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第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第17讲
空间几何体动点轨迹问题
一、知识点
1.空间中的平行关系：
(1)线∥线
①线∥线→线∥线，a∥b,b∥c→aHc:
②线∥面→线∥线，aH&,aCB,anB=b→aHb:
③面∥面→线∥线，a∥B,yna=ay∩B=b→a∥b:
④同垂直于一个平面的两条直线平行，a⊥a,b⊥&→a∥b
(2)线∥面
①线∥线→线∥面，a∥b,a,bCa→a∥u:
②面∥面→线∥面，a∥B,aCa→a∥B
(3)面∥面
①线∥面→面H面，aHB,b∥B,a∩b=P,aCa,bCa→a∥B
②同垂直于一条直线的两个平面平行，a⊥a,a⊥B→a∥B
2.空间中的垂直关系
(1)线⊥线
①共面垂直
②线⊥面→线⊥线，a⊥&，bCc→a⊥b
③面⊥面→线⊥线，a⊥B,a∩B=l,aC,bCB,a⊥U,b⊥l→a⊥b
(2)线⊥面
①线⊥线→线⊥面，l⊥a,l⊥b,aCa,bCa,a∩b=P→l⊥a
②面⊥面→线⊥面，a⊥B,a∩B=l,aCa,a⊥l→a⊥B
③a∥b,b⊥a→a⊥a
④l⊥a,aHB→l⊥B
(3)面⊥面
①线⊥面→面⊥面，a⊥&，aCB→&⊥B
3.题型型归纳
【题型一】线线、线面恒定平行求轨迹
【题型二】线线、线面恒定垂直求轨迹
【题型三】翻折中的轨迹
【题型四】角度恒定求轨迹
【题型五】阿波罗尼斯圆与球（线段定比）
【题型六】定长求轨迹
【题型七】综合
135
【题型一】线线、线面恒定平行求轨迹
例1.己知棱长为1的正方体ABCD-AB,CD,M是BB,的中点，动点P在正方体内部或表面上，且
MP∥平面ABD,则动点P的轨迹所形成区域的面积是()
A号
B.√2
C.1
D.2
例2.如图，三棱柱ABC-A1BC中，AB=4,AC=3,BC=5,AA1=6,D为CC1中点，E为BB1上
点，BB=3B范，∠A1AC=60°，M为平面AACC上一点，且BM∥平面ADB,则点M的轨迹的长
度为()
B
D
A.1
B.√2
0.√3
D.2
例3.已知正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为3，点M满足CC=3CM.若在正方形A1B1C1D1内有
一动点P满足BP∥平面AMD,则动点P的轨迹长为（)
A.3
B.√10
C.v13
D.3V2
例4.在棱长为1的正方体ABCD-A,BC,D中，点E、F分别是棱BC,CC的中点，P是侧面ADD1
A1上的动点.且PC∥平面AEF,则点P的轨迹长为·点P到直线AF的距离的最小值为
136△DDE△DAP,
2×V5-(受y=多
可知∠EDD=∠PDA,而∠PDA十∠PDD=
90°，所以∠EDD+∠PDD=90°，
所以平面Q截正方体所得的截面面积为
2
即PD1DE.
因为CD∩PD=D,所以DE⊥平面PDC,而
放答案为：号
CPc平面PDC,所以DE⊥CP.
E为AD中点，F为AB中点，
C
由正方形和正方体性质可知F⊥AC,PA⊥
EF,且PA∩AC=A,
所以EF⊥平面PAC,而CPC平面PAC,所以
EF⊥CP.
D
又因为DE⊥CP,DE∩EF=E,所以CP⊥平
面EFBD1,
即四边形EFBD1为平面α与正方体ABCD-A1
BCD1的截面，
例13.【答案】A
正方体ABCD-A1B,CD1棱长为1，所以所得截
【分析】如图，O,是A在底面的射影，求出底面外
面的周长1=受+2+后=y2十5.
接圆的半径和几何体外接球的半径，利用余弦定
2
故答案为：V5+32
理求出O,E=1,当截面垂直于OE时，截面面积最
2
小，求出截面圆的半径即得解
例12【答案】号
【详解】解：如图，O是A在底面的射影，由正弦定
理得，△B0D的外接圆半径n产n0×号
1
【分析】如图，以D为原点，DA,DC,DD,所在的直
线分别为x,,z轴，建立空间直角坐标系，设平面
W3
a分别交CD,CC于E,F,设E(0,m,0),F(0,2,m),
则利用垂直关系可求出m,n的值，从而可确定出
E,F的位置，从而可求出截面面积
【详解】如图，以D为原点，DA,DC,DD所在的直
线分别为c,,z轴，建立空间直角坐标系，则
B(2,2,0),C0,2,0),P(1,0,2),
所以C7=(1,-2,2),
设平面a分别交CD,C℃于E,F,设E(0,m,0),F
由勾股定理得棱锥
(0,2,n),
的高AO=√(2W3)2-√32=3；设球0的半径为
所以B2=(-2,m-2,0),BF=(-2,0,n),
R,则R=(3-R)2+v32,解得R=2,所以OO1=
因为CP⊥a,BE,BFC&,
1;在△BOE中，由余弦定理得O1E2=1+3-2×
所以CP⊥BE,CP⊥BF,
所以C.B2=-2-2(m-2)=0,C乎.B=-2
1×3×=1,
2
+2n=0,
所以OE=1;所以在△OE01中，OE=√2；
解得m=1,n=1,
当截面垂直于OE时，截面面积最小，此时半径为
所以E(0,1,0),F(0,2,1),
√R-OE=√2，截面面积为2π.故选：A
所以E,F分别为DC,CC的中点，
例14.【答案】B
所以平面α截正方体所得的截面为△BEF
【分析】
所以BF=BE=√1+22=√5，EF=√+12=
设面ABC所截的截面圆的圆心为O,外接球的球
√2，
心为O,则O为BC的中点，且OO⊥平面ABC,
所以S=·EF·√(BE2-(F=×
根据题中条件，求得各个边长，即可求得与OD垂

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