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第07讲
导数中的切线问题及应用
一、知识点
1.在点的切线方程
切线方程y-f()=f()(-x)的计算：函数y=f(x)在点A(co,f(xo)处的切线方程为y-f(x)=f(
)(x一，抓住关键=)
k=f(xo)
2.过点的切线方程
设切点为P(o,),则斜率k=f'(),过切点的切线方程为：y一=f()(x一xo),
又因为切线方程过点A(m,n),所以n-yo=f()(m一xo)然后解出的值.（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.
3.题型归纳
【题型一】三次函数切线问题
【题型二】指对函数切线问题
【题型三】公切线问题
【题型四】与切线有关的距离问题
9
【题型一】三次函数切线问题
例1.若过点P(1,t)可作出曲线y=x的三条切线，则实数t的取值范围是（)
A.(-o,1)
B.(0,+∞)
C.(0,1)
D.{0,1}
例2.过点P(0,-1)有三条直线和曲线y=x3+ax2+bx(6∈)相切，则实数a.的取值范围是（）
A.(1,+o∞)
B.(3,十∞)
0.（-∞，1)
D.(-∞，3)
例3.若过点(a,b)(a>0)可以作曲线y=x3-3x的三条切线，则（)
A.b<-3a
B.-3aa-3a
D.b=-3a或b=a3-3a
【题型二】指对函数切线问题
例4.若过点(a,b)可以作曲线y=e的两条切线，则（)
A.e°B.eC.0D.0<光
例5.当a>0时，过点(a,a+b)均可以作曲线y=lnx的两条切线，则b的取值范围是（)
A.（-∞，-1)
B.(-0,-1]
C.(-1,+∞)
D.[-1,+∞)
例6.已知f(x)=xlnx,若过一点(m,n)可以作出该函数的两条切线，则下列选项一定成立的是（)
A.nB.n>mlnm
c.名-eD.m<1
例7.若过点(m,n)可以作曲线y=a(a>0且a≠1)的两条切线，则（)
A.loganB.logan>m
C.logan=m
D.logn与m的大小关系与a有关
例8.（多选）已知函数f()=二，过点(a,b)作曲线f()的切线，下列说法正确的是（）
A.当a=0,b=0时，有且仅有一条切线
B.当a=0时，可作三条切线，则0C.当a=2,b>0时，可作两条切线
D.当0<0<2时，可作两条切线，则b的取值范围为4.2或&
例9.（多选）已知函数f(x)=e1+lx,则过点(a,b)恰能作曲线y=f(x)的两条切线的充分条件可以是（)
A.b=2a-1>1
B.b=2a-1<1
C.2a-1例10.（多选）过平面内一点P作曲线y=|lx两条互相垂直的切线l,2,切点为B、P(R、P不重合)，设直线，
2分别与y轴交于点A,B,则下列结论正确的是（)
A.乃、P两点的横坐标之积为定值
B.直线PP的斜率为定值
C.线段AB的长度为定值
D.三角形ABP面积的取值范围为(0,1]
52第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此设g回=22，(ee0,+o)则se=
例22.【答案】A
(21ng)'-(2Ina)-2-2In
【详解】由ae2-ln(x+1)+lna≥l得eztlna.+x+
x"
lna≥eta+ln(c+1),
当0<0,函数g(x)在(0，e)上单
令F()=e+x,因为y=e,y=x都是单调递增
调递增
函数，
当x>e时，g(x)<0,函数g(x)在(0，e)上单调
所以F(x)=e+x为单调递增函数，
递减
所以x+lna≥ln(x+1),
则g()在(0，+∞)上有且只有一个极值点x=e,
即对任意x∈(-l,+o)时lna≥ln(x+1)-x恒
该极值点就是g(x)的最大值点.
成立，
所以g@)a=9eO)=名，即a≥名，则实数a的最
令h(=In(e+1）-z(c>-1),()=Ef
小值为名，故选：D
当-10,h(x)单调递增，
当x>0时，(x)>0,h(x)单调递减，
例20.【答案】B
所以h(x)≥h(0)=lnl=0,
【详解】不等式xa+'e+alnx≥0可化为ce≥xa
所以lna≥0，即a≥1.
lnxa,即e"lne"≥x-alnx,
故选：A.
a<0,x>2,则x>1,e2>1,
设f(x)=xlnc,则f(x)=lnc+1,x>1时，f'(x)
例23.【答案】ABD
>0,f(x)是增函数，
所以由e"lne*≥xlnx-a得e≥xa,x≥-alnx,
【详解】fa)=芒→f(回)=o1习
一a≤1n
当a>0时，当x>1时，f'(x)<0,f(x)单调递减，
所以>2时，-a≤品恒成立.
当x<1时，f(x)>0,f(x)单调递增，所以当x=
设g=2则g)=h
1时，函数f(c)有最大值，即f(e)=f(1)=8;
In'z
当a<0时，当x>1时，f(x)>0,f(x)单调递增，
2e时，g(x)
当x<1时，f(x)<0,f(x)单调递减，所以当x=
>0,g(x)递增，
1时，函数f(x)有最小值，没有最大值，不符合题
所以g(x)min=g(e)=e,
意，
所以-a≤e,a≥-e.所以a的最小值是-e.
故选：B.
由g=ga=1a，
ax2
当a>0时，当x>e时，g(x)<0,g(c)单调递减，
例21.【答案】A
当00,g(c)单调递增，所以当
【详解】由题意可得：g>ln(r+1)+lna+1,
a
x=e时，函数g(x)有最大值，即g(x)mx=g(e)=
..e"-ina+x-Ina>ln(c+1)++1,
1
.e*-Ina+-lna>l(+In(+1),
当a<0时，当x>e时，g()>0,g(x)单调递增，
令g()=e+x,易得g()在(1，十o)上单调递增，
当0.x-lna>In(a+1),ih(x)=x-Ina-In(x+
x=e时，函数g()有最小值，没有最大值，不符合
1,则(a=1-十=2年
题意，
故当x∈(-1,0)时，h'(c)<0,此时h(c)单调递
于是有8=→a=±1，：a>0,.a=1,b=1
e ae
减，当∈(1，+o)时，h'(x)>0,此时h(x)单调递
因此选项AB正确，
增，故h(c)n=h(0)=-lna,故只需-lna>0→0
两个函数图象如下图所示：
故实数a的取值范围为(0,1)·
故选：A
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