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大湾区（正禾）大联考
2025 届高三年级模拟联考·数学试题
参考答案、解析及评分细则
1. c A= {xlx2 -x>O} = {xlx(x-1》o > = {x I x>1 或 x＜的，B {xlln(x+l）二三0} =
{x I ln(x+l）注ln 1 } = {x I x O ｝，所以A门 B = O ，＋＝）. 故 选 c.
·: z 一一1 +i＝ (1 +iH3+D 1 2 . 』 f 1 2 \ 2. A ＝ 3 一 i (3 一 i)(3+i)="'7'+-5 1, ·.z在复平面内对应的片λI （
一’一），在第一象限 ． 故选 A.
0 飞 5 5 J
3. B 依题意可得 2c = 10, .!:_ ＝，，／言，所以“＝，，／言，所以该笔筒中faj最窄处的直径为 2a = 2,,/5 cm. 故选B.
α
4.A ·: cos （α＋ρ 二 cosαcos 卢 －sinαsin 1 cosαcos 1 . S.i {3＝ τ， {3＝ τ， nαsm
. 1 1 1 {3 －二 τ τ＝τ， ：. cos （α {3） 二
cosαcos 卢＋sin asin 卢＝ 1 1 2τ＋τ＝τ－故选A.
5. B 将la+bl=Ia-bl 两边平方，得 a b = O，由已知得（x+3)x+4 ×（ － 1)=0，即 x2 +31、 一 4 二 O,fi晖得
x= -4或 1，故选B.
γ ’
6. B 因为 y =x÷，y ＝ 一（÷） 在（O,+oo）上均单调递增，则 ／（ x) ＝ 才 一（÷） 在（O,+oo）上单调递增，
。 士
可得 f(O)=O÷ 一（÷） ＝ O-l÷
（÷） ＜O，且函数 f (x）在（O，＋＝）上连续不间断，则 f（ 川在（o，士）上无零点， 故A错误； 因为
＋ ÷
y= （÷r 在（O,+oc）上单调递减·则 ！（ ÷）＝（÷） 一（专） ＞o，则 ！（ 士） ·1(-t)O,+oo I一 1 1 、 －f(x 〉在（ ）上连续不间断，故 f(x）在（ ’一飞4 3 I） 上存在零点，故B正确；由于 f（川在CO，＋＝）上单调
递增，J(l)=l一一1 ＝一2 3 3 ＞O，可知C、 D 都是错误的 ． 故｜ 选 B.
7. D E（ 夺） ＝ 3,E（ ρ ＝ 6
1 ＝ 2 1 2 4 ×τ ,D（号）＝ 2,D （ρ ＝ ×6 τ×τ ＝ τ ，故 A 、 B错误； Pc r;= 1) = c× τ×
°
5 2
(主3 ）:, ，PCη
＝ 5)= 1 c× （－）× 一 ， PCη ＝ l）手 PCη ＝3 3 日， 故C错误；根据正态分布的对称性可得
P仔＞2)+P仔关4) = P仔＜4)+PC 二三4) = 1 ，故 D 正确． 故选 D.
8. A π ，π T 2 由已知相邻两个极值点的距离为一，可得一＝一3 3 2 ＝汀
王
21u川T ，又回＞O，可得
U,·= 3，由函数 f(x） 经过机， 一 1) ＇则 2sin 俨 一 1，即 sin 俨 一 ÷，又
｜圳＜？可得俨 一 号，所以 f(x) = 2叫 3x-f），因为函数 y = sin x 的
最小正周期为 一T=2π，函数 f (x) = 2叫 3x 号）的最 小 正周期为 T＝ 子， 所 以在［O，叫上函数
【高三大联考·数学参考答案 第 1 页（共 6 页）】
f（ 工） ＝ 2叫3x-f）有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两
函数图象有6个交点，故选A.
9.ABC将这组数据从小到大排序，得6,6,7,8,9,9,9,10，这组数据的极差为10-6 = 4，故A正确 ； 平均数为
6+6+7+8+9+9+9+10 8 8 9+9 = ，故B正确 ；因为 ×0.75 = 6，所以上四分位数为一一＝ 92 ，故C正确 ；方差为
(6-8)2 + (6-8)2+ (7-8)2 +( 8-8)2 + (9-8)2 + (9-8)2 +(9-8)2 + (l0-8)2 = 2，故D错误． 故选ABC.
10. BC 令 f（ 工）= (x+l )2 (x-2) = O，解得x = -1或工 ＝ 2，所以f(x ）有两个零点，故A错误 f'(x) =；
2 (x+l) (x-2) + (x+l) 2 =3x2 -3，令J'(x) = 3工2-3 =0，解得＿-c = -1或x =I，当x＜一 1或工＞11时，
/ C.r) >O, f(.r）单调递增，当一IB正确 = 2 2 一 = ； 因为J (-x)+f(x) (-_-c+l) (-x-2)+ (x+l) (x 2) - 4， 则f(x ） 的 图 象关于
点（0,-2）中心对称，故 C 正确 ； 当zε （ － 1,1）时，f(x ） 单调递减，则当OOx2，所以f(.r)11. ABO 设点P(x,y ） ，因为点 p jJ定点F(0,5）的距离与到定直线 =y l 的距离之 Yi
和为6，所以..；x2+ 一c y-s) 2 + I Y 11 = 6，当 y注1时，得.／x2 + ( y-5 ) 2 =
7- ，两边同平方，得x2 = y -4y+24 ( 1《y：，三6）；当y：：：二1时，得.／x2+ (y-5)2 =
5+ ·xy ，两边同平方，得.r 2 = 20y (0《y《1），如图 ，曲线E过原点，A正确；由图易 οl
知，两段抛物线弧均关于y轴对称， 故曲线 E关于y轴对称， B i正确 ； 若点 p （工，y）在
:i.· 2 = -4y+24 ( 1《y《6）上，得x2 = -4y+24《20，所以一2./5《z《 2 ,j言，若点 p (x,y ）在x
2 = 20y
「x2 = -4y+2 4 (1 《y《6）， 问＝ 2, (x=-6,
(O y l ） 上，同理得一 2./5 x 2./S,C 错误 ； 由 得斗 圳 （舍〉，
L =y x+3, Ly= 5 ly= -3
(x2= 20y(O y l), (x= l0-4刁言， ( x= 10+4刁言，
由〈 得〈 或〈 （舍〉， 故 =y x十 3 与曲线 E 交于
lY ＝ 计3, l y=l3-4刁古 ly=l3+4刁古
点 p (2，日，Q(10-4刁百，13-40日，可得PQ＝ 刁有百1--cp-X I =Q 8 (./S-,/2) ,D正确 ． 故选ABD.
12. 60 ,/2x － 6 ( ） 6 的展开式的通项为几 ＝ 一 k 6， α （,/2x) k ( j二／ ＝ - c 1) (./2 )6 k Cix 十令
、 气IX I 飞 气J X I
6一 卡＝ 3，则时，故x1: 的系数是〈 一 1)2 (./2) 6 飞＝4×15 = 60.
13. 26π将如图所示的相同的两个几何体拼接为圆柱，则 圆柱底面半径为2 cm，高为
8+5= 13(cm），体积为π×22 ×13 = 52π（cm勺，则该几何体的休积为圆柱体积的一半，
即陆×÷ ＝ 剖π（cm 3).
14.去国为f (x) = In zε （0, + ＝），所以／ (x、趴
」:c
C x, , In x, )， 则切线方程为 y - ln x ＝1 土 （x-x, 〉，即 ＝y 土工＋ In x 一， l， 又因 为 ＝y 缸，所以
x, .-:c,
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j土 ＝走，
) X1 解得 X 1 =e，走＝一，所以切线方程为y= -x，因为g(x) =ae，所以g
＇ （工〉 ＝ （αe汀 ’ ＝aex '
l\n X 1 -l=Q,
设直线 y＝ 土工与g（工〉 ＝ αe.r 的切点为 （品，aeo），所以 g'(xo) ＝ “e"'·o ＝ 土e ①，又因为 切点（岛，ae-'o）在直
线 ＝ 土Z上所， 以ae～ ＝土Xo②，由①和②可得xo= l所， 以“＝土y ＝e e 解， 得α 斗e-
15. fl怦：(1）因为cos 2A=cos Bcos C-sin Bsin C=cos(B+C)= -cos A, ······································· 2分
即 2 cos2 A-1 ＝一 cos A ，解得 cos A ＝ 土哎 cos A = -1. ………… …… ………………………………… 4 分2
因为在6.ABC中，O(2 ）在6.ABC中由， 余弦定理az = bz +cz一 灿c叫得， 62 = b2 + 伯 2（ -4,/3b ×÷，
整理得扩 － 2,/3b-24=0 由， b>O，解得b= 4疗， ………………………………………………………… 9 分
一1
所以L.ABC的面积为St:,A即 一τ bcsm. A 一
1
τ × 4,j言×2/3× ,/3τ _ － 6,j言． ……………………………… 13 分
16. Cl证） 明因： 为四边形BB 1 C 1 C 是菱形，所以B 1 Cl_BC 1 ,
又因为AOl_平面BB 1C1 C ，且 B1 CC平面 BB1 C1 C ，所以A0-1 B 1 C. … ……………… ……… ………… 4 分
又 AO门 BC =1 O,AO ,BC1 C平而ABC1 ，所以B1 Cl_平雨ABC1 . ……………………………………… 6分
(2 ）解：（方法一）由BB =1 2 四， 边形BB 1 C1 C 为菱形， ζB =1 BC 60°,
则6BB 1 C 是边长为2 的等边三角形，
所以， OC 1 =OB=BCsin 60。 ＝2 ×圣2 ＝，.j言， OB
＝ ＝
1 优 l, OA=OB =,j言，
4「
因为AOl_平面BB 1 C … ……… …………………… ……7分X1 C,OBl_OB 1 ，
以点。为坐标原点， OB,OB1 ,QA所在直线分别为z , y ,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(,j言， 0,0) ,C1 (-,j言， o, o) , B 1 ( 0, 1 ,0 ), A (O , O, ,/3) , C ( 0 ， 一1,0),
则恋 ＝ (,j言， o, -,/3) ,oc = c －，；言， 一1,0)'
设平而ABC的一个法向量为11 = （工巾，吟，
rn. AB =,/3x-J3z=O,
则斗 取工 ＝1 则， y= -.. j言z， = l，故n= (1 ,-,j言， 1 ）， ……… ......…… ………… 9 分
ln BC＝ －.／言x- y=O,
易知平面 ABC1 的一个法向量为 ,n= (0,1,0 ）， …………………… …………………………………… 13 分
＝ 寸 ＝－＝－-,jcos(,n ,n) 言γ---,-r- － ＝ 刁言一一 －－－；－一
Im 11川，，／5×1 ::,
故平面ABC1 与平面ABC央角的余弦值 之. I 1 c; 为 苦工． ………………… …………………………………… 15分
。
（方法二）由BB 1 =2 ，四边形BB 1 C1 C 为菱形， ζB 1 BC= 60。 ，则6.BB 1C是边长为2 的等边三角形，
所以， OC =OB=BCsin 60。 一- 2 ×,j一宫一 一 =1 2 －.／言， OB 1 -C盯＝ l,OA OB ＝疗，
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