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第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第01讲三种重要不等式及其应用
一、知识点
1.均值不等式
(1)二元均值不等式：0ab∈，②2生≥Va瓜，@当且仅当a=b时，等号成立.
(2)三元均值不等式：①ab,c∈R*,②a+b+c≥abc,③当且仅当a=b=c时，等号成立.
3
(3)重要不等式链：①a,b∈R*,②√
Q+ba+b≥√b≥1,1’白a一u0的，等号成立.
2.柯西不等式
(1)二元柯西不等式：①(a2+b)(c2+d)≥(ac+bd)2;②当且仅当ad-bc=0时，等号成立.
(2)三元柯西不等式：①(a+a+a)(b+b好+b)≥(ab十a2b2十ab3)2;②当且仅当a=0(i=1,2,3),或存在实
数1，满足b1=Aa1,b2=1a2,b3=a时，等号成立.
3.权方和不等式
①二元权方和不等式若a,6,>0,则受+a十当且仅当4三时，等号成立
+零+小实a
②多元东方南不等式者a0之m≥0，则+密+十
6,+b++6)0,当且仅当
a,=:时，等号成立.
4.题型归纳
【题型一】均值不等式使用及限制条件
【题型二】重要不等式链
【题型三】均值不等式求最值（凑和、凑积）
【题型四】均值不等式求最值（放缩成目标代数式）
【题型五】均值不等式求最值（消元与换元）
【题型六】均值不等式求最值（两次均值）
【题型七】柯西不等式求最值（根号最值、分式最值）
【题型八】权方和不等式求最值（分式最值）
7
【题型一】均值不等式使用及限制条件
例1.（多选）下列函数中最小值为6的是（)
Ay=ins+品
B.y=6sinx+
2sincl
C.y=35+32-z
D.y=-
2+25
x2+16
例2.（多选）若x,y满足x2+2-y=1,则（)
A.x十y≤1
B.x+y≥-2
C.x2+2≤2
D.x2+y≥1
例3.（多选）若a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，则（)
A.lab>2
B.la+l≤2wW2
C.ogl+g
【题型二】重要不等式链
例4.（多选）已知a>0,b>0,且a+b=1,则（)
Aa2+b号
B.2大
C.log2a+log2b≥-2D.√a+Vb≤V2
例5.（多选）设正实数a,b满足a+b=1,则下列结论正确的是（)
A日+号有最小值4
B.V5有最小值号
C.√a+W6有最大值√2
D.a2+b有最小值号
例6.（多选)若6=2,6=3，则下列不等关系正确的有（)
A.Wa+1+vb+1<2
B+6>4
C.a+b>号
D6+茄)>2
【题型三】均值不等式求最值（凑和、凑积）
例7.已知x>0,y>0,且x+y=7,则(1+x)(2+y)的最大值为（)
A.36
B.25
C.16
D.9
例8.已知a>0,b>0,且满足2a+b=ab,则a+b的最小值为（)
A.2
B.3
C.3+2W2
D.多+
3

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