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第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第11讲
解三角形范围和最值问题
一、知识点
1.中线长定理：P=2(+)-c(L为c边的中线)
2.角平分线定理：A二=(AD为△ABC的∠A的角平分线)
AC BC
3.张角定理：sin(a+2=sg+in
AD
AC
B
-(D为△ABC的BC边上的一点，记∠BAD=C,∠CAD=
B)
4.题型归纳
【题型一】最值与范围1：角与对边
【题型二】最值与范围2：角与邻边
【题型三】范围与最值3：有角无边型
【题型四】最值与范围4：边非对称型
【题型五】中线长定理
【题型五】角平分线定理
【题型六】张角定理
【题型七】解双三角形
【题型八】解四边形
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【题型一】最值与范围1：角与对边
例1.己知在△ABC中，a=2,∠A=
(1)求面积的最大值：
(2)求周长的最大值：
(3)若三角形为锐角三角形，求周长的取值范围；
(4)求b+2c的取值范围：
【题型二】最值与范围2：角与邻边
例2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知asin A十C=bsinA.
2
(1)求角B:
(2)若△ABC为锐角三角形，且c=2,求△ABC面积的取值范围.
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例3.已知△ABC为锐角三角形，角A,B,C所对边分别为a,b,c,△ABC满足：sin2A≤sinB+sin2C
-sinBsinC.
(1)求角A的取值范围：
(2)当角A取最大值时，若AB=√3，求△ABC的周长的取值范围.
【题型三】范围与最值3：有角无边型
例4.在锐角三角形△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且2sinC-inB=acos2
sinB
bcosA
(1)求A:
(2)求&的取值范围.
85
例5.记△ABc的内角AB,C的对边分别为a,bc,已知7A=平03D
sin2B
)若C=三，求B:2)求抄的最小值
【题型四】最值与范围4：边非对称型
例6.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边(a+b+c)(a+b-c)=3ab.
(1)求角C的值：
(2)若c=2,且△ABC为锐角三角形，求2a-b的范围.
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【题型五】中线长定理
例7.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=2b-2 acosC.
(1)求角A;
(2)若M为BC的中点，AM=V3,求△ABC面积的最大值，
例8.锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且。a
ccosB=tanB+tanC.
(1)求角C的大小：
(2)若边c=2,边AB的中点为D,求中线CD长的取值范围
87.bc≤2.
令f)=V6-2+V6+x(0则f'(@)=-6-2元+2W6+云
1
1
当f'(x)<0时，有-1
1
V6=2+2W6+元<0，解
得x>3,
∴f(x)在(0,2]上单调递减，
“当x=2时取得最小值，f(2)=3W2,
.a+b+c≥3W2,即AABC的周长最小值为
32.
例20.【答案】3/2
故答案为：3√2，
【解答】解：由题意知△OO2O3为等边三角形，设边
例21.【答案】C
长为m,
【解答】解：如图，
则3aoa,msin60°=9m2=9,解得Io,
D
O2l=m=√2：
设BC=a,AC=b,AB=c,如图所示：
8
设AD=DC=AC=a,由托勒密定理知，AB·a
+a.BC=a.BD,
所以AB+BC=BD=4W2,
又因为∠ABD=LACD=背，∠CBD=∠CAD
在△O1AO2中，∠O1AB=∠O,BA=30°，
等，
由∠BAC=60°，所以∠O1AO2=120°，
所以S四边形ABCD=SAABD十SABCD
在等腰A0A中，祭-部。
=AB-BD:si号+号BD.sin号
解得OA=后同理得0A=
=2AB+BC)BDsin号=83.
√3’
故选：C
在△O1AO2中，由余弦定理得O1O=O1A2+OA2
-2O1A·O3A·c0s120°，
例22.【答案】v5
即2=号+号-29(
【解答】解：设BC=t,BD=2t,∠ABD=B,
在△ABD中，由余弦定理可得
即b2+c2+bc=6,
AD2=AB2+BD2-2AB.BDcos0 =1+4t2
在△ABC中，由余弦定理知，
-4tcos0,
a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc,
在△ABC中，由余弦定理可得
.a=v√(62+c2+bc)-2bc=√6-2bc,
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos(0+90),
又：(b+c)2=b2+e2+bc+bc=6+bc,
即为5=1+t+2tsin0,
∴.b+c=w6+bc,
可得sin8=4-2
.AABC的周长为a+b+c=√6-2bc+
2t,0√6+bc,
则os0=√-4=126-正
4
2t
又，b2+c2≥2bc,
设f(t)=1+4t2-4tcos0=1+4t2-4t:
.b2+c2+bc=6≥36c,
72
W12t-16-t
2t
即为f()=1+4-2v20-(6-,0导数为∫（周=8t-2×分×2-
V12e-16-'
由”(t)=0,解得t=√2，
检验可得0t>√2时，
f(t)递增；
可得(t)的最小值为f(v2)=1+8-2W20-16
=5,
则AD的最小值为√5，
故答案为：√5.
另解：由推广的托勒密定理可得四边形ABCD
中，AC·BD≤AB·CD+AD·BC,
当且仅当四边形ABCD为圆内接四边形，取得等
号.
设BC=t,BD=2t,BD⊥BC,可得CD=√5t,
则2W5t≤W5t+ADt,
可得AD≥√5，
当且仅当四边形ABCD为圆内接四边形，AD取
得最小值√5.
故答案为：√5，
D
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