方式，所需丝带的长度分别为，，（不计打结处丝带长度）．
(1)用含a、b、c的代数式分别表示，，；
(2)请帮小颖选出最节省丝带的打包方式，并说明理由．
【答案】(1)；；；
(2)最节省丝带的打包方式为③．
【分析】本题考查了列代数式，整式的加减．
（1）观察分析可得，可把该题看作与长，宽，高平行的丝带分别有几条，再求和即可；
（2）通过比较（1）中计算出来的三种方式所用的丝带总长来判断．
【详解】（1）解：丝带的长度为：；
丝带的长度为：；
丝带的长度为：；
（2）解：∵，
∴
，
∴；
，
∴；
∴最节省丝带的打包方式为③．
【经典例题12-2】如图所示长方形，在边上有一点E，边上有一点F．
(1)根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示的长度；
(2)根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积；
(3)若，求出阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)30
【分析】（1）根据图形及已知数据列得代数式即可；
（2）用长方形的面积减去两个三角形的面积即可；
（3）将已知数值代入（2）中列得的代数式中计算即可．
【详解】（1）解：由图可知：；
（2）解：
，
即阴影部分的面积为；
（3）解：由（2）可得：当时，
，
即阴影部分的面积为30．
【点睛】本题考查列代数式及代数式求值，结合已知条件列得正确的代数式是解题的关键．
【经典例题12-3】如图是某窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长为（取3）．
(1)用含的代数式表示窗户的面积；
(2)若，窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米26元，窗户的厚度不计，求制作这种窗户需要的费用是多少元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】本题考查了列代数式表示实际问题，解题的关键是分清数量关系，抓住关键词语，正确的列出代数式．
（1）窗户的面积个小正方形的面积半圆的面积；
（2）算出时，窗户的面积，然后乘以每平方米的费用即可知道总费用．
【详解】（1）解：窗户的面积，
；
（2）解：当时，窗户的面积为，
此时总费用为：元．
【经典例题12-4】如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长，宽的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米）
(1)一扇这样的窗户一共需要铝合金_________米，需要玻璃________平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含x，y的式子表示）
(2)某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价：
铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米）
甲厂商 180 不超过100平方米的部分，90元/平方米，超过100平方米的部分，70元/平方米
乙厂商 200 80元/平方米，每购一平方米玻璃送米铝合金
当时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？
【答案】(1)，
(2)公司在甲厂商购买窗户合算
【分析】本题考查代数式求值，整式的加减应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据窗户的图形分别列式计算即可；
（2）分别求出甲、乙的费用比较大小即可判断．
【详解】（1）解：一扇这样的窗户一共需要铝合金：米；
需要玻璃：平方米；
（2）解：当时，
铝合金长：（米）
玻璃面积：（平方米）
甲：（元）
乙：（元）
∵，
∴公司在甲厂商购买窗户合算．
【经典例题12-5】某学校有一块长方形花园，长12米、宽10米．花园中间欲铺设横纵各一条道路（图①空白部分），且它们互相垂直．若横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，设纵向道路的宽是米．（提示：）
(1)如图①，横向道路的宽是_____米，花园道路的面积为_____平方米；（用含的代数式表示）
(2)若把纵向道路的宽改为原来的2倍，横向道路的宽改为原来的（如图②所示）．设图①与图②中花园的面积（阴影部分）分别为，，试比较与的大小．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了列代数式、整式的加减的应用、长方形的面积，正确表示出花园道路的面积是解答的关键．
（1）根据横向道路的宽是x米，根据纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍即可得到横向道路的宽；用纵向道路的面积加上横向道路的面积即可；
（2）将，的面积分别表示出来比较大小即可．
【详解】（1）解：横向道路的宽是x米，且纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍，
纵向道路的宽是米，
由题意，图①中花园道路的面积为：平方米；
（2）解：由题意得，题图①中花园的面积平方米，
题图②中花园的面积．平方米，
则．
因为，
所以，
所以．
【经典例题12-6】已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成个宽为的大长方形（如图2），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中．
(1)请用含，的代数式表示下面的问题：
①大长方形的长：__________；②阴影的面积：__________．
(2)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
【分析】本题考查整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则．
（1）①大长方形的长为小长方形的长上宽的倍；②阴影的长为，宽为，再根据长方形的面积公式求解即可；
（2）分别表示出阴影和阴影的长和宽，再求出阴影和阴影的周长和即可．
【详解】（1）解：①大长方形的长为，
故答案为：；
②阴影的长为，宽为，
阴影的面积为，
故答案为：；
（2）阴影的长为，宽为，阴影的长为，宽为，
阴影与阴影的周长的和为：
阴影与阴影的周长的和与的取值无关．
经典题型十三：整式加减综合之定义新运算
【经典例题13-1】【探索发现】
如图1，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推．
(1)①阴影部分的面积是_______；
②请根据①的结论计算：．
(2)如图2，第1次分割，把正方形的面积三等分；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，根据以上信息解决问题：计算．
(3)计算（用含，的代数式表示）．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)
【分析】（1）①根据题目规律进行计算即可；②根据①的结论即可求解；
（2）分别计算图形中阴影部分的面积以及空白部分的面积，得出第n次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是，由此可得答案；
（3）根据（2）的方法进行计算即可求解．
【详解】（1）解：①观察图形可知：部分①的面积为：，部分②的面积为，部分③的面积为，阴影部分的面积是，
故答案为：；
②根据①的结论可得：；
（2）解：如图所示，
设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为，空白部分面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为，空白部分面积为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为，空白部分面积为，…
第n次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是，
根据第n次分割阴影部分的面积和为，空白部分面积为，
∴，
两边同除以，得．
（3）解：根据（2）可得
∴
【点睛】本题考查了图形的变化规律，有理数的乘方，读懂题意，得出图形的变化规律是解本题的关键．
【经典例题13-2】观察下列各式：
①
②
③
……
探索以上式子的规律：
(1)写出第5个等式：________；
(2)试写出第个等式：________；
(3)计算．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字的变化类，有理数的乘方运算，解决本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．
（1）根据题目已给出的式子的规律写出答案即可；
（2）根据题目已给出的式子判断出规律得到第个等式即可；
（3）根据式子所求的特点，设，则可以得到的值，然后作差即可得到所求式子的值．
【详解】（1）∵①，
②，
③，
④，
⑤，
故答案为：
（2）∵①，
②，
③，
④，
⑤，
……
可得第n个式子是：；
（3）设，
则，
∴，
∴，
∴，
即．
【经典例题13-3】探索研究：
(1)比较下列各式的大小（用“”或“”或“”连接）
①；　　　；
②；　　　；
③　　　．
(2)通过以上比较，请你分析、归纳出当、为有理数时，与的大小关系．（直接写出结论即可）
(3)①根据（2）中得出的结论，当时，则的取值范围是　　　；
②若，，求的值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)①；②或或或
【分析】此题主要考查了绝对值，根据题意得出a，b直接符号的关系是解题关键．
（1）①利用绝对值的性质去绝对值，进而比较大小；
②利用绝对值的性质去绝对值，进而比较大小；
③利用绝对值的性质去绝对值，进而比较大小；
（2）根据绝对值的性质结合，当a，b异号时，当a，b同号时分析得出答案；
（3）利用（2）中结论进而分析得出答案．
【详解】（1）解：①，，
，
，，
；
②
；
③，，
，
故答案为：，，；
（2）分三种情况讨论：
当a，b异号时，；
当a，b同号时，；
当或时，．
综上所述，．
故与的大小关系为；
（3）∵，
∴x与同号，或x为0，
∴．
∵，，
与异号，
或或5或．
故答案为：；10或或5或．
【经典例题13-4】如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下：
解：小红发现：，，，……
于是有：原式
．
(1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ；
②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ；
(2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果；
(3)请利用前面的思想方法计算：．
【答案】(1)①；②．
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了数字规律、有理数的混合运算等知识点，根据题意归纳出裂项规律成为解题的关键．
（1）①根据小红的发现归纳规律即可解答；②先运用①得到的规律裂项，然后再计算即可；
（2）先类比（1）归纳出裂项规律，然后再运用裂项规律进行裂项，最后计算即可；
（3）先类比（1）（2）得到裂项规律，然后根据裂项规律裂项进行计算即可．
【详解】（1）解：①，，，……
故答案为：；
②
．
故答案为：．
（2）解：类比（1）结合可得：，
．
（3）解：由（1）（2）可类比出：
．
【经典例题13-5】阅读材料：
“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．
【例】合并同类项：，类似地，我们也可以把看成一个整体，则．
尝试应用：
（1）把看成一个整体，合并的结果是______；
（2）已知，求的值；
拓展探索：
（3）已知，，，求的值．
【答案】（）；（）；（）．
【分析】（）仿照材料，把看成一个整体，即可合并；（2）（3）
（）将整体代入计算即可；
（）先去括号，再添括号，然后整体代入求值即可；
本题考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．
【详解】（）解：把看成一个整体，则，
故答案为：
（）解：∵，
∴；
（）解：∵，，，
∴
．
【经典例题13-6】阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似的，我们把看成一个整体，则．
尝试应用：
（1）把看成一个整体，合并的结果是___________．
（2）已知，求的值．
拓展探索：
（3）已知，，．求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．
（1）仿照题意把当做一个整体，利用合并同类项的计算法则求解即可；
（2）根据，把整体代入求解即可；
（3）根据，把所给的条件式整体代入求解即可．
【详解】解：（1）
，
；
故答案为：；
（2）∵，
∴
，
，
；
（3），，，
，
，
，
，
．
经典题型十四：整式加减综合之探索问题
【经典例题14-1】定义一种新运算，规律如下：
(1)直接写出：______；（用含a、b的代数式表示）
(2)化简：；
(3)若定义的新运算满足交换律，则a、b的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】(1)
(2)
(3)B
【分析】本题以新运算为载体，主要考查了对运算法则的探求和整式的加减运算．
（1）根据题意可得新运算法则为；
（2）先计算，再计算，据此计算即可；
（3）根据题意，根据新运算法则和整式的加减运算法则计算即可．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
∴，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵，且定义的新运算满足交换律，
∴，
整理得，
∴．
故选：B．
【经典例题14-2】新定义：符号“f”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：
运算（一）：，，，，，……
运算（二）：，，，，……
利用以上规律计算：
(1)______，______，______，______；
(2)_______；
(3)计算：．
【答案】(1)6，，7，．
(2)0
(3)
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，
（1）根据题意发现当x为整数时，；当x为分数时， 求解即可．
（2）根据（1）中发现的规律代入计算即可解决问题．
（3）根据（1）中发现的规律代入计算即可解决问题．
【详解】（1）解：，，，
故答案为：6，，7，．
（2）解：
故答案为：0
（3）解：
故答案为：．
【经典例题14-3】给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为．
如：，所以数对，都是“相伴有理数对”．
(1)数对，中，是“相伴有理数对”的是______；
(2)若是“相伴有理数对”，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题考查了有理数的乘法与加减法、整式加减中的化简求值，正确理解“相伴有理数对”的定义是解题关键．
（1）根据“相伴有理数对”的定义求解即可；
（2）根据“相伴有理数对”的定义可得，从而可得，再化简代入计算即可得．
【详解】（1）解：∵，，
∴数对不是“相伴有理数对”，
∵，，
∴是“相伴有理数对”，
故答案为：．
（2）解：是“相伴有理数对”，
，
，
．
【经典例题14-4】定义：若，则称与是关于2的平衡数．
(1)3与 是关于2的平衡数，与 是关于2的平衡数（填一个含的代数式）．
(2)若，，且与是关于2的平衡数，若为正整数，求非负整数的值．
【答案】(1)，；
(2)1或3或0
【分析】（1）根据平衡数的定义即可求出；
（2）根据，，且与是关于2的平衡数，可以得到k和x的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到结果；
本题考查整式的加减、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题．
【详解】（1）解： 根据平衡数的定义，，
与是关于2的平衡数；
，
与是关于2的平衡数；
故答案为：，；
（2），，且与是关于2的平衡数，
，
即：，
，
为正整数，为非负整数，
当时，，或时，，或时，，
或或，
综上所述，故非负整数的值为1或3或0．
【经典例题14-5】我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消数”．如多项式与多项式，则与互为“对消多项式”，它们的“对消数”为3．
(1)下列各组多项式中，互为“对消多项式”的是___________（填序号）；
①与； ②与；
③与； ④与．
(2)多项式与（为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消数”．
【答案】(1)②③④
(2)
【分析】本题主要考查了整式的加减运算、求代数式值，准确理解新定义是解题的关键．
（1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别；
（2）先运用题目中的定义求得m，n的值，再代入求解即可．
【详解】（1），不是常数，
①组多项式不是互为“对消多项式”；
，是常数，
②组多项式是互为“对消多项式”；
，是常数，
③组多项式是互为“对消多项式”，
，是常数，
④组多项式是互为“对消多项式”，
故答案为：②③④
（2）
，
，
与（m，n为常数）互为“对消多项式”，
，，为常数，
解得：，，
，
它们的“对消数”为3；
【经典例题14-6】新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下：
，
，
，
，
，
……
新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：
，
，
，
，
……
利用以上规律计算：
(1)___________，___________．
(2)___________．
(3)计算：．
【答案】(1)，；
(2)0
(3)2
【分析】本题主要考查了新定义运算、数字规律、整式的加减混合运算等知识点，根据新定义运算发现规律成为解题的关键．
（1）根据题中给出的例子进行计算即可；
（2）先根据题中给的新定义化简，然后再进行计算即可；
（3）先根据题中给的新定义化简，然后再根据整式的加减混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：，．
故答案为：，；
（2）解：
．
故答案为：0．
（3）解：
．中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 整式的加减
（易错点、重难点、常考点专项练习）
经典题型一：单项式和多项式的判定
【经典例题1-1】下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【经典例题1-2】整式，，，，，中，多项式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【经典例题1-3】式子，，，，，，中，多项式有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【经典例题1-4】在，5，，，，，中，单项式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【经典例题1-5】在代数式， ， 、， ，中，单项式的个数是（ ）
A．个 B． 个 C．个 D．个
【经典例题1-6】下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
经典题型二：单（多）项式的次数和系数
【经典例题2-1】下列说法中正确的是（ ）
A．多项式是二次二项式 B．单项式的系数、次数都是1
C．多项式的次数是7 D．单项式的系数为，次数为3
【经典例题2-2】下列结论正确的是（ ）
A．单项式的系数是1，次数是4
B．的次数是6
C．单项式的系数是，次数是4
D．多项式是二次三项式
【经典例题2-3】对于多项式，下列说法错误的是（ ）
A．多项式的次数是2 B．最高次项的系数是6
C．多项式的常数项是5 D．多项式的项分别是，，5
【经典例题2-4】下列的说法中，正确的是（ ）
A．单项式的系数是 B．单项式的系数是
C．是五次三项式 D．与是同类项
【经典例题2-5】下列结论中正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的系数是，次数是
C．单项式的次数是，没有系数 D．多项式是三次三项式
【经典例题2-6】下列说法正确的有几个（ ）
①多项式的项数及次数分别是3，3；②系数是，次数是2次；③多项式的项是，，，；④是整式
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
经典题型三：多项式系数、指数中字母求值
【经典例题3-1】已知是关于x，y的三次二项式，那么的值是( )
A． B．0 C．1 D．2
【经典例题3-2】若多项式是关于，的三次三项式，则有理数的值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【经典例题3-3】若代数式是关于，的三次二项式，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【经典例题3-4】若是关于、的三次二项式，则、的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【经典例题3-5】如果是关于a的二次三项式，那么m、n满足的条件是（ ）
A． B．
C．，n为大于3的整数 D．
经典题型四：将多项式按某个字母升幂或降幂排列
【经典例题4-1】已知多项式是五次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同．
(1)求、的值；
(2)把这个多项式按的降幂排列．
【经典例题4-2】将多项式按要求重新排列：
(1)按a的升幂排列；
(2)按b的降幂排列．
【经典例题4-3】已知关于的多项式是二次三项式．
(1)______，______；
(2)将这个多项式按的降幂排列；
(3)求当时，这个多项式的值．
【经典例题4-4】已知多项式．
(1)将其重新排列为，则该排列方式是按照x的__________（填“升幂”或“降幂”）排列的；
(2)将多项式按照y的降幂重新排列；
(3)将多项式按照y的升幂重新排列．
【经典例题4-5】已知多项式是六次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同．
(1)求，的值；
(2)把这个多项式按的降幂排列．
【经典例题4-6】已知多项式是关于、的四次三项式．
(1)求和的值；
(2)将这个多项式按字母的降幂排列，并直接写出它的常数项．
经典题型五：整式的判断
【经典例题5-1】把下列各式分别填在相应的大括号里：
4，，，，，，，
单项式：{ …}；
多项式：{ …}；
整式：{ …}
【经典例题5-2】已知代数式：①，② ，③，④，⑤，⑥，⑦．其中：
(1)属于单项式的有 ；（填序号）
(2)属于多项式的有 ；（填序号）
(3)属于整式的有 ．（填序号）
【经典例题5-3】（1）下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？，0，，，，，，．
（2）写出的项．
【经典例题5-4】把下列代数式的序号填入相应的横线上：
①；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．
(1)单项式：_______；
(2)多项式：_______；
(3)整式：_______；
(4)二项式：_______．
【经典例题5-5】对下列式子进行分类．
．
单项式：（ ）；
多项式：（ ）；
整式：（ ）．
【经典例题5-6】把下列式子按单项式，多项式，整式，二项式进行分类：（只写序号）
①；②；③；④；⑤0；
⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．
经典题型六：数字类规律探索
【经典例题6-1】已知整数、、、、…，满足下列条件：，，，，…，依次类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【经典例题6-2】观察下列算式：
，，，，，，，，…
根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ．
【经典例题6-3】观察以下等式：
①，
② （ ），
③ （ ），
…
探究：
(1)观察等式①②③的规律，并将等式补充完整；
(2)请直接写出第n个等式： ；
(3)计算：．
【经典例题6-4】仔细观察下列三组数：
第一组：，，，，，……
第二组：，，，，，……
第三组：，，，，，……
解答下列问题：
(1)第一组的第8个数是 ；
(2)如果第二组的第个数是，写出第一组的第个数是 ；
(3)取每组数的第10个数，计算它们的和．
经典题型七：图形类规律探索
【经典例题7-1】如图①是一个水平摆放的小正方体木块，图②，③是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第7个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）
A．92 B．91 C．90 D．89
【经典例题7-2】观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2024应标在（ ）
A．第506个正方形的右上角 B．第506个正方形的左上角
C．第507个正方形的右上角 D．第507个正方形的左上角
【经典例题7-3】观察如图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第6个点阵中的点的个数s为（ ）
A．25 B．23 C．20 D．21
【经典例题7-4】用黑白两种颜色的正六边形地砖按下图所示的规律，拼成若干个图案，按此规律，第14个图案中有白色地砖 块．
【经典例题7-5】下列是用火柴棒拼出的一列图形．
仔细观察，找出规律，解答下列各题：
(1)第3个图中共有________根火柴；第4个图中共有________根火柴：第6个图中共有________根火柴；
(2)第n个图形中共有________根火柴；（用含n的式子表示）
(3)第2021个图形中共有多少根火柴？
【经典例题7-6】下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有4个⊙，第2个图形中一共有7个⊙，第3个图形中一共有10个⊙， ，按此规律排列．
(1)第5个图形中一共有_______个⊙；
(2)第100个图形中一共有_______个⊙；
(3)想一想：第n个图形中一共有多少个⊙？（用含n的代数式表示）
经典题型八：已知同类项求指数中字母或代数式的值
【经典例题8-1】若与的和仍是一个单项式，则m、n的值分别是（ ）
A．1、 B．1、2 C．1、 D．1、1
【经典例题8-2】若是关于，的五次三项式，则的值为 ．
【经典例题8-3】若与是同类项，则 ．
【经典例题8-4】若单项式与是同类项，求代数式的值．
【经典例题8-5】已知与是同类项，求多项式的值．
【经典例题8-6】如果单项式与是关于x，y的单项式，且它们是同类项．
(1)求的值．
(2)若，且，求的值．
经典题型九：去（添）括号
【经典例题9-1】下列去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题9-2】下列各式中与多项式相等的是（　　）
A． B． C． D．
【经典例题9-3】下列去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题9-4】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题9-5】下列去括号正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【经典例题9-6】下列各式去括号或添括号运算正确的是( )
A． B．
C． D．
经典题型十：整式的化简求值
【经典例题10-1】先化简，再求值：，其中，．
【经典例题10-2】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，；
(3)，其中，．
【经典例题10-3】先化简，再求值：，其中，．
【经典例题10-4】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)；其中，．
【经典例题10-5】先化简，再求值：，其中，．
【经典例题10-6】先化简，再求值．
(1)已知：，，化简；
(2)，其中，．
经典题型十一：整式加减中无关题型
【经典例题11-1】已知代数式，．
(1)先化简，再求值：当时，求的值．
(2)若的值与的取值无关，求的值．
【经典例题11-2】已知多项式 ．
(1)先化简，再求值，其中 ，；
(2)若多项式与字母的取值无关，求的值．
【经典例题11-3】已知多项式的值与字母的取值无关．
(1)求，的值；
(2)求多项式的值．
【经典例题11-4】（1）先化简，再求值：，其中，；
（2）已知代数式，．
①求；
②当取何值时，的值与的取值无关．
【经典例题11-5】，．
(1)当时，求的值；
(2)若代数式的值与的取值无关，求的值．
【经典例题11-6】已知，，的结果与字母的取值无关．
(1)求，的值；
(2)若，求的值．
经典题型十二：整式加减的应用
【经典例题12-1】小颖为妈妈准备了一份生日礼物，礼物外包装盒为长方体形状，长、宽、高分别为a、b、c（），小颖决定在包装盒外用丝带打包装饰，她发现，可以用如图所示的三种打包方式，所需丝带的长度分别为，，（不计打结处丝带长度）．
(1)用含a、b、c的代数式分别表示，，；
(2)请帮小颖选出最节省丝带的打包方式，并说明理由．
【经典例题12-2】如图所示长方形，在边上有一点E，边上有一点F．
(1)根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示的长度；
(2)根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积；
(3)若，求出阴影部分的面积．
【经典例题12-3】如图是某窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长为（取3）．
(1)用含的代数式表示窗户的面积；
(2)若，窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米26元，窗户的厚度不计，求制作这种窗户需要的费用是多少元？
【经典例题12-4】如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长，宽的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米）
(1)一扇这样的窗户一共需要铝合金_________米，需要玻璃________平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含x，y的式子表示）
(2)某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价：
铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米）
甲厂商 180 不超过100平方米的部分，90元/平方米，超过100平方米的部分，70元/平方米
乙厂商 200 80元/平方米，每购一平方米玻璃送米铝合金
当时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？
【经典例题12-5】某学校有一块长方形花园，长12米、宽10米．花园中间欲铺设横纵各一条道路（图①空白部分），且它们互相垂直．若横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，设纵向道路的宽是米．（提示：）
(1)如图①，横向道路的宽是_____米，花园道路的面积为_____平方米；（用含的代数式表示）
(2)若把纵向道路的宽改为原来的2倍，横向道路的宽改为原来的（如图②所示）．设图①与图②中花园的面积（阴影部分）分别为，，试比较与的大小．
【经典例题12-6】已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成个宽为的大长方形（如图2），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中．
(1)请用含，的代数式表示下面的问题：
①大长方形的长：__________；②阴影的面积：__________．
(2)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关．
经典题型十三：整式加减综合之定义新运算
【经典例题13-1】【探索发现】
如图1，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推．
(1)①阴影部分的面积是_______；
②请根据①的结论计算：．
(2)如图2，第1次分割，把正方形的面积三等分；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，根据以上信息解决问题：计算．
(3)计算（用含，的代数式表示）．
【经典例题13-2】观察下列各式：
①
②
③
……
探索以上式子的规律：
(1)写出第5个等式：________；
(2)试写出第个等式：________；
(3)计算．
【经典例题13-3】探索研究：
(1)比较下列各式的大小（用“”或“”或“”连接）
①；　　　；
②；　　　；
③　　　．
(2)通过以上比较，请你分析、归纳出当、为有理数时，与的大小关系．（直接写出结论即可）
(3)①根据（2）中得出的结论，当时，则的取值范围是　　　；
②若，，求的值．
【经典例题13-4】如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下：
解：小红发现：，，，……
于是有：原式
．
(1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ；
②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ；
(2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果；
(3)请利用前面的思想方法计算：．
【经典例题13-5】阅读材料：
“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．
【例】合并同类项：，类似地，我们也可以把看成一个整体，则．
尝试应用：
（1）把看成一个整体，合并的结果是______；
（2）已知，求的值；
拓展探索：
（3）已知，，，求的值．
【经典例题13-6】阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似的，我们把看成一个整体，则．
尝试应用：
（1）把看成一个整体，合并的结果是___________．
（2）已知，求的值．
拓展探索：
（3）已知，，．求的值．
经典题型十四：整式加减综合之探索问题
【经典例题14-1】定义一种新运算，规律如下：
(1)直接写出：______；（用含a、b的代数式表示）
(2)化简：；
(3)若定义的新运算满足交换律，则a、b的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题14-2】新定义：符号“f”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：
运算（一）：，，，，，……
运算（二）：，，，，……
利用以上规律计算：
(1)______，______，______，______；
(2)_______；
(3)计算：．
【经典例题14-3】给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为．
如：，所以数对，都是“相伴有理数对”．
(1)数对，中，是“相伴有理数对”的是______；
(2)若是“相伴有理数对”，求的值．
【经典例题14-4】定义：若，则称与是关于2的平衡数．
(1)3与 是关于2的平衡数，与 是关于2的平衡数（填一个含的代数式）．
(2)若，，且与是关于2的平衡数，若为正整数，求非负整数的值．
【经典例题14-5】我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消数”．如多项式与多项式，则与互为“对消多项式”，它们的“对消数”为3．
(1)下列各组多项式中，互为“对消多项式”的是___________（填序号）；
①与； ②与；
③与； ④与．
(2)多项式与（为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消数”．
【经典例题14-6】新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下：
，
，
，
，
，
……
新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：
，
，
，
，
……
利用以上规律计算：
(1)___________，___________．
(2)___________．
(3)计算：．

展开更多......

收起↑