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第12讲
向量共线定理与奔驰定理
一、知识点
1.平面向量共线定理
已知OA=1OB+uOC,若A+4=1,则A,B,C三点共线；反之亦然。
2.等和线
平面内一组基底OA,O序及任一向量OP,OP=OA+uO(,4∈)，若点P在直线AB上或者
在平行于AB的直线上，则A+u=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的
直线称为等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时，k=1;
B
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)：
B
(3)当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，十∞)：
(4)当等和线过O点时，k=0;
(⑤)若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数：
3.奔驰定理
若O为△ABC内任一点，且aOA+BO2+yOC=d,则S&BOC:SAAOC:SAAOB=a:B:y
4.三角形四心与奔驰定理的关系及证明
(1)0是△ABC的重心：Sa0c:SOOASA0=11:1台OA+O2+OC=0.
(2)O是△ABC的内心：SaBc:SACOA:SAAOB-=a:b:c一aOA+bOi+cOC=i.
(3)O是△ABC的外心：
SAB0C:SACOA:SAOB=sin2A:sin2B:sin2C+sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.
(4)O是△ABC的垂心：
SABOo:SACOA:SA4OB=tanA:tan B:tanCtanAOA+tanBOB+tanCOC=0.
证明如下：
①O是△ABC的重心则有SaB0 SCOASAD0s=11:1台OA+O店+O元=0：
②0是△ABC的内心则有Saoc=an,SaoA=bn,Sao8=之crr为△ABC内切圆的半
径)，所以SBOC:S.cO0 SAAOB=a:b:C:
③0是△ABC的外心，Sac=号O·sin∠C0B,由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可
得∠C0B=2∠A,所以Soc=号O·sin2A=分Rsin2A(R为△ABC外接圆的半径)，同
理可得SaoA=合Rsin2B,SAAOB=合Rsin2C,所以SO8=sin2A:sin2B:sin2C
@O是△ABC的垂心，则有anA=光anB=品，所以BD:IAD=a,所以
STO+SA0G=-合1COBD:号1 COl-IADI=lBDl:AD|=tanA:tanB,同理可得SS=
tan B:tanC,SABoc:SMoc:SMAog=tanA:tan B:tanC,
5.题型归纳
【题型一】平面向量共线定理
【题型二】等和线
91第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此a,则得到周长
(2)根据SMABD+SAACD-=SaBC,得到b+c=bC,结
【详解】(1)由余弦定理得ccosB+bcosC=c×
合基本不等式求得bC≥4，进而求得DB·DC=bc
aite-b+oxatb-c
二a
-1,即可求解、
2ac
2ab
【详解】(1)在△ABD和△BCD中，可得∠BAD=
所以sinA(ccosB+bcosC)-csinB=csinC+
∠CAD,∠ADB+∠ADC=π，
bsinB,
所以sin∠BAD=sin∠CAD,sinADB=
可化为asinA-csinB=csinC+bsinB,
sinZADC,
再由正弦定理得a2-cb=c2+b2,得c2+b2-a2=
由正弦定理，得
AB
BD
-bc,
sinZADB=sin∠BAD'
所以eoA=流2-子因为AE(0,所
AC
DC
2bc
sinZADC=sinZCAD'
以A=号x
两式相除得总=咒可得BD=
(2)因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD
AB
AC
ABTAC BC,DC-ABTAC BC.
=5,
又由cOs∠ABD=cosLABC,根据余弦定理得
由8aMac-Sm+5ocn0-bcsi
2
3
2c
AB+BD-AD AB+BC AC
2AB·BD
2AB·BC
ADsin号+b~ADsin号，
所以AD-=AB+BD2-8器(AB+BC-AC9)=
得bc=b+c,
作AE⊥BC于E,
CAB+器AC2-BD(BC-BD
代入可得AD产=AH ACAR+AB AGAG2
-BD·DC
-AB-ACGG)-BDD
=AB·AC-BD·DC.
DE
(②由AD=1,A=号及3aAo+Sa0=Saa0,
则Sa4D
c·ADsin号
BD.AP
可得b+c=bc
SAACD
ADsin号
CD-AB
b
根据基本不等式得bc=b+c≥2Wbc,解得bc≥
B
4,当且仅当b=c=2时等号成立，
D0=2,
又由AD=1,AD=AB·AC-DB·DC,可得
由bc=b+c,解得
c=3
DB·DC=bc-1≥3，
1c=2b
b=
3
所以DB·DC的最小值是3，
由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bccosA=3
所以a
例12.【答案】()）A=号2)证明见解析(3)4
3
=37
21
【详解】(1)，a.cosB+b·cosA=2c·cosA,
故△ABC的周长为9+3W7
∴.sinAcosB+sinBcosA=2 sinCcosA,即sin(A
2
+B)=2sinCcosA,
例11.【答案】(1)证明见解析(2)3
.sinC=2 sinCcosA,则有cosA=号
2
【分析】(1)根据题意得到sin∠BAD=sin∠CAD,
,A∈(0，π)，
sin/ADB=sin∠ADC,由正弦定理得到
AB
BD AC
sin∠BAD'sinZAD0=
:A=哥：
2AD·两式相除得到铝=器进而得到
(2)证明：因为S4ABc=S△ABD十S△AD0,
BD=4ACBC,D0=AB4ACBC,根据
可得专AB·AC·i血BAC=方AB·AD·
余弦定理，并代入化简，即可求解.
im∠BAD+号AD-AC.in∠DAC.
78

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