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第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第09讲
三角函数中w的问题处理
一、知识点
1.正弦函数的图像
正弦函数五点法作图：五个点(0.0，（受，），(，0)，(，0），(2元，0)，
2.正弦函数的性质
(1)定义域：c∈R
(2)值域：y∈[-1,1]
(3)解析式：y=sin
(4)单调性：单增区间：[-受+2kx,受+2x],(k∈Z):单减区间：[受+2kx,3经+2kx],(k∈Z).
(5)奇偶性：奇函数
(6)周期性：T=2π（最小正周期）
(7)对称轴：x=+否(k∈2)
(8)对称中心：(kx,0)(k∈Z)
3.余弦函数的性质
(1)定义域：x∈R
(2)值域：ye[-1,1]
(3)解析式：y=cosx
(4)单调性：单增区间：[-π+2kπ，2kr],(k∈Z);单减区间：[2kx,元+2kx],(k∈Z).
(5)奇偶性：偶函数
(6)周期性：T=2π（最小正周期）
(7)对称轴：x=kπ(k∈Z)
(8)对称中心：(m+,0)(keZ)
4.正切函数的性质
(1)定义域：{le≠受+标ke2)
(2)值域：y∈R
(3)解析式y=tanc
(4)单调性：单增区间：(-受+i,号+，(k∈2)：单减区间：无
(5)奇偶性：奇函数
(6)周期性：T=π（最小正周期）
(7)对称轴：无
(8)对称中心：（签0）k∈2)
5.题型归纳
【题型一】只有单调性求ω
【题型二】对称轴和对称中心求ω
题型三：极（最）值点求ω
【题型四】多结果分析型求w
【题型五】对称轴分界综合型求ω
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【题型一】只有单调性求ω
例1.己知函数f()=sin(oc+2p)-2 sin(oc+p)(o>0,p∈R)在(x,经)上单调递增，则m的取值范围
是()
A.(0,]
B.[33]
c[,]
D.(0,号]u[]
例2.设w>0,若函数fa)=2 sin在[-子]上单调递增，则u的取值范围是
例3.已知函数f(a)=20os(ar-3)(m>0,u∈z)在区间（号答）内单调，在区间(0，)内不单调，则ω的值
为一
例4.已知函数f四)=2sin@r(如>0)在区间[-受]上是增函数，且在区间[0，x]上存在唯一的o使得f(aW
=2,则ω的取值不可能为（)
A青
B号
c号
D.1
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【题型二】对称轴和对称中心求仙
例5.已知向量=(sinm,co0m),6=(1,-1),函数f)=a·6,且u>受x∈R,若f(m)的任何一条对称轴与x
轴交点的横坐标都不属于区间(3π，4π)，则ω的取值范围是()
A[]u[器]
B.[3]u[贵]
c.(分五]u[贵]
D.(分]u[贵]
例6.已知函数f(x)=sinx+co3wx(u>0),x∈R,若函数f孔x)在区间(-w,ω)内单调递增，且函数f(x)的图象
关于直线x=ω对称，则下列命题正确的是()
A.f(@)=1
B.f(-w)=-√2
C.f(x+ω)+f(x-0)=2
D.f(x+2元)=fx)
例7.已知函数f(x)=Asin(oc+),且f(号+=-f(号-)f(+=f(后-)，则实数w的值可能是
()
A.2
B.3
C.4
D.5
例8.函数f()=asinwx+bcosw=Asin(wx+p)(a,b∈R,A>0,ω>0，lp<)的-个对称中心为(-石，0)，
且代)的一条对称轴为：=看，当o取得最小值时，。=（)
A.1
B.√3
c
D
8所以f(x)的最大值为sinl+1,故C正确：
(受，受）上单调递增：
对于D,f(%）-f()=in1+os1-1=
V②sin1+牙)-1>V2in证-1=0，又函数连
解g<0,可得-1续，故D错误；故选：BC
所以g)在[-1，-2）上单调递减，在(，1
上单调递减.
例16.【答案】BC
【详解】对于A项，由已知可得，五(2c)=sin2x+
且g(-)=-82+万=-竖，g(竖)
cos2z=V2sin(2x+零)，
￥2x(2)-x(要=-1，
因为0≤红≤x,所以牙≤2红+吾≤誓，
g(号)=2×要-×（要°=1,91）=
当2x+至=x或2x+吾=2x时，即z=或x
-顶=竖
=时，有(24)=0，
2
所以(2x)在区间[0，π]上有2个零点，故A项错
所以，当：=要时，9同有最小值-1：当
误；
兰时，g因有最大值1
对于B项，将函数y=√2cos2x图象上的所有点向
所以，(x)的值域为[-1,1]，故D项错误.
右平移个单位长度得到函数y=
故选：BC
2cos2(红-）=V巨0s(2红-)
=
例17.【答案】ACD
【详解】因为f(x+π)=|sin(x十x)引+|cos(x+π)
√2sim(2x+牙)，故B项正确：
-sin2(x+)-1=|-sina +-cosxl-sin2x-
对于C项，由已知可得，f(e)=sinx+cosx=
1=fx),
(sinz)-2sin'cossi
所以(x)是以π为周期的函数，故A正确；
-7×1-924+1=4o84c+
又f(π-x)=lsin(π-x)川+lcos(x-x)川-sin2(π-
x)-1=sincl+lcosx+sin2x-1≠f(x),故B错
所以，（回的周期T=冬=受，最大值为子+
误；
是=1，故C项正确：
由A知只需考虑fx)在[0，π]上的最大值
对于D项，fa(x)=in8x十os3x=
0当x∈[0,5]时，f(x）=sinx+cosx-
(sina+cosz)(1-sinxcosx)
2sinccosx-1,
√2
cos
(x-哥(1-2in2z)
令t=sinx+cosz=V2sin(x+T),则t∈[1，
V万c0s(e-吾1-2os(2z-5】=
√2]，且t=1+2 sin.cos,即2 sinxcos=t2-1,
则f(x)=-+t=u(),易知u()在区间[1，W2]上
V2cos(x-平)儿1-壳×2os(x-)+号】]=
单调递减.所以f(x)的最大值为u(1)=0,最小值
32os(e-）-vcs(e-)
为（√2）=v2-2.
令t=60s(e-）,-1≤t<1,9间=32-
②当x∈[受]时，f(x）=sinx-cosx
2sinccos-1,
√2t,
3W2
令t=sinr-oosx=V2sin(c-T),则t∈[1，
则9()=
2
-32t2=
√2]，且t2=1-2 sinccosc,即2 sinccosa=1-t,
-3w2(+号t-要)，
则f(x)=t+t-2=u(),易知v(t)在区间[1，W2]
解g()=0,可得t=土
上单调递增，所以f(x)的最大值为(v②)=√2，最
2
小值为(1)=0，
解g()>0,可得-2
综上可知：函数f)的最大值为√2，最小值为√2
2
,所以g(t)在
-2,故C正确：
60

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