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第06讲
导数中的同构思想及应用
一、知识点
1.常见的同构函数图像
八大同构函数分别是：y=e,y=
是y=号y=la,gy=品2y=l2,y=e--1,y=x-ax
1我们通过基本的求导来看看这六大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间的本质联系.
图1
图2
图3
图4
yx-l-ne
图5
图6
图7
图8
2.常见同构方法
(1)ce*=e*tint;x+Inc=In(xe)
(2)e=e*-loz:-Inc=Ine
(3)x2e"=ext2Ins;+2lnc=In(2e")
=o-2ns o*
(4)e
’x2se2ar
3.题型归纳
【题型一】利用同构解决等式问题
【题型二】利用同构比较大小
【题型三】利用同构求函数最值
【题型四】利用同构解决不等式恒成立问题
【题型五】利用同构解决函数的零点问题
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【题型一】利用同构解决等式问题
例1.在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应
的不等式称为同构不等式、若关于a的方程ae=e和关于b的方程b(1nb-2)=ea-(a,b,A∈R)可化为同
构方程，则λ=
In(ab)=
例2.已知xg满足2-e,lny=
-+2(其中e是自然对数的底数)，则x2y=（)
A.e
B.e3
C.e2
D.e
例3.已知ab∈R,ae+lna=0,bln(6+lnb-)=1,则（)
A.abB.abC.bD.e=b【题型二】利用同构比较大小
例4.已知a>1,b>1,则下列关系式不可能成立的是（)
A.e1na≤ab
B.elna≥ab
C.ae≥blna
D.ae≤blna
例5.已知a,b,c∈(e,十o),a>c,clnbA.eatcinb>etclna>eatoInc
B.eatinc>eatcInb>etcIna
C.eatoInb>etInc>eIna
D.etcina>eatolnc>eatcinb
例6.己知e为自然对数的底数，a,b均为大于1的实数，若ae*1+bA.bB.6>e+
C.abD.ab>e
例7.已知正数a,b满足等式a2-b=2(2lnb-lna),则下列不等式中可能成立的有（)
A.a>b>号
B.C.a>b>1
D.b例8.若x,y∈(0，十∞)，+lnx=e'+siny,则（）
A.In(x-y)<0
B.In(y-c)>0
C.tD.y43第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此例29.【答案】AD
若f(a)=f(b)=2.86,则1【解析】A.:e=
e
a+1=6+1=1.01>0÷a>
F(x)=f(x)-f(2e-x),1-1b>-1令f创=年e>-
则F'(m=n1+血②e--1=
In'x
In2(2e-x)
则了四产所以阳在10单商速
Ing.In2(2e-z)+In'c.In(2e-x)-In'-In2(2e-x)
In2c.In2(2e-x)
减，在(0，+o)上单调递增，
且f(0)=0,故a>0,-1Incln(2e-c)[ln(2e-x)+Inz]-In'g-ln2(2e-x)
h(x)=lnf (x)-lnf (-x)=2x-In(x+1)+
In2z.In2(2e-x)
ln(-x+1),c∈(-1,1)
则)=2-++-+=2-2<0，
Inzln(2e-x).In(-22+2ex)-In'z-In2(2e-z)
ln2x·ln2(2e-x)
所以h(x)在(-1,1)上单调递减，且h(0)=0
,当x∈(1，e)时，-x2+2ex,b∈(-1,0).1nf(b)-lnf(-b)>0.f(b)
.Inxln (2e-z).In (-z2+2ex)-In 2x-In2
>f(-b)∴.f(a)>f(-b)
(2e-x)<2Inzln(2e-z)-In'x-In2(2e-x)=
.a>-b即a+b>0故选项A正确
-[lnc-In(2e-z)]2,
B.(1-c)e=(1-d)e=0.99>0∴c<1,d
.F(x)<0在(1，e)上恒成立，.F()在(1，e)上
<1令g(x)=(1-x)e(x<1)
单调递减，.F(x)>F(e)=0,
则g(x)=-xe,所以g(x)在(-∞，0)单调递增，
即f()>f(2e-x),又1
在(0,1)上单调递减，
f(2e-a),
且g(0)=1,故0f(a)=f(b),.f(b)>f(2e-a),
m(x)=Ing(c)-Ing(-z)=2x-In(x+1)+
b>e,2e-a>e,f(x)在(e,十o)上单调递增，
ln(-x+1)=h(x),x∈(-1,1)
∴b>2e-a,即a+b>2e,A错误；
所以m(x)在(-1,1)上单调递减，且m(0)=0
~g(a)=1nx+1,∴当xe(0,是)时，g()<0:
,c∈(0,1).lng(c)-lng(-c)>0∴g(c)>
g(-c).g(d)>g(-c)
当x∈（合+∞）时，g(m)>0:
∴.d<-c即c+d<0故选项B错误
:g(a)在(0，)上单调递减，在（合+∞）上单调
c=或(w=a=盟>
递增，且9(=9（合）=-名：
0.99,a∈(-1,0)
.g(-a)>g(d)又：g(z)在(-o,0)单调递增
由clnc=dlnd=-0.35得：0.-a>da+d<0
设G)=9a)-9(g-,0故选项C错误
则C'()=x+1+n(层-)+1=
D.由C可知，g(-b)>g(c),-b∈(0,1)又
9()在(0,1)单调递减.-b>c
n(2x-x）+2:
故选项D正确
当0<<6时，-+名 ∈(0)G(a)<
1
故选：AD
0,
例30.【答案】BCD
G(a)在(0，合)上单调递减，G()>c(合)
【解析】令f)=n（e>1),9e)=h,
f'(）=1n-1,当xe(1,e)时，f()<0:
=0,即ge)>g号-，
In'x
当x∈(e,+o)时，f'(x)>0:
又0g(2-c),又go)=
∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e,+o)上单调递
gd,∴g④>g(2-c,
增，且f()mn=f(e)=i
d>日，名-e>日9g回)在（日，+四）上单调递

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