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第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第14讲
数列通项与数列前项和
一·、知识点
1.数列求通项
(1)“等差型”：an+1一an=f(m)
(2)“等比型”：n+1=f(n)
(3)“等和型”：an+十an=f(n)
(4)“等积型”：an+'an=f(n)
(5)“构造法”：an+=can+f(n)
(6)“不动点”：a+1=
a"an十b
c·an十d
2.数列求和
(1)裂项相消法求和
(2)错位相减法求和
3.题型型归纳
【题型一】“等差型”累加法
【题型二】“等比型”累积法
【题型三】“等和型”奇偶讨论法
【题型四】“等积型”奇偶讨论法
【题型五】周期数列型递推
【题型六】构造法
【题型七】分式型求递推
【题型八】Sn与an型：消Sm型
【题型九】S.与a型：消a型
【题型十】幂型裂项相消求和
【题型十一】指数型裂项相消
【题型十二】等差指数混合型裂项
【题型十三】裂和型裂项相消
【题型十四】高级裂项与求和
【题型十五】错位相减型求和
109
【题型一】“等差型”累加法
例1.已知数列{an}中，已知=2，an+1-an=2m,则asn等于（)
A.2451
B.2452
C.2449
D.2450
例2.已知数列{an}满足a =2，an+1一a=2”,则ag=（)
A.510
B.512
C.1022
D.1024
3.在数列a}中，=2，行=只+h(+》则a=（）
A.as
B.2+(n-1)lnn C.1+n+Inn
D.2n+nlnn
【题型二】“等比型”累积法
例4.已知数列{a}满足a=分，2(n-1)a,a1=0.求数列{a}的通项公式；
110
例5.已知数列{a,}满足a1,a=a+分+号4++nn1n>1.数列a}的通项公式
【题型三】“等和型”奇偶讨论法
例6.（多选）已知数列{an}的前九项和为Sn,且a=1,an+1+am=2m则()
A.S6=18
Jn,n为奇数
B.am={n-l,n为偶数
C.数列{a}为等差数列
D.n为奇数时，S.=n+n,1
2
【题型四】“等积型”奇偶讨论法
例7.（多选)已知数列{a},a1=1,aan+=2(n∈N),{an}的前n项的和为Sn,前n项的积为T,
则下列结论正确的是()
A.as=2
B.Ontl =4
C、Sn=2-1
D.T=2n(9n-1)
am-】
111
【题型五】周期数列型递推
例8.已知数列{a}满足a4=2,at=十g,(n∈N,则ara…ww00产一
例9.已知数列{a}满足a.=nos号，b。=a+a+1则数列{b}的前50项和为()
A.48
B.-48
C.52
D.-52
【题型六】构造法
例10.己知数列{a,}满足a4=2,a=2a--1(n≥2，neN),则a,=
112则oi=d+6
+3=0的距离减去半径1，
2:
由（它-）(2-à-)=0得，(-)：
所以P@=卫-2+3
√2
-1=√2-1，
(&-8+3)=0:
所以+M的最小值为2√2-2，
2
故选：A
e-1(e-+)月
例25.【答案】√19
作OC=,连接AC,CD,则AC=&-d,D心=
【解析】结合数量积的运算律，可根据方-2=4
-a+6
求得à方=1，进而得到<à，>=哥；令à=
2；
(1,0),=(1,√3)，设=(c,),根据数量积的坐
∴.AC⊥DC;
标运算可求得点(c,y)满足的轨迹方程，将问题转
.C点在以AD为直径的圆上；
化为直线x+√3y-4=0上的点P到A(-1,0)
.当C运动到圆的最右侧时，OC在O店上的投影
和B(1,0)的距离之和；通过作出点A关于直线x
最大，即最大；
+√3y一4=0的对称点AX,可知所求最小值为
又OG=OA·
|AB;利用点关于直线对称点的求法求得A'坐标
后，即可利用两点间距离公式得到结果，
GB=2-司
【详解1~6-2==2，=1,6-2=
=是
-4城方+4=8-4à3=4，
又△BEH
解得：a.b=1,即2cos=1,即=
△BAG,且AE=AB,
5,
所以G=B=×=，
不妨令a=(1,0),=(1,W3),设在=(c,y),
则（在-）·i=-=心+3y-4=0,
所以O心在O丽上的最大投影为受+冬+9-
4
:E+=√e+1)2+,-=
7+2W3
8
√红-1)+，
所以(-)x=7+28×2=7+23
则++尼-的几何意义为：直线x+V3y-
8
4
故答案为：7+2W3
4=0上的点P到A(-1,0)和B(1,0)的距离之和，
4
即IPAL+PB:
例24.【答案】A
作出点A关于直线龙+√y-4=0的对称点A,
【解析】设MN的中点为E,则M姬+M=
y
2P可，则由题意可得点E在以C(1,2)为圆心，1
x+3y40
为半径的圆上，从而可得P面的最小值即为圆心
C(1,2)到直线x-y+3=0的距离减去半径1，进
P
而可求得答案
【详解】
由x2+2-2x-4y=0,得(x-1)2+(y-2)2=5,所
0
以圆心C(1,2),半径r=√5，
设MN的中点为E,则N2+=2P,
因为MN=4,半径r=√5，
所以|CE=5-4=1,
所以点E在以C(1,2)为圆心，1为半径的圆上，
PAI=PAl,:PA+PBI=PA+PBI
所以P可的最小值即为圆心C(1,2)到直线x一y
AB(当且仅当A,P,B三点共线时取等号)，
94

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