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第21讲
解析几何之椭圆性质综合
一、知识点息
1.椭圆及其标准方程
(1)定义：平面内与两定点乃，的距离的和等于常数2a(2a>|)的点的轨迹叫做椭圆，即点集
M={P PF+PE=2a,2a>F}:
(2)椭圆的标准方程：
@焦点在x獭上：需+芳=1a>6>0,
②焦点在y轴上：兰
+心2
=1(a>b>0):
2.椭圆的几何性质
知椭圆方程为名+多=1(@>b>0),则有以下性
(1)范围：-a≤x≤a,-b≤y≤b;
(2)对称性：对称轴方程为x=0,y=0,对称中心为O(0,0):
(3)顶点：A1(-a,0),A2(a,0),B(0,-b),B2(0,b),长轴长|A1A2l=2a,短轴长|BB2=2b:
(4)焦点和焦距：焦点(-c,0),F(c,0);焦距2c;(5)离心率：e=
0
3,焦点三角形面积结论
《1)焦点三角形面积：椭园+，
十=1焦点为A,B,P为椭圆上的点，∠RPB=,
则SaPg=btan号=clp
4.焦半径与焦点弦
A是椭圆名+叉
+&=1(a>b>0)上一点，R、B是左、右焦点，∠ARB=a,AB过R,c是半焦距，则
(1)焦半径：A=。b
ccosa-1-ecosa =6
ep
a+8o8=1+0ap=名-d表示焦
ep
准距)；
1
2a
(2)倒数定值：A+B丽=)：
(3)焦半径比：1A=8,即1-CCoQ
Aep
=1+ecosa
→ecosa=A-1」
A+1
（4)焦点弦：AB到=a2-62c0sa
2ab2
2ep
1-e'cos'a
5.题型归纳
【题型一】第一定义与轨迹
【题型二】第一定义与最值
【题型三】第二定义与焦半径坐标公式
【题型四】第二定义与焦半径角参公式
【题型五】焦点弦与余弦定理
【题型六】焦点三角形面积
【题型七】第三定义与中点弦
【题型八】三角形四心与离心率
【题型九】蒙日圆
171
【题型一】第一定义与轨迹
例1如图，尽，3分别为椭圆号+号=1的左右焦点，P为椭圆上的点，PT为△FPR的外角平分线，
T⊥PT,则|OT=()
A.1
B.2
C.√5
D.4
及是椭圆C:5+,=1的左、右焦点，点P在椭圆C上，P=6,过B作∠PF的角平
的垂线，垂足为M,则1OM1的长为()
A.1
B.2
C.3
D.4
例3.设圆x2++2x-15=0的圆心为A,直线L过点B(1,0)且与轴x不重合，1交圆A于C,D两点，过
B作AC的平行线交AD于点E,则点E的轨迹方程为一；
例4.已知椭圆C:马
多=1(@>b>0,C的上项点为A,两个焦点为风，B,离心率为分过日
于A的直线与C交于D,E两点，D=6,则△ADE的周长是一
172第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第20讲
解析几何之直线和圆
(台-日月=0，显然直线AB与CP的交点F满足
综合
此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线
OF的方程.
例1【答素】6r-50-9=0
例4.【答案】ABD
【详解由AC边上的高BH所在直线方程为x一
【详解】选项A:将(0,0)代入直线l得3sin0+
2g-5=0可以知道kAC=-2,
又A队5.1)，AC边所在直线方程为2x+y-11=
cos0-5=0,即V0sin(0+)=5,其中cosp=
3w10
6
10
sine
联立直线AC与直线CM方程得
2x+义-11=0
因为sin(0+p)∈[-1,1]，所以√10sin(0+p)=5
2-y-5=0
无解，选项A正确；
解得工二4
{g=3
选项B:设点P(o0),则点P到直线l的距离d=
顺点C的坐标为C(4,3).设B队，)，AB的中
cos0·o+sinf·y6+3sinf+cos9-5l
Vcos20 +sin20
点超为梦安)，
cos6·xo+sin·yo+3sin0+cos日-5，
由M在直线2x-y-5=0上，得2x0一0-1=0，
令m88=0解将-
(30=-3’
B在喜线x一2y-5=0上，得x0-20-5=0,
故当P点坐标为(-1，-3)时，点P到直线1的距离
联立2-三0解得z,一所以顶点B的
(x6-206-5=0
（y0=-3
为定值5，选项B正确：
坐标为(-1，-3)，
选项C:由选项B可知直线l为圆P:(x+1)
于是直线BC的方程为6x一5y-9=0,
+(g+3)2=25的切线，
故答案为：6a-5y-9=0
例2.【答案】x-3y+1=0
【详解】因为中线CE所在直线方程为3x十y-7
=0,所以可设C(a,-3a+7),E(b,-3b+7),(a<
,
由AC中点为D0,2),可得A(-a,3a-3),所以
ku=-36-3a+i0=-3+1
bta
a+6,AABC为等
腰直角三角形，CE为中线，
设点M(0-3)到切线的距离为d,
CE1ABk-3+a95=kU=方a+
所以d≥R-MPl,所以点M(O,-3)到直线l的最
b=3①，又CE=AB,D是AC的中点，，AC⊥
小值dmin=R-|P|=4,选项C错误；
DE,
选项D:由图像可知随直线1斜率由一0→0，
0ke=-1,-3a+5×-36+5=-1,化简
△AOB的周长先减小，再增大，存在最小值，
h
得：20b=3(a+b}-5②，由①②解得a=1,b=2,
不妨在圆上取一点(3,0)作切线，记为：y一0=
所以点(2,1)，又因为k=号，所以直线AB方程
0二3红-8)，即4如+3刚=12，
为到-1=红-2，
所以A(3,0),B(0,4),△OAB的周长为3+4+
即所求方程为笼一3+1=0.故答案为：x一3y+
√32+4=12，选项D正确；
1=0
故选：ABD
例3【答案I(日-古z+(分-日加=0
例5.【答案】D
【详解】直线：(a-2)x+(a+1)y+6=0,即a(x
【详解本小题考查直线方程的求法.画草图，由
对称住可霜塑（是-古z+(分一品加=0，
+)-2x+y+6=0,
事实上，由藏距式可得直线AB:名+兰=1，直线
令仁v6=0架得侣品
ly=-2'
b
即直线：(a-2)+(a+1)y+6=0过定点A(2,
D:+多y=1.两武相藏得（合-6z+
-2),
由过坐标原点O作直线：(a-2)x+(a+1)y+6
152

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