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第05讲
函数不等式构造比较大小
一、知识点
1.构造f()=n巫比较大小
此函数定义域为(0，+∞)，求导f(m)=1-n工，当x∈(0，e)时，f()>0,故f(）)为增函数，当x∈(e,+∞)
2
时，f(<0,故fa为减函数，当=e时，f)取得极大值为f(e)=日，且f④==22-号=
4
2
(2),此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较
2.利用常见不等式比较大小
（1)常见的指数放缩：①e产+1，@e>e国当≤0时，e≤己元④当≤0时，6≤号：
②常见的对簧流组：01-台n5-②≤专⑧当a1时，2Gn6号-》。
(3)常见三角函数的放缩：x∈(0，受)，sinr3.题型归纳
【题型一】构造f()=n立比较大小
【题型二】构造函数利用单调性比较大小
【题型三】指对不等式比较大小
【题型四】三角不等式比较大小
【题型五】基于无穷小变量构造不等式比较大小
【题型六】条件等式构造比较大小
33
【题型一】构造f()=正比较大小
1若a=竖，b=g,c=罗则()
A.aB.cC.cD.b例2.设x,y,z为正数，且2=3=5，则（)
A.2x<3y<5z
B.5z<2x<3y
C.3则<5z<2x
D.3y<2x<5z
例3.设a=44,6=受c=合则()
e2
A.aB.aC.bD.b例4.下列命题为真命题的个数是（)
①1n34W2.
A.1
B.2
0.3
D,4
34
【题型二】构造函数利用单调性比较大小
例5.已知a=看b=2e=青6（其中e为自然常数，则ac的大小关系为(）
A.aB..bC.cD.c例6，设a=号e,8=号-ln2,e=g,则abe的大小关系是()
A.bB.cC.bD.a【题型三】指对不等式比较大小
例7.已知a=e,b=1+1,c=V11,则()
2
A.a>b>c
B.c>6>a
C.6>a>c
D.a>c>b
例8设a=品4b=ln1.04,c=e-1,则下列关系正确的是（)
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.c>b>a
35
例9.己知a=0.16,b=e.4-1,c=0.8-2ln1.4,则a,b,c的大小关系为（）
A.a>c>b
B.a>b>c
C.b>a>c
D.c>b>a
例10.若a=e2,b=1.2,c=ln3.2,则a,b,c的大小关系为（)
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>a>c
D.c>b>a
例1.已知a=2e,b=e,c=品试比较a,6e的大小关系为(）
A.b>c>a
B.b>a>c
C.c>a>b
D.c>6>a
例12.已知a=0.2e1,b=2n1.1,c=0.19,则a,b,c的大小关系正确的是（)
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>a>c
D.b>c>a
36第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此当6>1时，可得（号）°+（号）'<1,2+3*<5的，两
5,两边同取以5为底的对数得
边同取以5为底的对数得
a=logs(2+3)>1og5=b,对2+3>5°通过移
a=l0g5(2+3)<1og5=b,对2+3<5通过移
项得5-2<3，
项得5-2>3，
两边同取以3为底的对数得c=log(5-2)两边同取以3为底的对数得c=1og(5-2)>b,
所以c-a,所以c-b>c-a,
所以c>b>a,所以-b<-a,所以c-b且c-b<0,c-a<0,
故0b-cl,
且c-b>0,c-a>0,
故此时，a-c>lb-c,故C,D选项错误，
下面严格证明当0b=2时，a=log513,c=log321,c-b=log321-
当02=1og号∈（分），
=1,且其在R上单调递减，可知
6-a=2-1og13=1og2第∈(0,2》e-b>b
(号)》°+（号）°1，则6-a=1og
-a,且c-b>0,c-a>0,故A错误，
0,则0<
下面严格证明当b>1时，0(号+(
下1，
5
=b-1ogs(2+3)=1og5（2+3)=1og5
根据函数函数()=（停）-（号）广在R上单调递
增，且h(1)=1,
(号+(g
则当0<<1时，0<(？广-（号<1，
c-b=1ogs(50-2-b=1og[(号)°-（号）]
下面证明g之之0<功，
根据函数h()=(号)》F-(号)广在R上单调递增，
且h(1)=1,
要证7>
35
则当b>1时，有1<(3°-（号）°，
即证：15>(2+3)(5-2)，等价于证4+6>10，
:0<(号+(g<11g*
即证：（号）°+（停）八1，此式已证明。
对>“子左边同除分子分母同除，右
下面证明<6>1
3
边分子分母同除3°得
要证<
停*(>（得驴-(
即证：15<(2+3)(5-2，等价于证明4°+6<
10°，
则c-b=1og[(停)°-（号）]<1og[(停)°-（号）门
即证：（号广+（停°<1，此式开头已证明，
(》+(
<0
对<，左边同除分于分母同感，右
故0边分子分母同除3°得
16-cl
(号°+（号
<(停-(
当b=1时，a=logs5=1,c=1og33=1,则|a-c
=b-c,a-bl=b-cl,
综上la-c≥lb-c,la-bl≤lb-c,
则0(层P+(严
log s
故选：B.
[()°-（号门例26.【答案】D
【解析】，lnc=alnb,lna=blnc且a、b、c均为不
故当b>1时，0等于1的正实数，
8-cl
则lnc与lnb同号，lnc与lna同号，从而lna、
当01,2+3>
lnb、lnc同号，

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