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第23讲
解析几何抛物线性质综合
一、刻识点
1.抛物线：
(1)定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物
线；
(2)抛物线的标准方程及焦点位置：
①焦点在x轴正半轴：=2px(p>0),焦点坐标（号，0）：
②焦点在x轴负半轴：=-2px(p>0),焦点坐标(-号，0)：
焦点在y轴正半轴：x=2pyp>0),焦点坐标(0，)：
④焦点在y轴负半轴：x2=-2y(p>0),焦点坐标(0，-)
2.几何性质
y=2px(p>0),过点F的直线与抛物线交于A(11)、B(x2,2)两点，A在上方，a为直线AB倾斜
角，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN⊥I,N为垂足，
(1)以AB为直径的圆与准线1相切；
(2)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；
p
A=,+号=1-cosa BF=+2=1-
2p
(4)AB|=x1十x2十p=
sin'a
(5)SaAOB-2sina
(6)设AF
BF
=则coea=
(7)设AB交准线于点P,则A
A=cos@:
BF
=cosa;
PB
(8)设BD⊥U,D为垂足，则A、O、D三点在一条直线上；
(9)h=-p,西1=
4
(10)FN⊥AB;
(11)NA(或NB)与抛物线相切；
3.题型归纳
【题型一】抛物线定义与最值
【题型二】抛物线几何性质
【题型三】焦半径
【题型四】焦点弦
【题型五】中点弦
【题型六】阿基米德三角形
【题型七】定值应用
【题型八】综合
191
【题型一】抛物线定义与最值
例1.已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最
小值时，点P的坐标为(
)
A(,-1)
B.(1)
C.(1,2)
D.(1,-2)
例2.已知，点P是抛物线C:2=4z上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N,点M(3,4),则|PM
+PW的最小值是()
A.2W5-1
B.√5-1
C.w5+1
D.2W5+1
例3.已知双曲线号-兰=16>0)的右焦点到其一条渐近线的距离等于√2，抛物线y=2x(p>0)的
焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线4：4x-3g+8=0和l2:x=一3的距离之和
的最小值为()
A号
B.14
5
C.6
5
D.21
5
例4.已知抛物线C:=4x,焦点为F,点M是抛物线C上的动点，过点F作直线(a-1)x+y-2a+1=
0的垂线，垂足为P,则MF+MP的最小值为()
A.5-2
B.3-2
2
2
C.5
D.3
192第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第22讲
解析几何双曲线性质
综合
1【答案】2-誉=1
【详解】由AQ的垂直平分线交直线CQ于点M,
得|MA=MQ,圆的半径为2：
所以MC-MA‖=2迹是以C,A为焦点的双曲线，
图1
所以由题意的2a=2,2c=6,所以a=1,c=3→b2
连接MP,则IQMI={MPL,所以MP|+MO=
=c2-a2=8,
MQ+MO=OQ=4
又因为焦点在轴上，故所求方程为2兰=1
则|MP|+lMO=4>lOP\=lm
放答案为：菩=1
此时M的轨迹是以O,P为焦点的椭圆！
当P在圆上时，线段PQ的中垂线交线段OQ于圆
例2.【答案】A
心O.
【详解]双曲线的方程为菩-兰=1，可得。=8
当P在圆外时，设PQ与圆的另一交点为N,设点
H为弦NQ的中点，
→c=2W2,则(-2W2,0),(2W2,0),设
则OH LPQ,线段PQ的中点E在线段HP内，则
M(xo,o),不妨设点P在双曲线的右支上，延长
线段PQ的中垂线交线段QO的延长线于点M,如
M交P于N,则N(2x+2W2,2).
图
由题意，P=PN川，由双曲线的定义：P
-|PF=2a=4,则N=4,于是，
图2
V(2x+2W2-2W2)2+(20-0)2=4→6+y6=4,
即点M在以原点为圆心，2为半径的圆上，而圆心
连接P,则IQM=MPL,所以PI-|MfO=
(0,0)到直线x+y-2W2=0的距离为：一-2W
MQ-MO=OQ=4
√2
则lP-lMO=4=2,该直线与圆相切，则点M到该直线的距离的
此时M的轨迹是以O,P为焦点的双曲线的一支：
最大值为：2+2=4.
同理当Q在圆上运动时，还会得到{MO-P|=
故选：A.
4例3.【答案】D
所以动点M的轨迹是双曲线，则P在圆外，所以
【详解】当P在圆内时，设P2与圆的另一交点为
ml>r=4
N,设点H为弦NQ的中点，
故选：D
则OH⊥PQ,线段PQ的中点E在线段HQ内，则
例4.【答案】B
线段P2的中垂线交线段OQ于点M,如图1·
【详解因为双曲线方程为号-品=1，故心六-9
+16=25,则其焦点为(-5,0)，(5,0)，
根据题意，作图如下：
169
≥6，整理有e2-5e+6≥0，
所以e≥3或e≤2，
若Q到r=g的距离为d,则Q到左、右焦点的距
c
离分别为6d、ed,又Q在C的右支上，
所以6d-ed>0,则e<6,又e>1,
综上，双曲线的离心率的取值范围是(1,2]U
[3,6).故答案为：(1,2]U[3,6)
则PM≤P+2,当且仅当P,M,B三点共线，
例7.【答案】C
且在P,M之间时取得等号：
【详解】设|AB=A=x(c>0),由双曲线的定
PN≥P-1.当且仅当P,N,三点共线，且N
义得|Bl=2x,|B=2c-2a,A=x+2a,
由BFL BE得A2=ABP+B2,.(x+2a)2=
在P,E之间时取得等号：
则-PW1≤1-P,
x2+(2x-2a)2,
故可每|PM川-PN≤3+|P-|P=3+6=
解得x=3a,所以|Bl=6a,B=4a,
在△BEE中，由勾股定理得|2=B2+|B2
9,
∴.(2c)2=(6a)2+(4a)2,
故PM1-PN的最大值为：9.
故选：B.
整理得c2=13a2,即双曲线C的离心率e=√
例5.【答案】A
=√13，
【详解】根据双曲线的对称性，仅作一条渐近线，
故选：C.
因为双省战C号-苦=-10>0叭，
例8【答案】D
【详解】如图所示，不妨设M在左支，
.a工3，
由双曲线的定义可知，MFl-{Ml=2a=6,
MF+MN=MF+MN +6>FN+6,
当且仅当点R,M,N三点共线时，等号成立，
设右焦点为，连接M,NF,
由对称性知四边形MNR为平行四边形，
由|N=2M得FM=2M,
:海近线方程为y=名x,即c-ay=0,且R(-c,
由双曲线定义知：M-M=2a,
所以lM=2a,|M=RN=4a,
0):
因为∠MN=60°，所以∠MF=120°
此时N=C=e=b,
=
在△M中，由余弦定理得|E2=MP+|M
.AMF到+MW的最小值为b+6,
2-2M|FMcos120°，
6士6=9,6=3
即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×(-2)
所以c=√a+b=3/2
整理得c2=7a2,即a2+b2=7a2,所以b
=√6，
篱心率e=乡=√2，
被选：A.
则C的渐近线方程为y=土名=士6c
故选：D
例6【答案】11,2]U[3,6)
【详解】由题意，a+2≥6，即+c=e+e
例9.【答案】A
a、&
0c-a2e-1
【详解】设A=t七，则|A=t+2a=|B,
从而B=t+4a,进而BA=4a.
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