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第24讲
排列组合与古典概型综合
一、知识点
1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
用来计算完成一件事的方法种类
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
不同点
每类方案中的每一种方法都能独立
每步依次完成才算完成这件事（每步
完成这件事
中的一种方法不能独立完成这件事)
注意点
类类独立，不重不漏
步步相依，步骤完整
2.常常见的一些排列问题及其解决方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素
插空法
排列的空当中
定序问题
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
除法处理
间接法
正难则反，等价转化的方法
3.排列与组合恒等式公式：
(1)排列公式：
@Ag=nm-1）(n-2)m-m+）=(n-m11
n!
②A=nAπ-.
③A=mAR-+Ag-1·
④m=n·(n-1)
⑤，n=九+1-1=
n+1
1
1
1
(m+1I(n+1)！=(m+1)!-(n+1!=n-(n+1)!
⑥n·nl=[(m+1)-1]n=(m+1)-n
(2)组合公式：
@Cg=4经=nn-1m-2)…(n-m+1）
2!
Am
m!
m!(n-m)
②CW=Cm-m.
③Cπ+=CW+CW+1.
④C0+C+C2+C++Cn=2"
⑤C+C+1十C+2+C+3十+C=C+1.
⑥kC=nCt-.
4.二项式定理
(1)二项式定a理：(a+b)=Ca+C%an-b++C%a"-rb++C%6(n∈N):
(2)二项式系数：展开式中各项的系数C(r=0,1,2,…,n);
(3)项数：共(n+1)项，是关于a与b的齐次多项式：
(4)通项：展开式中的第r+1项C%a”-b叫做二项式展开式的通项，用T+1=C%a”-b表示
5.二项式定理展开性质：
(1)二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C=C分，，C=C-1;
(2)二项式系数和：令a=b=1,则二项式系数的和为C9+C+C++C%+…+C=2”;
203
(3)奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令a=1,b=-1,则C8-C+C-C++(-1)C%=(1-1)”=0,
从而得到：C8+C+C+C陪+=C+C++Cg+1+=受×2=2-
(4)二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数”是偶数时，则中间一项的二项式系数C京取得最大
值如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数C,c岁同时取得最大值，
(5)系数的最大项：求(a+bx)”展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为A,A,“,A+设第r十1项系数最大，应有{A+1之A,从而解出r来
A,+1≥A+2
6.题型归纳
【题型一】相邻与不相邻
【题型二】空座位型
【题型三】特殊元素（位置）优先排
【题型四】定序（书架插书）
【题型五】医护平均分配
【题型六】先分组后排列型（球放盒子）
【题型七】染色型
【题型八】挡板法（相同元素球放盒子）
【题型九】走路口（最短路径字母化法）
【题型十】机器人与跳棋
【题型十一】上台阶（斐波那契数列型）
【题型十二】父（母）、子配对
【题型十三】二项式定理
【题型一】相邻与不相邻
例1.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不
同的站法共有()
A.72种
B.108种
C.36种
D.144种
例2某班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙
都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为()
A
B.6
c
3
D.28
204第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此线，
PF 4QF
+5=13,
所以，AB与AB交于原点，(5)正确
4V1Q时PF可
综上所述，真命题的序号为：(1)(2)(3)(4)(5).
当且仅当|PF|=2QF列时等号成立，故PM+
故答案为：(1)(2)(3)(4)(5)
4到QW的最小值为13
故选：D
例6.【答案】D
【详解】解：由题意得：F为△ABC的重心。故
例9.【答案】=8x
A=号×a店+Ad=号店+Ad
【详解】解：设直线AB的倾斜角为锐角0，则直线
设点A,B,C的坐标分别为(1，)，(2，)，(，
CD的倾斜角为9+受
)抛物线y=8x,F为其焦点
由焦半径公式得：AF=1-cOs0,BF=
.F(2,0).AF=(2-G,-),AB=(2-,-
),AC=(-1,s-h)
1+Cos,ICF=_
p
二
-cos(0+)
1+sin'
:=号（庙+A商2-4=号+w
|D=
p
).x1+x2+rg=6
1+cos(0+)
1-sin6'
·A+B剂+C=+x2十+6=12故选：
∴△ACP的面积为：Sac=AF1CF例=
D
D2
例7.【答案】±2W2
2(1-cos9)(1+sin0)
【详解】方法一：设直线AB的倾斜角为日，则日∈
D"
2+2sin0-2cos0-2sin0cos
(0°，180).
3
因为线段AB的长是焦半径AF例长的3倍，所以
(1-2sin0cos)+2(sin0-cos)+1
BF=2AF,故6≠90°，
p
当0E(0,60时，A=1+e1BP=
(sine-cos0)2+2(sin0-cos0)+1
C0s2,则B=1+cos日=2，解得cosB
p
(1+sin0-cos8)2'
AF 1-cos0
同理可得△BDF的面积为：SADF=
3,所以直线AB的斜率为2√2
p
同理可得当0∈(90,180)时，c0s8=-号，所以直
(1-sin+cost=sin0-cos0=
线AB的斜率为-2W2
V2sin(8-)e(-1,1),
综上，直线AB的斜率为±2v2故答案为：±2W2
则△ACF与△BDF面积之和为：
p
方法二：因为，线段AB的长是焦半径AF长的
(1+奶+
p-2p(1+t)
3倍，由定比分点比值知
(1-t)2(1-t2)2
A=2,所以0==号-分斜率对
再令x=t+1∈[1,2)，则△ACF与△BDF面积之
c0g9-1=8,k=±2V2
tan'a =
1
和为：
2p2(1+t)2px
2p2
0-2-形
x+生-4
例8.【答案】D
由双勾函数的单调性可知，当x=1时，△ACF与
【解析】由题设，16=2p×2,则2p=8,故抛物线的
△BDF面积之和取到最小值，
标准方程：y2=8c,则焦点F(2,0),
即2p2=32,由于p>0,得p=4,因此，抛物线的方
由直线PQ过抛物线的焦点，则可+
程为y=8.故答案为：y=8x.
例10【答案】号
圆C2:(x-2)2+y2=1圆心为(2,0)，半径1，
【详解】方法一：AB三0gPF=7-cos0
PM+4QN=PF-1+4(QF-1)=PF
p2
+4Qr-5=2P+4Q(南+@)
1
ABA-五=号=号
AB吲
PF 4QF
2p
5=2×
+5≥
sin0
IQF可t
PF
方法二：抛物线y2=一2x的焦点F的坐标为
179

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