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第10讲
三角恒等变换及解三角形
一、知识点
1.正弦定理：s品A=品B=C=2R(R为外接圆半径)
2.余弦定理：
(1)c2=a2+62-2abcosC
COSA=8'+c2-a2
26c
(2)b2=a2+c2-2accosB
cosB=a'tc2-b2
2ac
(3)a2=b2+c2-2bccosA
cosC=a2+62-c2
2ab
3.射影定理：a=bcosC+ccosB
4.三角形面积公式：
(1)S=2ah:
(2)S=号absinC=-2 bein=号
2casinB:
(3)S=号r(a+b+c)(箕中r为内切圆半径)：
(4)S=/p(p-a)(p-6)p-c)(p=j(a+b+c))
(5)正切面积公式：S=寻(a2+b-)tanC
5.S=之lz-xl(其中A2=(r),AC=(,)
6.正切恒等式：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
7.三角平方差公式：sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B)
例8.题型归纳
【题型一】正弦定理
【题型二】余弦定理
【题型三】射影定理
【题型四】面积公式
【题型五】正切恒等式
【题型六】三角形平方差公式
【题型七】三角形中的倍角关系
【题型八】两边夹问题
【题型九】费马点
【题型十】拿破仑三角形
【题型十一】托勒密定理及托勒密不等式
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【题型一】正弦定理
例1.（多选）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列命题中，正确的是（)
A.在△ABC中，若sinA=sinB,则A=B
B.在△ABC中，若BC=√5，sinC=2sinA,则AB=2W5
C.在△ABC中，若sin2A=sin2B,则a=b
D.在△ABC中，=nB+SnC
6+c
例2.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列条件中只有一解的选项是（)
A.a=14,b=7,B=305
B.a=10,b=9,B=609
C.a=10,b=11,B=60°
1
D.a=1,c=z,C=40°
【题型二】余弦定理
例3.在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-√2bc且bcosC=asin B,则
△ABC是（)
A.等腰直角三角形B.等边三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
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【题型三】射影定理
例4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2+b2=c2+absinC,且asin BcosC+
csin BeA=6,则anA等于()
A.3
B.-3
c.3或-号
D.-3或号
【题型四】面积公式
例5.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求
积”，它填补了我国传统数学的一个空白·如果把这个方法写成公式，就是S=
Vc02-(牛g门，其中a,b,c是三角形的三边，3是三角形的面积.设某三角形的三边
a=W2,b=W5,c=2,则该三角形的面积S=
例6.如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上，AC=2.点P为线段CB上任意一点，点A绕着点
C顺时针旋转，点B绕着点P逆时针旋转.若它们恰重合于点D,则△CDP的面积的最大值为
D
8第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此所以f(=33sim(@号+p=3,
∴0=号(1+4)或w=号3+4，k∈Z
所以g+p=受+优∈Z列，p=受-警+x
f在[竖吕]上单调递减，∴x-竖
12
(∈Z),
因为于任意的如∈R都有f(仁若+)+
-晋-)=0，所以(-吾+)=-f-看-，
.2今w
所以sin[(x-)w+]
≤2
-sim[-w(e+若)+9]，
①当w=
所以sin(ar-答+p）=si如n(or+答-9)小，
号(1+
4)时，取
所以wr-答+p=ur+答-9+2k(∈2)
k=0知仙=号
或ar-答+p+r+答-p=(∈2列，
此时fa)=im(号x+),当[竖，竖]时，
所以p=答+k(,e2)或2a=seZ列，
号x+需∈[受]满足(a)在[8]上
即z=密e2列（合去）.所以g=贤+re
单调递减，ω=
符合
2),
因为p=受-受+kk∈Z列，所以受-答+购
取k=1时，如=2，此时f()=sin(2x+),当x
x=答+&ke列，即u-=1+2-,
e[竖]时，2x+号∈（受）满足()
令t=k1-k2,所以w=1+2t(t∈Z),f(x)在
在[竖品]上单调递减，@=2符台
(需告)上单词，
当k≤-1时，0<0，舍去，当k≥2时，0>2也舍
去
所以登≤号=吾所以u≤2，而0=-1+2∈
②当0=号3+4树时，取k=0知0=号
2),
当u=11,9=-否，所以fm=3sin(1ux-看)，函
此时fa)=m(骨r+》,当[竖竖]时，
数在（需牙）不单调，合去：
g+∈[竖器，此时)在[品]上
单调递增，舍去
当u=9,0=受+mk∈2列，舍去；
当k≤-1时，w<0,舍去，当k≥1时，w>2也舍
当ω=7,9=吾，所以f(m)=3sin(7x+),函数
去
在（需资）不单调，舍去：
综上：仙=号或2,8=号+2=号
故选：A
当ω=5,9=-看，所以f(e)=3sin(5x-晋)，函
例21.【答案】7
数在（船哥）单调，
【详解】：f(回)≤（儿直线x=晋为f()图
所以ω的最大值为5.
象的对称轴
故答案为：5.
:f()+f(g-)=0,∴f(知)的对称中心为
例20.【答案】A
【解折】由题意知：受x+看=子+？或竖+
(学0)，
12
吾=婴+灯，k∈z
1+T=答-晋=登keN,
4
2π
“鲁x=(会+妥或要=（是+
I=纤=keN,
u=2k+1,k∈N.
66

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