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第08讲
三角函数图像与性质综合
一、知识点
1.正弦函数的图像：正弦函数五点法作图：五个点(0,0)，（受，1），(x,0),(红，0)，(2x,0),
2.正弦函数的性质
(1)定义域：x∈R
(2)值域：ye[-1,1]
(3)解析式：y=sinx
(④)单调性：单增区间：[-受+2，号+2]，(ke2D:单减区间：[受+2，受+2]，(ke2).
(5)奇偶性：奇函数
(6)周期性：T=2π（最小正周期）
(7)对称轴：x=标+受(ke2刀
(8)对称中心：(k元，0)(k∈Z)
3.余弦函数的性质
(1)定义域：x∈R
(2)值域：ye[-1,1]
(3)解析式：y=Cosx
(4)单调性：单增区间：[-π+2kx,2x],(k∈Z);单减区间：[2r,元+2kπ]，(k∈Z)
(5)奇偶性：偶函数
(6)周期性：T=2π（最小正周期）
(7)对称轴：x=kr(k∈Z)
(8)对称中心：(m+号，0)(keZ)
4.正切函数的性质
(1)定义域：{lr≠受+(ke2)
(2)值域：y∈R
(3)解析式y=tanx
(4)单调性：单增区间：(-+号+k标)，(k∈Z):单减区间：无
(5)奇偶性：奇函数
(6)周期性：T=π（最小正周期)
(7)对称轴：无
(8)对称中心：（停，0）k∈2)
5,题型归纳
【题型一】三角函数解析式
【题型二】三角函数图像平移
【题型三】三角函数图像与性质
【题型四】三角函数的综合
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【题型一】三角函数解析式
例1.（多选）已知函数f(x)=Asin(ax+p)(A>0,w>0,-π法正确的是（)
2π
A.9
B.f)≤f(-)）
C.f(a)在[x,5]上单调递增
D.f(x)在[0,2r]上有且仅有四个零点
例2.（多选）已知函数f(a)=2sin(wx+)(o>0,0号则()
3
A.函数y=f(x)在[2,4]上单调递减
B.函数y=f(x)在[3,6]上的值域为[-1,1]
C.coo]=
D.曲线y=f(x)在=-1处的切线斜率为√
58
例3.（多选）已知函数f(c)=asinwr+cosc(a>0,w>0)的部分图象如图所示，其中|BC=2,且
△ABC的面积为2，则下列函数值恰好等于a的是()
B
A.f(号)
B.f()
C.f(1)
D.f(2)
例4.（多选)己知函数f(x)=sin(oz+p)(ω>0,0元一3
6
A.0=
3
B.f()在区间[-，-受]上单调递增
C,将函数y=c0sx图象上各点横坐标变为原来的号（纵坐标不变），再将所得图象向右平移否
个单位长度，可得函数f(a)的图象
D.函数y=4f(c)+√2x+S的零点个数为7
59第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此=奇等+n+1,整理得o-如24
工1
同时，存在C(,in）,,∈[2r,受)和D(,e
若总存在两条不同的直线与函数y=f(x),y=
),x∈(-0,0)使得k=COST3-=e,且e≠e;
go)图象均相切，则方程a2=如+4有两个不
所以，直线CD即为异于直线AB的第二条曲线的
的
公切线；
同的实根，
综上可知，直线1的条数有2条故选：B.
设h(x)=nx+4
x>味
例17.【答案】ABC
y=
0,则h’()=
【解析】如图，因为y=ae与y=lnc-lna互为反
4·x-(4lnx+4)
1
函数，
x2
0
故两函数的图象关于直线y=x对称，则l1,2关于
e
-4ln心，令h(x)=0得
y=x对称，
x=1,
故a+B=受，sina=sin(受-B）=cosB,故A正
当x∈(0,1)时，h'(c)>0,h()单调递增，x∈
确；
(1,+oo)时，h(x)<0,h()单调递减，
由题意，，B均为锐角，tanc>0,tanB>0,
又h(c)=0可得x=1,则x→0时，h(e）)-0:
tana tang tana tan -a)tana+
色
x→十o时，h(x)→0，则函数h()的大致图象如
1
tama≥2，
下：所以6之8<4解得0当且仅当tana=l,即a=B=平时取等号，故B
值范围为(0,2)故选：B.
正确；
设I1与两个函数图象分别切于M,N两点，
例16.
【答案】B
∠0QN=号，则
【解析】如图所示
tang=3
=ae
0
2tan
即
lnx-lna
1-tan20
2
x中
士
是，解得an号
设直线l与曲线y=sinx,x∈(0,3π)的切点为A
号或-3（会去），
(c1,sinc),与曲线y=eF的切点为B(x2,e),直线
故kN
U的斜率k;
1+
所以，y=(sinx)'=cosx,即在点A(,sin)处的
tan(号+45）=
3
=2,
1
13
斜率为k=c0s1,
对于y=e,则y=e,令=e=2,解得x=ln2,
=(e'=e,即在点B(2,e)处的斜率为k=e,
所以切点为(1n2,2),
得k=c0sD=e;
所以曲线y=e的斜率为2的切线方程为y=2x
又因为cosc1∈[0,1]，e∈(0，十o),所以斜率k=
-2ln2+2,
c081=e∈(0,1]
故曲线y=ae=e+na的斜率为2的切线方程为y
由cosm∈(0,1得，e(0,)或∈[2x,):
=2(x+lna)-2ln2+2,
由e∈(0,1]得，2∈(-o,0):
同理可得y=lnc的斜率为2的切线方程为y=2x
因此，存在A(,sina,∈(0,5）和B(,e）,
-ln2-1,
故曲线y=lnx-lna的斜率为2的切线方程为y
∈(-0,0)使得k=c0sc1=e,
=2c-In2-1-Ina,
即此时直线AB即为两条曲线的公切线：
所以-ln2-1-lna=2lna-2ln2+2,则lna3=
53

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