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第15讲
数列函数性质不等式放缩
一、知识点
1.等差数列的通项公式
(1)am=a+(n-1)d;
(2)an=am+(n-m)d;
(3)an=An.+B.
2.等差数列的前n项和公式
(1)S=n(ato)
2
(2)Sn=na1
.n(n-1d:
2
(3)S=An2+Bn.
3.等差数列简单性质
(1)等差数列中，若p+q=m+m,则有ap十a,=am十an:若2m=p十q,则有2am=ap十ag:
(2)等差数列中，Sn,Sm-Sn,Sn一S2n,.为等差数列，公差为n2d.
4.等比数列的通项公式
(1)an=a4g-1;
（2)an=amg”-m;
(3)an=cq"
5.等比数列的前n项和
na1,g=1,
na1,9=1,
na1,q=1,
(1)Sn=
a1一a
(2)Sn=
,9≠1.
a(1-q）
1-q
1-q
q≠1.
3)s={A1-q）q≠1
6.等比数列简单性质
(1)等比数列中，若p十q=m+n,则有apag=aman,若2m=p十q,则有an=apag:
(2)等比数列中，Sn,Sn-Sn,Sn-S2m仍为等比数列.
7.题型型归纳
【题型一】等差数列函数最值
【题型二】等比数列函数最值
【题型三】添拆项裂项放缩函数最值
【题型四】添拆项放缩成等差数列函数最值
【题型五】添拆项放缩成等比数列函数最值
【题型六】利用导数研究数列“性质”
【题型七】幂型升次裂项放缩最值
【题型八】糖水不等式放缩最值
119
【题型一】等差数列函数最值
例1.（多选）数列{a}的通项为a,=31卫，它的前n项和为S,前n项积为T,则下列说法正确的
13
是()
A.数列{an}是递减数列
B.当n=30或者n=31时，Sn有最大值
C.当n=17或者n=18时，T有最大值
D.Sn和T都没有最小值
例2.（多选）设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是（)
A.若d<0,则S1是数列{Sn}的最大项
B.若数列{Sn}有最小项，则d>0
C.若数列{S}是递减数列，则对任意的：n∈W,均有Sn<0
D.若对任意的n∈N,均有Sm>0,则数列{Sn}是递增数列
例3.（多远）设d,Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S。=S2,则下列论断中正确的有
()
A当n=9时，Sn取最大值
B.当n=18时，Sn=0
C.当d>0时，a6十a4z<0
D.当d<0时，la6l>a2
120第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此…d+d++止=2-合)+分-)+
an
所以会=1-是n≥2，即-=
(分-n+力=21-n+）
-2(n≥2)，所以Tn-T-1=2(n≥2).
例20.【答案1(0a=2-2)号1-2）
当n=1时，a=公所以六=1-会解得公=3，
故{T}是以3为首项，2为公差的等差数列.
【详解】(1)解：因为Sn=2an-1,当九=1时S=2a
(2)由(1)可知，T=3+(九-1)×2=2m+1,
-1,解得a=1,
当n≥2时Sa-1=2an-1-1,所以Sn-Sn-1=2an-1
所以6=(-经产=(-1
2+品+=(-八(2n++n+s
4n+4
-(2an-1-1),即an=2an-2an-1,
所以an=2a-1,所以{an}是以1为首项，2为公比
的等比数列，所以an=2m-1.
所以3=-（号+）+（号+）-（停+局）+
2n-1
1
2由()可得6.=2-)-2-可
号+n+3=2n+g
1
4n
站》
例23.【答案】BCD
所以公=2)+站1)
【详解】对A,由ant2=an+1十an知，{an}的前10项
依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，
其中，第一二项相等，不满足递增性，故A错误；
=22+六+…+
1
1
对B,根据递推公式an=an-1十an-2,得an十am=
=1-
am-2十am-l十an=an-2十an+1(n≥3)，故B正确；
对C,a1=2a
例21.【答案】(1)见解析(2)=2-2
ai=an (as-an)=an"as-ae"an'
+1
as=as'(as-az)=as'as-as'az,
【详解1()由S.=na+得：当n≥2时，S
2
=(m-1(a+a-
a222=a202m*(a2023-a221）=a2022*a202s-2022'a2021'
2
丝
ai+a5+…a2=a202ae02s,即∑a=a22'a2023
两式子相减得(m-2)an=一a1+(n-1)a-①，因
1
此可得(n-1)an+1=-a十nan②，
故C正确；
①②相减得：(2m-2)a=(n-1)am+1
对D,由递推式，得ag-Q2=a1,a4一as=a2,…,
+(饥-1)an-1由于n-1>0,所以20n=at1
02023-2022=a2021,
+an-1'
累加得g-2十a4一9十十2023-a2022=a十a2十…
所以{an}是等差数列；
十a2021'
(2)由(1)知{an}是等差数列，=1，=2，所以
.a223-a2=a1十a2十十a2021)
.a1十a2十十a2021=a2023-a2=a2023-1,
an=n
2“(1-a2=2"(1-0）=2-2t
因此bn=
即∑a=a02s-1,故D正确；
ananti n(n+1)nn+1'
所以T=(供-》+（-》
故选：BCD.
十
例24.【答案】B
【详解】由a+an十1=3an+1(n∈N)可得：a品+an
4n
-2=3an+1-3,
例22.【答案】(1)证明见解析（②）-12元+g
即(an+2)(an-1)=3(au+1-1)
【详架10)由愿流得器=4≥到，又士=1
两边同时取倒数得：。1，
99

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