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第03讲
抽象函数的对称性和周期性
一、知识点
1.一个函数自身对称性一一中心对称
(1)若f()为奇函数，则f(x)函数图象关于(0,0)对称，则有f(x十a)=一f(一x一a);
(2)若f(x+a)为奇函数，则f(x)函数图象关于(a,0)对称，则f(x+a)=一f(-x+a);
(3)若f(x+a)=一f(-x-a),则f(x)函数图象关于(0,0)对称，则有f(x)为奇函数；
(4)若f(x+a)=-f(-x+a),则f(x)函数图象关于(a,0)对称，则有f(x+a)为奇函数：
(5)若fe+@)+f(-x+)=c,则f()函数图象关于（色士，）对称：
(6)若fe+d+(-x+b)=c,则fa)函数图象x=士色轴对称：
注意：以上结论换成c,依旧成立.记忆方式：自身对称取中点，
2.一个函数自身对称性一一轴对称
(1)若f(x)为偶函数，则f(x)函数图象关于x=0轴对称，则有f(工+a)=f(-x-a);
(2)若f(x+a)=f(-x一a),则f(x)函数图象关于x=0轴对称，则有f()为偶函数；
(3)若f(x+a)为偶函数，则f(x)函数图象关于x=a轴对称，则有f(x十a)=f(-c十a):
(4)若f(x+a)=f(-x+a),则f(x)函数图象关于x=a轴对称，则有f(x+a)为偶函数：
(5)若f(c+a)=f(-x+b),则f(x)函数图象关于r=十b轴对称；
2
(6若fc+a)=f(-+创，则f)函数图象（巴士，0）对称：
注意：以上结论x换成c,依旧成立.记忆方式：自身对称取中点。
3.函数周期性
(1)两线对称型：f(a+)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x),T=2b-al；
(2)两点对称型：f(a十x)+f(a-x)=0,f(b+x)+f(b-x)=0,T=2b-al;
(3)一点一线对称型：f(a+)=f(a-x),f(b+x)+f(b-x)=0,T=4b-a:
注意：以上结论x换成ωw,依旧成立.记忆方式：两次对称必周期：
4.两个函数相互对称性一一中心对称
(1)函数y=fz+)与y=-f6-)图像关于(2,0）中心对称：
(2)函数y=f代e+)与y=c-fb-)图像关于（色22，号）中心对称：
注意：以上结论①换成ωc,结论发生改变，记忆方式：相互对称取相等
5.两个函数相互对称性—一轴对称
（1)函数y=e+a)与y=f0-d)图像关于c=b22轴对称：
注意：以上结论x换成ωc,结论发生改变，记忆方式：相互对称取相等，
6.题型归纳
【题型一】抽象函数
【题型二】一个函数两次对称引发的周期性
【题型三】两个函数两次对称引发的周期性
【题型四】一个函数（含辅助函数导函数）两次对称引发的周期性
【题型五】两个函数的相互对称性
>第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此≤1，当且仅当x=合时，f()=1故A正确；
正确.
故选：ABC.
B:lf(e≤4等价于Isinzl≤43-+，
例28.【答案】ABD
设g(x)=E-sinx,x∈[0，+o),g(x)=1-cosx
≥0，
【解折】A:当太=0时，f回=去，则f)=
所以函数g(x)=x-sinx在x∈[0，+oo)时单调递
一e-2=-e+2<0,所以f(红)是R上的减函
增，
e2
e2
因此有g(x)≥g(0)=0-sin0=0,即x≥sinc,x
数，故A正确；
∈[0，+∞)，
B:当k=1时，fc)=出，令e=t>0,则
e2z+1
而设函数h(x)=lx-sin,h(-x)=-x-
y
sin(-z)=x-sinx =h(x),
=6+12+0+2
t+1
2+1
所以h(x)=lz一sinc是实数集上的偶函数，因
1
1
2
此有x≥sinx,
t+1)-2+子
2√(t+1)·t+1-2
即d≥sina,4l女2-e+≥4a×1=
1
2+1,当且仅当t=反-1时，取得
2w2-22
4,fcl≤l
-+
≤π≤4x,故B正确；
最大值，所以f)的最大值为1+2，故B正确，
2
C:因为f(合+)-f(号-)
c:f'回=-eet2e-1,令f'回=
(e2m+)2
sinx(分+)
sinx(分-)
-e(e+2e-=0,即e2r+2e-k=0,所以e“
(e2+)2
(合+x-)+1
(分--)+1
+2e=k,令h(x)=e2z+2e,则h(x)=2e2m+2e>
C0SπC-C0SπE=0,
0,所以h(x)在R上单调递增，而x→-∞时，h(x)
x2+1
→0，x→+o时，h(x)→+o,所以k∈(0，+o)时，
所以曲线y=f()关于直线0=对称，故C正
e24+2e2-k=0有一个根，故f(x)有1个极值点，
确；
∈(-o,0]时，e2+2e-k=0无解，故f(x)无极值
D:设曲线y=f(x)存在对称点，设为(a,b),则有
点，故f(x)不可能有2个极值点，故C错误；
f(a+x)+f(a-x)=2b,
当x=0时，则有2f(a)=2b→f(a)=b,
D:若=-1则f=号=六取a=00
当x=a时，则有f2a)=2b→2f(a)=f(2a),
=分则9d=。六+合*0,9(-到+ga)=
即
sin2ax
=2sinaπ
(2a)2-2a+
5
a2-a+是
0,为奇函数，当≠一1时，由C结合函数的图象、
单调性可得不存在实数a,b,使得g(x)=f(c十a)
2sinazcosar=2.sinar
-a+星
+b为奇函数，故D正确.故选：ABD.(此题D选项
(2ajP-2a+是
答案有误，参照视频)
因此有sinan=0,所以a为整数，b=f(a)=
例29.【答案】A
sinan
=0,
2-a+
【详解】等差数列{an}的公差为2020，设d=2020.
函数f(x)=x-cosc,且fa1)+f(a2）+…+f(a2020
令x=号，fa+)+fa-)=0,
)=1010π，
则(a1十a2十…十a2020)+
而fa+》+fa-》=
sinr(a)
(a+-)}2+1
(c0sa1+C0s+…+c0sa2020）=1010π，
即1010(a1十a2020)+(cosa1十c0sa2++c0sa2020)
sinn(a-)
=1010元，①
(a--+1
a2+1
(a-1)2+1
对1≤i≤1010，i∈Z,由余弦的和角与差角公式化
简可得
显然f(a+)+(a-)=0不恒成立，故D不
cosai+coSa2021-i
F

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