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第13讲
向量数量积常见技巧方法
一、知识点
1.平面向量数量积的坐标表示
设向量a=(11),b=(x2y2),9=(a,b）,则：
(1)a·b=1x2十y12
(2)lal=√la=a·a=√+f:
(3)lbl=√lb2=√6b=V好+：
C1C2十1y2
(4)cos8=aI间=V+f/:】
(5)a⊥b当且仅当ab=1E2十y1y2=0.
2.向量数量积恒等式
(1)极化恒等式结论：
①丽d=丽+AC--C平行四边形模式：
②A店.ACd=A2-M:(三角形模式)
③2AB+2AC=(AB+AC)2+(AB-A2(平行四边形中对角线平方和等于四边平方和)
(2)矩形结论：
①PA·PG=Pi.Pi:
(3)斯坦纳定理（对角线定理）：（适用于平面向量也适用于空间向量）
@AC·D=AD+BC-(AF+cD
②cos(AC,BD)=
(AD+BC-(AB+CD
(空间翻折)：
2AC BD
3.题型型归纳
【题型一】平面向量数量积
【题型二】极化恒等式
【题型三】矩形向量结论
【题型四】斯坦纳定理
【题型五】建系
【题型六】几何意义
99
【题型一】平面向量数量积
例1.（多选)设a,,是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（)
A.若a+=a-,则à上
B.若|=，则（à+）⊥(a-
C.若ad=b·,则d-不与垂直
D.(6)a-(a·不与&垂直
例2.（多选）已知向量d,满足位+2动=，3à+=这-，且=2，则(）
A.M=2
B.a+6=0
C.la-2=4
D.a.6=-4
例3.（多选）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定
理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，己知圆O的半径为2，点P是
圆O内的定点，且OP=√2，弦AC,BD均过点P,则下列说法正确的是（)
0
A.PA·Pd为定值
B.OA·O乙的取值范围是[-2,0]
C.当AC⊥BD时，AB.C元为定值
D.AC⊥BD时，ACB的最大值为12
100
例4.（多选）如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成(8≠)角的两条数轴，、可分别是与x,y轴正
方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为0斜坐标系，若O=x +y,则把有序数对(x,
)叫做向量O的斜坐标，记为O=(红)，在0=晋的斜坐标系中，立=（分，），6=
(3,一1).则下列结论中，错误的是（)
y
A.a-i=(侵-3,9+)
B.|=1
C.aLB
D,方在在上的投影向量为(2W2+V月26+3
5
5
【题型二】极化恒等式
例5.四边形ABCD为菱形，∠BAC=30°，AB=6,P是菱形ABCD所在平面的任意一点，则PA·
PG的最小值为一
例6.如图，在△ABC中，D是BC的中点，B,F是AD上的两个三等分点、BACA=4,B.C丽=
-1,则B亟C死的值为一·
101第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此=cos∠BcosZOsin∠A:
在△ABC中，cosA=AB+AC-BC=
cos∠Acos∠Csin∠B:
2AB·AC
cos∠Acos∠Bsin∠C
2头8-分则s咖A=-c万=4g5,
9
=sin∠A.sinB.sinLC
cosLA'cos/B'cosLC
BC=2R=2A0,
sin
=tan∠A:tan∠B:tanZC
如图，D、E、F分别为垂足，
所以
2x4⑤
=9P+92+23×3×号，易知
设AF=m,tan∠A=3t(t>0),则F℃=3mt,BF
9
=是m,AB=不m,AC=9r+1m
>0,所以1=20，
9
又AE:EC=,BE、BE
tan∠A'tanZG=5:3,放AB=
所以A+A=品放C正确，
号AC,BB=3~AB=gAC,
对于D选项，垂心为高线交点，设BE⊥AC,垂足
为边AC上点E,则B,E,O共线，
由AB-F0=AC-BEe子m-3mt=
由C选项，因为Ad=1A正+uAC,A=4,
(9e+1mn,解得t=写
所以A0·AC=A(Oi-OA·Ad+AC,
51
因为OB⊥AC,则A6·AG=-AOA·AG+1AC
由tan2LC=
c0S2万一1=5→cos∠C=68效
1
2,即(1-)A6·Ad=A,
c∠A0B=-0s∠C-5,D对故选：ACD
因为A0=A应+⑦，所以(1-)(A应+Ed):
AC=AC,即(1-)A应.AC=1AC,
例22.【答案】ACD
因为SAac=AB:AC.sinA=-分AC-BE,所以
【解析】对于A选项，重心为中线交点，则OA+
OB+Od=i,即Ad=Oi+Od
BE=4V5
因为A0=1AB+LAC=1(O克-OA+
所以AB=√AB-B驱=√32-(=号，
-OA),
--20丽+1--0元，
则0=1-1-4
所以(1-)×号×3=A×3,解得A=0,
所以1-4=11-41，
入
所以+u=
号，故D正确：
故选：ACD
所以+4=号放A正确；
例23.【答案】ABC
对于B选项，内心为角平分线交点，则BC·OA+
【解析】有题意可知：OA=OB=OC=1.
AC.OB+AB.OC=0,
对于A:20A+30B+40d=0→20A=-30B
即40+30丽+30d=0,所以A0=0应+
-400,
00,
两边同时平方得到：4OA=9O}+16od
+2402.0d.
=3
由A选项，则1-元=2=子？1-A-:=4
解得O亦0心=-名，放A正确，
所以1+以=号故B箱误：
对于B:20A+30B+40d=i→20A-20=
对于C选项，外心为垂直平分线交点，即△ABC的
-50B-400→2AB=50B+400,
外接圆圆心，
两边再平方得到：4A}2=25O+16oC
因为AB=AC=3,设D为边BC的中点，
+400B.00,
所以A西=是（店+AC),Ad/历，
结合A可得：到=.所以B正确，
所以入=4，
对于C:20A+30B+40C=0→3B6=20A+
因为A己=AB+4AC,所以Ad=A+2AC
40G.
2+22AB.Ad,
两边平方得到：9Bd2=4OA+16OC2
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