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第16讲
空间几何体截面图形问题
一、知识点
1.定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面，与几何体表面的
交集（交线）叫做截线，与几何体棱的交集（交点）叫做截点.用一个平面去截一个几何体所得到的
平面图形称之为截面，
2.作截线与械点的主要根据有：
(1)确定平面的条件
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内，
(4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线
平行.
(⑤)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行；
3.作空间几何体截面的常见方法：
(1)直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就
是找交线的过程；
(2)作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过
过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线：
(3)作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，
然后借助交点找到截面形成的交线：
(4)辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面，
4.常见正方体的截面情况：
锐角三角形
等腰三角形
等边三角形
梯形
平行四边形
菱形
矩形
任藏五边形
任意六边形
正六边形
5.题型型归纳
【题型一】画截面
【题型二】截面形状
【题型三】哉面面积
【题型四】截面周长
【题型五】截面分两部分体积
【题型六】与线、面平行的截面
【题型七】与直线、平面垂直的截面
127
【题型八】外接球截面
【题型九】内切球截面
【题型十】“动点”型截面
【题型十一】截面与角度
【题型十二】与截面有关的最值
【题型一】画截面
例1.在正方形ABCD-A1BCD1中，点E,F,G,H分别在AB,BC,DD1,BC上，点
P,Q,R在平面A1C,AB,BC内，点S在正方体内部，
(1)作过E,F,G三点的截面：(2)作过E,G,H三点的截面；
(3)作过E,G,P三点的截面；(4)作过F,H,S三点的截面；
(⑤)作过P,Q,R三点的截面.
D
C
D
Ci
By
B
C
D
D
C
B
B
D
9
D
Ci
A
B1
B1
C
D
D
A
B
B
D
BL
D
B
128第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此.2Sn-1=a2-十an-1(n≥2)，
五=+++a=1-方+方方+…
11
则2an=an十a2-an-1-a2-1
.an十an-1=(an十an-i)(an-an-l),且数列{an}各
+=1-<1
项均为正数
∴.am-am-1=1,
例17.【答案】(1a,=32(Q②)证明见解析
2S=2+a1,因为a1>0,得a1=1,
【详解】()由a+1=3a+1得a1+号=
.数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
故an=n.
3a+号》又a+号-号所以{a+}是首项为
②VneN.m≥2，是=是1
1
号，公比为3的等比数列.a+方=号，因此a}
11
(n-1)n'
的通项公式为4，=3”1
2
故=+
下乏千2千话+、
+记=}++京+
（②由国知士=名因为当m≥1时，3-1≥
2x8”所以≤2X于是品+立+
1
1
+女≤1+号++=引-宗)是所以
+++女<号
n-1 n
例18.【答案】(1)a=1(2)am=3”-2"(3)证明见解析
【详解】(1)因为a1,a2+5,a3成等差数列，所以
所以<子
2(@2+5)=a1十ag,又2Sn=an+1-2m+1+1,所以
例16.【答案】(1)证明见解析，a,=n;(2)证明见解析
2S1=a2-22+1,2S2=ag-23+1,所以2a1=a2
【分析】(1)由2Sn=nan十m,2Sn+1=(m+1)a+1十n
-3,2(a1十a2)=ag-7.
+1作差得到(m-1)an+1-na十1=0，进一步得到
2(a2十5)=a十ag
a1=1
由
2a1=a2-3
,得{a2=5,所以a1=1.
na+2-(m+1)an+1十1=0，再作差即可得到an+1
2(a十2)=ag-7
(ag=19
+an=2an+1,从而使问题得到解决：
(2)因为2Sn=an+1-2m+1+1
①
②b,=+1+a+a=二
1
所以当n≥2时，2Sn-1=an-2”+1
②
Vr(n+1)
方公行求和即可。
①-②得2an=an+1-an-2m+1+2,所以an+1=3aa
1
+两边同除以2得会器=号会+号，所以
【详解】(1)2Sn=nan十n,2Sm+1=(n+1)an+:十n+
1,
2器+1=号（会+刂又由国知尝+1=号
两式相减：(n-1)a+1-nan+1=0①
用n+1换n,得an+2-(n十1)an+1+1=0②
(会+，数列{会+}是以号为公比的等比数
②@-①，得nan+2-2nan+i十nan=0,即an+1十a=
列，
2an+1'
所以2会+1=号·（受）=（受）”，所以a=3
所以数列{an}是等差数列，又2S1=a1十1，
-2”,即数列{an}的通项公式为an=3”-2”.
∴a1=1,a2=2,公差d=1,所以an=n.
(3)证明：因为an=3”-2"=(1+2)m-2”=C%1n,2
1
()b=-
+C41n.2+C41n-2.22+…
vanti+antivan
1
+C%1°，2"-2=1+2n+2(n2-m)=1+2m2>2m
mn+I+(n+1)n=
>2m(n-1),所以
aa+而=+普-六
1
=2<-可所
1
1
√m+i
ay
a
<1+
106

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