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第02讲具体函数对称性和周期性
一、知识点
1.由指对复合得到的常见奇偶性函数(a>0且a≠1)
(1)类双曲正弦函数：y=a-a为奇函数；
(2)类双曲余弦函数：y=a十u为偶函数；y=l1oga(a+1)一x为偶函数；
（3淡双由正切番数9-合-为商爵数y=号为帝语数：
a2-1
(4)类双曲正弦反函数：y=log(Vx2+1+x)为奇函数，y=log(W+1-)为奇函数；
(5)类双曲正切反函数：y=10g8十为奇函数，y=1og名牛岳为奇函数为奇函数
2.周期性：对于任意的x有f()=f(x+T),则函数周期为T
(1)f(a+x)=f(b+x),T=6-a;
(2)f(a+x)=-f(b+x),T=2b-al:
③fa+=+高7=21a:
(④fa+)
1-fT=4lel:
1+f(x)
注意：以上结论c换成，结论发生改变，周期会变成原来的
3.题型归纳
【题型一】函数的奇偶性
【题型二】奇函数+M模型问题
【题型三】两个函数的对称性交点问题
【题型四】利用函数对称性和单调性解不等式
【题型五】周期性
【题型六】类周期函数及应用
【题型七】函数对称性研究
9
【题型一】函数的奇偶性
例1.若函数f(x)=1m(V+2a-)为偶函数，则a=（)
A.是
B号
C.1
D.2
例2若fa创=n0+22+b是奇函数，则a=一b=一
例3.若f(x)=ln(e+1)+ac是偶函数，则a=一：
例4.设函数f(x)=n2x+1-ln2x-1,则f(x)（)
A是偶函数，且在(，+∞)单调递增
B.
是奇函数，且在（←号，）单调递减
C.是偶函数，且在(-0，-)单调递增
D.是奇函数，且在(-∞，-)单调递减
【题型二】奇函数+M模型问题
例5.西数@=+开1的最大值为M,最小值为N,则M+N=（）
A.3
B.4
C.6
D.与m值有关
10
例6.已知函数f()=(x2-2x)sin(x-1)+x+1在区间[-1,3]的最大值为M,最小值为m,则M+m=
()
A.4
B.2
C.1
D.0
例7.函数f=lh+号+-2asin(c-1)+2x+a在0.2]上的最大值与最小值的和为8，则a的值为
()
A.-2
B.2
C.4
D.6
例8.已知函数f)=h(红+1+)+子+4在[-8,8]上的最大值和最小值分别为M、m,则M+m=
()
A.8
B.6
C.4
D.2
例9.函数f)=②+1)+x2
一在[-2019,0)U(0,2019]上的最大值为M,最小值为N,则M+N=（)
x·2r
A.4038
B.4
C.2
D.0
例10.已知函数f(a=(2-2x)sin(c-1)+c二1在[-1,1U(1,3】上的最大值为M,最小值为N,则M+N=
()
A.1
B.2
○.3
D.4
11第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第02讲
具体函数对称性和周
当x∈(-o0,-2)时，f()=1n(-2x-1)-
期性
m1-2a）=lh3z+=1n(1+2n2）
例1.【答案B
:1=1+2z2在(-0，号）上单调递减，f四
【解析】易得定义域为R,因为函数f(x)=x3
=ln4在定义域内单调递增，
ln(x+2a-x)为偶函数，且y=x3为奇函数，故
根据复合函数单调性可知：f(@)在（一0，-号）上
g(x)=ln(√x2+2a-c)为奇函数.
单调递减，D正确.
故g(-x)+g(x)=0,即1n(V(-x)2+2a+x)+
故选：D
ln(x2+2a-x)=0,ln(x2+2a-x=0,即2a=
例5.【答案】C
1,解得a=
【解折由慰意可知，)=片十开1=3-
mx
故选：B
例2.【答案】-子：ln4
3d+田+
mT
e+1
【解折】因为fe)=1m0+2己+6是奇函数，所
设g(x)=一
+眉器则四的定文减
e+1
以其定义域关于原点对称，
为(-0，十∞)，
由a+2。≠0可得，2-2a+1-am)0,
所以g(-x)=-
3(e-1)
m(-e)
e +1
|-x+1
所以=20.1=-2，解得a=子，
3(e-1
mt
a
e+1
2+面=-96，
所以函数的定义域为(-0，-2)U(-2,2)U(2,
所以9(x)为奇函数，
+0),
所以g(x)max十g(x)min=0,
因为f(x)在x=0处有定义，即f0)=0,
所以f(x)ma+f(x)mn=M+N=g(e)ma十3+g(c)
所以1n子+b=0,解得6=n4.
min十3=6，
创3.【答案】0=-号
故选：C
例6.【答案】A
【解析】因为f(x)=ln(ez+l)+ac是偶函数，则
【解析】设t=x-1,则f(x)=(x2-2x)sin(x-1)+
f"(0)=0.
x+1=(t2-1)sint+t+2,t∈[-2,2]，记g(t)=
+1+a,因此f'(0)=3e
故f”()=3e
e3=+1
十a=
(t2-1)simt+t+2,则函数y=g(t)-2=(t2-1)
号+a=0,故a=-是
sint+t是奇函数，由己知y=g(t)一2的最大值为
M-2,最小值为m-2,所以M-2+(m-2)=0,
例4.【答案】D
即M+m=4,故选A.
【解析】由f()=ln2c+1-ln2c-1得f(x)定
例7.【答案B
义域为{中≠士}，关于坐标原点对称，
【解折】因为f(e)=n+号+(e2-2)sin(e-1)
f(-x)In|1-2x In-2x-1|=In/2x-1-
+2x+a,
1n2ac+1=-f(x),
f(c)为定义域上的奇函数，可排除AC;
所以fe+1)=n2年号+(e-10ine+2x+2+
当xe(-2号)时，f()=n(2x+)-
令g()=f(c+1)-2-a=n2-0
x+2
+
1n(1-2x),
:y=n(2m+)在(-号)上单调递增，y=
(x2-1)sinc+2x,
因为f(x)的定义域为[0,2]，
ln(1-2)在(-分）上单调递减，
令x+1∈[0,2]，得：x∈[-1,1]，
“f)在（分）上单调递增，排除B,
故g(x)的定义域为[-1,1]，关于原点对称，

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