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例23.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%；加
工出来的零件混放在一起，且第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加
工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为()
A.0.0415
B.0.0515
C.0.0425
D.0.0525
例24.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生
产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为高易，现从这10盒中任取一盒，再从
这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为()
A.0.08
B.0.1
C.0.15
D.0.2
【题型九】贝叶斯公式
例25.一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来、某考生知道正确答案的概率为
号，在乱猜时，4个答案都有机会被他途择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（）
A号
B号
c圣
D是
219
例26.通信渠道中可传输的字符为AAAA,BBBB,CCC℃三者之一，传输三者的概率分别为0.3,0.4，
0.3.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为0.6，收到其他字符的概率为0.2，假定字
符前后是否被歪曲互不影响.若收到的字符为ABCA,则传输的字符是AAAA的概率为一，
例27.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今
有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为一
例28.已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%.今从男女
人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是
220
第25讲
条件概率与概率五大公式
一、知识点
1.条件概率定义
一般地，设A,B为两个随机事件，且PA>0,我们称PBA)）=PAE为在事件A发生的条件下，
P(A)
事件B发生的条件概率，简称条件概率.特别地，当P(BA)=P(B)时，即A,B相互独立，则P(AB)
=P(A)P(B)
2.条件概率的性质
设P(A)>0,全样本空间定义为2，则
(1)P(2A)=1;
(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(BUC)川A)=P(BA)+P(CLA):
(3)设事件A和B互为对立事件，则P(B1A)=1-P(B|A):
3.全概率公式
一般地，设A1,A2,,An是一组两两互斥的事件，A1UA2U…UAn=D,且P(A)>0,i=1,2,…,
n则对任意的事件B∈Q,有PB)=2PAPB1A,我们陈上面的公式为全概率公式.
4.贝叶斯公式
设A1,A2,…,A是一组两两互斥的享件，AUA2UUAn=2,且P(A)>0,i=1,2,…,n,则对任
意事件BsQ,P国>0，有PA-P西二Pe1,=12.n我
P(B)
∑P(A)P(BIA)
们称上面的公式为贝叶斯公式
5.概率的五大公式
(1)减法公式：P(A-B)=P(AB)=P(A)-P(AB):
(2)加法公式：P(A+B)=P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB);
(3)乘法公式：P(AB)=P(BLA)P(A)=P(AB)P(B):
(4)全概率公式：P(B)=∑P(A)P(B1A):
=1
(5)贝叶斯公式：P(A,B)=
P(A)P(BIA)
P(A )P(BIA):
P(B)
P(AP(BIAD)
5.题型归纳
【题型一】概率的加法、减法公式
【题型二】条件概率与乘法公式
【题型三】互斥事件和独立事件
【题型四】对立事件与独立事件
【题型五】概率公式的计算
【题型六】古典概型中的条件概率
【题型七】条件概率列表型
【题型八】全概率公式
【题型九】贝叶斯公式
211第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此对于C选项，由题意得：F号，0)，准线方程为心=
由()可得=十=o,故PQ上x轴，选项
2
,
A正确，
十c2
当直线1的斜率为0时，此时，直线与C只有1个
=受，放kae=ki8故DB∥AB,选
交点，不合题意，
项B正确；
故设直线z=号+mw,与y=2pr联立得：v
根据题意，直线AB的斜率显然存在，设为k,
-2pmy-p2=0,
则ABy=kc+1,kn=k=受w2k
故y1十y2=2p,y1y2=-p,
则g-其所以OO丽=6
故M(2k,k2),DEy=c-k2,P(2k,-1),
P到直线AB,DE的距离分别为d山=
|22+2
=君-12，
√1+2
2w1+,d=+1=V1+,
解得：p=4,C正确；
V1+k2
对于D选项，设AF=m,BF=n,
.d,=2d山2，故DE是△PAB的中位线，∴.SMAg
过点A作AQ⊥准线于点Q,过点B作BP⊥准
2SAPDE'
线于点P,
且SMADM=SAPDM,SAPDET=SaBE,根据题意可得M
是DE中点，∴.SAPDM=S△PDE
故SAADM=-SAPDM=SAPDE=SABE≠0，选项C错
误，D正确；
答案选：ABD
例23.【答案】BC
【解析】由题知，F(1,0),
设直线1为x=my+1,A(1,),B(x,y）,
因为以AB为直径的圆M经过焦点F,所以AF⊥
BF,
联立方程怎四+1。
则AB=√m+n2,由抛物线定义可知：
消去x得y2-4mx-4=0,
IMM-IAQI+BPL IAF+IBPI
所以h+y2=4m,y2=-4,
2
2
2
由基本不等式得：m2+n2≥2mm,
由抛物线的定义知1A=+号=+1，B=
则2(m2+n2)≥2mm+m2+m2=(m+n)2,
c2+1,
当且仅当m=n时，等号成立，
因为AC1=AF-1,|BD=|BF-1,
放√m+m≥m+n,即=√m2+n2三
所以|ACBD=(IAF-1)(IBF到-1)=x=
MN mtn
2
丝.=1，故A错误：
44
2m+n≥√2，D正确：
又AB|=E十x2+2
m+忆
故答案选：ACD
所以o=t+2=琴+要+2=
4
例22.【答案】ABD
(+y2)2-2h边+2=4m+4≥4，故B正确：
4
【详解】设A(1,),B(c2,),则=4,2=42：
又|OAOB到=V+V+5=V+4
由2=4g得y=苦=号，
Vx2+42=Vxix2+4C12(C+2+4):
故在A,B处的切线方程分别为：y一y=
由上述知Gx2=1,1十x9≥2Vx1=2,当1=x2
受@-y-助=受e-2,
1时等号成立，
即有：z0=2(y+),2c2=2(y+2)(*),
所以|OAOB≥5，故C正确：
设P(,o),切线PA,PB均过点P,
又AB·AF列=(+x2+2)(+1)=xi+x+3
则切点弦AB所在直线方程为：c=2(y十0)，
+x2+2,
又AB过点(0,1)，则=一1恒成立，即P在直线y
由上述知C12=1,
=-1上，
所以=1，
1
185

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