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第22讲
解析几何双曲线性质综合
一、知识点
1.双曲线及其标准方程：
(1)定义：平面内与两定点E,的距离之差的绝对值等于常数2a(0<2a<|到)的点的轨迹叫做
双曲线，即点集M={PlPl-|Pl|=2a,0<2a<|}:
(2)双曲线的标准方程：
①焦点在z轴上：专-
62
=1(a>0,b>0);
②焦点在y轴上：兰-票-1a>0,6>0叭，
2.双曲线的几何性质
已知双曲线方程为三-蒂=10>0,6>0)则有以下性质：
(1)范围：x≥a,y∈R;
(2)对称性：对称轴方程为x=0,y=0,对称中心为O(0,0):
(3)顶点：A(-a,0),A2(a,0),实轴长为2a,虚轴长为2b;
(4)焦点和焦距：焦点(-c,0),(c,0);焦距2c;
(5)渐近线方程：y=±名x;(6)离心率：e=合，(T)焦渐距：b
3.焦点三角形面积结论
(1)焦点三角形面积：双曲线若-多-=1焦点为R、及，P为双指线上的点，∠KPF=a,则5P8
b=clypl;
tan 2
(2)椭圆双曲线共焦点三角形：椭圆和双曲线有公共焦点，记∠FP=α时，则
sin2 d cos 2 =1.
十
e
Te
4.题型归纳
【题型一】第一定义与轨迹
【题型二】第一定义与最值
【题型三】第二定义
【题型四】焦点弦与余弦定理
【题型五】焦点三角形面积
【题型六】第三定义与中点弦
【题型七】焦渐距
【题型八】双曲线渐近线与离心率
【题型九】综合
181
【题型一】第一定义与轨迹
例1.己知圆C:(c+3)+y2=4及点A(3,0),Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M,则动
点M的轨迹方程为一
例2.设乃，乃是双曲线x2一=4的两个焦点，P是双曲线上任意一点，过作∠乃P乃平分线的垂线，垂
足为M,则点M到直线x+y-2W瓦=0的距离的最大值是()
A.4
B.5
C.6
D.3
例3.已知定点P(m,0),动点Q在圆O:x2+y=16上，PQ的垂直平分线交直线OQ于M点，若动点M
的轨迹是双曲线，则m的值可以是()
A.2
B.3
C.4
D.5
【题型二】第一定义与最值
例解设P是双曲线号-需=1上一点，M,N分别是两圆e-5P+=4和(e+5P+=1上的点，则
|PM-PNW的最大值为()
A.6
B.9
C.12
D.14
182
例5.已知双曲线C苦-兰=16>0)的左，右焦点分别为R,,点M在C的左支上，过点M作C的一
条渐近线的垂线，垂足为N,若M+MN|的最小值为9，则该双曲线的离心率为()
A.√2
B.V3
c多
D号
【题型三】第二定义
/例6.若点P为双曲线C:二-=1(@，6>0)上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到
直线工=二的距离之比为离心率 ，若C的右支上存在点Q,使得Q到左焦点的距离等于它到直线
=。的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是
【题型四】焦点弦与余弦定理
例7如图所示，月，马是双曲线C若-茶=1Q>0,6>0)的左右焦点，双鱼线C的右支上存在一点B
满足BR⊥B,BR与双曲线C的左支的交点A平分线段BR,则双曲线C的离心率为()
B
F2
A.3
B.2w3
C.W13
D.√15
183第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此故点B的锁迹C的方程为兰+苦-1g≠0，
【解析】设M(co,o)
(1)由|M引=3引MMf,得a+eo=3(a-e),即2
例5.【答案】4w2
+3
【解析】设F为椭圆右焦点，由椭圆的定义可知，
。-32-,解得4=2号，代入置
4
|PF+PF|=2a=6w2,
+广1，得%=士.所以M点的坐标是(2，
所以|PA+|PF=PA+6W2-|PF=6w2-
(PF-PA).
(2)若∠FMF2为钝角，由余弦定理知，|M|2
要求PA+PF的最小值，也就是求PF
+ME2-FE2<0,即(a+e)2+(a-ex)2-4c2
PA的最大值.如图示：
<0,即(2+)'+(2-9-4×3<0，解
得-<，<
3
31
例8【答案】号
【解析】xA十xa十cc=3,
FA=a-exA FB=a-exe:FC=a-exc,
FA+FB+FCl=3a-e(xA+ZB+Zc)=2.
9
而当P,A,F共线(A在中间)时，PF\-PA最
大，此时
例9.【答案】B
PF|-|PA=AF=√22+22=2w/2,所以|PA
+|PF=6W2-2W2=4v2.
【详解】由sin/PF风
PgF,得-
sin∠PEE=PA_
P
所以|PA+PF的最小值为4w2.
sin/PFF PE2a-PR
,得P=
故答案为：4v2
2ac
a+c
例6.【答案】A
又1Pl∈(a-c,a+c),则a-c<2aca十c
【解析】根据题意作出如图所示的图象，其中、
C,
是椭圆的左，右焦点，在△PM中可得：
a2-c2<2ac<(a+c)2,即e2+2e-1>0,
IPFl-1≤|PM|≤Pl+1①，
又e∈(0,1)，∴.e∈(W2-1,1)
故选：B.
例0【答案】（受]
【详解】由题意，因为线段乃为直径的圆与椭圆
C在第一象限相交于点A.
故半径O>b,即c>b,且∠RA=90°，
又离心率8=%=A干A调
FE
当且仅当P、M、三点共线时，等号成立，
VAFPAF
在△PNE中可得：P到-2≤PN|≤P网+2
AF+AF
②，
VA+A-2A·A
AF+AR
当且仅当P、N、及三点共线时，等号成立，
2A·A
由①+②得：P+|P-3≤lPM|+|PW
(A+A)2
1Pl+P+3,
1
由相图方程若+若=1可得：2=25，即6=5，
AFAF
AR
+2
由椭圆定义可得：Pl+P=2a=10,
因为|A≤2A,结合题意有1<
所以，7≤PM川+|PW≤13.
A到≤2，设
A
故选：A.
lA=t,则=
A
一？，易得对勾函
a
t+1+2
例7答案10(2，±5)2)-45<
3
3
161

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