资源简介

第04讲
幂指对函数性质比较大小
一、知识点
1.指数幂运算性质：
(1)a'a3=a+3
(2)a'b=(ab)
(3)(a)=a9=(a);
2.对数的运算性质：
(1)l0g.(M.N)=log.M+log.N:(2)1og,M=alog.M:(3)logN=logN
logab
3.糖水不等式
1)直分数不等式：若00,则号<号+：
(2)一个重要的结论：
①对于正数a,b,c,d,bc≥ad,且a>c>d>1,则log b>logd:
②1og32<1og3<1ogs5<0g138;
4.指、对、幂大小比较的常用方法：
(1)底数相同，指数不同时，如a和a,利用指数函数y=a的单调性：
(2)指数相同，底数不同，如和利用幂函数y=x单调性比较大小；
(3)底数相同，真数不同，如logaT和logat2利用指数函数logx单调性比较大小；
(4)底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关
系的判定
5.题型归纳
【题型一】幂指对函数图像与性质
【题型二】利用函数图像交点比较大小
【题型三】0以及1分界型比较大小
【题型四】非特殊数为中间值比较大小
【题型五】利用均值不等式比较大小
【题型六】底为勾股数的比较大小
【题型7】幂指对同构
25
【题型一】幂指对函数图像与性质
例1.(1)若a>b>0,0A.logacB.logaC.aD.cc
例2.（多选）若a>b>1,0A.amom
B.mC.logmaD.logm例3.（宝选）若6>c>昌，号A.blogaB.bcC.ba>ca
D.loga例4.已知a=1og63,b=1og4,c=1og105,则().
A.bB.cC.aD.a【题型二利用函数图像交点比较大小
例5.已知正实数a,b,c满足e+e2“=e+ec,b=log23+log86,c+log2c=2,则a,b,c的大小关系为
()
A.aB.aC.cD,c26
例6.已知x∈（合l)a=ln,6=(nxR,c=1nx则a,b,c的大小关系是（）
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>b>a
D.a>c>b
例7.若正实数a,b,c满足a+2a=2,b+3=3,c+log4c=4,则正实数a,b,c之间的大小关系为()
A.bB.aC.aD.b例8.已知，购满足（号）=1og4,(2)=1og9,(兮)产=1og则4，%，的大小关系为（）
A.T<B.2<C.1<<
D.2【题型三】0以及1分界型比较大小
例9.设a=1og,b=log2,c=4时，则a,b,c大小关系为（)
A.c>a>b
B.c>b>a
C.a>b>c
D.b>a>c
例10.设a=0.601,b=0.36,c=1og写则a,b,c的大小关系为()
A.aB.bC.cD.c27第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此-g(-x)=-g(x),
f(x)=g(3一x)一2，是由(x)的图像移动变化而
∴g(c)=g(-x),∴g(x)为偶函数，图象关于y轴
来，故f(x)周期也为4，
对称，
因为g(1)=-g(3),g(2)=g(4)=0,
.g'(+8)=-g'(-(c+4)=-g'(x+4)=
所以f(2)=g(1)-2,f(4)=g(-1)-2=g(-1+
-[-g(-x)]=g（(-)=g(c),
4)-2=g(3)-2,
g(x)是周期为8的周期函数，
所以f(2)+f(4)=g(1)-2+g(3)-2=-4,故B
g(8-x)=g(x-8)=g(x),C正确；
错误；
f(x)+g(x)=5,f(-2)+g(-2)=5,又g
f(c)=g(3-x)-2,fx)周期为4，f(1)=g(2)-
(-2)=g(2)=0,
2=-2,f(2)=g1)-2,f(3)=g(0)-2=-2,f(4)
∴.f(-2)=5,A正确；
=g(-1)-2=g(-1+4)-2=g(3)-2
令h(x)=g(x),则h(c+8)=h(x),∴.h'(x+8)
2023
故)f(k)=f(1)+f(2)+…+f(2023)=505×(
=h'(x),
又h(x)=5-f(x),h(c+8)=5-f(x+8),.-f
-8)+f(1)+f2)+f(3)=-4046+g(1),
由于g(1)的值未知，g(1)不一定为0，所以无法判
(x+8)=-f(x),
202
即f(x+8)=f(c),D正确；
断∑f()的值为-4046，
=1
g(x+4)=-g(x),.g(x+4)+g(x)=0,
故D错误；
设F(c)=g(x+4)+g(x),则F(x)=g(x+4)+
故选：AC.
g(x)=0,.F(x)=C(C∈R),
又g(x)为奇函数，.F(-2)=g(2)+g(-2)=0,
例21.【答案】AC
∴.F(c)=0,
【解析】因为g(x+1)为奇函数，所以g(x+1)=
即g(c十4)=一9(x),B错误.
-g(-x+1),取x=0可得g(1)=0,A对，
故选：ACD,
因为f(x+2)-g(1-x)=2,所以f'(x+2)+g
(1-①)=0：
例20.【答案】AC
所以f(x)+g(3-x)=0,又f'(x)=g(x+1),9
【解析】因为f'()=g(x-1),则f(c)+a=g(c一
(x+1)+g(3-x)=0,
1)+b,
故g(2+)+g(2一x)=0,所以函数g(c)的图象
因为g(x)-f(3-x)=2,所以g(c)=f(3-x)+2,
关于点(2,0)对称，B错，
用3-x去替x,所以有(x)=g(3-x)-2,所以
因为f(x)=g(x+1),所以[f(x)-g(+1)]'=0,
有g(3-x)-2+a=g(x-1)+b,
所以f(x)一9(x+1)=c,c为常数，
取=2代入得到g(1)-2+a=g(1)+b则a-
因为f(x+2)-g(1-x)=2,所以f(x)一
2=b,
g(3-)=2,
故g(3-x)=g(x-1),用+1换x,可得g(2-x)
所以g(x+1)-g(3-x)=2-c,取x=1可得c
=g(x),函数g(x)的图象关于x=1对称，故A正
=2,所以g(x+1)=g(3-x),
确；
g(c+2)在R上为奇函数，则g(x+2)过(0,0)，图
又g(x+1)=-g(-x+1),所以9(3-x)=
像向右移动两个单位得到9()过(2,0)，故g(x)图
-g(-x+1),所以g(x)=-g(x-2),
像关于(2,0)对称，g(2)=0;g(x+2)=-g(-x+
所以g(工十4)=-g(x+2)=g(x),故函数g()为
2),而g(2-c)=(),所以有g(x+2)=一g(x),则
周期为4的函数，
g(c)的周期T=4;
因为g(x+2)=-9(),所以g(3)=-g(1)=0,
又因为g(c)图像关于(2,0)对称，g(2)=0;函数
9(4)=-g(2),
9(x)的图象关于x=1对称，故
所以g(1)+g(2)+9(3)+g(4)=0,
2022
g(1)=-g(3),g(2)=g(4)=0,
所以∑9()=[g1)+9(2)+93)+g(4)]+
k=1
29网=9()+92)+…+9(2023)=9⑩+9(2
[g(5)+g(6)+g(7)+g(8)]
+g(3)=0,故C正确，
++[g(2017)+g(2018)+g(2019)+g(2020)]+
21

展开更多......

收起↑